数列の和の6つの型 — 一般項の形で求め方を選ぶ

文: KOSNiZ·最終更新: 2026年9月6日

数列の和は、公式の数が少ないわりに、「どの求め方を使うか」の判断で止まる人が多いテーマです。式の形を見て求め方を選べるようになると、数列の和の問題はほぼ機械的に解けます。この記事では、和の求め方を6つの型に分け、それぞれを見分ける目印と、つまずきの場所を説明します。

型1: 整式の和は Σ の公式

$\sum k$ 、 $\sum k^{2}$ 、 $\sum k^{3}$ の3本と、「Σ は足し算と定数倍を通す」性質(線形性)で、整式の和はすべて計算できます。目印は、一般項が $k$ の整式であることです。 $\sum (2 k^{2} + 3 k) = 2 \sum k^{2} + 3 \sum k$ のように分けて、公式に当てはめます。

計算の途中で因数分解を怠ると式が膨らみます。 $\frac{n ( n + 1 )}{2}$ を展開せずに共通因数として残す習慣をつけてください。数列の基礎「Σ の計算」の4問と、標準「2次式」「展開が必要」で固めます。

型2: 等比数列の和

一般項が $a r^{k - 1}$ の形なら等比数列の和で、 $\frac{a ( r ^{n} - 1 )}{r - 1}$ です。目印は、指数に $k$ があることです。 $\sum 3 \cdot 2^{k}$ のような形は、初項と公比を読み取って公式に入れます。公比が文字なら $r = 1$ の場合を別に書きます(標準の公比の場合分け)。

型3: 部分分数分解(望遠鏡和)

一般項が $\frac{1}{k ( k + 1 )}$ のように「分母が2つの因数の積」なら、 $\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}$ と分けると、途中の項が打ち消し合って両端だけが残ります。目印は、分数で、分母が因数の積であることです。分母の因数の差が2のときは $\frac{1}{2} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 2})$ で、残る項が両端2つずつになります。根号の和 $\sum \frac{1}{k + k + 1}$ も、有理化すると同じ打ち消し合いの形になります。

標準の部分分数、係数つき、応用の分母の差が2、根号を含む数列の和の順に進んでください。この型は、数学IIIの無限級数でそのまま使います。

型4: (等差)×(等比)の和

一般項が $k \cdot 2^{k}$ のように「 $k$ の1次式 × 等比」の形なら、和 $S$ に公比 $r$ をかけて $S - r S$ を作ります。等比の部分が1つずつずれて、等比数列の和と1項だけが残ります。目印は、 $k$ と $r^{k}$ の積であることです。標準の(等差)×(等比)型の和と応用の一般で、この「ずらして引く」計算を確実にしてください。数学Bで最も計算ミスが多い型です。

型5: 階差数列

規則性はあるが一般項が見えない数列は、隣り合う項の差(階差)を調べます。階差が等差または等比なら、 $a_{n} = a_{1} + \sum_{k = 1}^{n - 1} b_{k}$ ( $n \geq 2$ )で一般項が出ます。目印は、「一般項が与えられておらず、最初の数項だけが書かれている」ことです。 $n = 1$ のときも成り立つかを最後に確認します(標準の階差数列)。

型6: 群数列

数列を群に分けて考える問題では、「第 $n$ 群の最初の項が全体の何番目か」を、各群の項数の和で求めるのが出発点です。目印は、「群」「区切り」という言葉か、項数が群ごとに増えていく数列(1個・2個・3個…)です。標準の群数列と応用の奇数の群で、「群の番号」と「全体の番号」を行き来する練習をしてください。

和から一般項を求める逆算

$S_{n}$ が与えられているとき、 $a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}$ ( $n \geq 2$ )です。 $a_{1} = S_{1}$ は別に求め、 $n \geq 2$ の式に $n = 1$ を入れて一致するかを確認します。この「 $n = 1$ の確認」を省く答案が非常に多いので、答案の型として身につけてください(標準の和 Sₙ から一般項)。

型の見分けを速くする練習

6つの型は、一般項の「形」で見分けられます。整式なら型1、指数に $k$ なら型2、分数で分母が積なら型3、 $k \times r^{k}$ なら型4、一般項が未知なら型5、群があれば型6です。問題を見た瞬間に型を言う練習を、単元ページの標準12問で行ってください。型が言えれば、あとは計算です。