平面図形の総合 — 円・三角形の定理と計量

三角形の $3$ つの内角 $A,B,C$ について、$\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C$ が成り立つことを示せ(ただし直角のない三角形とする)。

三角形の面積を $S$、$3$ 辺を $a,b,c$、半周を $s=\frac{a+b+c}{2}$ とする。(1) 内接円の半径 $r$ が $S=rs$ を満たすことを示せ。

(2) $3$ 辺が $3,4,5$ の三角形の内接円の半径を求めよ。

三角形の $3$ 辺を $a,b,c$ とする。$3$ 本の中線の長さをそれぞれ $m_a,m_b,m_c$ とするとき、$m_a^2+m_b^2+m_c^2=\frac{3}{4}(a^2+b^2+c^2)$ が成り立つことを示せ。

円に内接する四角形 ABCD において $\mathrm{AB}=1,\mathrm{BC}=2,\mathrm{CD}=3,\mathrm{DA}=4$ である。対角線 AC の長さと、四角形 ABCD の面積を求めよ。

$△ABC$ において $\mathrm{AB}=5,\mathrm{AC}=3,\angle A=120^{\circ }$ である。$\angle A$ の二等分線が辺 BC と交わる点を D とするとき、線分 AD の長さを求めよ。

$\cos 36^{\circ }$ の値を求めよ。

3辺の長さが $13,14,15$ の三角形の面積 $S$、内接円の半径 $r$、外接円の半径 $R$ を求めよ。

$△ABC$ において $a\cos A=b\cos B$ が成り立つとき、この三角形はどのような形か答えよ。

三角形 $\mathrm{ABC}$ の内接円が辺 $\mathrm{BC},\mathrm{CA},\mathrm{AB}$ と接する点をそれぞれ $\mathrm{P},\mathrm{Q},\mathrm{R}$ とする。$3$ 辺を $a=\mathrm{BC},b=\mathrm{CA},c=\mathrm{AB}$、半周を $s=\frac{a+b+c}{2}$ とするとき、$\mathrm{AR}=\mathrm{AQ}=s-a$ となることを示せ。

点 $\mathrm{P}$ から円に接線 $\mathrm{PT}$($\mathrm{T}$ は接点)を引き、$\mathrm{PT}=6$ とする。同じ点 $\mathrm{P}$ を通る直線が円と $2$ 点 $\mathrm{A},\mathrm{B}$ で交わり、$\mathrm{PA}=4$ とする($\mathrm{A}$ は $\mathrm{P}$ に近い方)。線分 $\mathrm{AB}$ の長さを求めよ。

半径 $R$ の円において、弦 $\mathrm{AB}$ に対する円周角(弧 $\mathrm{AB}$ の上に立つ角)が $\theta$ であるとき、弦 $\mathrm{AB}$ の長さが $2R\sin \theta$ であることを示せ。

三角形 $\mathrm{ABC}$ の頂点を $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}$、辺 $\mathrm{BC}$ の中点を $\mathrm{M}$ とする。$3$ 本の中線が $1$ 点で交わり、その点は各中線を頂点側から $2:1$ に内分することを、座標を用いて示せ。

三角形 $\mathrm{ABC}$ で $\angle \mathrm{A}$ の二等分線が辺 $\mathrm{BC}$ と点 $\mathrm{D}$ で交わり、外接円と(再び)点 $\mathrm{E}$ で交わるとする。$\mathrm{AD}\cdot \mathrm{AE}=\mathrm{AB}\cdot \mathrm{AC}$ が成り立つことを示せ。

三角形 $\mathrm{ABC}$ の辺 $\mathrm{BC}$ 上に点 $\mathrm{D}$ をとり、$\mathrm{BD}=m,\mathrm{DC}=n$ とする。$\mathrm{AB}=c,\mathrm{AC}=b,\mathrm{AD}=d$ とするとき、${\mathrm{AD}}^2=\frac{m{b}^2+n{c}^2}{m+n}-mn$ が成り立つことを示せ(スチュワートの定理)。

円に内接する四角形 $\mathrm{ABCD}$ について、$\mathrm{AC}\cdot \mathrm{BD}=\mathrm{AB}\cdot \mathrm{CD}+\mathrm{AD}\cdot \mathrm{BC}$ が成り立つことを示せ(トレミーの定理)。

三角形 $\mathrm{ABC}$ の面積を $S$、$3$ 辺を $a,b,c$、外接円の半径を $R$、内接円の半径を $r$、半周を $s=\frac{a+b+c}{2}$ とする。$S=\frac{abc}{4R}$ と $S=rs$ を用いて、$r=\frac{abc}{4Rs}$ を示せ。また $a=b=c$(正三角形)のとき $\frac{R}{r}$ の値を求めよ。

$△ABC$ の辺 BC を $1:2$ に内分する点を D、辺 CA を $3:1$ に内分する点を E、辺 AB を $2:3$ に内分する点を F とする。$△DEF$ の面積は $△ABC$ の面積の何倍か。

$△ABC$ の外接円について、点 A における接線と直線 BC が点 P で交わっている。$PB=4,PC=9$($B$ は $P$ と $C$ の間)であるとき、接線の長さ $PA$ と、比 $AB:AC$ を求めよ。

$△ABC$ の内接円が辺 BC, CA, AB に接する点をそれぞれ D, E, F とする。3直線 AD, BE, CF が1点で交わることを、チェバの定理を用いて示せ。

$△ABC$ の3辺の長さを $a=BC,b=CA,c=AB$ とし、各頂点から対辺の中点に引いた中線の長さを $m_a,m_b,m_c$ とする。$m_a^2+m_b^2+m_c^2=\frac{3}{4}(a^2+b^2+c^2)$ が成り立つことを示せ。

$△ABC$ の面積を $S$、$s=\frac{a+b+c}{2}$ とする。辺 BC の側にある傍接円(辺 BC に接し、他の2辺の延長に接する円)の半径 $r_a$ は $r_a=\frac{S}{s-a}$ で与えられる。これを用いて、3辺が $13,14,15$ の三角形で、長さ $14$ の辺に接する傍接円の半径を求めよ。