運動方程式の立て方(物体の選び方・向き・力の描き方)

文: KOSNiZ·最終更新: 2026年9月6日

運動方程式 $ma = F$ は力学のほとんどの問題で最初に立てる式です。式そのものは1行ですが、「どの物体について」「どの向きを正にして」「どの力を入れるか」で失点が起きます。とくに、糸でつながれた2物体、滑車、斜面、接触した2物体のように、物体が複数あるときに手が止まる人が多いです。立てる手順を毎回同じにしておけば、物体が複数あっても同じように連立できます。

手順1: 物体を1つ選ぶ

運動方程式は物体1つにつき1本(方向ごとに1本)です。複数の物体があるときは、「まずどの物体について立てるか」を決めて、その物体だけを見ます。他の物体にはたらく力を同じ図に混ぜないのが原則です。

手順2: 正の向きを決めて図に書く

運動の向き(動きそうな向き)を正にとります。斜面なら「斜面に沿って上向き」か「下向き」、鉛直なら「上向き」か「下向き」を、図に矢印で書き込んでください。符号の間違いは正の向きを決めずに式を立てたときによく起こります。

手順3: その物体にはたらく力を全部描く

「触れているものから受ける力」(垂直抗力・張力・弾性力・摩擦力)を先に、離れていてもはたらく重力を最後に描きます。この順序で描けば、見落としが起きにくくなるからです。力を1本でも見落とすと、その後の計算は必ず間違えます。力と運動の法則は全32問に力の図を付けてあるので、手本にしてください。

手順4: 運動の方向とそれに垂直な方向に分けて式を立てる

運動の方向には $ma =$ (力の成分の和)、垂直な方向には $0 =$ (力の成分の和)(つり合い)です。斜面上の物体なら、重力を $m g sin θ$ (斜面方向)と $m g cos θ$ (垂直方向)に分解します。垂直方向のつり合いから垂直抗力が決まり、それを使って摩擦力 $μ N$ が決まり、運動方向の式に入る、という順序です。

手順5: 複数の物体の式を連立する

2物体が糸でつながれていれば、加速度の大きさが共通で、糸の張力が両端で等しい(糸が軽ければ)、という2つの条件で式どうしをつなぎます。物体ごとに式を立てて、共通の $a$ と $T$ で連立します。力と運動の法則の標準「糸でつながれた2物体を引く」「定滑車でつながれた2物体」、応用「机の端の滑車で吊る」の順に進んでください。

接触した2物体を押す問題(応用の接触した2物体を押す)では、2物体の間の接触力が作用反作用で、大きさが等しく向きが逆です。「一体とみて全体の加速度を求め、次に片方だけを見て接触力を求める」という2段階で解くのがふつうです。

動滑車があるときは、動滑車につながれた物体の移動距離が、引く側の半分になる(加速度も半分)、という幾何的な条件が加わります。

「一体とみる」と「分けてみる」

複数の物体が同じ加速度で動くなら、全体を1つの物体とみて運動方程式を立てると、内力(張力・接触力)が消えて、加速度がすぐに求まります。内力を知りたいときだけ、そのあと片方の物体を分けて式を立てれば十分です。この「まず一体、次に分ける」の順序で、連立の手間が減ります。ただし、2物体の加速度が違う場合(片方が滑る、動滑車がある)は、最初から分けて立てる必要があります。

立てたあとの検算

運動方程式を解いたら、単位が合っているか(加速度なら $m/ s^{2}$ )、極限で直感どおりの値になるか(摩擦係数を0にしたとき、質量を等しくしたとき、角度を0にしたとき)、符号が状況と合っているか(答えの加速度が負なら、仮定した正の向きと逆に動くという意味です)の3つで検算してください。この3つの確かめ方は物理の単位と有効数字にまとめてあります。

運動方程式が広がる場面

円運動では加速度に $\frac{v ^{2}}{r}$ を入れて、中心方向の力の和と等しいとおきます。単振動では復元力 $- K x$ を入れて $ma = - K x$ です。電磁気の導体棒では、電流が受ける力 $I B L$ を入れます。どれも「手順1〜5」は同じで、入れる力が変わるだけです。物理の勉強法の「力学の3本柱」の節に、運動方程式・運動量保存・エネルギー保存の使い分けをまとめてあります。

つまずきやすいところ

よくあるのは、静止摩擦力を最初から $μ N$ としてしまう誤りです。静止摩擦力は「動かないように必要なだけ」はたらく力で、大きさはつり合いから決まります。 $μ N$ は最大値です。作用反作用とつり合いを混同する人も多く、机の上の本の重力と垂直抗力はつり合いで、作用反作用ではありません。斜面の角度で、どちらの成分が $sin$ でどちらが $cos$ かを取り違えたときは、直角三角形の相似で確かめてください。物理のつまずきマップに、症状別の戻り先があります。