エネルギー保存の使い方 — 帳簿として書き、運動量保存と使い分ける

文: KOSNiZ·最終更新: 2026年9月6日

エネルギー保存は、物理基礎から物理まで、力学のあらゆる場面で使う道具です。運動方程式で解けない曲面上の運動や、ばねと斜面の組合せが、エネルギーの収支を書くだけで解けます。ただ、「いつ使えるか」「摩擦があるときどう書くか」「運動量保存とどう使い分けるか」で迷う人が多い道具でもあります。この記事では、エネルギー保存を「帳簿」として書く方法と、使いどころの判断を説明します。

帳簿として書く

エネルギー保存の式は、「最初の状態のエネルギーの合計 + 途中でされた仕事 = あとの状態のエネルギーの合計」です。運動エネルギー $\frac{1}{2} m v^{2}$ 、重力の位置エネルギー $m g h$ 、弾性エネルギー $\frac{1}{2} k x^{2}$ の3つを、最初と後の2つの状態で表にします。

摩擦などの非保存力がなければ、合計は変わりません(力学的エネルギー保存)。摩擦があれば、「最初の合計 − 摩擦がした仕事の大きさ = あとの合計」です。摩擦の仕事は $μ^{'} N \times (距離)$ で、減った分は熱になります。

このサイトの仕事と力学的エネルギーでは、この帳簿を「エネルギー棒グラフ」として図にしてあります。状態ごとに位置・運動・弾性・熱を積み上げた棒を並べ、保存されていれば棒の高さが等しくなります。式を立てる前に、この棒グラフを頭に描いてください。

いつ使えるか

エネルギー保存が使えるのは、「途中の時間や力の大きさが不要で、高さや速さの変化だけを問われている」ときです。曲面上を滑る物体の速さ、振り子の最下点の速さ、ばねで打ち出された物体の到達高さ、これらは運動方程式では解きにくく(加速度が場所で変わる)、エネルギー保存なら1本の式です。

逆に、時刻や加速度を問われたら運動方程式、衝突や分裂の瞬間の速度を問われたら運動量保存です。「何を問われているか」で道具を選ぶ、という判断を、物理の勉強法の「力学の3本柱」の節にまとめてあります。

基準と符号

位置エネルギーの基準(高さ0の位置)は、最初に1か所決めて、最後まで動かしません。基準より下は負の位置エネルギーです。基準を途中で変えるのが、最も多い失点です。

弾性エネルギーの $x$ は、自然長からの伸び(縮み)で、ばねの長さではありません。鉛直ばねでは、つり合いの位置と自然長が違うので、「自然長・つり合いの位置・端」の3点を数直線に書いてから式を立ててください。

摩擦の仕事は、必ず負(エネルギーを減らす)です。「最初 − 摩擦 = あと」と、引く向きを固定すると符号で迷いません。

運動量保存との使い分け

衝突・分裂の瞬間は、運動量は保存されますが、運動エネルギーは( $e < 1$ なら)減ります。逆に、衝突以外の区間(斜面・振り子)では、運動量は変わりますが力学的エネルギーは保存されます。「衝突の瞬間は運動量、それ以外の区間はエネルギー」という幕分けが急所です。

弾道振り子(弾丸が木片に食い込んで振り上がる)は、この幕分けの代表です。衝突は運動量保存、振り上がりはエネルギー保存で、2本の式を順につなぎます。運動量と力積の応用「弾道振り子」と、単振動の応用「弾丸の衝突とばね振動」で、この2幕構成を体に入れてください。

エネルギー保存が広がる場面

円運動では、鉛直面内の円運動の速さをエネルギー保存で求め、張力や垂直抗力を運動方程式で求める、という2段構えになります。単振動では、 $\frac{1}{2} k A^{2}$ が一定であることから、途中の速さ $v = ω A^{2} - x^{2}$ が出ます。万有引力では、位置エネルギーを $- G \frac{M m}{r}$ という「井戸」として扱い、脱出速度 $2 g R$ を求めます。

電磁気でも同じ考え方が使えます。電場中の荷電粒子は $q V$ を位置エネルギーとして加速され、コンデンサーの極板操作では「電池の仕事 + 外力の仕事 = 静電エネルギーの増加 + 熱」の帳簿を書きます。電場と電位の記事の「エネルギーの4つの帳簿」の節を参照してください。熱力学の第1法則 $Q = Δ U + W$ も、熱と仕事と内部エネルギーの帳簿です。

つまずきやすいところ

最も多い誤りは、「運動量が保存されるならエネルギーも保存される」という思い込みです。非弾性衝突では運動エネルギーが減ります。次に、摩擦のある往復運動で、上りと下りの摩擦の仕事を1回分しか引かないことです。往復なら2回分です。3つ目は、垂直抗力が仕事をすると思うことです。垂直抗力は運動の向きと垂直なので、仕事をしません(だから曲面上の運動でエネルギー保存が使えます)。