積分法の応用 ★★★★ 難関の問題 全8問

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $2$ 曲線で囲む面積は $\int (\text{上の式}-\text{下の式})dx$。

まず交点を確認する。$e^x=e^{-x}$ となるのは $x=0$ のみ。$0<x\le 1$ では $e^x>e^{-x}$ なので、上が $y=e^x$、下が $y=e^{-x}$。区間の右端は $x=1$。

よって ${\int }_0^1(e^x-e^{-x})dx$ を計算すればよい、と見通す。

① 上下を確認する。 交点は $e^x=e^{-x}$ より $x=0$。$0<x\le 1$ で $e^x>e^{-x}$ だから、上が $y=e^x$、下が $y=e^{-x}$。

② 面積を積分する。

$$S={\int }_0^1(e^x-e^{-x})dx=[e^x+e^{-x}{]}_0^1$$

($\int e^{-x}dx=-e^{-x}$ なので、$-e^{-x}$ の符号に注意。$-(-e^{-x})=+e^{-x}$。)

③ 代入する。

$$=\left(e+\frac{1}{e}\right)-(1+1)=e+\frac{1}{e}-2$$

まとめ:$2$ 曲線の面積は「交点を確認 → $\int (\text{上}-\text{下})$」。$e^{-x}$ の積分が $-e^{-x}$ になる符号($\int (-e^{-x})$ の扱い)に注意。原始関数は $e^x+e^{-x}$、代入して $e+\frac{1}{e}-2$。

発展。 $y=e^x$ と $y=e^{-x}$ は、$y$ 軸を鏡にした左右対称の曲線。その差 $e^x-e^{-x}$ を $2$ で割ったものは双曲線正弦 $\sinh x$、和を $2$ で割ったものは双曲線余弦 $\cosh x$ と呼ばれる。

面積の原始関数が $e^x+e^{-x}$($=2\cosh x$)になるのは、$\sinh$ を積分すると $\cosh$ になるから。これは $\sin ,\cos$ の関係とそっくりだ。じつは $\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ は、垂れた鎖の形(懸垂線)でもある。指数関数の和と差は、こうして幾何と結びついている。

別解

別解:$2$ つの面積を別々に出して引く(苦手な人向けの整理ルート)。 「上 $-$ 下」をまとめて積分するのが不安なら、それぞれの曲線と $x$ 軸で囲む面積を出してから引いてもよい。

$y=e^x$ と $x$ 軸・$x=1$ で囲む面積は

$${\int }_0^1{e}^{x}dx=[e^x{]}_0^1=e-1.$$

$y=e^{-x}$ と $x$ 軸・$x=1$ で囲む面積は

$${\int }_0^1{e}^{-x}dx=[-e^{-x}{]}_0^1=-\frac{1}{e}-(-1)=1-\frac{1}{e}.$$

求める面積は上の曲線の下の面積から下の曲線の下の面積を引いたもの。

$$(e-1)-\left(1-\frac{1}{e}\right)=e+\frac{1}{e}-2.$$

「上 $-$ 下」を一度に積分する本解と同じ。分けて計算すると、$e^{-x}$ の積分が $-e^{-x}$ になる符号を、$1$ つずつ落ち着いて処理できる。それぞれが正の面積なので、引き算の意味も見えやすい。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $x$ 軸まわりの回転体は、各 $x$ での断面が半径 $y$ の円(面積 $\pi y^2$)。それを $x$ 方向に積み上げる。

だから体積は $V=\pi \int y^{2}dx$。$y=\sqrt{x}$ なら $y^2=x$ と簡単になり、積分しやすい。$y^2$ にすると根号が消えるのが、この問題の利点、と見通す。

① 断面積を作る。 $y=\sqrt{x}$ より $y^2=x$。断面(半径 $y$ の円)の面積は $\pi y^2=\pi x$。

② 積分する。

$$V=\pi {\int }_0^4{y}^{2}dx=\pi {\int }_0^{4}xdx=\pi {\left[\frac{x^2}{2}\right]}_0^4=\pi \cdot \frac{16}{2}=8\pi$$

まとめ:$x$ 軸まわりの回転体は「$V=\pi \int y^{2}dx$」。断面が半径 $y$ の円だから面積 $\pi y^2$ を積み上げる。$y=\sqrt{x}$ は $y^2=x$ となって根号が消え、積分が $\pi {\int }_0^{4}xdx=8\pi$ と簡単。

発展。 $y=\sqrt{x}$ を回してできる立体は、放物線を回した「回転放物面」。この体積はぴったり包む円柱のちょうど半分になる。

半径 $\sqrt{4}=2$、高さ $4$ の円柱の体積は $\pi \cdot 2^2\cdot 4=16\pi$。その半分が $8\pi$ で、計算と一致する。円錐が円柱の $\frac{1}{3}$ なのに対し、回転放物面は $\frac{1}{2}$ だ。

断面積 $\pi y^2=\pi x$ が高さ $x$ に比例して真っすぐ増えるから、平均が最大値のちょうど半分になる。これが「円柱の半分」の理由。図形の対称性が積分の値をきれいにする。

別解

別解:外接円柱の半分として出す(得意な人向けの視点)。 断面積が高さに比例して直線的に増えることに気づくと、積分せずに答えが出せる。

断面(半径 $y$ の円)の面積は $\pi y^2=\pi x$。これは $x=0$ で $0$、$x=4$ で $4\pi$ と、$x$ に正比例して増える。面積が直線的に増えるなら、その平均は最大値のちょうど半分。だから体積は「最大断面積 $\times$ 長さ $\times \frac{1}{2}$」。

$$V=(4\pi )\times 4\times \frac{1}{2}=8\pi .$$

言いかえると、この立体を包む円柱(半径 $2$、高さ $4$、体積 $16\pi$)のちょうど半分。$\pi {\int }_0^{4}xdx$ を計算する本解と同じ $8\pi$。断面積が $x$ の $1$ 次式なら「平均 $=$ 半分」で、積分を暗算にできる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $2$ 曲線の間を回転させると、断面はドーナツ状(外側の円から内側の円をくり抜いた形)。

だから体積は「外側の回転体 $-$ 内側の回転体」$=\pi \int ({\text{外}}^2-{\text{内}}^2)dx$。$0\le x\le 1$ で上が $y=x$(外)、下が $y=x^2$(内)。これを積分する、と見通す。上下(外内)の確認が最初の一手。

① 外と内を確認する。 $0\le x\le 1$ で $x\ge x^2$ だから、外側(遠いほう)が $y=x$、内側が $y=x^2$。

② 中空の体積を積分する。

$$V=\pi {\int }_0^1\{x^2-(x^2{)}^2\}dx=\pi {\int }_0^1(x^2-x^4)dx$$

③ 計算する。

$$=\pi {\left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^5}{5}\right]}_0^1=\pi \left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)=\pi \cdot \frac{2}{15}=\frac{2\pi }{15}$$

まとめ:$2$ 曲線の間の回転体は「外の回転体 $-$ 内の回転体」= $\pi \int ({\text{外}}^2-{\text{内}}^2)dx$。外が $y=x$、内が $y=x^2$ で、$(x{)}^2-(x^2{)}^2=x^2-x^4$。$(\text{外}-\text{内}{)}^2$ ではなく ${\text{外}}^2-{\text{内}}^2$ とするのが要。

発展。 中空の回転体は「大きい立体から小さい立体を引く」。$\pi \int ({\text{外}}^2-{\text{内}}^2)dx$ の ${\text{外}}^2-{\text{内}}^2$ は $2$ つの円の面積の差(ドーナツの面積)そのもの。

ここでいちばん間違えやすいのは ${\text{外}}^2-{\text{内}}^2$ を $(\text{外}-\text{内}{)}^2$ と取り違えること。円の面積の差は「半径の差の $2$ 乗」ではない。$a^2-b^2\ne (a-b{)}^2$ を思い出せば防げる。

外側の $y=x$ を回した円錐の体積は $\frac{\pi }{3}$(円柱 $\pi \cdot 1^2\cdot 1$ の $\frac{1}{3}$)、内側の放物面が $\frac{\pi }{5}$。その差 $\frac{2\pi }{15}$ が中空の体積だ。

別解

別解:$2$ つの回転体の体積を別々に出して引く(苦手な人向けの整理ルート)。 中空をひとまとめに考えるのが難しければ、外側と内側の回転体を別々に求めて引けばよい。

外側は $y=x$($0\le x\le 1$)を回した円錐。

$$V_{\text{外}}=\pi {\int }_0^1{x}^{2}dx=\pi {\left[\frac{x^3}{3}\right]}_0^1=\frac{\pi }{3}.$$

内側は $y=x^2$ を回した立体。

$$V_{\text{内}}=\pi {\int }_0^1(x^2{)}^{2}dx=\pi {\int }_0^1{x}^{4}dx=\frac{\pi }{5}.$$

求める中空の体積は外から内を引いたもの。

$$V=\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{5}=\frac{5\pi -3\pi }{15}=\frac{2\pi }{15}.$$

$\pi \int (x^2-x^4)dx$ とまとめて積分する本解と同じ。別々に出すと、それぞれが「回転体の体積」だとはっきりし、$(\text{外}-\text{内}{)}^2$ と間違える危険がない。円錐 $\frac{\pi }{3}$ は公式(円柱の $\frac{1}{3}$)とも一致する。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $y$ 軸まわりの回転は、各 $y$ での断面が半径 $x$ の円。それを $y$ 方向に積み上げる。

だから体積は $V=\pi \int x^{2}dy$($x$ を $y$ で表し、$y$ で積分)。$y=x^2$ を $x^2=y$ と直せば、$\pi \int ydy$ という簡単な積分になる。積分変数が $x$ でなく $y$ になる点に注意、と見通す。

① $x^2$ を $y$ で表す。 $y=x^2$ より $x^2=y$。$0\le x\le 2$ に対応して $y$ は $0$ から $4$。

② 積分する。

$$V=\pi {\int }_0^4{x}^{2}dy=\pi {\int }_0^{4}ydy=\pi {\left[\frac{y^2}{2}\right]}_0^4=\pi \cdot \frac{16}{2}=8\pi$$

まとめ:$y$ 軸まわりの回転体は「$V=\pi \int x^{2}dy$」で、積分変数が $y$。$x^2=y$ に直して $\pi {\int }_0^{4}ydy=8\pi$。$x$ 軸まわり($\int y^{2}dx$)と、$x,y$ の役割が入れかわることに注意。

発展。 $y$ 軸まわりの回転体は、$x$ 軸まわりと $x,y$ の役割が入れかわるだけ。断面の円の半径が $y$ でなく $x$ になり、積分変数が $y$ になる。

この体積は別の切り口でも出せる。曲線を細い縦の短冊に切り、それを $y$ 軸まわりに回すと、半径 $x$・高さ $(4-x^2)$・厚み $dx$ の薄い円筒(殻)ができる。これを足し合わせる「円筒殻の方法」でも同じ $8\pi$ になる。

輪切りにして円板で考えても、筒に分けて殻で考えても、体積は同じになる。回転体はどちらの断面で積分してもよい。

別解

別解:円筒殻に分けて足す(得意な人向けの視点)。 $y$ で輪切りにするかわりに、$x$ 方向の細い短冊を $y$ 軸まわりに回した「筒」を積み重ねてもよい。

位置 $x$ にある幅 $dx$ の短冊は、高さ $4-x^2$(直線 $y=4$ から曲線 $y=x^2$ まで)。これを $y$ 軸まわりに回すと、半径 $x$・高さ $4-x^2$・厚み $dx$ の薄い円筒になる。その体積は「側面積 $\times$ 厚み」$=2\pi x(4-x^2)dx$。

$x$ を $0$ から $2$ まで足し合わせると

$$V={\int }_0^{2}2\pi x(4-x^2)dx=2\pi {\int }_0^2(4x-x^3)dx=2\pi {\left[2x^2-\frac{x^4}{4}\right]}_0^2=2\pi (8-4)=8\pi .$$

$y$ で輪切りにして $\pi \int x^{2}dy$ とする本解と同じ $8\pi$。円板法は「回転軸に垂直に切る」、円筒殻は「回転軸に平行な筒に分ける」。同じ立体を違う向きで数えても、体積は一致する。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 曲線の長さは公式 $L=\int \sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}dx$。

ふつうは根号が残って積分しにくい。だがこの曲線(懸垂線)では、$1+(y^{\prime }{)}^2$ がちょうど完全平方になり、根号がきれいに外れる。まず $y^{\prime }$ を求め、$1+(y^{\prime }{)}^2$ を計算して $2$ 乗の形を確認する。

根号が外れれば、あとは素直な積分、と見通す。

① $y^{\prime }$ を求める。 $y=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ より

$$y^{\prime }=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$$

② $1+(y^{\prime }{)}^2$ を計算する。

$$1+(y^{\prime }{)}^2=1+\frac{(e^x-e^{-x}{)}^2}{4}=\frac{4+(e^x-e^{-x}{)}^2}{4}=\frac{(e^x+e^{-x}{)}^2}{4}$$

(展開すると $4+(e^{2x}-2+e^{-2x})=e^{2x}+2+e^{-2x}=(e^x+e^{-x}{)}^2$。)

③ 長さを積分する。 根号が外れて $\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$。

$$L={\int }_0^1\frac{e^x+e^{-x}}{2}dx={\left[\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right]}_0^1=\frac{e-e^{-1}}{2}-0=\frac{1}{2}\left(e-\frac{1}{e}\right)$$

まとめ:曲線の長さは「$\int \sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}dx$」。懸垂線 $\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ では $1+(y^{\prime }{)}^2$ が完全平方になり根号が外れる($\frac{e^x+e^{-x}}{2}$)。$4+(e^x-e^{-x}{)}^2=(e^x+e^{-x}{)}^2$ の変形が決め手だ。

発展。 $y=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ は双曲線余弦 $\cosh x$、$y^{\prime }=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$ は双曲線正弦 $\sinh x$。$1+{\sinh }^{2}x={\cosh }^{2}x$ という関係(${\cos }^2+{\sin }^2=1$ の双曲線版)があるから、根号が外れる。

おもしろいことに、この曲線では「弧の長さ」と「曲線の下の面積」が等しい。どちらも被積分関数が $\cosh x$ になるからだ($\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}=y$)。長さを測っても、面積を測っても、同じ $\sinh 1=\frac{1}{2}\left(e-\frac{1}{e}\right)$。

懸垂線は、両端を持った鎖が自然に垂れる形。物理では鎖の形として、数学では長さと面積が等しくなる曲線として現れる。

別解

別解:「長さ $=$ 下の面積」を使う(得意な人向けの視点)。 この懸垂線には弧長を測る式と、面積を測る式が一致するという際立った性質がある。

弧長の被積分関数は $\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}$。計算すると

$$1+(y^{\prime }{)}^2=1+{\left(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)}^2={\left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)}^2=y^2.$$

だから $\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}=\frac{e^x+e^{-x}}{2}=y$ そのもの。つまり弧長 ${\int }_0^1\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}dx$ は、曲線の下の面積 ${\int }_0^{1}ydx$ とまったく同じ式になる。あとはどちらを計算しても

$${\int }_0^1\frac{e^x+e^{-x}}{2}dx={\left[\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right]}_0^1=\frac{1}{2}\left(e-\frac{1}{e}\right).$$

根号を外して長さを求める本解と同じ。「$\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}$ が $y$ に等しい」と見抜けば、長さの計算が面積の計算に早変わりする。懸垂線ならではの近道だ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 変位と道のりは別物。この区別が要。

変位は「位置の変化」で、速度をそのまま積分する($\int vdt$、符号込み)。道のりは「実際に動いた距離」で、速さ(速度の絶対値)を積分する($\int |v|dt$)。$v=t-1$ は $t=1$ で符号が変わるので、道のりの計算では $t=1$ で区間を分ける、と見通す。

① 変位。 速度をそのまま積分する。

$${\int }_0^3(t-1)dt={\left[\frac{t^2}{2}-t\right]}_0^3=\left(\frac{9}{2}-3\right)-0=\frac{3}{2}$$

② 道のり。 $v=t-1$ は $0\le t\le 1$ で $\le 0$、$1\le t\le 3$ で $\ge 0$。絶対値を外して区間を分ける。

$${\int }_0^3|t-1|dt={\int }_0^1(1-t)dt+{\int }_1^3(t-1)dt$$

前半:${\left[t-\frac{t^2}{2}\right]}_0^1=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$。後半:${\left[\frac{t^2}{2}-t\right]}_1^3=\left(\frac{9}{2}-3\right)-\left(\frac{1}{2}-1\right)=\frac{3}{2}-\left(-\frac{1}{2}\right)=2$。

$$\text{道のり}=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}$$

まとめ:変位は $\int vdt$(符号込み)で $\frac{3}{2}$、道のりは $\int |v|dt$(速さ)で $\frac{5}{2}$。$v$ が負の区間($0\le t\le 1$、点が逆向きに動く)があるので、道のりのほうが大きい。符号が変わる $t=1$ で分けるのが要。

発展。 変位は「符号つき面積」、道のりは「面積の総量(絶対値)」。速度が負の区間では点が逆戻りするので、その分は変位では引かれ、道のりでは足される。

だから道のりはつねに変位の絶対値以上になる。行って戻れば、位置の変化は小さくても、動いた距離は積み上がる。今回は $t=0\sim 1$ で逆走したぶん、道のり $\frac{5}{2}$ が変位 $\frac{3}{2}$ より大きい。

これは絶対値つき定積分と同じ構造。「符号込みの積分」と「絶対値の積分」の違いが、そのまま「変位」と「道のり」の違いになっている。

別解

別解:速度のグラフの三角形の面積で読む(苦手な人向けの視覚ルート)。 $v=t-1$ は直線なので、積分は三角形の面積として目で見える。

速度のグラフは $t=1$ で $x$ 軸を横切る直線。$x$ 軸との間に $2$ つの三角形ができる。$0\le t\le 1$:$v$ は負($t=0$ で $-1$)。三角形の面積は $\frac{1}{2}\times 1\times 1=\frac{1}{2}$。ここは軸の下だから符号は負。

$1\le t\le 3$:$v$ は正($t=3$ で $2$)。三角形の面積は $\frac{1}{2}\times 2\times 2=2$。ここは軸の上で正。

変位は符号つきで足す:$-\frac{1}{2}+2=\frac{3}{2}$。道のりは面積をそのまま足す:$\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}$。定積分で計算する本解と同じ。速度が直線なら、面積は三角形なので暗算できる。軸の下(負の速度)は変位では引き、道のりでは足す、という違いが図で一目瞭然だ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 回転体でなくても、体積は「断面積を積み上げる」$V=\int S(x)dx$ で求まる。

ここでの断面は正方形なので、その $1$ 辺の長さが分かれば断面積が出る。$1$ 辺は底面の円 $x^2+y^2\le 1$ を $x=$ 一定で切ったときの弦の長さ $2\sqrt{1-x^2}$($y$ が $\pm \sqrt{1-x^2}$ の幅)。これを $2$ 乗して断面積とし、$x$ について積分する、と見通す。

① 断面の $1$ 辺。 底面の円を $x=$ 一定で切ると、$y$ は $-\sqrt{1-x^2}$ から $\sqrt{1-x^2}$ まで、幅 $2\sqrt{1-x^2}$。断面は正方形だから $1$ 辺がこの長さ。

② 断面積。

$$S(x)={\left(2\sqrt{1-x^2}\right)}^2=4(1-x^2)$$

③ 体積を積分する。 $x$ は $-1$ から $1$ まで。

$$V={\int }_{-1}^{1}4(1-x^2)dx=4{\left[x-\frac{x^3}{3}\right]}_{-1}^1=4\left\{\left(1-\frac{1}{3}\right)-\left(-1+\frac{1}{3}\right)\right\}=4\cdot \frac{4}{3}=\frac{16}{3}$$

まとめ:非回転体でも「断面積を積み上げる」$V=\int S(x)dx$。断面が正方形なら $1$ 辺(=底面の弦 $2\sqrt{1-x^2}$)を $2$ 乗して断面積 $4(1-x^2)$。回転体は断面が円($\pi y^2$)だが、断面の形が何であれ同じ考え方。

発展。 「断面積を積み上げる」考えは、断面がどんな形でも通用する。断面が円なら回転体($\pi y^2$)、正方形なら $1$ 辺の $2$ 乗、正三角形なら $\frac{\sqrt{3}}{4}(\text{辺}{)}^2$、と面積の式を差し替えるだけ。

じつは同じ底面(単位円)で断面を円にすると、それは半径 $1$ の球で、体積は $\frac{4\pi }{3}$。今回の正方形断面は面積が円断面の $\frac{4}{\pi }$ 倍なので、体積も $\frac{4}{\pi }\times \frac{4\pi }{3}=\frac{16}{3}$ と、球からすぐ出せる。

「どの高さでも断面積が等しければ体積も等しい」というカヴァリエリの原理が、この背景にある。体積は断面積の積み重ねで決まる。

別解

別解:単位球と比べて出す(得意な人向けの視点)。 同じ底面(単位円)で断面を円にすると半径 $1$ の球になる。その球と断面積を比べれば、積分せずに体積が出る。

底面の円を $x=$ 一定で切った弦の長さは $2\sqrt{1-x^2}$。

• 断面が正方形なら面積 ${\left(2\sqrt{1-x^2}\right)}^2=4(1-x^2)$。
• 断面が円(直径がこの弦)なら面積 $\pi {\left(\sqrt{1-x^2}\right)}^2=\pi (1-x^2)$。これを積み上げた立体は半径 $1$ の球で、体積 $\frac{4\pi }{3}$。

どの $x$ でも、正方形断面は円断面のちょうど $\frac{4}{\pi }$ 倍。だから体積も $\frac{4}{\pi }$ 倍。

$$V=\frac{4}{\pi }\times \frac{4\pi }{3}=\frac{16}{3}.$$

${\int }_{-1}^{1}4(1-x^2)dx$ を計算する本解と同じ。「断面積が各高さで一定の比なら、体積も同じ比」というカヴァリエリの原理を使うと、既知の球の体積からすぐに求まる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 媒介変数表示の曲線と $x$ 軸で囲む面積は $\int ydx$。

だが $x$ が $t$ の式なので、$dx=\frac{dx}{dt}dt$ に置きかえて $t$ で積分する。$\frac{dx}{dt}=1-\cos t$、$y=1-\cos t$ だから、被積分関数は $(1-\cos t{)}^2$。${\cos }^{2}t$ は半角で下げて積分する。$t$ の範囲 $0\to 2\pi$ が $1$ アーチに対応する、と見通す。

① $t$ の積分に直す。 $\frac{dx}{dt}=1-\cos t$、$y=1-\cos t$ だから

$$S=\int ydx={\int }_0^{2\pi }(1-\cos t)\cdot (1-\cos t)dt={\int }_0^{2\pi }(1-\cos t{)}^{2}dt$$

② 展開して半角。 $(1-\cos t{)}^2=1-2\cos t+{\cos }^{2}t=1-2\cos t+\frac{1+\cos 2t}{2}=\frac{3}{2}-2\cos t+\frac{\cos 2t}{2}$。

③ 積分する。 $0$ から $2\pi$ で $\cos t$、$\cos 2t$ の積分は $0$(周期分)。よって

$$S={\int }_0^{2\pi }\frac{3}{2}dt=\frac{3}{2}\cdot 2\pi =3\pi$$

まとめ:媒介変数の面積は「$\int y\frac{dx}{dt}dt$」。サイクロイドでは $(1-\cos t{)}^2$ を展開し、${\cos }^{2}t$ を半角で下げる。$\cos t,\cos 2t$ の $0\sim 2\pi$ 積分は $0$ で、残る定数 $\frac{3}{2}$ だけから $3\pi$ が出る。$1$ アーチの面積は「転がる円の面積 $\pi$ の $3$ 倍」という有名な結果。

発展。 サイクロイド $1$ アーチの面積 $3\pi$ は、転がる円の面積($\pi \cdot 1^2=\pi$)のちょうど $3$ 倍。円が $1$ 回転して描く曲線の下に、円 $3$ つ分の面積が入る、という有名な結果だ(ロベルヴァル・ガリレオ)。

同じサイクロイドで、$1$ アーチの弧の長さは $8$(=半径の $8$ 倍)になる。面積 $3\pi$ も長さ $8$ も円周率や半径を使って簡単な比で書ける。計算では ${\int }_0^{2\pi }\cos tdt=0$、${\int }_0^{2\pi }{\cos }^{2}tdt=\pi$ という周期積分を使う。$1$ 周期にわたる $\cos$ の平均は $0$、${\cos }^2$ の平均は $\frac{1}{2}$。これを知っていると計算が速い。

別解

別解:周期積分の値を直接使う(得意な人向けの視点)。 半角の公式で丁寧に展開しなくても、$1$ 周期にわたる $\cos$ と ${\cos }^2$ の積分値を知っていればすぐに出せる。

被積分関数を展開する。

$$(1-\cos t{)}^2=1-2\cos t+{\cos }^{2}t.$$

これを $0$ から $2\pi$ まで積分する。$3$ つの項をそれぞれ、$1$ 周期の積分値で処理する。

• ${\int }_0^{2\pi }1dt=2\pi$。
• ${\int }_0^{2\pi }\cos tdt=0$($1$ 周期で $+$ と $-$ が打ち消す)。
• ${\int }_0^{2\pi }{\cos }^{2}tdt=\pi$(${\cos }^2$ の平均は $\frac{1}{2}$、幅 $2\pi$ を掛けて $\pi$)。

足すと

$$S=2\pi -2\cdot 0+\pi =3\pi .$$

半角で $\frac{1+\cos 2t}{2}$ に直してから積分する本解と同じ。${\int }_0^{2\pi }{\cos }^{2}tdt=\pi$(平均 $\frac{1}{2}\times$ 周期 $2\pi$)を覚えておくと、三角関数の $2$ 乗の $1$ 周期積分がすぐ書ける。