すべての実数で成り立つ条件(恒等式と絶対不等式)

文: KOSNiZ·最終更新: 2026年11月9日

「すべての実数 $x$ について成り立つ」という条件は、等式についての問題か不等式についての問題かで解き方が異なります。等式なら恒等式として係数を比較し、不等式なら関数の最小値や判別式で条件を立てます。どちらの問題も $x$ を変数、$a,b,k$ などの文字を定数として扱う点は共通です。

等式なら恒等式: 係数を比較する

$x$ の多項式の等式がすべての $x$ で成り立つなら、両辺の同じ次数の係数はそれぞれ等しくなります。たとえば、$(a+b)x+(a-2b-3)=0$ がすべての実数 $x$ で成り立つ条件は、$x$ の係数と定数項がどちらも $0$ になることです。

$$a+b=0,a-2b-3=0$$

これを解いて $a=1$、$b=-1$ です。

係数比較の代わりに、$x$ に具体的な値を代入して条件を導く方法(数値代入法)もあります。$x=0$ と $x=1$ を代入すると $a-2b-3=0$、$2a-b-3=0$ となり、同じ解が得られます。ただし、数値代入で得られるのは必要条件です。求めた値を元の式に代入して、すべての $x$ で成り立つことを確認してから結論にしてください。$n$ 次以下の式なら、異なる $n+1$ 個の値で成り立てば恒等式になるので、代入した値の個数で十分性を説明することもできます。

恒等式は式と証明の恒等式と係数比較と、難関の数値代入による恒等式の係数決定で練習できます。

不等式なら絶対不等式: 判別式と2次の係数

2次不等式 $a{x}^2+bx+c>0$ がすべての実数 $x$ で成り立つ条件は、放物線 $y=a{x}^2+bx+c$ が常に $x$ 軸より上にあることです。下に凸($a>0$)で、$x$ 軸と共有点をもたない(判別式 $D<0$)ことが条件になります。

注意が必要なのは、2次の係数が文字を含む場合です。$k{x}^2+(k+1)x+k>0$ がすべての実数 $x$ で成り立つような定数 $k$ の範囲を求めます。

$k=0$ のとき、不等式は $x>0$ となり、すべての $x$ では成り立ちません。$k\ne 0$ のとき、条件は $k>0$ かつ $D=(k+1{)}^2-4k^2<0$ です。$D=(1-k)(3k+1)$ と因数分解できるので、$D<0$ は $k<-\frac{1}{3}$ または $k>1$ となります。$k>0$ との共通部分をとって、求める範囲は $k>1$ です。

最初の $k=0$ の確認を省くと、2次式でない場合を見落とします。2次の係数に文字があるときは、その係数が $0$ になる場合を先に確認してください。2次方程式・2次不等式の絶対不等式(すべての実数で成り立つ条件)と、標準・難関の同じ型の問題がこの練習になります。

範囲が限られているときは最小値で考える

「$0\le x\le 2$ のすべての $x$ で成り立つ」のように範囲が限られると、判別式は使用できません。放物線が範囲の外で $x$ 軸と交わっても、範囲内で正なら条件を満たすからです。この場合は、範囲内の最小値が正であることを条件にします。

$f(x)=x^2-2ax+4>0$ が $0\le x\le 2$ で常に成り立つ $a$ の範囲を考えます。軸は $x=a$ で、軸の位置によって最小値が異なります。

• $a<0$ のとき、最小値は $f(0)=4$ で、常に正です。
• $0\le a\le 2$ のとき、最小値は $f(a)=4-a^2$ で、$4-a^2>0$ から $-2<a<2$、場合の条件との共通部分は $0\le a<2$ です。
• $a>2$ のとき、最小値は $f(2)=8-4a$ で、$8-4a>0$ から $a<2$ となり、条件を満たす $a$ はありません。

3つの場合を総合して、求める範囲は $a<2$ です。軸の位置による場合分けは2次関数のグラフと最大・最小と同じ手順で、答案の形式は場合分けの考え方と答案の書き方に整理してあります。

2次式でないときは微分で最小値を求める

不等式が3次式や指数関数を含む場合も、考え方は同じです。$f(x)\ge 0$ がすべての $x$ で成り立つことは、$f(x)$ の最小値が $0$ 以上であることと同値なので、微分して増減を確認し、最小値を求めます。最難関編のすべての実数で成り立つ不等式は、微分の考えでこの手順を用いる問題です。

文字定数を分離できるなら、定数分離で「$a\le g(x)$ がすべての $x$ で成り立つ $⟺$ $a$ は $g(x)$ の最小値以下」と言い換える方法も有効です。

「すべての $x$」と「ある $x$」の違い

「すべての $x$ で $f(x)>0$」は最小値が正、「ある $x$ で $f(x)>0$」(少なくとも1つの $x$ で成り立つ)は最大値が正であることが条件です。問題文の「常に」「任意の」は前者、「少なくとも1つ」「ある」「〜となる $x$ が存在する」は後者を表します。

2次不等式 $a{x}^2+bx+c>0$ がある $x$ で成り立つ条件は、$a>0$ ならいつでも成り立ち、$a<0$ なら $D>0$ です。「すべての $x$」の条件と混同すると判別式の不等号が反対になるので、最初に問題文がどちらの意味かを確認してください。

つまずきやすいところ

恒等式の問題では、数値代入法で値を求めたあと十分性の確認を省く誤りがよくあります。絶対不等式では、2次の係数が $0$ になる場合の確認漏れと、範囲つきの問題に判別式を用いる誤りが典型です。$\ge$ と $>$ の違いで、$D\le 0$ と $D<0$ のどちらになるかも区別してください。

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