反復試行と条件付き確率の考え方

文: KOSNiZ·最終更新: 2026年9月6日

確率で点差がつきやすいのは、反復試行と条件付き確率の2つです。反復試行は「順番の選び方をかける」ことを忘れ、条件付き確率は「分母を取り替える」ことを忘れて失点します。どちらも問題文の言い回しから式の形を決められます。

反復試行: 「何回目に起こるか」を選んでかける

同じ試行を $n$ 回繰り返して、確率 $p$ の事象がちょうど $k$ 回起こる確率は、 $_{n} C_{k} p^{k} (1 - p)^{n - k}$ です。 $p^{k} (1 - p)^{n - k}$ は「特定の $k$ 回で起こり、残りで起こらない」1通りの確率で、 $_{n} C_{k}$ は「どの $k$ 回で起こるか」の選び方です。この「選び方をかける」を忘れて失点する人がよくいます。確率の基礎「反復試行の確率(サイコロ)」「(コイン)」が、この基本の問題です。

「2回以上」は0回と1回を全体から引く(余事象)のが速いです(標準の反復試行(2回以上))。

「ちょうど k 回目に」は最後の1回を固定する

「 $k$ 回目に初めて成功する」「 $k$ 回目にちょうど3回目の成功が起こる」という問題は、最後の $k$ 回目を固定し、それより前の $k - 1$ 回を反復試行で数えます。「3回目の成功が $k$ 回目」なら、 $k - 1$ 回までにちょうど2回成功して、 $k$ 回目に成功する、で $_{k - 1} C_{2} p^{2} (1 - p)^{k - 3} \times p$ です。目印は「初めて」「ちょうど〜回目に」という言葉です。標準のちょうど何回目に条件が達成されるかで、この「最後を固定」の型を身につけてください。

最も確からしい回数

「 $n$ 回中 $k$ 回起こる確率が最大になる $k$ 」は、隣り合う確率の比 $\frac{P _{k + 1}}{P _{k}}$ が1を超えるかどうかで判定します。比が1より大きい間は増え、1より小さくなったら減るので、境目が最大です。標準の反復試行で最も確からしい回数で練習できます。この「隣接比で最大項を探す」技術は、数列の最大項でも使います。

条件付き確率: 分母を条件に取り替える

「 $A$ が起こったとき、 $B$ が起こる確率」は $P_{A} (B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}$ で、分母が「全体」から「 $A$ が起こった場合」に変わります。「〜だったとき」「〜であることがわかったとき」「〜だった。このとき」という言い回しが目印です。確率の基礎「条件付き確率(基本)」で、分母の取り替えを確認してください。

計算は $P (A)$ と $P (A \cap B)$ を別々に求めて割る、という手順です。反復試行の結果を条件にする問題(応用の反復試行と条件付き確率)では、分母も分子も反復試行の式になります。

原因の確率(ベイズ)

「検査で陽性だったとき、実際に病気である確率」「取り出した玉が赤だったとき、それが袋Aから出た確率」のように、「結果から原因を推定する」問題は条件付き確率の応用です。 $P_{結果} (原因) = \frac{P ( 原因 \cap 結果 )}{P ( 結果 )}$ で、分母の $P (結果)$ はすべての原因からの寄与の和です。樹形図を描いて、結果に至る経路を全部足せば確実に求められます。応用の原因の確率(ベイズの考え方)と難関の3回の結果から原因を推定するが、この形の問題です。

乗法定理と非復元抽出

くじを順に引く(引いたくじを戻さない)ような非復元抽出では、2回目の確率が1回目の結果で変わります。 $P (A \cap B) = P (A) P_{A} (B)$ (乗法定理)で、「1回目に当たる確率 × 1回目に当たったときに2回目も当たる確率」と順に掛けます。基礎のくじ引きと乗法定理と標準のくじ引きの順番と乗法定理で、「何番目に引いても当たる確率は同じ」(くじ引きの公平性)まで確かめてください。難関のくじ引きの公平性の証明はその一般証明です。

つまずきやすいところ

反復試行でよくある誤りは、 $_{n} C_{k}$ のかけ忘れです。「特定の順番の確率」と「どの順番でもよい確率」を区別してください。条件付き確率では、分母を全体のままにしてしまう誤りがよくあります。「〜だったとき」を見たら分母を書き直すことを、習慣にしてください。独立と排反を混同する人もいます。独立は「一方が起きても他方の確率が変わらない」、排反は「同時に起きない」で、別の概念です。