領域 × 最大・最小 — 存在条件への翻訳

$a$ を実数の定数とする。命題

「ある実数 $x$ が存在して $|x-a|+|x-1|\le 2$」

が真となるような $a$ の値の範囲を求めよ。

$x+y=2,x\ge 0,y\ge 0$ のとき、$x^2+y^2$ の最大値と最小値を求めよ。

$x^2+y^2=1$ を満たす実数 $x,y$ に対し、$Q=3x^2+2xy+3y^2$ の最大値と最小値を求めよ。

実数 $x,y$ が $x^2+xy+y^2=3$ を満たすとき、$x^2-xy+y^2$ のとりうる値の範囲を求めよ。

$x^2+y^2=1$ のとき、$x+y^2$ の最大値と最小値を求めよ。

$x$ の2次方程式 $x^2-2kx+k+2=0$ が実数解 $\alpha ,\beta$(重解を含む)をもつとき、${\alpha }^2+{\beta }^2$ の最小値と、そのときの $k$ の値を求めよ。

点 $(x,y)$ が円 $x^2+y^2=5$ 上を動くとき、$2x+y$ の最大値を求めよ。

$m$ が実数全体を動くとき、点 $\mathrm{A}(3,4)$ から直線 $\ell :y=mx$ までの距離の最大値を求めよ。

連立不等式 $|x|+|y|\le 2$ かつ $x^2+y^2\ge 1$ の表す領域の面積を求めよ。

点 $(x,y)$ が円 $x^2+y^2=1$ 上を動くとき、$\frac{y+2}{x+2}$ の最大値と最小値を求めよ。

連立不等式 $|x|+|y|\le 2$ かつ $x^2+y^2\ge 1$ の表す領域の面積を求めよ。

実数 $s,t$ が $s^2+t^2=1$ を満たしながら変化するとき、点 $(s+t,st)$ の存在範囲を求め、図示せよ。

$x^2+y^2\le 5$ かつ $x+y\ge 1$ を満たす領域において、$x+2y$ の最大値を求めよ。

実数 $x,y$ が $x^2+xy+y^2=3$ を満たすとき、$x+y$ のとりうる値の範囲を求めよ。

不等式

$$x^2+y^2\le 2|x|+2|y|$$

の表す領域を図示し、その面積を求めよ。