総合演習 / 力学の融合
運動量保存で衝突や分裂の直後をとらえ、その後をエネルギー保存・単振動・放物運動で追う問題です。「衝突は運動量、そのあとは別の道具」という段の切り替えを鍛えます。
全 8 問(応用 3・最難関編 5)。課程の学習順に並んでいます。
質量 の花火が、水平方向の速度 、鉛直方向の速度 で打ち上げられた。、空気抵抗は無視する。
(1) 最高点に達する時刻と、そのときの高さ・水平距離を求めよ。
(2) 分裂しなければ、どこに落ちるか。
(3) 最高点でちょうど質量 ずつの つに分裂し、一方の速度が になった(その場から真下に落ちた)。他方の速度を求め、 つの破片の落下地点を求めよ。
(4) つの落下地点の中点が (2) の落下点に一致することを確かめ、その理由を述べよ。
軽い糸でつるした質量 の木片に、水平に飛んできた質量 の弾丸が撃ち込まれ、一体となって振れ上がり、最高で の高さまで上がった。弾丸の撃ち込まれる直前の速さ を求めよ。重力加速度の大きさを とする。
なめらかな水平面上で、質量 の物体 A が速さ で、軽いばねを取り付けた質量 の物体 B(静止)に、ばねの側から衝突した。(1) ばねが最も縮んだ瞬間の 2 物体の速さ (2) そのときばねに蓄えられている弾性エネルギー (3) その後、ばねが元に戻って A と B が離れたときの、それぞれの速度 を求めよ。
質量 の球Aの真上に、質量 の球Bを接するようにのせ、床から高さ のところで静かに放す。2 球は接したまま落ち、まずAが床に当たる。
床との衝突、AとBの衝突はどちらも弾性衝突とし、球の大きさと空気抵抗は無視する。重力加速度の大きさを とする。
(1) 床に当たる直前の速さを求めよ。
(2) Aが床ではね返った直後の、AとBの速度をそれぞれ答えよ。
(3) その直後に起こるAとBの衝突について、衝突直後のAとBの速度を求めよ。
(4) Bが達する最高点の高さを求めよ。
(5) A、Bの質量の比を自由に変えられるとすると、Bの達する高さは の何倍まで大きくできるか。
なめらかな水平面上の一直線上に、質量 の球A、質量 の球B、質量 の球Cがこの順に並んでいる。BとCははじめ静止しており、Aが速さ でBに向かって進む。
まずAとBが衝突し、続いてBとCが衝突する。衝突はすべて弾性衝突で、運動はこの直線上だけで起こる。
(1) BとCの衝突が終わったあとのCの速さ を、 で表せ。
(2) と を変えずに だけを変えるとき、 を最大にする を求めよ。
(3) 、 とする。(2)の の値と、そのときの を求めよ。またBを置かずにAを直接Cに衝突させた場合のCの速さと比べよ。
宇宙探査機(質量 )が、速さ で一直線上を進んでいる。その正面から、質量が探査機よりはるかに大きい惑星が、速さ で近づいてくる。探査機は惑星の重力に引かれて向きを変え、進んできた向きへ跳ね返された(惑星のそばを回り込んで戻ってきたとみなす)。惑星の質量は探査機に比べて十分大きく、この間の惑星の速さは変わらないとする。
(1) 惑星とともに動く観測者から見ると、探査機の速さは近づく前と跳ね返った後で変わらない。その理由を、はたらく力とエネルギーの観点から述べよ。
(2) もとの観測者(惑星が動いて見える立場)から見た、跳ね返った後の探査機の速さを求めよ。
なめらかな水平面上に、ばね定数 のばねの先に付けた質量 の木片が静止している(ばねは自然長)。質量 の弾丸が速さ で木片に撃ち込まれ、一体となってばねを押し縮めながら振動を始めた。(1) 一体となった直後の速さ (2) ばねの最大の縮み(=振幅) (3) 振動の周期 をそれぞれ求めよ。 とする。
なめらかな水平面上で、ばね定数 のばねにつながれた質量 の台が、振幅 の単振動をしている。
この台の上に、質量 の物体を、水平方向の速度を与えずにそっと乗せる。台と物体のあいだの摩擦は十分に大きく、乗せた物体はごく短い時間で台の上ですべらなくなり、以後は台と一体になって運動するものとする。台と水平面のあいだの摩擦は無視する。
(1) 物体を乗せる前の、台の周期・最大の速さ・振動の全エネルギーを求めよ。
(2) 台が振動の中心を通過する瞬間に物体を乗せた。乗せた直後の速さと、その後の周期・振幅・全エネルギーを求めよ。
(3) 台が振動の端で一瞬止まった瞬間に物体を乗せた。その後の周期・振幅・全エネルギー・最大の速さを求めよ。
(4) (2) と (3) で全エネルギーに差が出る理由を述べよ。