2次方程式・2次不等式 ★ 基礎の問題 全12問

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $2$ 次方程式は、まず因数分解できないかを疑う。できれば解の公式よりずっと速い。

因数分解の後に使う原理は $1$ つだけだ。$AB=0$ ならば $A=0$ または $B=0$

(2)の $x^2=4x$ は、両辺を $x$ で割ってはいけない。割ると $x=0$ という解が消える。必ず $x^2-4x=0$ と移項し、$x(x-4)=0$ と因数分解する。両辺を割ってしまうのが、いちばん多い間違いである。

(1) $x^2+7x+10$ を因数分解。かけて10・たして7の2数は2と5。

$$(x+2)(x+5)=0$$

積が0なので、$x+2=0$ か $x+5=0$。よって $x=-2,-5$。

(2) $x^2=4x$ は、まず右辺を左に移して $=0$ の形にする。

$$x^2-4x=0$$

共通因数 $x$ でくくる。

$$x(x-4)=0$$

$x=0$ か $x-4=0$。よって $x=0,4$。(両辺を $x$ で割って $x=4$ だけにしないこと。$x=0$ の解が消えてしまう。)

(3) $2x^2-5x-3$ をたすき掛けで因数分解する。

$$2x^2-5x-3=(2x+1)(x-3)$$

よって $(2x+1)(x-3)=0$ から $2x+1=0$ か $x-3=0$、$x=-\frac{1}{2},3$。

まとめ:2次方程式はまず因数分解を試す。『積が0 → 各因数が0』が解法の芯。(2)で両辺を $x$ で割らない(解を落とす)ことに注意。

発展。 「$x$ で割ってはいけない」理由を、論理の言葉で言い直すとこうなる。割り算は「$0$ で割らない」という条件つきの操作だからだ。$x^2=4x$ の両辺を $x$ で割るとき、暗黙に $x\ne 0$ を仮定している。だから $x=0$ が答えの候補から消えてしまう。

正しい手順は「移項して $=0$ の形にし、因数分解する」ことだ。これなら $0$ で割る危険が原理的にない。方程式を解くときは必ず $=0$ の形に集めてから、が原則である。この教訓は $3$ 次方程式でも、分数方程式でも変わらない。

別解

出した解が正しいかは、解と係数の関係で $10$ 秒チェックできる。$x^2+bx+c=0$ の $2$ 解を $\alpha ,\beta$ とすると

$$\alpha +\beta =-b,\alpha \beta =c$$

和は $x$ の係数の符号を変えたもの、積は定数項になる。因数分解 $(x-\alpha )(x-\beta )=x^2-(\alpha +\beta )x+\alpha \beta$ を展開すれば当たり前だ。

(1) $x^2+7x+10=0$、解 $-2,-5$:

• 和: $-2+(-5)=-7$($x$ の係数 $7$ の符号を変えたもの)
• 積: $(-2)\times (-5)=10$(定数項)

どちらも合っている。符号ミスがあれば、この $2$ 行で必ず見つかる。$x^2$ の係数が $1$ でない(3)では、$a{x}^2+bx+c=0$ に対し

$$\alpha +\beta =-\frac{b}{a},\alpha \beta =\frac{c}{a}$$

解 $-\frac{1}{2},3$ で確かめると、和 $=\frac{5}{2}=-\frac{-5}{2}$、積 $=-\frac{3}{2}=\frac{-3}{2}$。

因数分解の $2$ 数探しと、解と係数の関係は、同じことの裏表。「かけて $10$、たして $7$」で $2$ 数を探す作業は、解の和と積を先に知っていることと同じだ。だから検算にも使える。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 因数分解できないときは、最後の手段として解の公式を使う。

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

代入するだけだが、ミスは決まった場所で起きる。

• $-4ac$ の符号: $c$ が負なら $-4ac$ はプラスになる(引き算でなく足し算)
• $2a$ で割る範囲: 分子全体を割る($-b$ だけでなく根号の項も)

(1)の $c=-5$ なら $b^2-4ac=9+20=29$ となる。マイナスとマイナスで足し算になる。

解の公式を使う。

(1) $a=1,b=3,c=-5$。

$$x=\frac{-3\pm \sqrt{3^2-4\cdot 1\cdot (-5)}}{2\cdot 1}=\frac{-3\pm \sqrt{9+20}}{2}=\frac{-3\pm \sqrt{29}}{2}$$

$-4\cdot 1\cdot (-5)=+20$ の符号に注意($c$ が負なので中が足し算になる)。

(2) $a=1,b=-6,c=4$。$b$ が偶数なので、少し簡単な形になる。

$$x=\frac{-(-3)\pm \sqrt{(-3{)}^2-1\cdot 4}}{1}=3\pm \sqrt{9-4}=3\pm \sqrt{5}$$

(これは $b=2b^{\prime }$ のときの公式 $x=\frac{-b^{\prime }\pm \sqrt{b^{\prime 2}-ac}}{a}$($b^{\prime }=-3$)を使った形。ふつうの公式でも同じ $3\pm \sqrt{5}$ になる。)

(3) $a=2,b=7,c=4$。

$$x=\frac{-7\pm \sqrt{7^2-4\cdot 2\cdot 4}}{2\cdot 2}=\frac{-7\pm \sqrt{49-32}}{4}=\frac{-7\pm \sqrt{17}}{4}$$

まとめ:解の公式は $a,b,c$ を正確に代入し、$b^2-4ac$ の中を1つずつ計算する。$c$ が負のときの符号(足し算になる)に特に注意。

発展。 解の公式は平方完成から導かれる。$a{x}^2+bx+c=0$ を $a$ で割って平方完成すると

$${\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$$

両辺の平方根をとれば公式が出る。根号の中の $b^2-4ac$(判別式)は、右辺の分子にある。この値が負なら平方根がとれず、実数解が存在しない、という次の問題の話につながる。

公式の $-\frac{b}{2a}$ の部分は $2$ 次関数の軸の位置そのもの。$2$ 解は「軸から $\pm \frac{\sqrt{D}}{2a}$ だけ離れた $2$ 点」だ。解は軸について対称という図形的事実が、公式の形に表れている。

別解

$b$ が偶数のときは、根号の中が小さくなる簡易版の公式が使える。計算量がはっきり減る。$a{x}^2+2b^{\prime }x+c=0$($x$ の係数が $2b^{\prime }$ と偶数)のとき

$$x=\frac{-b^{\prime }\pm \sqrt{b^{\prime 2}-ac}}{a}$$

($b^{\prime }=\frac{b}{2}$。$4$ で約分した形だ。)

(2) $x^2-6x+4=0$: $b=-6$ は偶数なので $b^{\prime }=-3$。

$$x=\frac{3\pm \sqrt{9-4}}{1}=3\pm \sqrt{5}$$

根号の中が $5$ になる($\sqrt{20}$ ではない)。約分の手間なしで、既約な形が直接出る。通常の公式で解くと $x=\frac{6\pm \sqrt{36-16}}{2}=\frac{6\pm \sqrt{20}}{2}=\frac{6\pm 2\sqrt{5}}{2}=3\pm \sqrt{5}$ となり、$\sqrt{20}=2\sqrt{5}$ の変形と約分が要る。$2$ 手間多い。

$b^{\prime 2}-ac$ の部分は「$\frac{D}{4}$」と呼ばれ、判別式の代わりにそのまま符号判定に使える。$x$ の係数が偶数なら $D/4$ を使う。これを習慣にすると、この後の判別式・解の配置の計算がずっと軽くなる。

検算はやはり解と係数の関係で。$(3+\sqrt{5})+(3-\sqrt{5})=6$、$(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})=9-5=4$。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 解を求めずに、個数だけを知りたい。そのための道具が判別式だ。

$$D=b^2-4ac$$

これは解の公式の根号の中身。根号の中が正なら $\pm$ で $2$ 解、$0$ なら $1$ 解(重解)、負なら平方根がとれず実数解なし。

• $D>0$ → $2$ 個
• $D=0$ → $1$ 個(重解)
• $D<0$ → $0$ 個

計算するのは $D$ の符号だけで、値そのものは要らない。

実数解の個数は判別式 $D=b^2-4ac$ の符号で決まる。

(1) $a=1,b=3,c=1$。

$$D=3^2-4\cdot 1\cdot 1=9-4=5>0$$

$D>0$ なので実数解は2個。

(2) $a=4,b=-12,c=9$。

$$D=(-12{)}^2-4\cdot 4\cdot 9=144-144=0$$

$D=0$ なので1個(重解)。

(3) $a=2,b=-3,c=4$。

$$D=(-3{)}^2-4\cdot 2\cdot 4=9-32=-23<0$$

$D<0$ なので0個(実数解なし)。

まとめ:$D$ の符号を見るだけで、方程式を解かずに解の個数がわかる。$D=b^2-4ac$ の計算(特に符号)を正確に。

発展。 (2)の $4x^2-12x+9=(2x-3{)}^2$ のように、$D=0$ の方程式は必ず完全平方の形になる。「$D=0$ ⟺ 完全平方」は因数分解できるかの判定にも使える。

$D<0$ でも「解がない」わけではない。数IIで虚数を学ぶと、$D<0$ の方程式にも $2$ 個の解(共役な複素数解)があることが分かる。今は「実数の範囲では解なし」と正確に言う必要がある。考える数の範囲を広げると、解の個数の答えが変わる。数学の答えは「どの範囲で考えるか」によって変わることがある。

別解

判別式の意味はグラフと $x$ 軸の交わり方を見れば絵になる。$y=a{x}^2+bx+c$ の放物線と、$x$ 軸($y=0$)の交点の個数が、実数解の個数だ。

• $D>0$: 放物線が $x$ 軸を突き抜ける → 交点 $2$ 個
• $D=0$: 放物線が $x$ 軸に接する → 交点 $1$ 個(重解)
• $D<0$: 放物線が $x$ 軸に届かない(浮いているか沈んでいる)→ 交点 $0$ 個

(3)の $y=2x^2-3x+4$ を平方完成すると

$$y=2{\left(x-\frac{3}{4}\right)}^2+\frac{23}{8}$$

頂点の $y$ 座標が $\frac{23}{8}>0$ で下に凸なので、谷底が $x$ 軸より上に浮いている。だから $x$ 軸と交わらず、解なし。$D=9-32<0$ という計算と、完全に同じことを言っている。

$D<0$ の意味は「$y$ の値が常に同じ符号になる($0$ にならない)」ということ。この事実は次の $2$ 次不等式($x^2-4x+7>0$ が常に成立、など)で直接使う。

判別式から「解の個数」だけでなく「グラフの高さ」も分かる。この読みかえができると、$2$ 次の問題の見通しが一段よくなる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 「実数解をもつ条件」を判別式の不等式に書き直す。

(1)「実数解をもつ」は「$2$ 個または $1$ 個」なので、$D\geqq 0$ だ($D>0$ ではない。重解も実数解だ)。

$$D=36-4m\geqq 0⟹m\leqq 9$$

(2)「重解をもつ」は $D=0$ ちょうど。$D=m^2-4m=0$ から $m=0,4$。

条件の日本語を $D$ の不等号(または等号)で正確に表す。この型でやることはそれだけである。

(1) $x^2+6x+m=0$ が実数解をもつ条件は $D\ge 0$。$a=1,b=6,c=m$ なので

$$D=6^2-4\cdot 1\cdot m=36-4m$$

$D\ge 0$ より

$$36-4m\ge 0$$

これを解くと $4m\le 36$、$m\le 9$。

(2) $x^2-mx+m=0$ が重解をもつ条件は $D=0$。$a=1,b=-m,c=m$ なので

$$D=(-m{)}^2-4\cdot 1\cdot m=m^2-4m$$

$D=0$ より

$$m^2-4m=0m(m-4)=0$$

よって $m=0$ または $m=4$。($m=0$ のとき方程式は $x^2=0$ で重解 $x=0$、$m=4$ のとき $x^2-4x+4=(x-2{)}^2=0$ で重解 $x=2$。)

まとめ:『実数解をもつ』は $D\ge 0$、『重解』は $D=0$。判別式を $m$ の式にして、条件を $m$ の不等式・方程式に書き直すのがコツだ。

発展。 条件の日本語と $D$ の対応を、表にして頭に入れておきたい。

「実数解をもつ」と「異なる $2$ つの実数解をもつ」の違い(等号の有無)が、最頻の減点ポイント。問題文を $1$ 語ずつ読む習慣が要る。

$D$ が $m$ の式になったとき、$D\geqq 0$ という不等式は $m$ についての $1$ 次不等式や $2$ 次不等式になる。(2)の $m^2-4m=0$ は $m$ の $2$ 次方程式。$x$ の $2$ 次方程式を調べるために、$m$ の方程式を解く。このように調べる文字を入れかえるのが、文字係数の問題の基本的な考え方である。

別解

(2)で重解の値を求めるとき、方程式に代入し直す必要はない。軸の位置が答えだ。$D=0$(接する)とき、接点はちょうど放物線の軸の真下にある。だから重解は

$$x=-\frac{b}{2a}$$

この問題では $a=1,b=-m$ なので、重解は $x=\frac{m}{2}$。

• $m=0$ のとき、重解 $x=0$
• $m=4$ のとき、重解 $x=2$

$m$ を代入して方程式を解き直す手間がいらない。公式 $-\frac{b}{2a}$ に $m$ を入れるだけだ。検算しておこう。$m=4$ なら方程式は $x^2-4x+4=(x-2{)}^2=0$ で、確かに重解 $x=2$。

なぜ重解が軸の位置になるのか。解の公式 $x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$ で $D=0$ とすれば、$\pm$ の部分が消えて $x=-\frac{b}{2a}$ だけが残るからだ。$2$ 解が軸の左右に $\pm$ で開いていたのが、$D=0$ で軸の $1$ 点に重なった。それが「重解」という言葉の意味だ。

$D$ と軸と解の関係を、$1$ つの絵として持っておくと、この後の解の配置問題が楽になる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 「グラフと $x$ 軸の共有点」は、$y=0$ とおいた方程式の実数解そのもの。

$$\text{共有点の個数}=\text{方程式}a{x}^2+bx+c=0\text{の実数解の個数}$$

だから判別式で個数を判定し、解があればその値が共有点の $x$ 座標になる。座標を答えるときに注意する。共有点は $x$ 軸上の点だから、$y$ 座標は必ず $0$ だ。$(-2,0)$ のように、$y$ 座標の $0$ を必ず書く。

$x$ 軸との共有点は $y=0$ とおいた2次方程式の解。

(1)

$x^2-2x-8=0$ を解く。

$$x^2-2x-8=0(x+2)(x-4)=0$$

$x=-2,4$ の2解。だから共有点は2個で、$(-2,0)$、$(4,0)$。

(2)

$x^2-6x+9=0$ を解く。

$$x^2-6x+9=0(x-3{)}^2=0$$

$x=3$ の重解。共有点は1個で $(3,0)$(放物線が $x$ 軸に接する)。

(3)

$x^2-4x+6=0$ の判別式を見る。

$$D=4^2-4\cdot 1\cdot 6=16-24=-8<0$$

$D<0$ なので実数解なし。共有点は0個(放物線が $x$ 軸より上にある)。

まとめ:共有点の個数は『$y=0$ の2次方程式の実数解の個数』。$D>0$ で2個(交わる)、$D=0$ で1個(接する)、$D<0$ で0個(交わらない)、と対応する。

発展。 (2)の「接する」($D=0$)は、$2$ つの交点が重なった状態と読める。$y=x^2-6x+9=(x-3{)}^2$ のグラフを少し下げれば($y=(x-3{)}^2-1$ など)交点が $2$ つに割れ、少し上げれば $0$ になる。接するのは、$2$ 個と $0$ 個の境目の瞬間だ。

「グラフと $x$ 軸の位置関係」は、次の $2$ 次不等式の解法そのものになる。$x^2-2x-8<0$ の解は「$y=x^2-2x-8$ のグラフが $x$ 軸より下にある $x$ の範囲」で、共有点 $-2,4$ の間だ。方程式で交点を求め、不等式で範囲を読む。この $2$ 段が $2$ 次不等式の基本の手順である。

別解

(3)で「共有点なし」となる理由を、平方完成の絵で確かめておこう。判別式の計算とは独立の検証になる。

$$y=x^2+4x+6=(x+2{)}^2+2$$

頂点は $(-2,2)$ で、$x^2$ の係数が正だから下に凸。つまり、この放物線のいちばん低い点でも $y=2$ で、$x$ 軸($y=0$)より $2$ だけ浮いている。どこまで行っても $x$ 軸に届かない。

$$y=(x+2{)}^2+2\geqq 2>0$$

$y$ は常に正なので、$y=0$ になる $x$ は存在しない。共有点 $0$ 個だ。判別式 $D=16-24=-8<0$ と同じ結論だが、平方完成の方法なら「なぜ交わらないのか」まで説明できる。

この見方は $3$ つの場合すべてに使える。

• (1) 頂点の $y$ 座標がマイナス → 谷底が $x$ 軸より下 → 突き抜けて $2$ 交点
• (2) 頂点の $y$ 座標がゼロ → 谷底がちょうど $x$ 軸 → 接して $1$ 点
• (3) 頂点の $y$ 座標がプラス → 谷底が浮いている → $0$ 点

「判別式の符号」と「頂点の高さの符号」は同じことを言っている(下に凸のとき、$D$ と頂点の $y$ 座標は符号が逆)。$2$ つの道具の関係を押さえておくと、次の $2$ 次不等式で「常に正」を判定するときに強い。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $2$ 次不等式は、グラフのどこが $x$ 軸より上(下)かを読む問題だ。

手順は $3$ 段。

1. $=0$ とおいて解く(因数分解で交点を求める)
2. グラフの概形(下に凸か上に凸か)を描く
3. 不等号に合う範囲を読む($<0$ なら $x$ 軸より下、$>0$ なら上)

下に凸なら「$<0$ は $2$ 解の間、$>0$ は外側」。(3)のように $x^2$ の係数が負なら、まず $-1$ 倍して正にする(不等号の向きが反転)。

(1)

$x^2-x-12<0$。因数分解すると $(x+3)(x-4)$ で、交点は $x=-3,4$。

$$(x+3)(x-4)<0$$

下に凸の放物線で、$y<0$(負)になるのは2交点の内側。

$$-3<x<4$$

(2)

$x^2+2x-15\ge 0$。交点は $x=-5,3$。

$$(x+5)(x-3)\ge 0$$

$y\ge 0$(0以上)になるのは2交点の外側(交点も含む)。

$$x\le -5,3\le x$$

(3)

$-x^2+5x-4>0$ は $x^2$ の係数が負。両辺に $-1$ をかけて(不等号の向きが逆になる)$x^2-5x+4<0$ にする。

$$x^2-5x+4<0$$

因数分解すると

$$(x-1)(x-4)<0$$

$y<0$ は交点 $x=1,4$ の内側。

$$1<x<4$$

まとめ:2次不等式は『$=0$ で交点を求め、放物線を見て正・負の範囲を読む』。$<0$ は内側(間)、$>0$ は外側(2つ)。$x^2$ の係数が負なら、先に $-1$ をかけて向きを直す。

発展。 「$<0$ は間、$>0$ は外」という覚え方は、下に凸のとき限定だ。上に凸(3)なら逆になる。だから $-1$ 倍して下に凸に揃えるのが安全だ。$-1$ 倍で不等号が反転することを忘れなければ、常に「間か外か」の $1$ つのルールで済む。

$2$ 次不等式は、$2$ 次関数のグラフの知識がそのまま使われる場面だ。方程式は「点」を、不等式は「範囲」を求める。この対比は $1$ 次でも $3$ 次でも同じ形で、「方程式を解いてから、不等式の範囲を読む」という $2$ 段構えは、あらゆる不等式の基本形である。

別解

グラフを描かず、因数の符号表で機械的に解く方法もある。$x^2-x-12=(x+3)(x-4)$ の符号を、$x$ の値ごとに調べる。$2$ つの因数が符号を変えるのは $x=-3$ と $x=4$ だ。この $2$ 点で数直線を $3$ 区間に割る。

$<0$(積が負)になるのは真ん中の区間なので、答えは $-3<x<4$。表の「$+-+$」というパターンに注目したい。下に凸の放物線は必ず「正・負・正」の $3$ 区間に分かれる。グラフの絵と表が完全に一致する。

この符号表の強みは、$3$ 次以上でも同じ手順が使えること。$(x-1)(x-2)(x-3)>0$ のような $3$ 次不等式でも、$3$ 点で区間を割って各因数の符号を追えば、機械的に答えが出る(数IIで学ぶ)。

グラフ派か表派かは好みだが、「解の間か外か」を暗記するのではなく、符号を追って導く習慣をつけておくと、$x^2$ の係数が負のとき(上に凸)にも迷わない。表なら $-1$ 倍せずにそのまま処理できる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $D=0$ や $D<0$ のとき、$2$ 次不等式の答えは特殊な形になる。「範囲」ではなく「すべて」「解なし」「$1$ 点だけ」だ。

平方完成して、$y$ の値がどこにあるかを見るのが確実。

• (1) $(x-4{)}^2>0$ では、$2$ 乗は $0$ 以上だ。$0$ になるのは $x=4$ のときだけなので、それ以外のすべて
• (3) $(x-2{)}^2+3>0$ では、左辺は最小でも $3$ だ。常に成立するので、すべての実数

「範囲が出ないと不安」になるが、「すべて」「なし」も立派な答えである。

(1)

$x^2-8x+16=(x-4{)}^2$ なので

$$(x-4{)}^2>0$$

2乗は0以上で、0になるのは $x=4$ のときだけ。$>0$(0より大きい)を満たすのは、$x=4$ 以外のすべての実数。

(2) $x^2+6x+9=(x+3{)}^2$ なので

$$(x+3{)}^2\le 0$$

2乗は0以上なので、$\le 0$(0以下)になるのは $=0$ のときだけ。

$$x=-3$$

(3)

平方完成すると

$$x^2-4x+7=(x-2{)}^2+3$$

$(x-2{)}^2\ge 0$ なので、これは必ず3以上、つまり必ず正。$>0$ はいつも成り立つので、答えはすべての実数。

(4) 平方完成すると

$$x^2+2x+5=(x+1{)}^2+4$$

これは必ず4以上で、必ず正。$\le 0$(0以下)になることはないので、解なし。

まとめ:$D\le 0$ の2次不等式は平方完成して『いつも正か・0になるのはどこか』を見る。答えが『◯以外のすべて』『すべての実数』『解なし』になるのが特徴だ。

発展。 (3)の「すべての実数で $x^2-4x+7>0$」は、絶対不等式と呼ばれる。「常に正」とは $D<0$ かつ下に凸という $2$ 条件のことだ。次の問題ではこの条件を逆に使って $m$ の範囲を求めることになる。

$D=0$ の場合の答え($x=-3$ のみ、$4$ 以外のすべて)は、「範囲」ではなく「点」で答えるという珍しい形。$2$ 次不等式の解が「$1$ 点」や「$1$ 点を除く全体」になることがある。この可能性を知らないと、答えが出せずに手が止まってしまう。答えの形が $5$ 通りある(範囲・外側・すべて・なし・$1$ 点)ことを、あらかじめ知っておくのが大事だ。

別解

$4$ 問の答えを、判別式と不等号の組み合わせ表で整理すると、丸暗記なしで導ける($x^2$ の係数が正の場合)。

(1) $x^2-8x+16>0$: $D=0$(重解 $4$)、不等号 $>$ → $4$ 以外のすべて

(2) $x^2+6x+9\leqq 0$: $D=0$(重解 $-3$)、不等号 $\leqq$ → $x=-3$ のみ

(3) $x^2-4x+7>0$: $D<0$、不等号 $>$ → すべての実数

(4) $x^2+2x+5<0$: $D<0$、不等号 $<$ → 解なし

表の $D=0$ の行がいちばん間違えやすい。$(x-4{)}^2>0$ は「$0$ より大きい」なので $x=4$($2$ 乗が $0$ になる)だけが除外される。「すべて」と答えると $x=4$ を含んでしまい誤りだ。等号の有無で答えが変わる、繊細な行である。

$D<0$ の行は「グラフが $x$ 軸に届かない」= $y$ の符号が一定ということだ。だから答えは「全部」か「なし」の $2$ 択にしかならない。グラフの絵を思い浮かべれば、表は覚えなくても再現できる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 連立不等式は「別々に解いて、重なりを取る」。$1$ 次のときと手順は同じだ。

$$x^2-4x-5<0⟹(x+1)(x-5)<0⟹-1<x<5$$

$$x^2-x-2\geqq 0⟹(x+1)(x-2)\geqq 0⟹x\leqq -1\text{または}2\leqq x$$

$2$ つを数直線に描いて、両方を満たす部分を読む。片方が「間」、もう片方が「外側 $2$ つ」なので、重なりを丁寧に拾うことが大事だ。

それぞれの2次不等式を別々に解く。

1つ目 $x^2-4x-5<0$ を因数分解すると

$$(x+1)(x-5)<0$$

$<0$ は内側なので $-1<x<5$。

2つ目 $x^2-x-2\ge 0$ を因数分解すると

$$(x+1)(x-2)\ge 0$$

$\ge 0$ は外側なので $x\le -1$ または $x\ge 2$。

共通部分 $-1<x<5$ と『$x\le -1$ または $x\ge 2$』の両方を満たす範囲を、数直線で読むと

$$2\le x<5$$

まとめ:連立2次不等式は『別々に解いて共通部分』。数直線に2つの範囲をかいて、重なりを丁寧に読むのがコツだ。

発展。 今回は $2$ 式の共通部分が $1$ つの区間になったが、$2$ つの離れた区間になることもある(たとえば①が「外側」、②も「外側」の場合)。数直線を描かずに勘で答えると、こういうケースで片方を落とす。必ず図か表で確認するのはそのためだ。

連立不等式の答えは「集合の共通部分($\cap$)」そのもの。集合と命題の単元で学んだ $\cap$ が、ここで具体的な計算として現れている。「$\cap$ は重なり、$\cup$ は合わせる」。記号と作業が一致していることを確かめておきたい。

別解

重なりの取りこぼしを防ぐには、境界点で数直線を区切って、区間ごとに $◯\times$ を書くのが確実だ。境界は $-1,2,5$ の $3$ 点。数直線が $4$ 区間に割れる。

両方が○になるのは $2\leqq x<5$ だけ

この表の利点は境界点の扱いが自動で決まること。$x=2$ は②に含まれ($\geqq$)、①にも入る($2<5$)から答えに含む。$x=5$ は①から外れる($<5$)ので含まない。$x=-1$ は①から外れるので除外する。迷うところはない。

検算は代入で。$x=3$: $9-12-5=-8<0$、$9-3-2=4\geqq 0$ で、両方満たす。$x=1$: $1-4-5=-8<0$ だが $1-1-2=-2<0$ で、②を満たさないので正しく除外されている。

境界点で区切って表を作る方法は、連立不等式・絶対値・場合分けのすべてで使える確実な手続きである。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 「すべての実数 $x$ で $>0$」とは、グラフが常に $x$ 軸より上にある、ということだ。

条件は $2$ つ。

1. 下に凸($x^2$ の係数が正)。今回は係数 $1$ で自動的に満たす
2. $x$ 軸と交わらない($D<0$)。谷底が浮いている

$$D=m^2-4(m+3)<0⟹m^2-4m-12<0$$

$D\leqq 0$ ではないことに注意。$D=0$ だと接してしまい、その接点で $y=0$ となって「$>0$」が破れる。

$x^2+mx+m+3>0$ が『すべての実数 $x$ で成り立つ』とは、下に凸の放物線が $x$ 軸より上に浮いていて、$x$ 軸と交わらないということ。

共有点0個の条件は

$$D<0$$

判別式 $D$ を計算する。$a=1,b=m,c=m+3$ なので

$$D=m^2-4(m+3)=m^2-4m-12$$

$D<0$ より

$$m^2-4m-12<0$$

左辺を因数分解する。

$$(m-6)(m+2)<0$$

$<0$ は内側なので

$$-2<m<6$$

まとめ:『すべての実数で $>0$』は『下に凸で $x$ 軸と交わらない』= $D<0$、と言い換える。$x^2$ の係数が正(下に凸)であることも確認する(ここでは1で正)。

発展。 この問題では $x^2$ の係数が $1$(正)と決まっていたが、係数にも文字が入る場合($a{x}^2+bx+c>0$ が常に成立する $a,b,c$ の条件)は、「$a>0$ かつ $D<0$」の $2$ 条件が要る。$a$ の符号を確認せずに $D$ だけ見ると、上に凸(常に負)の場合を見逃す。凸の向きの確認は必須の第 $1$ 手である。

「すべての $x$ で成り立つ」という条件を、判別式という $1$ つの数の符号に置き換える。こうして条件をひとつの数にまとめられるのが、$2$ 次関数の理論の便利なところだ。無限個の $x$ についての主張が $m$ についての $2$ 次不等式 $1$ 本に置き換わっている。

別解

「$D<0$ か $D\leqq 0$ か」は境界の $m$ を実際に試すとすぐに決着する。$D=m^2-4m-12=(m-6)(m+2)$ の境界は $m=6$ と $m=-2$。

$m=6$ を元の不等式に代入してみる。

$$x^2+6x+9=(x+3{)}^2>0$$

$x=-3$ のとき $(x+3{)}^2=0$ となり、$0$ は $0$ より大きくない。だから「すべての $x$ で $>0$」は破れる

$m=6$ は答えに含めてはいけない。つまり $D=0$ は除外で、条件は $D<0$ だと確定した。もし問題が「すべての $x$ で $\geqq 0$」なら、$m=6$ でも $(x+3{)}^2\geqq 0$ は成立するので、条件は $D\leqq 0$ になる。不等号に等号が入るかどうかが、$D$ の条件の等号と連動する。

$$\text{「常に}>0\text{」}⟺D<0,\text{「常に}\geqq 0\text{」}⟺D\leqq 0$$

範囲内の値でも確かめよう。$m=0$ なら $x^2+3>0$ で、確かに常に成立。

境界を代入して破れるか試す。この $1$ 分の作業が等号の有無という最頻の減点を確実に防ぐ。$m$ の範囲を求める問題では、必ず境界を吟味する習慣をつけたい。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 「$2$ つのグラフの共有点」は、連立して解く。$y$ を消去すれば $x$ の $2$ 次方程式になる。

(1) $x^2+2x-3=x+3$ を整理して

$$x^2+x-6=0$$

この方程式の実数解の個数がそのまま共有点の個数。判別式で判定してもいいし、因数分解できるなら解いてしまえばよい。$x$ が出たら、$y$ 座標も忘れずに求める。直線の式に代入するのが楽だ($1$ 次式なので計算が軽い)。

(1)

放物線 $y=x^2+2x-3$ と直線 $y=x+3$ を連立する。$y$ を消して

$$x^2+2x-3=x+3$$

整理して

$$x^2+x-6=0(x+3)(x-2)=0$$

$x=-3,2$ の2解。共有点は2個。$y$ は直線の式 $y=x+3$ に代入して、$x=-3$ で $y=0$、$x=2$ で $y=5$。座標は $(-3,0)$、$(2,5)$。

(2)

放物線 $y=x^2+4x+5$ と直線 $y=2x+4$ を連立する。

$$x^2+4x+5=2x+4$$

整理して

$$x^2+2x+1=0(x+1{)}^2=0$$

$x=-1$ の重解。共有点は1個(接する)。$y=2\times (-1)+4=2$。座標は $(-1,2)$。

まとめ:放物線と直線の共有点は『2式を連立してできる2次方程式の解』。個数は解の個数(判別式)、座標は $x$ を式に代入して $y$ を求める。

発展。 「接する」という関係は、数IIの接線の話につながる。「放物線に接する直線を求めよ」という問題は、直線 $y=mx+n$ とおいて連立し、$D=0$ となる条件を課す。これは今回の(2)の逆問題だ。$D=0$ は接線を特徴づける方程式である。

数IIIでは微分を使って接線を求めるようになるが、$2$ 次曲線に限れば $D=0$ の方が速いことも多い。「判別式で接線」は円と直線の接する条件(数II)でも同じ形で使われる。$2$ 次の式が出てくる問題で広く使える方法である。

別解

(2)の $D=0$ は「接する」ことを表す。この特別な関係を、絵と式の両面で押さえておこう。$x^2+4x+5=2x+4$ を整理すると

$$x^2+2x+1=(x+1{)}^2=0$$

完全平方になった。重解 $x=-1$ は「放物線と直線が $1$ 点で触れ合う」ことを意味する。直線は放物線の接線だ。

$D=0$ ⟺ 完全平方 ⟺ 接する。この $3$ つの言い方は同じ事実を表している。

接点の座標は $x=-1$ を直線に代入して $y=2(-1)+4=2$ → $(-1,2)$。放物線に代入しても $1-4+5=2$ となる。両方に代入して一致を確認すれば、計算ミスが捕まる(共有点なのだから、当然どちらでも同じ値になるはずだ)。

「$2$ 次方程式の解の個数」と「グラフの交点の個数」は完全に対応する。この対応は $x$ 軸との交点(前問)だけでなく、任意の直線との交点でも成り立つ。$x$ 軸は「$y=0$ という直線」の特別な場合にすぎなかったのだ。

さらに一般に、$2$ 曲線の交点は「連立方程式の解」だ。円と直線、$2$ つの放物線でも同じ手順(連立 → 消去 → 判別式)が通用する。共有点の問題ならいつでも使える手順として身につけたい。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 「異なる $2$ つの正の解」とあり、解の個数だけでなく場所まで指定されている。$D>0$ だけでは足りない。

グラフ($y=x^2-2mx+m+6$、下に凸)で考えると、$2$ 交点がどちらも $x$ 軸の正の側にある条件だ。それには $3$ つが必要になる。

1. $D>0$。そもそも $2$ 交点がある
2. 軸 $>0$。$2$ 交点の真ん中(軸)が正の側にある
3. $f(0)>0$。$y$ 軸との交点が上にある($x=0$ の左側に交点が来ない)

$3$ 条件をすべて満たす $m$ を求める。$1$ つでも欠けると答えが違ってくる。

$f(x)=x^2-2mx+m+6$ とする。平方完成すると

$$f(x)=(x-m{)}^2-m^2+m+6$$

軸は $x=m$。下に凸の放物線が、$x$ 軸の正の部分で異なる2点で交わる条件は、次の3つをすべて満たすこと。

① 異なる2解 → $D>0$: 判別式が正。

$$D=(-2m{)}^2-4(m+6)=4m^2-4m-24=4(m^2-m-6)$$

$D>0$ より $m^2-m-6>0$、$(m-3)(m+2)>0$、$m<-2$ または $m>3$。

② 2解とも正 → 軸が正: 軸 $x=m>0$、つまり $m>0$。

③ $f(0)>0$: $f(0)=m+6>0$、つまり $m>-6$。

3つ($m<-2$ または $m>3$)かつ($m>0$)かつ($m>-6$)を、数直線ですべて満たす範囲をとると

$$m>3$$

まとめ:『異なる2つの正の解』は、グラフで『下に凸が $x$ 軸の正の部分で2点交差』とイメージし、$D>0$・軸が正・$f(0)>0$ の3条件で表す。3つとも忘れずに。

発展。 解の配置の $3$ 条件は解と係数の関係でも言い換えられる。$2$ 解 $\alpha ,\beta$ がともに正 ⟺ 「$\alpha +\beta >0$ かつ $\alpha \beta >0$ かつ $D>0$」。和と積が両方正なら、$2$ 数はともに正だからだ(積が正で同符号、和が正なら両方正)。

この問題では $\alpha +\beta =2m>0$(軸 $m>0$ と同値)、$\alpha \beta =m+6>0$($f(0)>0$ と同値)となり、グラフの条件と、解と係数の条件が完全に対応している。図形的に考えるか代数的に考えるか、好きな道を選べる。

「ともに負」なら和が負・積が正、「異符号」なら積が負($D>0$ は自動)というように、配置のパターンごとに条件が決まる。$D$・和・積の $3$ つで、$2$ 解の位置関係はすべて記述できるというのが、この分野の中心的な考え方である。

別解

$3$ つの条件がなぜ全部必要かは、$1$ つずつ外した反例を見ると納得できる。

もし $D>0$ だけなら: $m=-3$ を試そう。$D/4=9-3=6>0$ だが、方程式は $x^2+6x+3=0$ で解は $-3\pm \sqrt{6}$ となり、両方とも負だ。「正の解」の条件が完全に無視されている。

もし $D>0$ と 軸 $>0$ だけなら: 軸は $x=m$ なので $m>0$。だが $f(0)=m+6$ の符号を見ていないと、$f(0)<0$ のとき(この問題では起きないが、一般には) $1$ 解が負、$1$ 解が正という配置を許してしまう。$y$ 軸との交点が $x$ 軸より下なら、放物線は $x=0$ の左右で $1$ 回ずつ $x$ 軸を切るからだ。

$3$ 条件を絵で言い直すと

• $D>0$: 放物線が $x$ 軸を $2$ 回切る
• 軸 $>0$: $2$ 交点の中心が右側にある
• $f(0)>0$: $x=0$ での値がプラス($x=0$ より左に交点がない)

この $3$ つが揃って初めて、$2$ 交点が両方とも正の側に閉じ込められる。計算すると、$D/4=m^2-(m+6)=(m-3)(m+2)>0$ から $m<-2$ または $m>3$。軸の条件 $m>0$ と合わせて $m>3$。$f(0)=m+6>0$ は $m>3$ の範囲で自動的に成立するので、答えは $m>3$。

検算しよう。$m=4$: 方程式 $x^2-8x+10=0$、解は $4\pm \sqrt{6}\approx 6.4,1.6$ で、両方正。

解の配置は「$D$・軸・端点の値」の $3$ 点セットで調べる。この型は区間内に解を持つ条件など、より複雑な配置問題の基本形になる。