数列の和 × 積分 — 区分求積・無限級数

$n$ を自然数とする。$\sum _{k=0}^n\frac{1}{k+1}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$ を求めよ。ここで $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$ は二項係数 ${}_n{\mathrm{C}}_k$ である。

極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{1+{\left(\frac{k}{n}\right)}^2}}$ を求めよ。

$\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{1}{n+k}$ を求めよ。

$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{2n-1}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots$ の和を求めよ(収束は認めてよい)。

(1) すべての自然数 $n$ について、次の不等式が成り立つことを示せ。

$$\sum _{k=1}^{2^n}\frac{1}{k}\ge 1+\frac{n}{2}$$

(2) 無限級数 $\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k}$ は発散することを示せ。

(1) $n\ge 2$ のとき $3^n\ge 2n(n-1)$ が成り立つことを示せ。

(2) $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n}{3^n}=0$ を示せ。

(3) 無限級数 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{n}{3^n}$ の和を求めよ。

極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }n\left(\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1{)}^2}+\cdots +\frac{1}{(2n{)}^2}\right)$ を求めよ。

$a_n={\int }_0^1\frac{x^n}{1+x}dx$($n=0,1,2,\dots$)とする。

(1) $a_n+a_{n-1}=\frac{1}{n}$($n\ge 1$)を示せ。

(2) $0\le a_n\le \frac{1}{n+1}$ を示し、$\sum _{k=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{k-1}}{k}$ を求めよ。

極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}$ を求めよ。

$S_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}$ とする。$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{S_n}{\sqrt{n}}$ を求めよ。

極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n^2}\left(\sqrt{n^2-1^2}+\sqrt{n^2-2^2}+\cdots +\sqrt{n^2-n^2}\right)$ を求めよ。