積分法の応用 ★★ 標準の問題 全12問

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $2$ 曲線の囲む面積を求める手順は、数IIと同じ「上 $-$ 下」だ。

まず上下を確定する。$x>0$ では $e^x>1>e^{-x}$ だから $y=e^x$ が上($x=0$ では両者一致、そこが囲みの左の合わせ目)。

$$S={\int }_0^1\left(e^x-e^{-x}\right)dx$$

あとは原始関数。$e^{-x}$ の積分が $-e^{-x}$(マイナスが付く)であることだけが数IIIらしい注意点である。

① 上下を確かめる。 $0\leqq x\leqq 1$ で $e^x\geqq e^{-x}$。$y=e^x$ が上。

② 「上 − 下」を積分する。 $\int (e^x-e^{-x})dx=e^x-(-e^{-x})=e^x+e^{-x}$。

$$\text{面積}={\int }_0^1(e^x-e^{-x})dx=[e^x+e^{-x}{]}_0^1=(e+\frac{1}{e})-(1+1)=e+\frac{1}{e}-2$$

まとめ:$e^x$ と $e^{-x}$ で囲む面積は「上 − 下」の積分。$-e^{-x}$ を引くと $+e^{-x}$ になる符号処理に注意。$e+\frac{1}{e}-2\approx 1.09$ が求める面積だ。

発展。 被積分関数 $e^x-e^{-x}$ は(半分にすると)双曲線関数 $\sinh x$ と呼ばれ、$\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\cosh x$ とペアで、垂れ下がる鎖の形(懸垂線)や特殊相対性理論に現れる。三角関数そっくりの公式体系(${\cosh }^2-{\sinh }^2=1$)を持つ、指数関数の「対称化」ファミリーだ。

答え $e+\frac{1}{e}-2={\left(\sqrt{e}-\frac{1}{\sqrt{e}}\right)}^2$ という書き換えもできる。面積が完全平方の形になっているのは、この対称性の反映である。

別解

$2$ 本の曲線を別々の帯として測り、引き算する読み方をすると、$2$ つの積分値の意味が見える。

• $y=e^x$ の下の帯: ${\int }_0^1{e}^{x}dx=e-1\approx 1.72$
• $y=e^{-x}$ の下の帯: ${\int }_0^1{e}^{-x}dx=1-\frac{1}{e}\approx 0.63$

差をとって $S=(e-1)-\left(1-\frac{1}{e}\right)=e+\frac{1}{e}-2$。ここでは $2$ 本目の帯に注目する。$y=e^{-x}$ のグラフは $y=e^x$ を $y$ 軸で折り返した鏡像だから、$[0,1]$ での $e^{-x}$ の面積は $e^x$ の $[-1,0]$ での面積と同じ。$2$ つの帯は「同じ指数曲線の右隣と左隣」を測っていたことになる。

数値の感覚($1.72-0.63\approx 1.09$)を持っておくと、符号ミスで $e-\frac{1}{e}$($\approx 2.35$)などが出たときに違和感で気づける。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 囲まれた範囲の特定が先。$y=\log x$ は $x=1$ で $x$ 軸を横切り、その右では正になる。だから囲みは $1\leqq x\leqq e$ で、曲線は軸の上にある。

$$S={\int }_1^e\log xdx$$

$\log x$ の原始関数は部分積分でよく出る $x\log x-x$。代入して $S=1$。「面積の問題は、まず交点と上下を調べ、積分の計算は最後」という順番を守れば迷わない。

① 交点と上下を確かめる。 $\log x=0$ より $x=1$。$1\leqq x\leqq e$ で $\log x\geqq 0$。

② 定積分する。

$$\text{面積}={\int }_1^e\log xdx=[x\log x-x{]}_1^e=(e\cdot 1-e)-(1\cdot 0-1)=0-(-1)=1$$

まとめ:$\log x$ と $x$ 軸が $[1,e]$ で囲む面積は $1$。$\log x$ の積分 $x\log x-x$(部分積分で導く)を使う。$x$ 軸との交点が $x=1$ であることも確認する。

発展。 「横に切る」発想は $y$ 軸まわりの回転体や、$x=g(y)$ 型の曲線の面積で必須になる。今回のような自由選択の場面で一度経験しておくと、強制される場面で戸惑わない。

$0<x<1$ の側($\log x<0$)まで囲みを広げた問題では、軸の下の部分を $-\log x$ として足す。${\int }_{1/e}^1(-\log x)dx=1-\frac{2}{e}$ など、区間の切り分けが本題になる。そこでも「$x=1$ で $\log$ の符号が変わる」という今回の観察が手がかりになる。

別解

部分積分を使わずに、この領域を横に切って測る方法がある。領域の点は「高さ $y$($0$ から $1$)、横は曲線から $x=e$ まで」。曲線 $y=\log x$ を横向きに読むと $x=e^y$ だから、高さ $y$ の位置の横帯の長さは $e-e^y$。帯を $y=0$ から $1$ まで積み上げて

$$S={\int }_0^1\left(e-e^y\right)dy=[ey-e^y{]}_0^1=(e-e)-(0-1)=1$$

$\log$ の積分がただの指数関数の積分になった。

縦に切れば $\int \log xdx$(部分積分が要る)、横に切れば $\int e^{y}dy$(基本の積分)になる。同じ領域でも、切る向きで計算の難度が変わる。逆関数($\log \leftrightarrow e$)のペアが絡む面積では、「反対の軸から切ったら楽にならないか」を一度は疑ってみる価値がある。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $x$ 軸まわりの回転体は、輪切りの円盤の積み重ね。位置 $x$ での断面は半径 $y$ の円で、面積 $\pi y^2$。これを区間全体で足し集める。

$$V=\pi {\int }_0^1{y}^{2}dx=\pi {\int }_0^1{e}^{2x}dx$$

$y=e^x$ の $2$ 乗で $e^{2x}$。中身が $1$ 次式($2x$)だから、積分は係数 $2$ で割って $\frac{e^{2x}}{2}$ になる。代入すると $V=\frac{\pi (e^2-1)}{2}$ となる。

① $y^2$ を求める。 $y=e^x$ なので $y^2=e^{2x}$。

② 積分する。

$$V=\pi {\int }_0^1{e}^{2x}dx=\pi [\frac{e^{2x}}{2}{]}_0^1=\pi (\frac{e^2}{2}-\frac{1}{2})=\frac{\pi (e^2-1)}{2}$$

まとめ:回転体は $y^2$ を積分。$y=e^x$ なら $y^2=e^{2x}$(指数が $2$ 倍)。$\int e^{2x}=\frac{e^{2x}}{2}$($\frac{1}{2}$ を忘れずに)。$e^2$ が出る形の体積だ。

発展。 「断面積を積分すると体積」という原理は回転体専用ではなく、断面が正方形でも三角形でも、$V=\int S(x)dx$ で求められる。回転体は、断面がたまたま円($S=\pi y^2$)になる特別な場合だ。この一般原理(カヴァリエリの原理の積分版)を知っていれば、変わり断面の立体の問題にも同じ型で入れる。

区間を $[0,a]$ に広げると $V=\frac{\pi (e^{2a}-1)}{2}$ となり、長さを $1$ 増やすごとに体積は約 $e^2\approx 7.4$ 倍になる。指数の増え方が体積では $2$ 乗になって現れる($e^{2x}$)。

別解

答えの妥当性を、単純な立体で挟んで確かめる目を持とう。この回転体は「半径が $1$ から $e$ へ指数的に育つラッパ」。高さ($x$ 方向の長さ)は $1$ だ。

• 細い方に合わせた円柱(半径 $1$): $V_{\text{小}}=\pi \cdot 1^2\cdot 1=\pi$
• 太い方に合わせた円柱(半径 $e$): $V_{\text{大}}=\pi e^2\cdot 1\approx 7.39\pi$

ラッパは両者の間のはず。答えは

$$V=\frac{\pi (e^2-1)}{2}\approx 3.19\pi$$

確かに $\pi <3.19\pi <7.39\pi$ となり、範囲に収まっている。

さらに細かく言うと、$V=\pi \cdot \frac{e^2-1}{2}$ の $\frac{e^2-1}{2}\approx 3.19$ は「$y^2=e^{2x}$ の平均値」だ。断面積の平均 $\times$ 高さ、という体積の読み方になっている。回転体の答えを出したら、外接・内接の円柱と比べる。係数 $\pi$ の落とし・$2$ 乗忘れなどの大きなミスは、この検算でほぼ捕まえられる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $\sin$ の山を $x$ 軸まわりに回す。断面は半径 $\sin x$ の円で

$$V=\pi {\int }_0^{\pi }{\sin }^{2}xdx$$

${\sin }^2$ の積分は半角の公式で次数を下げる、あの定跡だ。

$${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$$

積分計算の単元で身につけた方法が、体積という応用でそのまま使える。答えは $\pi \cdot \frac{\pi }{2}=\frac{{\pi }^2}{2}$。

① なぜ $y^2$ を積分するのかを確かめる。 立体を $x$ 軸に垂直な平面で輪切りにすると、切り口は半径 $y=\sin x$ の円。面積は $\pi y^2=\pi {\sin }^{2}x$。これを $x=0$ から $x=\pi$ まで積み重ねる。

② ${\sin }^{2}x$ を積分できる形に直す。 ${\sin }^{2}x$ はこのままでは積分できない。半角の公式で次数を下げる。

③ 積分する。

$$V=\pi {\int }_0^{\pi }{\sin }^{2}xdx=\pi {\int }_0^{\pi }\frac{1-\cos 2x}{2}dx=\frac{\pi }{2}[x-\frac{\sin 2x}{2}{]}_0^{\pi }$$

$\sin 2\pi =0$、$\sin 0=0$ なので、$\sin 2x$ の部分は消えて $x$ の部分だけが残る。

$$=\frac{\pi }{2}(\pi -0)=\frac{{\pi }^2}{2}$$

まとめ:回転体は断面の円の面積 $\pi y^2$ を積分する。$y=\sin x$ だと $y^2={\sin }^{2}x$ になるので、半角の公式で開いてから積分するのが基本だ。$\cos 2x$ から出る $\sin 2x$ は $0$ と $\pi$ で消え、$\frac{{\pi }^2}{2}$ が残る。根号つきの $\sqrt{\sin x}$ 版（根号が消える）と見比べると、狙いの違いがよく分かる。

発展。 このレモン形(アメリカンフットボール形)の体積 $\frac{{\pi }^2}{2}\approx 4.93$ は、半径 $1$ の球の体積 $\frac{4\pi }{3}\approx 4.19$ より少し大きい。最大の半径はどちらも $1$ だが、レモン形の長さは $\pi$ で、球の直径 $2$ より長いからだ。

${\pi }^2$ という値が出ることにも注目したい。円周率の $2$ 乗は球の体積($\pi$ の $1$ 次)には現れない量で、回転体に「波の平均」が絡むと現れる。トーラス(ドーナツ)の体積 $2{\pi }^2{a}^{2}b$ も同じ仲間である。

別解

${\sin }^2$ の積分を計算せず、平均の高さからすぐに読む方法がある。${\sin }^{2}x$ は $0$ と $1$ の間を対称に波打つ関数で、区間 $[0,\pi ]$ での平均はちょうど $\frac{1}{2}$(${\sin }^2$ と ${\cos }^2$ が平均を分け合い、和が $1$ だから)。積分 $=$ 平均 $\times$ 区間の長さ、なので

$${\int }_0^{\pi }{\sin }^{2}xdx=\frac{1}{2}\times \pi =\frac{\pi }{2}⟹V=\pi \cdot \frac{\pi }{2}=\frac{{\pi }^2}{2}$$

体積の言葉で言い直すと、このレモン形の立体は、「平均断面積 $\pi \cdot \frac{1}{2}$ の円柱を長さ $\pi$ にしたもの」と同じかさを持つ。実際、半径 $\frac{1}{\sqrt{2}}$($\approx 0.71$)の円柱と等積だ。

${\sin }^2$・${\cos }^2$ の平均 $\frac{1}{2}$ は交流の実効値・波のエネルギーなど物理でも頻繁に使う定数。「積分するまでもなく平均で読める」波の量は、この値で即答できる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $n$ 個の項の和の極限は、直接は足せない。区分求積法の型に整えて、和を定積分に変換する。

目標の型は $\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)\to {\int }_0^{1}f(x)dx$。

$$\frac{1}{n+k}=\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{1+\frac{k}{n}}$$

と $\frac{1}{n}$ をくくり出せば、$f(x)=\frac{1}{1+x}$ の型にはまる。よって極限は ${\int }_0^1\frac{dx}{1+x}=\log 2$。「$\frac{k}{n}$ のかたまりを作る」のが変形の目標だ。

① $\frac{1}{n}$ をくくり出す。 区分求積の形にするため、$\frac{1}{n}$ を外に出す。

$$\sum _{k=1}^n\frac{1}{n+k}=\sum _{k=1}^n\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{1+\frac{k}{n}}=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{1}{1+\frac{k}{n}}$$

② 定積分に読みかえる。 $f(x)=\frac{1}{1+x}$、$\frac{k}{n}\to x$。

$$\underset{n\to \infty }{\lim }={\int }_0^1\frac{1}{1+x}dx=[\log (1+x){]}_0^1=\log 2-\log 1=\log 2$$

まとめ:区分求積は「$\frac{1}{n}$ をくくり出して $\frac{k}{n}=x$ とみる」のが第一歩。$\frac{1}{n+k}$ は $\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{1+k/n}$ と変形。${\int }_0^1\frac{1}{1+x}=\log 2$ という有名な結果になる。

発展。 この和は調和数 $H_n=1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{n}$ の言葉で $H_{2n}-H_n$ と書ける。調和数自体は $\log n$ 程度で発散するが、差は $\log 2n-\log n=\log 2$ に落ち着く。発散する量どうしの差が有限になるという、解析でよく出会う形だ。

また、交代級数 $1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\cdots =\log 2$ と今回の和は、項の並べ替えで同じものであることが示せる。区分求積・面積・級数という $3$ つの場面に、同じ $\log 2$ が現れる。

別解

この和を、$y=\frac{1}{x}$ の面積として直接見ることもできる。

$$\sum _{k=1}^n\frac{1}{n+k}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{2n}$$

各項 $\frac{1}{n+k}$ は曲線 $y=\frac{1}{x}$ の $x=n+k$ での高さ。幅 $1$ の短冊を $x=n$ から $2n$ まで並べた総面積と考えられる。つまりこの和は

$${\int }_n^{2n}\frac{dx}{x}=\log 2n-\log n=\log 2$$

の短冊近似だ。$n$ が大きいほど短冊は細かくなり、面積 $\log 2$ に近づく。

見どころは、積分の値が $n$ に依らないこと。$\frac{1}{x}$ の面積は「区間の比」だけで決まる($n$ から $2n$ は常に $2$ 倍)。対数が掛け算を足し算に変えることが、この和の極限が $\log 2$ という定数に決まる理由である。区分求積の機械的な変形の裏に、この「比で測る面積」の絵を持っておくと、$\sum \frac{1}{n+k}$ 系の問題はどれも見通せる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\sqrt{\frac{k}{n}}$ を見ると、すでに区分求積の型 $\frac{1}{n}\sum f\left(\frac{k}{n}\right)$ が完成している。変形は不要だ。

$f(x)=\sqrt{x}$ と読み取って

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\sqrt{\frac{k}{n}}={\int }_0^1\sqrt{x}dx={\left[\frac{2}{3}{x}^{3/2}\right]}_0^1=\frac{2}{3}$$

「$\frac{1}{n}$ が幅、$f\left(\frac{k}{n}\right)$ が高さの短冊の合計 → 面積」という対応を確認するのが、この問題の役どころである。

① 定積分に読みかえる。 $f\left(\frac{k}{n}\right)=\sqrt{\frac{k}{n}}$ なので $f(x)=\sqrt{x}$。

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\sqrt{\frac{k}{n}}={\int }_0^1\sqrt{x}dx$$

② 計算する。

$$=[\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}{]}_0^1=\frac{2}{3}$$

まとめ:すでに $\frac{1}{n}\sum f\left(\frac{k}{n}\right)$ の形なので、$f(x)=\sqrt{x}$ と読んで ${\int }_0^1\sqrt{x}$ に直すだけ。$\sqrt{x}$ の積分は $\frac{2}{3}{x}^{3/2}$。答えは $\frac{2}{3}$。

発展。 この極限は「$\sqrt{1}+\sqrt{2}+\cdots +\sqrt{n}$ はおよそ $\frac{2}{3}n\sqrt{n}$」という近似式の正確な表現だ($\frac{1}{n}\sum \sqrt{k/n}=\frac{1}{n^{3/2}}\sum \sqrt{k}$ と読み替えられる)。「べきの和 $\sum k^p$ は $\frac{n^{p+1}}{p+1}$ 程度」という一般則($p=1,2$ の $\Sigma$ 公式の主要項がこれにあたる)の、分数べき版である。

和 → 積分の書き直しは逆向き(積分 → 和で近似)にするとコンピュータの数値積分になる。区分求積法は「積分の定義」であると同時に、「計算機が積分を計算する方法」そのものでもある。

別解

答えの $\frac{2}{3}$ に、実はアルキメデスの $\frac{2}{3}$(放物線の弓形)と同じ値が現れている。$y=\sqrt{x}$ のグラフは放物線 $y=x^2$ を直線 $y=x$ で折り返した鏡像だ。だから単位正方形($0\leqq x,y\leqq 1$)の中で

$$(\sqrt{x}\text{の下の面積})=1-(x^2\text{の下の面積})=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$$

つまり $\sqrt{x}$ の面積は正方形から放物線の下($\frac{1}{3}$)を除いた残りだ。「放物線は正方形を $1:2$ に分ける」という古代の定理が、根号の積分の答えを先に示している。

数値実験でも確かめられる。$n=100$ で和は $0.6714\dots$、$n=10^4$ で $0.66671\dots$ となり、確かに $\frac{2}{3}=0.6667\dots$ に近づいている。短冊が右肩上がりの関数を右端で測っているため、有限の $n$ では少し過大に出る(ずれは約 $\frac{1}{2n}$)ことまで観察できる。極限の式と数値のふるまいを両方見ておくと、区分求積の理解が深まる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 区間の端 $\frac{\pi }{4}$ と $\frac{5\pi }{4}$ は、$\sin x=\cos x$ となる交点そのもの。その間では $\sin x\geqq \cos x$($x=\frac{\pi }{2}$ で $1>0$ と確認)だから

$$S={\int }_{\pi /4}^{5\pi /4}(\sin x-\cos x)dx$$

原始関数は $-\cos x-\sin x$。両端は $\cos ,\sin$ が $\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ になる角なので、値は $\sqrt{2}$ を含む形になる。丁寧に代入すると $2\sqrt{2}$ になる。

① 交点と上下を確かめる。 $\sin x=\cos x$ より $\tan x=1$、$x=\frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{4}$。この区間で $\sin x\geqq \cos x$($y=\sin x$ が上)。

② 「上 − 下」を積分する。 $\int (\sin x-\cos x)dx=-\cos x-\sin x$。

$$\text{面積}={\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{5\pi }{4}}(\sin x-\cos x)dx=[-\cos x-\sin x{]}_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{5\pi }{4}}$$

③ 代入する。 $\frac{5\pi }{4}$ で $\cos =\sin =-\frac{1}{\sqrt{2}}$、$\frac{\pi }{4}$ で $\cos =\sin =\frac{1}{\sqrt{2}}$。

$$=(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}})-(-\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}})=\frac{2}{\sqrt{2}}+\frac{2}{\sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$$

まとめ:$\sin x$ と $\cos x$ の面積は交点 $x=\frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{4}$ で区間を決め、「上($\sin$)− 下($\cos$)」を積分。$\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$ の有理化まで。

発展。 $\sin$ と $\cos$ の交点は $\pi$ ごとに並ぶから、囲まれる「レンズ」は同じ形で無限に連なり、どれも面積 $2\sqrt{2}$。$1$ つ計算すれば全部分かる。周期関数の囲みは「$1$ 周期分だけ調べる」が原則だ。

半波の面積 ${\int }_0^{\pi }\sin xdx=2$ は「$\sin$ の山 $1$ つ $=$ 面積 $2$」として暗記に値する基本量。今回のように合成・置換で「見慣れた山」に帰着させれば、三角関数の面積の多くはこの $2$ の定数倍で読める。

別解

被積分関数を合成してから積分すると、この問題の見え方が大きく変わる。

$$\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$$

積分区間 $\frac{\pi }{4}\leqq x\leqq \frac{5\pi }{4}$ を新しい角 $u=x-\frac{\pi }{4}$ で読むと $0\leqq u\leqq \pi$ となり、$\sin$ のちょうど半波 $1$ 山分だ。$\sin$ の $1$ 山の面積は基本の計算で ${\int }_0^{\pi }\sin udu=2$。よって

$$S=\sqrt{2}\times 2=2\sqrt{2}$$

代入計算がほぼ消えた。

理由を言えば、$2$ 曲線 $\sin$ と $\cos$ の差は「振幅 $\sqrt{2}$ の $1$ 本の波」であり、交点から交点まではその波の $1$ 山にあたる。囲まれた領域は、見かけは複雑でも、実はサインカーブ $1$ 山を $\sqrt{2}$ 倍に伸ばしたものだった。三角関数の差・和を見たら合成、は方程式だけでなく積分でも第一級の整理術である。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $0\leqq x\leqq 1$ で $x{e}^{-x}\geqq 0$($x$ も $e^{-x}$ も非負)なので、曲線は軸の上にあり、面積は素直に

$$S={\int }_0^{1}x{e}^{-x}dx$$

$x$ と $e^{-x}$ の積だから部分積分(「$x$ を微分で消す」型)。$e^{-x}$ の原始関数が $-e^{-x}$ とマイナスを背負う分、符号の管理が計算の主戦場になる。原始関数は $-(x+1)e^{-x}$ になる。微分して戻ることを確かめてから代入すると安全だ。

① 部分積分する。 $f=x$($f^{\prime }=1$)、$g^{\prime }=e^{-x}$($g=-e^{-x}$)。

$$\int x{e}^{-x}dx=x(-e^{-x})-\int 1\cdot (-e^{-x})dx=-x{e}^{-x}-e^{-x}=-(x+1)e^{-x}$$

② 定積分する。

$$\text{面積}={\int }_0^{1}x{e}^{-x}dx=[-(x+1)e^{-x}{]}_0^1=-2e^{-1}-(-1\cdot e^0)=-\frac{2}{e}+1=1-\frac{2}{e}$$

まとめ:$x{e}^{-x}$ の面積は部分積分。$g^{\prime }=e^{-x}$ の原始関数 $g=-e^{-x}$(マイナス)に注意。原始関数 $-(x+1)e^{-x}$ に代入。$1-\frac{2}{e}\approx 0.26$ が面積だ。

発展。 区間を $[0,\infty )$ に広げると ${\int }_0^{\infty }x{e}^{-x}dx=1$ と、ちょうど $1$ になる($x\to \infty$ で $(x+1)e^{-x}\to 0$)。この値は指数分布(待ち時間の確率モデル)の平均そのもので、${\int }_0^{\infty }{x}^n{e}^{-x}dx=n!$(ガンマ関数)という一般化の最初の段でもある。今回の答え $1-\frac{2}{e}\approx 0.26$ は、その全体 $1$ のうち「$x=1$ までに稼ぐ分」にあたる。指数減衰の尻尾が重いことが、数字から分かる。

$y=x{e}^{-x}$ の山頂は $x=1$ だ(微分応用の単元でよく扱う)。面積の右端がちょうど山頂、という設定にも設計の意図がある。

別解

符号ミスが怖い $e^{-x}$ の部分積分は、答えの形を予想して係数で固める方が堅い。原始関数は「($1$ 次式)$\times e^{-x}$」の形のはず。

$$F(x)=(ax+b)e^{-x}$$

とおいて微分する(積 $+$ 合成)。

$$F^{\prime }(x)=a{e}^{-x}-(ax+b)e^{-x}=\{-ax+(a-b)\}{e}^{-x}$$

これが $x{e}^{-x}$ に一致する条件は $-a=1$、$a-b=0$ なので、$a=b=-1$ となる。

$$F(x)=-(x+1)e^{-x}$$

マイナスの出どころが係数比較の $1$ 行に集約され、途中の符号の分岐が消える。定積分は

$$S=F(1)-F(0)=-\frac{2}{e}-(-1)=1-\frac{2}{e}$$

$e^{-x}$ 系の部分積分は $2$ 回、$3$ 回と重ねるほど符号の間違いが増える。未定係数法はその備えとして、指数減衰型の積分全般で覚えておくとよい。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $2$ 曲線で挟まれた領域を回転させると、できる立体は中空(外側の立体から内側がくり抜かれた形)だ。

体積は「外の回転体 $-$ 内の回転体」。区間 $0\leqq x\leqq 1$ では $x\geqq x^2$(外が $y=x$)なので

$$V=\pi {\int }_0^1\left\{x^2-(x^2{)}^2\right\}dx=\pi {\int }_0^1(x^2-x^4)dx$$

注意することはひとつだけだ。$2$ 乗してから引く($\pi \int ({\text{外}}^2-{\text{内}}^2)$)。「差の $2$ 乗」$\pi \int (x-x^2{)}^2$ とは別物である。

① 上下(外内)を確かめる。 $0<x<1$ で $x>x^2$。回転すると $y=x$ が外側、$y=x^2$ が内側の中空の立体。

② 「外² − 内²」を積分する。

$$V=\pi {\int }_0^1\{x^2-(x^2{)}^2\}dx=\pi {\int }_0^1(x^2-x^4)dx$$

③ 計算する。

$$=\pi [\frac{x^3}{3}-\frac{x^5}{5}{]}_0^1=\pi (\frac{1}{3}-\frac{1}{5})=\pi \cdot \frac{2}{15}=\frac{2\pi }{15}$$

まとめ:$2$ 曲線で囲む部分の回転体は「外の $y^2$ − 内の $y^2$」を積分(ドーナツ型の断面)。面積の「上 − 下」とちがい、体積は「外² − 内²」と $2$ 乗どうしの差になる。$\frac{2\pi }{15}$。

発展。 なぜ「差の $2$ 乗」ではだめなのかは、断面の絵を見ればすぐ分かる。位置 $x$ の断面は半径 $x$ の円から半径 $x^2$ の円をくり抜いたドーナツ(円環)で、面積は $\pi x^2-\pi (x^2{)}^2$。$(x-x^2{)}^2$ は「半径が差の円」の面積で、円環とは別の図形である。式の暗記でなく断面の絵で立式すれば、この混同は起きない。

同じ領域を $y$ 軸まわりに回すと、外内が入れ替わって($x=\sqrt{y}$ が外、$x=y$ が内)$V=\pi {\int }_0^1(y-y^2)dy=\frac{\pi }{6}$ となる。回転軸が変わると体積も変わる。軸の指定を最初に確認する習慣はここから生まれる。

別解

外側の積分 $\pi {\int }_0^1{x}^{2}dx$ には、小学校から知っている公式が含まれている。$y=x$($0\leqq x\leqq 1$)を $x$ 軸まわりに回すと、底面の半径 $1$、高さ $1$ の円錐になる。体積は公式で

$$V_{\text{外}}=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{\pi }{3}$$

一方、積分では $\pi {\int }_0^1{x}^{2}dx=\pi \cdot \frac{1}{3}$ となり、完全に一致する。「円錐の $\frac{1}{3}$」という、昔は天下りだった公式が、$\int x^2=\frac{x^3}{3}$ の $\frac{1}{3}$ だったと分かる瞬間だ。内側($y=x^2$ の回転体)は $\pi {\int }_0^1{x}^{4}dx=\frac{\pi }{5}$。差をとって

$$V=\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{5}=\frac{5\pi -3\pi }{15}=\frac{2\pi }{15}$$

外側を既知の立体(円錐・円柱・球)で置き換えられるときは、積分せず公式で書いてよい。検算にもなり、答えの大きさの感覚($\frac{2\pi }{15}$ は円錐の $\frac{2}{5}$)もつかめる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 変位と道のりは似て非なるもの。変位は「最終的にどれだけ移動したか」(符号込み)、道のりは「実際に歩いた距離の総計」(常に正)だ。

$$\text{変位}={\int }_0^{2}vdt,\text{道のり}={\int }_0^2|v|dt$$

$v=t-1$ は $t=1$ で符号が変わる($t<1$ で後退、$t>1$ で前進)。変位はそのまま積分し、道のりは $t=1$ で区間を割って、後退分も正として足す。絶対値の定積分の運動版である。

① 変位を求める。 符号込みで積分。

$$\text{変位}={\int }_0^2(t-1)dt=[\frac{t^2}{2}-t{]}_0^2=(2-2)-0=0$$

② 道のりを求める。 $v=t-1$ は $t=1$ で符号が変わる。$0\leqq t<1$ で負、$1<t\leqq 2$ で正。

$$\text{道のり}={\int }_0^1(1-t)dt+{\int }_1^2(t-1)dt$$

$$=[t-\frac{t^2}{2}{]}_0^1+[\frac{t^2}{2}-t{]}_1^2=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$$

まとめ:変位は「行って戻る」を打ち消し合う符号込みの積分。ここは $0$(出発点に戻る)。道のりは実際に動いた長さで、速度の符号が変わる $t=1$ で区間を分け、$|v|$ を積分する。変位 $0$ でも道のりは $1$ だ。

発展。 「変位 $0$・道のり $1$」は、投げ上げたボールが手元に戻る運動と同じ関係だ(高さの変化 $0$、飛んだ距離は往復分)。積分の言葉では $\left|\int v\right|\leqq \int |v|$ となる。絶対値と積分の順序を替えると値が縮む、という一般不等式の運動版である(等号は $v$ が符号を変えないとき)。

平面上の運動になると、道のりは $\int \sqrt{{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2}dt$ となり、曲線の長さの公式と一致する。「速さを時間で積むと道のり」という今回の原理が、弧長公式の親でもある。

別解

$v$-$t$ グラフを描くと、この問題は三角形 $2$ つの絵になり、積分なしで答えが読める。$v=t-1$ は、$(1,0)$ で $t$ 軸を横切る右上がりの直線。区間 $[0,2]$ で

• $t$ 軸の下($0\leqq t\leqq 1$): 底辺 $1$・高さ $1$ の三角形、面積 $\frac{1}{2}$(後退した距離)
• $t$ 軸の上($1\leqq t\leqq 2$): 同じ形の三角形、面積 $\frac{1}{2}$(前進した距離)

変位は符号込みの合計: $-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=0$ となる。後退と前進がちょうど相殺し、出発点に戻ってきた。

道のりは両方を正で足す: $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$。「$v$-$t$ グラフの面積が移動距離」という物理で学ぶ読み方は、定積分の「符号付き面積」の意味と同じだ。グラフが $1$ 次式(面積が三角形・台形)のうちは、積分計算より図形の方が速くて確実だ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $\frac{1}{x^2}>0$ だから、面積はそのまま定積分だ。

$$S={\int }_1^2\frac{dx}{x^2}={\int }_1^2{x}^{-2}dx$$

負のべきも累乗の公式($+1$ して割る)がそのまま使える: 原始関数は $\frac{x^{-1}}{-1}=-\frac{1}{x}$。

$$S={\left[-\frac{1}{x}\right]}_1^2=-\frac{1}{2}-(-1)=\frac{1}{2}$$

$\frac{1}{x}$(積分すると $\log$)と $\frac{1}{x^2}$(累乗の公式)の区別だけ意識しておく。

$\frac{1}{x^2}>0$ なので面積はそのまま定積分。

$$\text{面積}={\int }_1^2\frac{1}{x^2}dx=[-\frac{1}{x}{]}_1^2=-\frac{1}{2}-(-1)=-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}$$

まとめ:$\frac{1}{x^2}=x^{-2}$ の積分は $-\frac{1}{x}$。面積 $\frac{1}{2}$。符号の処理($-\frac{1}{2}+1$)を丁寧に。$\frac{1}{x}$ の積分($\log$)とちがい、$\frac{1}{x^2}$ は累乗の公式で積分できる。

発展。 $\frac{1}{x^2}$ の無限区間の面積が $1$(有限)なのに対し、$\frac{1}{x}$ は $\log$ で発散する。減り方のわずかな差($2$ 乗か $1$ 乗か)が、無限区間では有限と無限を分ける。この対比は級数($\sum \frac{1}{n^2}$ 収束・$\sum \frac{1}{n}$ 発散)とぴったり対応していて、積分と級数の収束判定が同じ原理(積分判定法・大学)で結ばれている。

$\frac{1}{x^2}$ 型の量は重力・クーロン力(逆 $2$ 乗則)として物理でよく現れる。 「無限遠までの仕事が有限」= 脱出速度が存在する、という宇宙の事実も、いま計算した ${\int }_1^{\infty }\frac{dx}{x^2}=1$ の物理版である。

別解

答え $\frac{1}{2}$ の妥当性を、長方形で挟んで確かめてみる。計算に頼らない面積の見積もり方だ。区間 $[1,2]$(幅 $1$)で、$\frac{1}{x^2}$ は減少関数。高さは左端で $1$、右端で $\frac{1}{4}$。

• 内側の長方形(高さ $\frac{1}{4}$): 面積 $\frac{1}{4}$
• 外側の長方形(高さ $1$): 面積 $1$

$$\frac{1}{4}<S<1$$

答え $\frac{1}{2}$ はきちんとこの間にいる(もし $\log 2\approx 0.69$ や $2$ が出たら、この検分でおかしさに気づける)。さらに、この曲線には次の事実がある。区間を $[1,\infty )$ に広げても

$${\int }_1^{\infty }\frac{dx}{x^2}=\underset{b\to \infty }{\lim }\left(1-\frac{1}{b}\right)=1$$

無限に長い領域なのに面積は有限の $1$。今回の $\frac{1}{2}$ はその全体 $1$ のうち「$x=2$ までで半分を稼いだ」ことを意味している。残り半分は $2$ から無限までの薄い尻尾に散らばっている。