電磁気 × 力学 — レール上の導体棒・電流が受ける力

半径 $R=0.20\mathrm{m}$ の球の内部に、電荷 $Q=+3.0\times 10^{-6}\mathrm{C}$ が一様に分布して固定されている。

この球の中心を通るまっすぐな細いトンネルを開ける。球の内部で中心から距離 $r$ の点の電場の強さは

$$E=\frac{kQr}{R^3}$$

で与えられる(向きは中心から外向き)。$k=9.0\times 10^9\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2/{\mathrm{C}}^2$ とする。

いま、質量 $m=1.0\times 10^{-6}\mathrm{kg}$、電荷 $-q=-3.0\times 10^{-9}\mathrm{C}$ の小球を、トンネルの入口(球の表面)に静かに置く。重力と摩擦、空気の抵抗は無視する。

(1) 球の表面($r=R$)でこの式が $\frac{kQ}{R^2}$ に一致することを確かめよ。また中心から $\frac{R}{2}$ の点の電場の強さを求めよ。

(2) トンネル内で小球にはたらく力を求め、この運動が単振動になることを示せ。

(3) 単振動の周期を、$k,Q,q,m,R$ で表せ。

(4) 周期の値を求めよ。また小球が中心を通過するときの速さを求めよ。

水平面上に間隔 $0.20\mathrm{m}$ の 2 本の平行な導体レールを敷き、その上に導体棒を垂直に渡す。鉛直上向きの一様な磁場(磁束密度 $0.50\mathrm{T}$)をかけ、棒に $2.0\mathrm{A}$ の電流を流した。(1) 棒が受ける力の大きさと向き (2) 棒の質量が $0.10\mathrm{kg}$、レールとの動摩擦係数が $0.10$ のとき、棒はどう運動するか。$g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

傾き $30°$ のなめらかな斜面上に、水平な導体棒(質量 $0.010\mathrm{kg}$、長さ $0.20\mathrm{m}$)を置く。鉛直上向きの一様な磁場(磁束密度 $0.50\mathrm{T}$)をかけ、棒に適切な向きの電流を流して斜面上で静止させたい。必要な電流の大きさを求めよ。$g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

水平面上に間隔 $0.20\mathrm{m}$ のレールを敷き、質量 $0.10\mathrm{kg}$ の導体棒を渡す。鉛直上向きの磁場(磁束密度 $0.50\mathrm{T}$)をかけ、棒に $2.0\mathrm{A}$ の電流を流した。レールと棒の静止摩擦係数を $0.30$ とする。$g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。(1) 棒が受ける磁場の力 (2) 棒は動くか。動かない場合、棒にはたらく摩擦力の大きさを求めよ。

水平に固定した導線 A の真上 $1.0\times 10^{-2}\mathrm{m}$ に、同じ向きに電流を流した導線 B(1 m あたりの質量 $8.0\times 10^{-4}kg/m$)を平行に置く。A・B に等しい電流 $I$ を流したとき、B にはたらく電流間の引力が B の重力とつり合って浮いた。この電流 $I$ を求めよ。${\mu }_0=4\pi \times 10^{-7}N/{\mathrm{A}}^2$、$g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

間隔 $0.20\mathrm{m}$ の水平なコの字レールに抵抗 $0.20\Omega$ をつなぎ、磁束密度 $0.50\mathrm{T}$ の鉛直磁場中で導体棒を速さ $4.0m/s$ で等速で動かす(レール・棒の抵抗は無視)。(1) 誘導起電力 (2) 回路の電流 (3) 棒を等速で動かすのに必要な外力 (4) 外力がする仕事率(仕事の割合)と抵抗の消費電力が等しいことを示せ。

傾き $30°$ のなめらかな斜面にコの字レール(間隔 $0.20\mathrm{m}$、抵抗 $0.10\Omega$)を敷き、鉛直磁場ではなく斜面に垂直な磁場(磁束密度 $0.50\mathrm{T}$)をかける。質量 $0.10\mathrm{kg}$ の導体棒を斜面に沿って滑らせると、やがて一定の速さ(終端速度)になった。この終端速度を求めよ。$g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

傾き $30°$ の斜面レール(間隔 $L$、抵抗 $R$)上を、質量 $m=0.10\mathrm{kg}$ の導体棒が斜面に垂直な磁場中を滑り、終端速度に達して等速で $h=0.50\mathrm{m}$(鉛直方向)滑り降りた。(1) この間に重力がした仕事 (2) 抵抗で発生したジュール熱 を求め、両者が等しいことを説明せよ。$g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

一辺 $a=0.20\mathrm{m}$ の正方形のコイル(質量 $m=0.010\mathrm{kg}$、抵抗 $R=0.10\mathrm{\Omega }$)を、鉛直面内に置いて静かに落とす。下方には磁束密度 $B=0.50\mathrm{T}$ の一様な磁場の領域(紙面に垂直)があり、その上端の境界は水平である。磁場の領域は十分に広い。$g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

(1) コイルの下辺が磁場に入り、上辺がまだ外にあるとき、コイルに生じる起電力と電流を、速さ $v$ を用いて表せ。

(2) この状態でコイルにはたらく力を求め、運動方程式を書け。

(3) 十分に時間が経ったときの速さ(終端速度)を求めよ。

(4) コイル全体が磁場の中に入りきったあと、コイルの運動はどうなるか。理由とともに答えよ。

起電力 $E=100\mathrm{V}$ の電源に、内部抵抗を含めた合計 $r=2.0\mathrm{\Omega }$ の抵抗と直流モーターを直列につないだ。モーターが回転すると、その回転によって逆向きの起電力 $E^{\prime }$(逆起電力)が生じる。モーターのコイルの抵抗は $r$ に含めてある。

(1) 回転を手で止めているとき($E^{\prime }=0$)、流れる電流と消費される電力を求めよ。

(2) $E^{\prime }=80\mathrm{V}$ で回転しているときの電流、電源が供給する電力、抵抗で発生する熱、機械的な仕事率をそれぞれ求めよ。

(3) 機械的な仕事率が最大になるときの $E^{\prime }$ と、そのときの仕事率を求めよ。

(4) (2) と (3) で効率(機械的な仕事率÷電源の供給電力)を比べ、何がいえるか述べよ。

水平でなめらかな $2$ 本の平行レールの上に、質量 $m=0.50\mathrm{kg}$ の導体棒 P と Q を、どちらもレールに垂直に置く。レールの間隔は $l=0.20\mathrm{m}$、鉛直上向きに磁束密度 $B=0.50\mathrm{T}$ の一様な磁場をかける。回路全体の抵抗は $R=0.20\mathrm{\Omega }$ で一定とし、レールの摩擦と棒の抵抗の変化は無視する。

はじめ Q は静止しており、P に初速 $v_0=4.0m/s$ を与えた。

(1) P の速さが $v_1$、Q の速さが $v_2$ のとき、回路に流れる電流を求めよ。

(2) P と Q が受ける力の向きと大きさを比べ、$2$ 本の運動量の和が変化しないことを示せ。

(3) 十分に時間が経ったときの $2$ 本の速さを求めよ。

(4) この間に抵抗で発生した熱の総量を求めよ。はじめの運動エネルギーの何割か。