数え上げの発想 — 包除原理・1対1対応・二重数え

$1$ から $1000$ までの整数のうち、平方数でも立方数でもないものの個数を求めよ。

全体集合 $U$ の要素数を $40$、部分集合 $A,B$ の要素数をそれぞれ $30,25$ とする。共通部分 $A\cap B$ の要素数のとりうる最大値と最小値を求めよ。

100人の生徒のうち、A を満たす者が80人、B を満たす者が75人、C を満たす者が65人いる。A, B, C のすべてを満たす者の人数として考えられる最小値を求めよ。

$x,y$ を整数とする。$y\ge 0$ かつ $y\le -x^2+4$ を満たす点 $(x,y)$ の個数を求めよ。

格子を右または上へ1歩ずつ進んで $(0,0)$ から $(n,n)$ へ行く最短経路のうち、つねに $y\le x$(対角線 $y=x$ を上に越えない)ものの総数を求めよ。

$n$ 個の異なる玉を、区別できる $3$ つの箱にどの箱も空にならないように入れる方法の総数を求めよ($n\ge 3$)。

$0\le r\le n$ とする。$\sum _{k=r}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{r}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{r+1}\right)$ を、組合せの意味(何を選ぶか)から説明して示せ。

$n$ 以下の自然数で $n$ と互いに素なものの個数を $\phi (n)$ とする。$\sum _{d\mid n}\phi (d)=n$($d$ は $n$ の正の約数を動く)を示せ。

$n$ を自然数とする。$\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})k^n$ を求めよ。

$x+y+z=30$ を満たす0以上の整数の組 $(x,y,z)$ のうち、$x\le y\le z$ を満たすものは何個あるか。

赤玉2個、白玉2個、青玉2個の計6個の玉を円形に並べる方法は何通りあるか。ただし、回転して一致する並べ方は同じものとみなす。同じ色の玉は区別しない。

1から8までの数を1つずつ使って一列に並べる。並びが、ある位置まで増加し、その位置から後は減少する「山型」になるものは何通りあるか。ただし、増加する部分と減少する部分は、頂上以外にそれぞれ1個以上の数を含むものとする。

座標平面上の25個の格子点 $(x,y)$($x,y$ は $0$ 以上 $4$ 以下の整数)のうちの4点を頂点とする正方形は、全部で何個あるか。辺が座標軸に平行なものだけでなく、傾いた正方形も数える。

円周上に8個の点があり、これらの点を結ぶどの3本の弦も、円の内部の同じ1点では交わらないものとする。8個の点のうちのすべての2点を弦で結ぶとき、円の内部は何個の領域に分かれるか。

座標平面上の25個の格子点 $(x,y)$($x,y$ は $0$ 以上 $4$ 以下の整数)から異なる3点を選ぶ。選んだ3点が三角形の頂点になる選び方は何通りあるか。

1個のサイコロを4回投げる。出た目を順に $a_1,a_2,a_3,a_4$ とするとき、$a_1\le a_2\le a_3\le a_4$ となる確率を求めよ。

$n$ を2以上の自然数とする。1個のサイコロを $n$ 回投げるとき、出た目の最大値が5、かつ最小値が2である確率を $n$ を用いて表せ。また、$n=3$ のときのその値を求めよ。

$n$ 枚の硬貨を同時に投げ、表が出た硬貨をすべて取り除く。硬貨が残っていれば、残った硬貨をすべて同時に投げ、表が出たものを取り除く。この操作を繰り返す。

(1) 2回目までの操作で硬貨がすべて取り除かれる確率を求めよ。

(2) ちょうど2回目の操作で初めて硬貨がすべて取り除かれる確率を求めよ。また、$n=3$ のときのその値を求めよ。

$360$ 以下の自然数のうち、$360$ と互いに素なものの個数 $\phi (360)$ を求めよ。

自然数 $k$ の正の約数の個数を $d(k)$ と書く。$\sum _{k=1}^{20}d(k)$ を求めよ。

$\sum _{1\le i<j\le 10}(j-i)$ を求めよ。すなわち、1以上10以下の整数の組 $(i,j)$($i<j$)のすべてについて $j-i$ を足し合わせた和を求めよ。

自然数を1から順に並べ、平方数($1,4,9,\dots$)と立方数($1,8,27,\dots$)をすべて取り除いてできる数列

$$2,3,5,6,7,10,11,\dots$$

の第2026項を求めよ。