定数分離と接線の本数 — パラメータを横線にして交点を数える

文: KOSNiZ·最終更新: 2026年9月6日

「方程式 $x^{3} - 3 x - k = 0$ の実数解の個数を $k$ で場合分けせよ」「点 $(1, b)$ から曲線に引ける接線の本数を求めよ」という問題は、微分の単元で最も出る型です。どちらも、「パラメータを片側に分離して、グラフと横線の交点を数える」という1つの考え方(定数分離)で解けます。この記事では、定数分離の手順と、接線の本数がなぜ「解の個数」になるのか、そして境目の扱いを説明します。

定数分離: パラメータを横線にする

$x^{3} - 3 x - k = 0$ を $k = x^{3} - 3 x$ と変形すると、左辺は横線 $y = k$ 、右辺は固定された曲線 $y = x^{3} - 3 x$ です。解の個数は、この曲線と横線の交点の個数です。曲線の増減表を書いて極大値・極小値を求めれば、 $k$ がその間にあれば3個、極値に等しければ2個、外なら1個、と読めます。

要点は、「 $k$ を含む式を変形して、 $k$ だけを片側に集める」ことです。 $k$ が2か所以上に散らばっていたり、 $k$ が $x$ とかけ算になっていたりすると分離できませんが、高校範囲の問題の多くは分離できる形で出ます。微分の考えの標準「3次方程式の実数解の個数」と応用のパラメータ、一般で、この手順を固めてください。

接線の本数は「接点の方程式の解の個数」

曲線 $y = f (x)$ 上の点 $(t, f (t))$ における接線は $y = f^{'} (t) (x - t) + f (t)$ です。この接線が点 $(a, b)$ を通る条件は、 $b = f^{'} (t) (a - t) + f (t)$ という $t$ の方程式になります。この方程式の異なる実数解の個数が、引ける接線の本数です(3次曲線では、接点が異なれば接線も異なります)。

だから、接線の本数の問題は、「 $t$ の方程式の解の個数」の問題に変わり、定数分離で $b = g (t)$ の形にして、 $y = g (t)$ のグラフと横線 $y = b$ の交点を数えます。標準の曲線外の点から引いた接線で接線の式の作り方を、応用の接線が3本引ける条件で本数の数え方を確認してください。実戦編の外部の点から3次曲線への接線の本数と最難関編の3本の接線が引ける点の存在範囲は、点 $(a, b)$ を動かして「3本引ける領域」を求める発展です。

境目の扱い

横線が極値にちょうど等しいとき、交点は2個(接する点と、もう1つの交点)です。この「境目」を、場合分けの見出しに必ず入れてください。 $k < - 2$ 、 $k = - 2$ 、 $- 2 < k < 2$ 、 $k = 2$ 、 $k > 2$ の5通り、というふうに、等号の場合を独立させます。境目を「 $k \leq - 2$ 」のようにまとめると、個数が違う場合を一緒にしてしまいます。場合分けの書き方の型は場合分けの技術にまとめてあります。

数学IIIでの広がり

数学IIIでは、曲線が三角・指数・対数関数になり、 $x \to \pm \infty$ での漸近線が加わります。 $\frac{lo g x}{x} = a$ の解の個数は、 $y = \frac{lo g x}{x}$ のグラフ(最大値 $\frac{1}{e}$ 、 $x \to \infty$ で0に近づく)と横線の交点で、 $0 < a < \frac{1}{e}$ のとき2個です。「 $x \to \infty$ で0に近づくが0にはならない」という漸近線の扱いが、数学IIIで新しく必要になります。微分法の応用の応用「方程式の実数解の個数」と実戦編の曲線 xeˣ に引ける接線の本数で確認してください。

定数分離が使えないとき

パラメータが分離できないときは、 $f (x) = 0$ の左辺を関数とみて、極大値と極小値の符号で解の個数を判定します。「極大値 $> 0$ かつ極小値 $< 0$ なら3個」という判定です。これは定数分離の別の言い方で、どちらでも解けますが、分離できるなら横線のほうが図で確かめやすく、間違いが少なくなります。

つまずきやすいところ

最も多い誤りは、横線を動かす前に増減表を省いて、極値の位置と値を取り違えることです。定数分離のあとの曲線は、必ず増減表を書いてから描いてください。次に、接線の本数で「接点の $t$ の方程式」を作らずに、点 $(a, b)$ を直接曲線の式に入れてしまうことです。 $(a, b)$ は曲線上にないので、接点 $t$ を経由する必要があります。3つ目は、境目の等号を落とすことです。