漸化式の型の見分け方と変形の目印

文: KOSNiZ·最終更新: 2026年9月6日

漸化式は、型が多く見えて挫折する人が多い単元です。ただ、型を「見分ける手順」と「変形の目印」に分けて整理すると、10種類程度の型が1つの考え方(等差か等比に直す)に集約されます。

見分けの手順

漸化式を見たら、次の順に判定します。

1つ目は、項が何個関係しているかです。 $a_{n + 1}$ と $a_{n}$ の2項なら「2項間」、 $a_{n + 2}$ まであれば「3項間」、 $a_{n}$ と $b_{n}$ の2種類あれば「連立」です。

2つ目は2項間なら、 $a_{n + 1}$ が $a_{n}$ の何で書かれているかです。 $a_{n} +$ 定数なら等差型、定数 $\times a_{n}$ なら等比型、 $a_{n} + f (n)$ なら階差型、 $p a_{n} + q$ なら特性方程式型、 $p a_{n} + q^{n}$ なら指数型、 $p a_{n} + (n の 1 次式)$ なら1次式型、 $\frac{a _{n}}{p a _{n} + q}$ なら分数型です。

3つ目に、どれにも当てはまらなければ、変形(対数をとる、 $n!$ で割る、逆数をとる、置き換える)で既知の型に落とせないかを試します。

型ごとの変形の目印

等差型・等比型・階差型はそのまま公式で解けます。階差型は $a_{n} = a_{1} + \sum_{k = 1}^{n - 1} f (k)$ ( $n \geq 2$ )で、 $n = 1$ の確認を最後に書きます。漸化式の基礎の3問が出発点です。

特性方程式型 $a_{n + 1} = p a_{n} + q$ は、 $α = p α + q$ を解いて $a_{n + 1} - α = p (a_{n} - α)$ と変形します。「なぜ $α$ を引くと等比になるか」は、元の式から $α = p α + q$ を引き算すれば明らかです。この引き算を1度自分でやると、型の暗記が不要になります。基礎の特性方程式型(基本)と引き算で確認してください。

指数型 $a_{n + 1} = p a_{n} + q^{n}$ は、両辺を $q^{n + 1}$ で割ると $\frac{a _{n}}{q ^{n}}$ の特性方程式型になります。「 $q^{n}$ が見えたら $q^{n + 1}$ で割る」が目印です。 $p = q$ なら割ったあとが等差型です(応用の共鳴)。標準の指数型がこの型の問題です。

1次式型 $a_{n + 1} = p a_{n} + n$ は、 $a_{n} - (α n + β)$ が等比になるように $α$ 、 $β$ を決めるか、階差をとって $n$ を消します(標準の1次式型)。

分数型 $a_{n + 1} = \frac{a _{n}}{p a _{n} + q}$ は、逆数をとると $\frac{1}{a _{n}}$ の特性方程式型か等差型です。分子に定数があるときは、特性方程式の解 $α$ を使って $\frac{1}{a _{n} - α}$ の漸化式を作ります(標準の分数型、応用の等差数列に帰着、最難関編の不動点が2つある分数型)。

3項間 $a_{n + 2} = p a_{n + 1} + q a_{n}$ は、特性方程式 $x^{2} = p x + q$ の2解 $α$ 、 $β$ で、 $a_{n + 2} - α a_{n + 1} = β (a_{n + 1} - α a_{n})$ と、 $α$ と $β$ を入れ替えた式の2本を作って引き算します。重解なら1本しか作れないので、 $α^{n + 2}$ で割って等差型にします(応用の3項間、重解)。

連立は2つの式を足したり引いたりして、和と差の等比数列を作ります(標準の連立漸化式)。

変形で既知の型に落とす

積の形 $a_{n + 1} = a_{n}^{2}$ は、対数をとると等比型になります。 $a_{n + 1} = 2 a_{n}^{2} - 1$ のような形は、 $a_{n} = cos θ_{n}$ と置くと2倍角の式になります(最難関編の2倍角が生む周期3の数列)。係数に $n$ が入る $a_{n + 1} = \frac{n + 1}{n} a_{n}$ は、 $\frac{a _{n}}{n}$ が定数です。 $S_{n}$ の関係式は $a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}$ で漸化式に直します(標準の和 Sₙ の漸化式から一般項)。「何で割れば(何を引けば・何をとれば)等差か等比になるか」を探す、という姿勢がすべての型に共通です。

型が見えないとき

最初の数項を計算して一般項を予想し、数学的帰納法で証明する、という方法があります。難関大の問題では、この「予想して証明」が正攻法になることも多いです。予想のために、 $a_{1}$ から $a_{4}$ くらいまでを実際に計算する習慣をつけてください。

つまずきやすいところ

よくあるのは、特性方程式の $α$ を「解」と混同する誤りです。 $α$ は一般項ではなく、等比数列を作るために引く定数です。階差型と $S_{n}$ の型では、 $n = 1$ の確認を省く答案が目立ちます。3項間で2本の式を作らず、1本だけで解こうとして止まる人もいます。