極限の7つの型 — 見分ける目印と処理の手順

文: KOSNiZ·最終更新: 2026年9月6日

極限の問題は、見た目が多様なわりに、使う型は数種類しかありません。「どの型か」を先に判定できれば、極限の問題はほぼ機械的に解けます。この記事では、数列と関数の極限を7つの型に分け、見分ける目印と処理の手順、つまずきの場所を説明します。

型1: ∞/∞ は最高次で割る

分子と分母がともに無限大に発散する形は、分母の最高次の項で分子分母を割ります。 $\frac{2 n ^{2} + 1}{n ^{2} - n}$ なら $n^{2}$ で割って $\frac{2 + 1/ n ^{2}}{1 - 1/ n} \to 2$ です。目印は、分数で分子分母がともに発散することです。指数を含むなら、最も大きい底の指数で割ります( $3^{n}$ と $2^{n}$ なら $3^{n}$ で)。関数と極限の基礎「数列の極限(分数)」「関数の極限(無限大)」で確認してください。

型2: ∞−∞ は有理化

$n^{2} + n - n$ のように、発散する2つの量の差は、そのままでは値が決まりません。分子の有理化(共役をかける)で $\frac{n}{n ^{2} + n + n}$ の形にし、型1に持ち込みます。目印は、根号を含む差です。標準の∞-∞・有理化と応用の2つの根号で練習してください。

型3: 0/0 は共通因数を消す

$x \to a$ で分子分母がともに0になる形は、因数分解して $(x - a)$ を約分するか、根号があれば有理化します。目印は、代入すると $\frac{0}{0}$ になることです。基礎の0分の0と標準の3次の0分の0で確認してください。この型は、微分係数の定義そのものです。

型4: 三角関数は sin x/x に帰着

$lim_{x \to 0} \frac{sin x}{x} = 1$ が出発点で、 $\frac{sin 3 x}{x}$ なら $3 \cdot \frac{sin 3 x}{3 x}$ と直します。 $1 - cos x$ は、 $\frac{1 - cos x}{x ^{2}} \to \frac{1}{2}$ を使うか、半角の公式で $2 sin^{2} \frac{x}{2}$ に直します。 $tan x$ は $\frac{sin x}{cos x}$ です。目印は、 $x \to 0$ で三角関数が含まれることです。基礎の三角関数の極限から標準の角の調整、1-cos、応用のtan-sinへ進んでください。

型5: 無限等比数列と級数

$r^{n}$ の極限は、 $∣ r ∣ < 1$ なら0、 $r = 1$ なら1、 $r > 1$ なら発散、 $r \leq - 1$ なら振動です。無限等比級数 $\sum a r^{n - 1}$ は、 $∣ r ∣ < 1$ のとき $\frac{a}{1 - r}$ に収束します。目印は、公比が定数の等比の形です。収束条件 $∣ r ∣ < 1$ の確認を必ず書いてください。基礎の無限等比数列、無限等比級数、標準の収束条件で確認してください。

型6: はさみうちの原理

型1〜5に当てはまらない数列は、上下から押さえます。 $- \frac{1}{n} \leq a_{n} \leq \frac{1}{n}$ のように、両側が同じ極限に収束する式ではさめば、真ん中も収束します。目印は、 $sin n$ や $(- 1)^{n}$ のような「値が決まらないが有界なもの」が含まれること、または階乗のように「直接は評価しにくいもの」が含まれることです。標準のはさみうちの原理と難関の階乗を含む数列の極限で、押さえ方の練習をしてください。

押さえる式を見つけるのがこの型の急所で、「 $∣ sin n ∣ \leq 1$ 」「 $n! \geq$ 途中から $2^{n}$ 倍」「二項定理で $(1 + h)^{n} \geq 1 + nh$ 」といった評価の道具を、問題ごとに覚えていきます。

型7: 漸化式で定まる数列の極限

漸化式 $a_{n + 1} = f (a_{n})$ で定まる数列の極限は、まず極限値 $α$ を「 $a_{n + 1} = a_{n} = α$ とおいた方程式」から予想し、 $∣ a_{n + 1} - α ∣ \leq r ∣ a_{n} - α ∣$ ( $0 < r < 1$ )の形の不等式を作って、はさみうちで $α$ に収束することを示します。目印は、漸化式と「極限を求めよ」の組合せです。応用の漸化式で定まる数列の極限と実戦編の根号の漸化式の極限で、「予想して、はさみうちで確認」の手順を固めてください。

見分けの手順

式を見たら、次の順に判定します。三角関数があれば型4。根号の差があれば型2。分数で $\frac{\infty}{\infty}$ なら型1、 $\frac{0}{0}$ なら型3。等比なら型5。漸化式なら型7。どれでもなければ型6です。この順番で判定すると、迷いません。

つまずきやすいところ

最も多い誤りは、 $\frac{\infty}{\infty}$ を「無限大÷無限大=1」と思うことです。最高次で割って確かめてください。次に、無限等比級数の収束条件 $∣ r ∣ < 1$ を書き忘れることです。3つ目は、 $n^{2} + 1 - n$ のような差を直接計算しようとして、桁落ち(引き算で有効数字が消える)で値がわからなくなることです。有理化して式の形で極限を求めてください。