導体棒の4段の連鎖 — 起電力・電流・力・運動

文: KOSNiZ·最終更新: 2026年9月6日

磁場中のレール上を動く導体棒の問題は、電磁誘導の単元で最も出題頻度が高く、電磁気と力学が1問の中でつながる典型です。「起電力が生じて、電流が流れて、力を受けて、運動が変わる」という連鎖を追えるかどうかで決まります。この記事では、この連鎖を4段に分けて、各段の式と、エネルギーの収支、つまずきの場所を説明します。

段1: 動く棒は電池になる

磁束密度 $B$ の磁場中を、長さ $L$ の導体棒が速さ $v$ で磁場に垂直に動くと、棒の両端に $V = v B L$ の起電力が生じます。理由は2通りで説明できます。棒の中の自由電子がローレンツ力 $e v B$ を受けて片側に寄る(ローレンツ力の見方)。棒が1秒間に掃く面積 $v L$ の分だけ回路を貫く磁束が $v B L$ 変わる(ファラデーの法則の見方)。2つの見方が一致することを、電磁誘導と交流の基礎「磁場中を動く導体棒の起電力」で確認してください。

起電力の向きは、レンツの法則(磁束の変化を妨げる向き)か、右手(親指が運動、人差し指が磁場、中指が電流)で決めます。

段2: 回路に電流が流れる

棒を「起電力 $v B L$ の電池」とみなすと、回路の抵抗 $R$ に対して電流 $I = \frac{v B L}{R}$ が流れます。棒自身に抵抗があれば、それも直列に入れます。基礎の回路につないだ導体棒の電流で確認してください。

段3: 電流が流れる棒は力を受ける

電流 $I$ が流れる長さ $L$ の棒は、磁場から $F = I B L = \frac{B ^{2} L ^{2} v}{R}$ の力を受けます。この力の向きは、必ず運動を妨げる向きです(レンツの法則の帰結で、もし運動を助ける向きなら、エネルギーが無から生まれてしまいます)。電磁ブレーキの原理です。基礎の誘導電流が流れる棒が受ける力で確認してください。

この力が速さ $v$ に比例することに注目してください。空気抵抗(速度に比例する抵抗)と同じ形で、終端速度の問題と同じ構造になります。

段4: 運動方程式で運動を決める

棒にはたらく力(重力の斜面成分・外力・段3の制動力)で運動方程式を立てます。斜面レール上の棒なら、 $ma = m g sin θ - \frac{B ^{2} L ^{2} v}{R}$ で、 $a = 0$ となる速さが終端速度 $v_{\infty} = \frac{m g R sin θ}{B ^{2} L ^{2}}$ です。速さは最初は加速し、やがて終端速度に飽和する曲線になります(空気抵抗の終端速度と同じ形)。標準の斜面レール上の導体棒の終端速度で確認してください。

一定の速さで棒を引く問題では、手の力が制動力とつり合っていて、手がする仕事率 $F v$ が、回路で消費される電力 $V I = I^{2} R$ に等しくなります。標準のコの字レール上の導体棒で、この「仕事率 = 消費電力」を確認してください。これが発電の本質です。

エネルギーの収支で検算する

4段の連鎖は、エネルギーの収支で1本にまとまります。終端速度で滑り降りる棒なら、「重力がする仕事率 $m g v sin θ$ = ジュール熱の発生率 $I^{2} R$ 」です。この式から、運動方程式を使わずに終端速度が出ます(別解)。応用の斜面レール上の導体棒(エネルギー総合)で、運動方程式のルートとエネルギーのルートが同じ答えになることを確かめてください。エネルギーで解く方法は、エネルギー保存の使い方にまとめてあります。

設定の広がり

2本の棒がレール上にある問題(最難関編のレール上の2本の棒)では、起電力は2本の速さの差で決まり、2本が受ける力は作用反作用なので運動量が保存され、最終的に共通の速さになります。「電磁的な完全非弾性衝突」と呼べる構造で、運動量保存則がここで再登場します。

磁場の領域に出入りするコイル(最難関編の磁場の領域を落ちるコイル)では、境界をまたぐ間だけ制動がはたらき、完全に入ってしまうと磁束が変化しないので自由落下に戻ります。「磁束が変化しているか」を確かめる習慣が、この型の急所です。

回転する棒(最難関編の回転する棒に生じる起電力)は、場所によって速さが違うので $v B L$ をそのまま当てはめられず、平均の速さ(中点の速さ)か、掃く面積で計算します。

つまずきやすいところ

最も多い誤りは、段3の力の向きを取り違えることです。「必ず運動を妨げる向き」と覚え、フレミングの左手の法則で確かめてください。次に、棒自身の抵抗を回路の抵抗に入れ忘れることです。3つ目は、終端速度を「運動方程式で $a = 0$ 」とせずに、エネルギーだけで出そうとして、仕事率と電力の対応を取り違えることです。両方のルートで解いて一致させるのが、この型の検算です。