複素数 × 図形 — 回転・軌跡・正多角形

複素数 $\alpha ,\beta$($|\alpha |<1$)と点列 $\{z_n\}$ を $z_{n+1}=\alpha z_n+\beta$ で定める。点 $z_n$ が近づく点(極限)を求めよ。

複素数平面上で $|\alpha |=|\beta |=|\gamma |=1$ とする(三角形の3頂点が単位円上)。このとき、三角形の垂心が $\mathrm{H}=\alpha +\beta +\gamma$ で表されることを示せ。

相異なる3つの複素数 $\alpha ,\beta ,\gamma$ について、次を示せ。

3点 $\alpha ,\beta ,\gamma$ が正三角形の3頂点である $⟺$ ${\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2=\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha$

$z$ が単位円 $|z|=1$ 上を動くとき($z\ne 1$)、$w=\frac{1+z}{1-z}$ が描く図形を求めよ。

$n$ を3以上の整数とし、${\zeta }_k=\cos \frac{2k\pi }{n}+i\sin \frac{2k\pi }{n}$($k=0,1,\dots ,n-1$)を1の $n$ 乗根とする。単位円上の任意の点 $z$($|z|=1$)に対して、次を示せ。

$$\sum _{k=0}^{n-1}|z-{\zeta }_k{|}^2=2n$$

複素数平面上で、原点を中心とする $60^{\circ }$ の回転を $f$、点 $1$ を中心とする $60^{\circ }$ の回転を $g$ とする(いずれも反時計回り)。

(1) 合成変換($f$ を行ってから $g$ を行う)は、ある点を中心とする $120^{\circ }$ の回転であることを示せ。

(2) その中心を表す複素数を求めよ。

三角形 $\mathrm{ABC}$ の各辺を1辺とする正三角形を、三角形の外側に3つ作り、それらの重心を ${\mathrm{N}}_1,{\mathrm{N}}_2,{\mathrm{N}}_3$ とする。三角形 ${\mathrm{N}}_1{\mathrm{N}}_2{\mathrm{N}}_3$ は正三角形であることを示せ。

(頂点を表す複素数を $\alpha ,\beta ,\gamma$(反時計回り)とし、$\omega =\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3}$ について、3点 $p,q,r$ が $p+\omega q+{\omega }^{2}r=0$ を満たせば正三角形(または3点が一致)となることは、証明して用いてよい。)

$\alpha =1+i,\beta =1+2i,\gamma =1+3i$ の偏角をそれぞれ ${\theta }_1,{\theta }_2,{\theta }_3$($0<{\theta }_k<\frac{\pi }{2}$)とする。積 $\alpha \beta \gamma$ を計算することにより、${\theta }_1+{\theta }_2+{\theta }_3$ の値を求めよ。

$z$ が円 $|z|=2$ 上を動くとき、$w=z+\frac{1}{z}$ が描く図形を求めよ。また、$|w|$ の最大値と最小値を求めよ。

$z_0=1$、$z_{n+1}=\frac{1+i}{2}{z}_n$($n=0,1,2,\dots$)で点列を定める。折れ線 $z_0{z}_1,z_1{z}_2,z_2{z}_3,\dots$ の長さの総和(無限和)を求めよ。