場合分けの考え方と答案の書き方

文: KOSNiZ·最終更新: 2026年9月6日

場合分けは高校数学の早い時期に出てきて、多くの人が戸惑う考え方です。2次関数の軸が動く問題で初めて出会い、そのあとも絶対値、2次不等式の文字係数、三角方程式、微分の極値、数列の公比と、多くの単元で繰り返し出てきます。

いつ分けるのか

場合分けが必要になるのは、ある量の値によって「使う式が変わる」ときです。絶対値 $|x-2|$ は、$x\ge 2$ なら $x-2$、$x<2$ なら $2-x$ で、1つの式では書けません。2次関数の最小値は、軸が定義域の左にあるか中にあるか右にあるかで、最小値をとる場所が変わります。文字係数 $a{x}^2$ の $a$ は、正なら下に凸、0なら1次式、負なら上に凸で、グラフの形が変わります。

「この量の値によって、使う式やグラフの形が変わるか」を問うのが、場合分けの要否の判定です。変わらないなら分ける必要はありません。

どこを境目にするのか

分ける基準は、式が変わる値です。絶対値なら中身が0になる点、2次関数の最小値なら軸が定義域の端と一致する点、文字係数なら係数が0になる点、判別式なら $D=0$ になる点です。

境目の値を先に求めて、数直線に書き込み、それで区切られた各区間で式を確定する、という手順を固定してください。境目を「なんとなく」決めると、区間が抜けたり重なったりします。

最小値と最大値で、分け方の数が違うことにも注意が要ります。下に凸の2次関数の最小値は、軸が「左外・中・右外」の3通りですが、最大値は「軸が定義域の中央より左か右か」の2通りです。この違いは2次関数の標準「軸が動く場合の最小値」と「最大値」を並べて解くと、図で見えます。

答案の書き方

場合分けの答案は書く順番を決めておくと安定します。

まず、分ける基準を1行で宣言します。「軸 $x=a$ と定義域 $0\le x\le 2$ の位置関係で場合分けする」のような1行です。次に、各場合を「(i) $a<0$ のとき」「(ii) $0\le a\le 2$ のとき」「(iii) $a>2$ のとき」と見出しにして、それぞれの場合で式を確定し、答えを出します。最後に「以上より」で、全部の場合をまとめて答えます。

境目の値(この例では $a=0$ と $a=2$)は、隣り合う場合のどちらかに必ず含めます。どちらに含めても答えは一致しますが、両方に含めたり、どちらにも含めなかったりするのは誤りです。採点ではこの境目の扱いを見ています。

各場合の中で、さらに場合分けが必要になることがあります(入れ子)。そのときは、外側の場合の見出しを「(i)」、内側を「(i-a)」「(i-b)」のように階層をつけて書きます。入れ子が2段を超えるようなら、分け方を見直したほうがよいことが多いです。

場合分けを減らす工夫

場合分けは少ないほど計算も答案も短くなります。

まず、対称性が使えるなら使います。$|x|$ を含む関数が偶関数なら、$x\ge 0$ だけを調べて対称に写せば十分です。グラフでまとめて読む方法もあります。絶対値を含む方程式 $|x-1|+|x-3|=k$ は、場合分けせずに、左辺のグラフ(折れ線)と横線 $y=k$ の交点を読めば、解の個数がすぐにわかるので、場合分けが要りません。パラメータを含む問題では、主に見る文字を入れかえる考え方が役に立ちます。パラメータ $a$ を含む不等式が「すべての $x$ で成り立つ」条件は、$x$ で場合分けするのではなく、$a$ の式とみて $a$ の範囲を求めます。難関(★★★★)以上の問題で、よく使う考え方です。

場合分けの「漏れ」と「重なり」を防ぐ

場合分けでよくある失点は、漏れです。境目の値を先に数直線に書き、区間が全体を覆っているかを確かめれば防げます。場合分けの仮定と、求めた解との照合を忘れる人もよくいます。「$x\ge 2$ のとき」と仮定して解いた $x=1$ は、仮定に反するので解ではありません。各場合の最後に「これは仮定を満たす」の1行を書く習慣をつけてください。

場合分けが出てくる単元

数学Iの実数と1次不等式(絶対値)、2次関数(軸が動く)、2次方程式・2次不等式(文字係数)で場合分けの基本を学び、数学IIの三角関数(角の範囲)、微分の考え(極値の位置)、数学Bの数列(公比が1のとき)で繰り返します。物理では、力と運動の法則の摩擦(静止か動くか)、剛体のつり合い(倒れるかすべるか)、運動量と力積(再衝突が起こるか)が場合分けの問題です。

最初に出会う2次関数の場合分けを図で理解しておけば、ほかの単元の場合分けも同じ手順で進められます。2次関数の記事に、場合分けの答案の書き方を含めてまとめてあります。