式と証明 ★ 基礎の問題 全12問

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $3$ 乗の展開は、公式を $2$ つ覚えれば全部片づく。

$$(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$$

係数は $1,3,3,1$。 真ん中の $3$ を落とすのが最頻ミスだ。(2)の $(2x-1{)}^3$ では、$a=2x$、$b=-1$ とまるごと置きかえる。

$(2x{)}^3=8x^3$ となり、$2$ も $3$ 乗される。$2x^3$ としてしまうミスが本当に多い。カッコの中身は全部 $3$ 乗、と唱えながら書く。

(3)は展開公式ではなく、$3$ 乗の和の因数分解の形だ。

$$(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$$

$a=x$、$b=1$ で $x^3+1$。真ん中の項が消えるのが、この公式の見どころである。

(1) 展開公式に $a=x$、$b=2$ を入れる。

$$(x+2{)}^3=x^3+3x^2\cdot 2+3x\cdot 4+8=x^3+6x^2+12x+8$$

(2) $(a-b{)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$ に $a=2x$、$b=1$ を入れる。符号が $+,-,+,-$ と交互になる。

$$(2x-1{)}^3=(2x{)}^3-3(2x{)}^2+3(2x)-1=8x^3-12x^2+6x-1$$

(3) $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$ の公式($a=x$、$b=1$)。

$$(x+1)(x^2-x+1)=x^3+1$$

(3)は展開してもよいが、公式の形に気づけばすぐに終わる。

発展。 なぜパスカルの三角形の数が展開の係数になるのか。

$(a+b{)}^3=(a+b)(a+b)(a+b)$ を、カッコを開かずに考える。$3$ 個のカッコから、それぞれ $a$ か $b$ を $1$ つずつ選んで掛ける。その全パターンを足すのが展開だ。

$a^{2}b$ の項はどうやってできるか。 $3$ 個のカッコのうち、$1$ 個から $b$ を選び、残り $2$ 個から $a$ を選ぶ。その選び方は

$${}_3{\mathrm{C}}_1=3\text{通り}$$

だから係数が $3$ になる。 同じく $a{b}^2$ の係数は ${}_3{\mathrm{C}}_2=3$、$a^3$ は ${}_3{\mathrm{C}}_0=1$。

$$(a+b{)}^3={}_3{\mathrm{C}}_0{a}^3+{}_3{\mathrm{C}}_1{a}^{2}b+{}_3{\mathrm{C}}_{2}a{b}^2+{}_3{\mathrm{C}}_3{b}^3$$

展開の係数は組合せの数だった。 これが二項定理で、次の問題で正面から学ぶ。

「展開する」という代数の操作が、「選び方を数える」という場合の数の問題と同じだ。$(a+b{)}^{100}$ の $a^{97}{b}^3$ の係数を知りたければ、$100$ 回掛け算する必要はない。${}_{100}{\mathrm{C}}_3=161700$ と数え上げれば済む。

代数と数え上げが、パスカルの三角形で結びついている。

別解

公式を忘れても、パスカルの三角形があれば $3$ 乗も $4$ 乗も展開できる。 覚える量を減らす、賢い方法だ。パスカルの三角形を、必要な段まで書く。

$$\begin{array}{c}1\\ 11\\ 121\\ 1331\end{array}$$

$3$ 乗なら $4$ 段目の $1,3,3,1$。 これが $(a+b{)}^3$ の係数だ。

$$(a+b{)}^3=1\cdot a^3+3\cdot a^{2}b+3\cdot a{b}^2+1\cdot b^3$$

$a$ の指数は $3\to 2\to 1\to 0$ と減り、$b$ の指数は $0\to 1\to 2\to 3$ と増える。 指数の和はいつも $3$ になり、これが検算になる。

(1) $(x+2{)}^3$ に当てはめる。 $a=x$、$b=2$ として

$$1\cdot x^3+3\cdot x^2\cdot 2+3\cdot x\cdot 2^2+1\cdot 2^3=x^3+6x^2+12x+8$$

係数 $1,6,12,8$ の作られ方を見てほしい。パスカルの $1,3,3,1$ に、$2$ の累乗($2^0,2^1,2^2,2^3=1,2,4,8$)を掛けている。

$$1\times 1=1,3\times 2=6,3\times 4=12,1\times 8=8$$

$2$ 段構えで係数が決まる。この構造が分かれば、$(x+3{)}^3$ でも $(x+5{)}^4$ でも、その場で係数が作れる。

(2) $(2x-1{)}^3$ は、$a=2x$、$b=-1$。

$$1\cdot (2x{)}^3+3\cdot (2x{)}^2\cdot (-1)+3\cdot (2x)\cdot (-1{)}^2+1\cdot (-1{)}^3$$

$$=8x^3-12x^2+6x-1$$

$(2x{)}^3=8x^3$、$(2x{)}^2=4x^2$ のように、カッコごと累乗するのを忘れない。負の数の累乗は符号が交互($-1$、$+1$、$-1$)になるので、引き算の $3$ 乗は $+,-,+,-$ と符号が交代する。これも検算に使える。

検算の技: $x=1$ を代入する。(1)なら、左辺 $(1+2{)}^3=27$、右辺 $1+6+12+8=27$。

展開したら、必ず $x=1$ で確かめる。 係数の和が、元の式に $x=1$ を入れた値と一致するはずだ。すぐにできる検算で、符号ミスも係数ミスもすぐに見つかる。この検算を習慣にすれば、失点を防げる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 「$3$ 乗 $\pm$ $3$ 乗」の形を見抜くのが第一手だ。

$$x^3+27=x^3+3^3,8x^3-1=(2x{)}^3-1^3$$

$27=3^3$、$8x^3=(2x{)}^3$ と見抜ければ、あとは公式にあてはめるだけだ。

$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$

$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$$

符号の覚え方。 前のカッコは元の式と同じ符号。後ろのカッコは真ん中だけ逆の符号、両端は必ずプラス。

$$\text{和}\to (a+b)(a^2\boxed{-}ab+b^2),\text{差}\to (a-b)(a^2\boxed{+}ab+b^2)$$

後ろのカッコは $(a\pm b{)}^2$ ではない。 真ん中は $2ab$ ではなく $ab$ で、$2$ がつかない。ここがいちばん間違えやすい。

(1) $27=3^3$ なので、$a=x$、$b=3$ の和の3乗の因数分解。

$$x^3+27=x^3+3^3=(x+3)(x^2-3x+9)$$

(公式 $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$。まん中の項が $-ab$ で符号がマイナスになる点に注意。)

(2) $8x^3=(2x{)}^3$、$1=1^3$ なので、$a=2x$、$b=1$ の差の3乗。

$$8x^3-1=(2x{)}^3-1^3=(2x-1)(4x^2+2x+1)$$

(差のほうは、まん中の項が $+ab$ でプラスになる。和のときと逆だ。)

発展。 $x^2-3x+9$ は、実数の範囲では因数分解できなかった($D<0$)。しかし複素数まで広げれば、必ず分解できる。

$$x^2-3x+9=\left(x-\frac{3+3\sqrt{3}i}{2}\right)\left(x-\frac{3-3\sqrt{3}i}{2}\right)$$

つまり $x^3+27=0$ の解は $3$ つある。$x=-3$ と、$2$ つの虚数解だ。これが「代数学の基本定理」の一例である。

$$n\text{次方程式は、複素数の範囲で必ず }n\text{個の解を持つ(重解も数えて)}$$

実数だけでは $1$ 個しか見つからなかった解が、複素数まで広げると $3$ 個そろう。 数の範囲を広げると、解の個数がそろう。これが、複素数を導入する大きな理由だ。

しかも $x^3=-27$ の $3$ つの解を複素数平面に描くと、原点を中心とする半径 $3$ の円周上に、正三角形の頂点として並ぶ(数Cで学ぶ)。

「$1$ の $3$ 乗根」が正三角形をなすという事実と、同じ種類の現象である。$x^3+27$ という式の解を図にすると、円と正三角形が現れる。代数の式が幾何の形と結びついているのだ。

別解

公式を忘れたら、因数定理と割り算でその場で作れる。 遠回りに見えて、実は「なぜその形になるのか」の答えがここにある。

(1) $x^3+27$ を、公式なしで因数分解する。

手順1: $0$ になる値を探す。 $f(x)=x^3+27$ とおいて、$f(x)=0$ となる $x$ を探す。

$$x=-3⟹f(-3)=(-3{)}^3+27=-27+27=0$$

$f(-3)=0$ が見つかった。

手順2: 因数定理を使う。

$$f(-3)=0⟹f(x)\text{は}(x+3)\text{を因数に持つ}$$

手順3: 実際に割る。 $x^3+27$ を $x+3$ で割ると

$$x^3+27=(x+3)(x^2-3x+9)$$

公式と同じ答えが出た。

手順4: 残った $2$ 次式がこれ以上分解できるか調べる。 $x^2-3x+9$ の判別式は

$$D=(-3{)}^2-4\cdot 1\cdot 9=9-36=-27<0$$

負なので、実数の範囲ではこれ以上分解できない。因数分解はここで完成だ。

(2) $8x^3-1$ も同じ手で。 $f\left(\frac{1}{2}\right)=8\cdot \frac{1}{8}-1=0$ なので $\left(x-\frac{1}{2}\right)$、つまり $(2x-1)$ を因数に持つ。

$$8x^3-1=(2x-1)(4x^2+2x+1)$$

この方法の何がいいか。

$1$ つ目: 公式が使えない $3$ 次式にも通用する。 $x^3-2x^2-5x+6$ のような式は、$3$ 乗の和・差の形をしていない。しかし $f(1)=0$ を見つければ $(x-1)$ で割れる。因数定理はどんな高次式にも使える道具だ($3$ 次方程式を解くとき、必ずこの手を使う)。

$2$ つ目: 公式の「意味」が分かる。 $a^3+b^3$ が $(a+b)$ で割り切れるのは、$a=-b$ を代入すると $0$ になるからだ。$(-b{)}^3+b^3=0$ となるので、この公式は因数定理から説明できる。

$3$ つ目: 符号の暗記から解放される。 「後ろのカッコの真ん中は $-ab$ か $+ab$ か」で迷わない。割り算すれば、答えが出る。

検算は展開で。 $(x+3)(x^2-3x+9)$ を展開すると

$$x^3-3x^2+9x+3x^2-9x+27=x^3+27$$

真ん中の項が全部打ち消し合って消える。 つまり $a^2-ab+b^2$ の $-ab$ は、打ち消す役をしている。$2ab$ だと打ち消しきれず、余りが出てしまう。なぜ $2$ がつかないのか、これで納得できるはずである。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $(x+2{)}^4$ を、カッコを $4$ 回掛けて展開するのは骨が折れる。二項定理ならすぐに書ける。

$$(a+b{)}^n=\sum _{r=0}^n{}_n{\mathrm{C}}_r{a}^{n-r}{b}^r$$

必要な部品は $2$ つだ。

部品1: 二項係数(パスカルの三角形の $4$ 段目)。

$$1,4,6,4,1$$

部品2: $b=2$ の累乗($2^0,2^1,2^2,2^3,2^4$)。

$$1,2,4,8,16$$

この $2$ つを掛け合わせたものが係数になる。

$$1\cdot 1,4\cdot 2,6\cdot 4,4\cdot 8,1\cdot 16=1,8,24,32,16$$

$2^r$ を掛け忘れて、二項係数($1,4,6,4,1$)だけを書くのが、最も多いミスである。

$(a+b{)}^4$ の二項係数はパスカルの三角形の $4$ 段目 $1,4,6,4,1$。$a=x$、$b=2$ として、$x$ の累乗を下げ、$2$ の累乗を上げていく。

$$(x+2{)}^4={}_4{\mathrm{C}}_0{x}^4+{}_4{\mathrm{C}}_1{x}^3\cdot 2+{}_4{\mathrm{C}}_2{x}^2\cdot 2^2+{}_4{\mathrm{C}}_{3}x\cdot 2^3+{}_4{\mathrm{C}}_4\cdot 2^4$$

係数を計算して

$$=x^4+4x^3\cdot 2+6x^2\cdot 4+4x\cdot 8+16=x^4+8x^3+24x^2+32x+16$$

($2$ の累乗 $1,2,4,8,16$ を、二項係数 $1,4,6,4,1$ にかけている。両方をかけ合わせるのがコツだ。)

発展。 二項定理に、うまい値を代入すると、役に立つ等式が次々に出てくる。

$(1+1{)}^n$ を考える。

$$2^n={}_n{\mathrm{C}}_0+{}_n{\mathrm{C}}_1+{}_n{\mathrm{C}}_2+\cdots +{}_n{\mathrm{C}}_n$$

パスカルの三角形の各段を足すと $2^n$ になる。$n=4$ なら $1+4+6+4+1=16=2^4$。

$(1-1{)}^n$ を考える。

$$0={}_n{\mathrm{C}}_0-{}_n{\mathrm{C}}_1+{}_n{\mathrm{C}}_2-\cdots$$

符号を交互につけて足すと $0$ になる。$1-4+6-4+1=0$。ここから「偶数番目の和 $=$ 奇数番目の和 $=2^{n-1}$」が出る。

$(1+x{)}^n$ を微分すると、係数に $r$ が掛かった和が出てくる。

$$n(1+x{)}^{n-1}=\sum r\cdot {}_n{\mathrm{C}}_r{x}^{r-1}$$

$x=1$ を代入すれば

$$\sum _{r}r\cdot {}_n{\mathrm{C}}_r=n\cdot 2^{n-1}$$

「$n$ 人から委員会を作り、その中から委員長を $1$ 人選ぶ」方法の数が、この式の意味だ(左辺は人数 $r$ で場合分け、右辺は「委員長を先に選び、残りを入れる・入れないで決める」)。

$1$ つの定理に、いろいろな値を代入し、微分もしてみる。 そのたびに新しい等式が得られる。二項定理からはいくつもの等式を作り出せるのだ。数学の道具は決まった使い方だけで終わらせるにはもったいない。

別解

二項定理を使わず、地道に $2$ 乗を $2$ 回でも展開できる。答え合わせに使えるし、公式が不安なときの保険になる。$4$ 乗を、$2$ 乗の $2$ 乗と見る。

$$(x+2{)}^4={\left\{(x+2{)}^2\right\}}^2$$

まず $2$ 乗する。

$$(x+2{)}^2=x^2+4x+4$$

それをもう $1$ 回 $2$ 乗する。

$$(x^2+4x+4{)}^2$$

$3$ 項の $2$ 乗だから、$(a+b+c{)}^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$ を使う。$a=x^2$、$b=4x$、$c=4$ として

• $a^2=x^4$
• $b^2=16x^2$
• $c^2=16$
• $2ab=2\cdot x^2\cdot 4x=8x^3$
• $2bc=2\cdot 4x\cdot 4=32x$
• $2ca=2\cdot 4\cdot x^2=8x^2$

足し合わせる。

$$x^4+8x^3+(16+8)x^2+32x+16=x^4+8x^3+24x^2+32x+16$$

二項定理と同じ答え。

手間を比べてほしい。 $2$ 乗を $2$ 回やる方法は、$4$ 乗くらいまでなら実用的だ。しかし $(x+2{)}^{10}$ になったら? $2$ 乗を $3$ 回半 $\dots$ 現実的でない。

二項定理なら、$10$ 乗でも $100$ 乗でも、$1$ 行で書ける。

$$(x+2{)}^{10}=\sum _{r=0}^{10}{}_{10}{\mathrm{C}}_r{x}^{10-r}{2}^r$$

しかも「$x^3$ の係数だけ知りたい」なら、$1$ 項だけ計算すればよい。

$${}_{10}{\mathrm{C}}_7\cdot 2^7=120\times 128=15360$$

全部展開せずに、欲しい項だけを取り出せる。これが二項定理の一番役に立つところだ(次の問題で正面から使う)。

検算は $x=1$ で。

$$(1+2{)}^4=3^4=81$$

展開した式に $x=1$ を入れると

$$1+8+24+32+16=81$$

係数の和が $81$。ぴったり合った。

この検算は二項定理そのものの帰結でもある。 $(x+2{)}^n$ に $x=1$ を入れると $3^n$ になる。つまり係数の和は必ず $3^n$。$x=1$ を代入するだけで、展開の正しさが確かめられる。$5$ 秒の保険を、毎回かける。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $(2x-3{)}^5$ を全部展開する必要はない。聞かれているのは $x^2$ の項だけだ。

二項定理の一般項を書く。

$${}_5{\mathrm{C}}_r(2x{)}^{5-r}(-3{)}^r$$

$x$ の次数は $5-r$。 これが $2$ になるのは

$$5-r=2⟹r=3$$

$r=3$ の項だけを計算すればよい。

$${}_5{\mathrm{C}}_3(2x{)}^2(-3{)}^3=10\times 4x^2\times (-27)=-1080x^2$$

$3$ つの部品を、$1$ つも落とさないこと。

• 二項係数 ${}_5{\mathrm{C}}_3=10$
• $(2x{)}^2$ の $2^2=4$(これを落とす人が多い)
• $(-3{)}^3=-27$(奇数乗なのでマイナス)

欲しい項だけを取り出すのが、二項定理の使いどころである。

$(2x-3{)}^5$ の一般項は

$${}_5{\mathrm{C}}_r(2x{)}^{5-r}(-3{)}^r$$

$x$ の次数は $5-r$。$x^2$ がほしいので $5-r=2$、つまり $r=3$。この項だけ計算する。

$${}_5{\mathrm{C}}_3(2x{)}^2(-3{)}^3=10\times 4x^2\times (-27)=-1080x^2$$

よって $x^2$ の係数は $-1080$。(全部展開する必要はない。ほしい項の $r$ を先に決めて、その1項だけ計算するのが賢い。$-3$ の奇数乗で符号がマイナスになる点に注意。)

発展。 「特定の項だけを取り出す」という技は、二項定理の枠を超えて使える。

たとえば ${\left(x+\frac{1}{x}\right)}^{10}$ の定数項を求めよ、という問題。一般項は

$${}_{10}{\mathrm{C}}_r{x}^{10-r}{\left(\frac{1}{x}\right)}^r={}_{10}{\mathrm{C}}_r{x}^{10-2r}$$

定数項は $x$ の次数が $0$ だから

$$10-2r=0⟹r=5$$

$${}_{10}{\mathrm{C}}_5=252$$

$10$ 乗の展開を書き出さずに、欲しい $1$ 項が出た。

この「一般項を書いて、次数の方程式を解く」という手順が、二項定理の問題のすべてである。

• $x^2$ の係数 → $5-r=2$
• 定数項 → $10-2r=0$
• $\frac{1}{x^3}$ の係数 → 次数 $=-3$ となる $r$

問われ方が変わっても、やることは同じ。 「一般項を書く → 次数の式を立てる → $r$ を求める → 代入する」。

多項定理(項が $3$ つ以上のとき)も、同じ発想で拡張される。

$$(a+b+c{)}^n\text{の}{a}^p{b}^q{c}^r\text{の係数}=\frac{n!}{p!q!r!}$$

これは「同じものを含む順列」の公式そのものだ。展開の係数は、選び方の数という原理は、項がいくつになっても変わらない。

別解

「なぜその項ができるのか」を、数え上げの目で見る。 公式を使わずに係数を作れるようになると、指数の取り違えが起こらなくなる。$(2x-3{)}^5$ は、$5$ 個の袋が並んでいると思う。

$$\underset{1}{\underbrace{(2x-3)}}\underset{2}{\underbrace{(2x-3)}}\underset{3}{\underbrace{(2x-3)}}\underset{4}{\underbrace{(2x-3)}}\underset{5}{\underbrace{(2x-3)}}$$

展開とは各袋から $2x$ か $-3$ を $1$ つずつ選んで掛け、その全パターンを足すことである。

$x^2$ の項はどうやってできるか。 $x$ が $2$ 個ほしいのだから、$5$ 個の袋のうち $2$ 個から $2x$ を選び、残り $3$ 個から $-3$ を選ぶ。

その選び方は何通りか。 $5$ 個から $2x$ を取る袋を $2$ 個選ぶので

$${}_5{\mathrm{C}}_2=10\text{通り}$$

(残り $3$ 個は自動的に $-3$ になる。${}_5{\mathrm{C}}_3=10$ と数えても同じで、${}_5{\mathrm{C}}_2={}_5{\mathrm{C}}_3$ だ。)$1$ 通りぶんの積は

$$(2x{)}^2\times (-3{)}^3=4x^2\times (-27)=-108x^2$$

同じものが $10$ 通りあるので、足すと

$$10\times (-108x^2)=-1080x^2$$

係数は $-1080$。この見方だと、$3$ つの部品を落としようがない。

• 「$2x$ を $2$ 個選ぶ」→ 自動的に $(2x{)}^2=4x^2$($2$ も $2$ 乗される)
• 「$-3$ を $3$ 個選ぶ」→ 自動的に $(-3{)}^3=-27$(マイナスが $3$ 回で負)
• 「選び方が $10$ 通り」→ 二項係数

「$5$ 個のうち何個ずつ選ぶか」だけを考えれば、公式は要らない。

検算: $x=1$ を代入する。

$$(2\cdot 1-3{)}^5=(-1{)}^5=-1$$

展開したすべての係数の和が $-1$ になるはずだ。実際、全部展開すると

$$32x^5-240x^4+720x^3-1080x^2+810x-243$$

$$32-240+720-1080+810-243=-1$$

$x^2$ の係数 $-1080$ も確かに入っている。

もう $1$ つの検算: 符号のパターン。 $(2x-3{)}^5$ は「$+$ と $-$」の $5$ 乗だから、展開すると符号が交互($+,-,+,-,+,-$)に並ぶ。$x^2$ の項は上から $4$ 番目で、マイナスの位置だ。答えが正になったら、その時点で間違いと分かる。

符号のパターンを先に読んでおくと、それだけで符号ミスの半分は防げる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 整式の割り算は、数の筆算とまったく同じ手順でできる。

$$(\text{割られる式})=(\text{割る式})\times (\text{商})+(\text{余り})$$

$$2x^3+3x^2-x+4=(x+2)()+()$$

手順は「最高次を消す」の繰り返しだ。

$2x^3$ を消すには、$x$ に何を掛けるか → $2x^2$。これが商の第 $1$ 項。掛けて引く。

残った式の最高次を、また同じように消す。 これを、割る式($1$ 次)より次数が低くなるまで続ける。

余りの次数は割る式より必ず低い。 $1$ 次式で割るなら、余りは定数(数)になる。

間違えやすいのは引き算の符号だ。 引くほうの式は全部の項の符号が変わるので、ここでミスが起きやすい。筆算の要領で、最高次から順に割る。

$2x^3÷x=2x^2$ → $2x^2(x+2)=2x^3+4x^2$ を引くと、残りは $-x^2-x+4$。$-x^2÷x=-x$ → $-x(x+2)=-x^2-2x$ を引くと、残りは $x+4$。$x÷x=1$ → $1\cdot (x+2)=x+2$ を引くと、残りは $2$。

余り $2$ は割る式 $x+2$ より次数が低いので、ここで終わり。

$$\text{商 }2x^2-x+1,\text{余り }2$$

検算は『(割る式)$\times$(商)$+$(余り)$=$(割られる式)』で確かめる:$(x+2)(2x^2-x+1)+2=2x^3+3x^2-x+4$。合っている。

発展。 剰余の定理の特別な場合が因数定理である。

$$f(k)=0⟺f(x)\text{は}(x-k)\text{で割り切れる}$$

余りが $0$ ということは、割り切れるということ。 当たり前に見えるが、高次方程式を解くときはこの事実から出発する。$x^3-2x^2-5x+6=0$ を解きたい。$3$ 次方程式の解の公式は(存在はするが)複雑すぎて使えない。そこで

$f(1)=1-2-5+6=0$ を見つける。

因数定理より $(x-1)$ で割り切れる。 組立除法で割ると

$$x^3-2x^2-5x+6=(x-1)(x^2-x-6)=(x-1)(x-3)(x+2)$$

$$x=1,3,-2$$

$3$ 次方程式が $2$ 次方程式に落ちた。「$0$ になる値を $1$ つ見つけて、次数を下げる」のが、高次方程式の基本だ。そして候補の探し方にもコツがある。

整数解の候補は(定数項の約数)$÷$(最高次の係数の約数)に限られる。 $x^3-2x^2-5x+6$ なら、定数項 $6$ の約数($\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6$)を試すだけでよい。やみくもに代入しない。

次数を $1$ つ下げるために、剰余の定理と組立除法がある。道具は目的とセットで理解する。

別解

余りだけなら、すぐに出る。 そして、商も組立除法を使えば、筆算よりずっと速い。$2$ つの方法を順に見ていく。

方法1: 剰余の定理(余りをすぐに出す)。

$$f(x)\text{を}(x-k)\text{で割った余りは}f(k)$$

今回は $x+2=x-(-2)$ で割るので、$k=-2$。

$$f(-2)=2(-2{)}^3+3(-2{)}^2-(-2)+4=-16+12+2+4=2$$

余りは $2$。筆算を $1$ 度もしていない。

なぜこれでよいのか。 割り算の式

$$f(x)=(x+2)\cdot Q(x)+R$$

に、$x=-2$ を代入する。すると $(x+2)$ の部分が $0$ になるので

$$f(-2)=0\cdot Q(-2)+R=R$$

$Q(x)$ が何であろうと消えてしまうので、余りだけが残る。割る式を $0$ にする値を代入する、これが剰余の定理の中心だ。方法2: 組立除法(商も余りも一度に出す)。

$f(x)=2x^3+3x^2-x+4$ の係数だけを横に並べる。$x=-2$ で割るので、左に $-2$ を置く。

$$\begin{array}{rrrrr}-2& 2& 3& -1& 4\\ & & -4& 2& -2\\ & 2& -1& 1& \boxed{2}\end{array}$$

やり方は「下ろす → 掛ける → 足す」の繰り返し。

1. 先頭の $2$ を、そのまま下に下ろす
2. $2\times (-2)=-4$ を、次の列に書く
3. $3+(-4)=-1$ を下に書く
4. $-1\times (-2)=2$ を、次の列に書く
5. $-1+2=1$ を下に書く
6. $1\times (-2)=-2$ を、次の列に書く
7. $4+(-2)=2$(これが余り)

下の段に出た $2,-1,1$ が商の係数(次数が $1$ つ下がるので $2$ 次式)。

$$Q(x)=2x^2-x+1,R=2$$

筆算と同じ答えが、掛け算と足し算だけで出た。

組立除法の何がいいか。

• 文字($x$、$x^2$)を書かなくてよい → 書き間違いが大きく減る
• 引き算がない(掛けて足すだけ)→ 符号ミスが構造的に起こらない
• 速い($3$ 次式なら $10$ 秒)

筆算でいちばん間違えやすいのは引き算の符号だった。組立除法はその引き算を「負の数を足す」に置きかえる。ミスの原因を手順そのもので取り除いているのだ。

ただし、使えるのは $1$ 次式 $(x-k)$ で割るときだけ。 $x^2+1$ のような $2$ 次式で割るときは、素直に筆算する。

検算は必ず。

$$(x+2)(2x^2-x+1)+2=2x^3-x^2+x+4x^2-2x+2+2=2x^3+3x^2-x+4$$

割り算をしたら、掛け戻す。 これで間違いはゼロになる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 分数式の計算は、分数の計算とまったく同じルールで動く。

$$\frac{A}{B}÷\frac{C}{D}=\frac{A}{B}\times \frac{D}{C}$$

割り算は逆数を掛ける。 ここは小学校からの約束だ。そして分数式ならではの一手が因数分解である。

$$x^2-4=(x+2)(x-2),x^2-9=(x+3)(x-3)$$

約分するには、掛け算の形(因数)にしなければならない。 展開したままでは、何と何が共通なのか見えない。

$$\frac{(x+2)(x-2)}{(x+3)(x-3)}\times \frac{x+3}{x-2}$$

$(x-2)$ と $(x+3)$ が上下で消える。 因数分解すれば、答えがすぐに分かる。「約分は、因数分解してから」というのが、分数式の原則である。

まず、割り算を『逆数のかけ算』に直す。

$$\frac{x^2-4}{x^2-9}÷\frac{x-2}{x+3}=\frac{x^2-4}{x^2-9}\times \frac{x+3}{x-2}$$

分子・分母を因数分解する。$x^2-4=(x+2)(x-2)$、$x^2-9=(x+3)(x-3)$。

$$=\frac{(x+2)(x-2)}{(x+3)(x-3)}\times \frac{x+3}{x-2}$$

共通の因数 $(x-2)$ と $(x+3)$ が約分できる。

$$=\frac{x+2}{x-3}$$

(先に因数分解しておくと、約分できる因数が分かる。展開してしまうと逆に大変になる。)

発展。 分数式は整式を「分子・分母」に持つ数のようなものだ。整数と有理数の関係が、そのまま整式と分数式の関係に対応している。

「整数でできることは、たいてい整式でもできる」と言える。この対応は細部まで成り立つ。整式にも「割り算(商と余り)」があり、「ユークリッドの互除法」で最大公約数が求まり、「素因数分解の一意性」に対応する定理まである。

数学の構造は対象を取り替えても保たれることがある。 整数論の道具はそのまま多項式の理論に移せる。大学で学ぶ代数学はこの「共通の構造」を抽象的に研究する分野だ。

$\frac{x^2-4}{x^2-9}$ を約分する作業は、$\frac{84}{126}$ を約分する作業と、実質的に同じことをしている。 そう気づくと、計算の中にある構造が分かるようになる。

別解

答えが合っているか、数値を代入して確かめよう。 そして、分数式で必ず気をつけるべき「定義域」の話をする。

検算: $x=0$ を入れてみる。

元の式に $x=0$ を代入する。

$$\frac{0-4}{0-9}÷\frac{0-2}{0+3}=\frac{-4}{-9}÷\frac{-2}{3}=\frac{4}{9}\times \left(-\frac{3}{2}\right)=-\frac{2}{3}$$

答えの式に $x=0$ を代入する。

$$\frac{0+2}{0-3}=\frac{2}{-3}=-\frac{2}{3}$$

一致した。もう $1$ 点、$x=1$ でも試す。元の式: $\frac{1-4}{1-9}÷\frac{1-2}{1+3}=\frac{-3}{-8}÷\frac{-1}{4}=\frac{3}{8}\times (-4)=-\frac{3}{2}$

答えの式: $\frac{1+2}{1-3}=\frac{3}{-2}=-\frac{3}{2}$

$2$ 点で合えば、まず間違いない。 分数式の計算は、約分ミス・符号ミスが起きやすい。数値代入はすぐにできる確認の方法である。

さて、ここからが本題。「どんな $x$ でも成り立つ」わけではない。元の式には、使えない $x$ の値がある。

• $x^2-9=0$ → $x=\pm 3$ で分母が $0$
• $\frac{x-2}{x+3}$ の分母から → $x=-3$
• 割り算だから、割る数が $0$ ではいけない → $\frac{x-2}{x+3}\ne 0$、つまり $x\ne 2$

まとめると $x\ne 3,-3,2$。

ところが、答えの式 $\frac{x+2}{x-3}$ を見ると、$x=2$ を代入できてしまう($\frac{4}{-1}=-4$ と、何事もなく値が出る)。$x=-3$ も同様だ。

元の式では計算できないのに、答えの式では計算できてしまう。この「ずれ」に注意したい。約分で $(x-2)$ や $(x+3)$ が消えた瞬間、その値での「計算できなさ」の記憶が失われるのだ。

厳密に書くなら

$$\frac{x^2-4}{x^2-9}÷\frac{x-2}{x+3}=\frac{x+2}{x-3}(x\ne 3,-3,2)$$

約分は値を変えない。しかし定義域を変えてしまうことがある。この感覚は数IIIの極限で役に立つ。

$$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-4}{x-2}$$

$x=2$ では $\frac{0}{0}$ で計算できない。しかし約分すれば $x+2$ となり、$x\to 2$ で $4$ に近づく。「その点では定義されていないが、近づけば値が分かる」のだ。この微妙な事情が微分の出発点になる。

分数式の約分は単なる計算テクニックではなく、「どこで定義されているか」を意識する訓練でもある。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 分数の足し引きは通分から。分数式でも同じだ。

分母は $x-1$ と $x+1$。共通の分母は $2$ つを掛けたもの。

$$(x-1)(x+1)=x^2-1$$

それぞれの分数を、共通の分母に書き直す。

$$\frac{2}{x-1}=\frac{2(x+1)}{(x-1)(x+1)},\frac{1}{x+1}=\frac{(x-1)}{(x-1)(x+1)}$$

分子を引く。ここでいちばん間違えやすい。

$$2(x+1)-(x-1)$$

引くほうにはカッコがついている。 展開すると

$$2x+2-x+1=x+3$$

$-(x-1)=-x+1$。 $-x-1$ としてしまうのが、この単元で最も多いミスである。引き算のカッコは必ず書いてから開く。

分母をそろえる。共通の分母は $(x-1)(x+1)$。第1項は分子・分母に $(x+1)$ を、第2項は $(x-1)$ をかける。

$$\frac{2}{x-1}-\frac{1}{x+1}=\frac{2(x+1)}{(x-1)(x+1)}-\frac{x-1}{(x-1)(x+1)}$$

分子どうしを引く。引くほうはカッコをつけて、符号に注意する。

$$=\frac{2(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{2x+2-x+1}{x^2-1}=\frac{x+3}{x^2-1}$$

(引き算のとき $-(x-1)=-x+1$ と、符号がすべて変わるところが最大の注意点だ。)

発展。 分数式をばらす方法が最もよく使われるのが、数列の和である。

$$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}$$

このまま足そうとしても手が出ない。しかし部分分数に分解すると

$$\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$$

書き並べてみる。

$$\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$$

隣どうしが次々に打ち消し合う。 $-\frac{1}{2}$ と $+\frac{1}{2}$、$-\frac{1}{3}$ と $+\frac{1}{3}$ $\dots$ 残るのは、最初と最後だけ。

$$=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$$

$n$ 個の項の和が $2$ 項の引き算に畳み込まれた。望遠鏡の筒が縮むように途中が全部消えるので、この和を望遠鏡和と呼ぶ。しかも、$n\to \infty$ とすれば

$$\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k(k+1)}=1$$

無限個の分数を足したのに、答えはぴったり $1$。

ばらす技 $1$ つで、無限和が解けてしまった。 「通分の逆をやる」という地味な作業で、無限和まで計算できた。計算の技術は先の問題を解くための道具である。

別解

この計算は後で学ぶ「部分分数分解」の逆向きになっている。その関係を知っておくと、両方が身につく。そのうえで、数値検算の習慣を固めよう。

まず検算。$x=0$ を代入する。

元の式: $\frac{2}{0-1}-\frac{1}{0+1}=-2-1=-3$

答えの式: $\frac{0+3}{0-1}=\frac{3}{-1}=-3$

$x=2$ でも試す。

元の式: $\frac{2}{1}-\frac{1}{3}=2-\frac{1}{3}=\frac{5}{3}$

答えの式: $\frac{2+3}{4-1}=\frac{5}{3}$

$2$ 点で合った。符号ミスをしていない証拠だ。

分数式の計算では、この検算がとりわけ役に立つ。 $-(x-1)$ の符号を間違えると $\frac{x+1}{x^2-1}$ という(約分できてしまう)違う答えになるが、$x=0$ を入れれば $-1$ となり、正しい $-3$ と合わない。すぐにミスが分かる。

さて、この計算を逆から見てみよう。いま作ったのは、こういう変形だった。

$$\frac{2}{x-1}-\frac{1}{x+1}⟶\frac{x+3}{x^2-1}$$

$2$ つの簡単な分数を、$1$ つのややこしい分数にまとめた。

では、逆はできるか? つまり $\frac{x+3}{x^2-1}$ を見て、$\frac{2}{x-1}-\frac{1}{x+1}$ に分解できるか。

これが部分分数分解である。次の問題で正面から学ぶ技だ。

$$\frac{x+3}{(x-1)(x+1)}=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x+1}$$

とおいて $a$、$b$ を求めれば、$a=2$、$b=-1$ が出てくる。

通分は「まとめる」、部分分数分解は「ばらす」。 $2$ つは互いの逆操作だ。

なぜ「ばらす」必要があるのか。 分数式は、ばらしたほうが扱いやすい場面が多いからだ。

• 数列の和: $\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$ とばらすと、次々に打ち消し合って和が求まる(望遠鏡のように畳まれる)
• 積分(数III): $\frac{1}{x^2-1}$ はそのままでは積分できないが、$\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)$ にばらせば、$\log$ の形で積分できる

ばらすと、道具が使えるようになる。

通分の練習は部分分数分解の準備になる。「まとめる」と「ばらす」のどちらの向きにも自由に行き来できるようになることが、この単元の目標である。