定数分離で解の個数と接線の本数を数える

文: KOSNiZ·最終更新: 2026年9月6日

「方程式 $x^{3} - 3 x - k = 0$ の実数解の個数を $k$ で場合分けせよ」「点 $(1, b)$ から曲線に引ける接線の本数を求めよ」という問題は、微分の単元でよく出ます。どちらも「パラメータを片側に分離して、グラフと横線の交点を数える」という1つの考え方(定数分離)で解ける問題です。接線の本数の問題も接点の方程式を作れば解の個数の問題になります。

定数分離: パラメータを横線にする

$x^{3} - 3 x - k = 0$ を $k = x^{3} - 3 x$ と変形すると、左辺は横線 $y = k$ 、右辺は固定された曲線 $y = x^{3} - 3 x$ です。解の個数はこの曲線と横線の交点の個数です。曲線の増減表を書いて極大値・極小値を求めれば、 $k$ がその間にあれば3個、極値に等しければ2個、外なら1個、と読めます。

要点は「 $k$ を含む式を変形して、 $k$ だけを片側に集める」ことです。 $k$ が2か所以上に散らばっていたり、 $k$ が $x$ とかけ算になっていたりすると分離できませんが、高校範囲の問題の多くは分離できる形で出ます。微分の考えの標準「3次方程式の実数解の個数」と応用のパラメータ、一般で、この手順を練習してください。

接線の本数と接点の方程式

曲線 $y = f (x)$ 上の点 $(t, f (t))$ における接線は $y = f^{'} (t) (x - t) + f (t)$ です。この接線が点 $(a, b)$ を通る条件は、 $b = f^{'} (t) (a - t) + f (t)$ という $t$ の方程式になります。この方程式の異なる実数解の個数が、引ける接線の本数です(3次曲線では、接点が異なれば接線も異なります)。

だから、接線の本数の問題は「 $t$ の方程式の解の個数」の問題に変わり、定数分離で $b = g (t)$ の形にして、 $y = g (t)$ のグラフと横線 $y = b$ の交点を数えます。標準の曲線外の点から引いた接線で接線の式の作り方を、応用の接線が3本引ける条件で本数の数え方を確認してください。実戦編の外部の点から3次曲線への接線の本数と最難関編の3本の接線が引ける点の存在範囲は、点 $(a, b)$ を動かして「3本引ける領域」を求める発展です。

境目の扱い

横線が極値にちょうど等しいとき、交点は2個(接する点と、もう1つの交点)です。この「境目」を、場合分けの見出しに必ず入れてください。 $k < - 2$ 、 $k = - 2$ 、 $- 2 < k < 2$ 、 $k = 2$ 、 $k > 2$ の5通り、というふうに、等号の場合を独立させます。境目を「 $k \leq - 2$ 」のようにまとめると、個数が違う場合を一緒にしてしまうからです。場合分けの書き方の型は場合分けの技術にまとめてあります。

数学IIIでの広がり

数学IIIでは、曲線が三角・指数・対数関数になり、 $x \to \pm \infty$ での漸近線が加わります。 $\frac{lo g x}{x} = a$ の解の個数は、 $y = \frac{lo g x}{x}$ のグラフ(最大値 $\frac{1}{e}$ 、 $x \to \infty$ で0に近づく)と横線の交点で、 $0 < a < \frac{1}{e}$ のとき2個です。「 $x \to \infty$ で0に近づくが0にはならない」という漸近線の扱いが、数学IIIで新しく必要になります。微分法の応用の応用「方程式の実数解の個数」と実戦編の曲線 xeˣ に引ける接線の本数で確認してください。

定数分離が使えないとき

パラメータが分離できないときは、 $f (x) = 0$ の左辺を関数とみて、極大値と極小値の符号で解の個数を判定します。「極大値 $> 0$ かつ極小値 $< 0$ なら3個」という判定です。これは定数分離の別の言い方で、どちらでも解けますが、分離できるなら横線のほうが図で確かめやすく、間違いが少なくなります。

つまずきやすいところ

よくあるのは、横線を動かす前に増減表を省いて、極値の位置と値を取り違える誤りです。定数分離のあとの曲線は必ず増減表を書いてから描いてください。接線の本数の問題で「接点の $t$ の方程式」を作らずに、点 $(a, b)$ を直接曲線の式に入れてしまう人もいます。 $(a, b)$ は曲線上にないので、接点 $t$ を経由する必要があります。境目の等号を落とす誤りにも気をつけてください。