確率 × 数列・解析 — 確率漸化式・期待値・幾何確率

$2\times n$ のマス目を $1\times 2$ のタイル(縦でも横でもよい)で隙間も重なりもなく敷き詰める方法の総数 $a_n$ を求めよ。

$n$ 個のマスを円形に並べ、隣り合うマスが異なる色になるように $k$ 色で塗る方法の総数 $c_n$ を求めよ($n\ge 3,k\ge 2$)。

$n$ 人を、区別のないグループにいくつかに分ける方法の総数(各人はちょうど1グループ、空グループは作らない)をベル数 $B_n$ とし、$B_0=1$ とする。(1) $B_{n+1}=\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)B_k$ を示せ。

(2) $B_4$ を求めよ。

$n$ 人が1個ずつプレゼントを持ち寄り、全員が自分の持ってきたもの以外のプレゼントを1個ずつ受け取る配り方の総数を $D_n$ とする($D_1=0,D_2=1$)。

(1) $n\ge 3$ のとき、$D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2})$ が成り立つことを示せ。

(2) $D_6$ を求めよ。

座標平面上を、点 $(0,0)$ から点 $(8,8)$ まで、$x$ 軸方向または $y$ 軸方向に1ずつ進む最短経路を考える。途中で通るどの点 $(x,y)$ でも $|x-y|\le 2$ が成り立つような経路は何通りあるか。

1個のサイコロを繰り返し振り、出た目を順に足していく。ある段階での和がちょうど $n$ になることがある確率を $p_n$ とする。$\underset{n\to \infty }{\lim }{p}_n$ を求めよ。

硬貨を $2n$ 回投げるとき、表がちょうど $n$ 回出る確率を $p_n$ とする。

(1) $p_n=\frac{1}{4^n}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right)$ を確かめ、$p_n=\frac{2n-1}{2n}{p}_{n-1}$ を示せ。

(2) $\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt{n}{p}_n$ を求めよ。

$1$ から $n$ までの番号札 $n$ 枚を無作為に一列に並べる($n\ge 2$)。左から $k$ 番目に番号 $k$ の札が来ることを「一致」とよび、一致の総数を $X$ とする。$X$ の期待値 $E[X]$ と分散 $V[X]$ を求めよ。

1回引くごとに4種類 $\{1,2,3,4\}$ のカードのどれか1枚が等確率 $\frac{1}{4}$ で出る(引いたカードは戻し、毎回独立)。4種類すべてがそろうまでに引く回数の期待値を求めよ。

持ち点 $k$($0<k<N$)から始める。1回ごとに確率 $\frac{1}{2}$ で持ち点が $1$ 増え、確率 $\frac{1}{2}$ で $1$ 減る。持ち点が $N$ になれば成功、$0$ になれば失敗として終了する。持ち点 $k$ から出発して(失敗より先に)成功する確率 $q_k$ を求めよ。

長さ $1$ の棒の上に、互いに独立に一様な $2$ 点をとって折り、$3$ 本の棒に分ける。この $3$ 本で三角形が作れる確率を求めよ。

表と裏が等確率で出る硬貨を、表が $2$ 回続けて出るまで投げ続ける。投げる回数の期待値を求めよ。

袋の中に赤玉2個と白玉1個が入っている。袋から玉を1個取り出して色を確かめ、取り出した玉と、それと同じ色の新しい玉1個を、あわせて袋に戻す(操作のたびに袋の玉は1個増える)。この操作を繰り返す。

(1) 3回目の操作で赤玉を取り出す確率を求めよ。

(2) 2回目の操作で赤玉を取り出したとき、1回目の操作でも赤玉を取り出していた条件付き確率を求めよ。

1から $n$ までの番号が1つずつ書かれた $n$ 枚のカードをよく混ぜて一列に並べる。左から順に見ていき、それまでに見たどのカードの番号よりも大きい番号のカードが現れたとき、そのカードを「記録」と呼ぶ(先頭のカードは必ず記録である)。

(1) $n=4$ のとき、記録の枚数の期待値を求めよ。

(2) 一般の $n$ について、記録の枚数の期待値を求めよ。

立方体 $ABCD\text{-}EFGH$(底面が正方形 $ABCD$、上面が正方形 $EFGH$ で、$AE,BF,CG,DH$ が辺)の頂点 $A$ に点 $\mathrm{P}$ がある。$\mathrm{P}$ は1秒ごとに、いまいる頂点と辺で結ばれた3つの頂点のいずれかへ、それぞれ確率 $\frac{1}{3}$ で移動する。6秒後に $\mathrm{P}$ が頂点 $A$ にある確率を求めよ。

平面上に、どの $2$ つも異なる $2$ 点で交わり、どの $3$ つも $1$ 点で交わらないように $n$ 個の円をかく。これらの円が平面を分ける領域の数 $a_n$ を求めよ。

$n$ 段の階段を、$1$ 回に $1$ 段・$2$ 段・$3$ 段のいずれかで上る。上り方の総数 $a_n$ が満たす漸化式を求め、$a_6$ を求めよ。

3本の杭 A, B, C がこの順に一列に並び、杭 A に大きさの異なる $n$ 枚の円盤が大きい順に積まれている。円盤は1回に1枚だけ動かせ、隣り合う杭にしか移動できず(A↔B、B↔C のみ)、小さい円盤の上に大きい円盤を置くことはできない。$n$ 枚すべてを杭 A から杭 C へ移すのに必要な最小の手数を $a_n$ とする。

(1) $a_n=3a_{n-1}+2$($n\ge 2$)が成り立つことを示せ。

(2) $a_n$ を求めよ。

$X$ が二項分布 $B\left(10,\frac{1}{3}\right)$ に従うとき、$P(X=k)$ が最大となる $k$ を求めよ。

$U$ と $V$ は独立で、それぞれ区間 $[0,1]$ 上の一様分布に従うとする(すなわち $0\le a\le b\le 1$ のとき $P(a\le U\le b)=b-a$)。$S=U+V$ とする。

点 $(U,V)$ は単位正方形 $0\le u\le 1$、$0\le v\le 1$ の上に一様に散らばるので、事象の確率は対応する領域の面積に等しい。

(1) $0\le s\le 1$ のとき $P(S\le s)$ を求めよ。

(2) $1\le s\le 2$ のとき $P(S\le s)$ を求めよ。

(3) $P\left(\left|S-1\right|\le \frac{1}{2}\right)$ を求めよ。

(4) $E(S)$ と $V(S)$ を求めよ。

$X,Y,Z$ を、区間 $[0,1]$ から互いに独立に一様に選ぶ。$X^2+Y^2+Z^2\le 1$ となる確率を求めよ。