積分法の応用 ★ 基礎の問題 全12問

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 面積を求める前に、必ず符号を確認する。

$$e^x>0(\text{すべての }x\text{ で})$$

指数関数は決して負にならない。曲線が $x$ 軸より上にあるなら、面積はそのまま定積分に等しい。

$$S={\int }_0^1{e}^{x}dx$$

もし曲線が $x$ 軸の下にあれば、定積分は負になり、そのままでは面積にならない(符号を反転させる必要がある)。だから「まず符号」を調べる。あとは、原始関数を使って計算するだけ。

$$S={\left[e^x\right]}_0^1=e-1$$

数IIで学んだ「$x$ 軸より上なら、面積 $=$ 積分」という原則が、そのまま指数関数でも通用する。関数が難しくなっても、面積の考え方は $1$ ミリも変わらない。

$0\leqq x\leqq 1$ で $y=e^x>0$。曲線は $x$ 軸の上にあるので、面積はそのまま定積分。

$$\text{面積}={\int }_0^1{e}^{x}dx=[e^x{]}_0^1=e-1$$

まとめ:数III でも面積の基本は「曲線が $x$ 軸の上なら 面積 = 定積分」。$e^x$ の原始関数は $e^x$。$e-1\approx 1.72$ が求める面積だ。

発展。 積分が計算できないとき、面積はどうやって求めるのか。

数値積分という技術がある。もっとも素朴なのが、台形公式だ。区間を $n$ 等分し、各区間で曲線を直線(台形の斜辺)で近似する。

$${\int }_0^1{e}^{x}dx\approx \frac{1}{n}\left(\frac{f(0)}{2}+f\left(\frac{1}{n}\right)+\cdots +f\left(\frac{n-1}{n}\right)+\frac{f(1)}{2}\right)$$

$n=1$(台形 $1$ 個)なら

$$\frac{1+e}{2}\approx 1.859$$

真の値 $1.718$ より、大きい。

なぜ大きくなるか。 $e^x$ は下に凸だから、台形の斜辺は曲線の上を通る。面積を多めに見積もってしまう。

では、もっと賢い方法はないか。

シンプソンの公式。

曲線を直線ではなく放物線で近似する。

$${\int }_a^{b}f(x)dx\approx \frac{b-a}{6}\left\{f(a)+4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right\}$$

$1$ 区間で試そう。

$$\frac{1}{6}\left(e^0+4e^{0.5}+e^1\right)=\frac{1}{6}\left(1+6.595+2.718\right)=1.7189$$

真の値 $1.71828$ に、小数第 $3$ 位まで一致する。

$3$ 点だけの計算で、この精度が出る。なぜ、こんなに精度がよいのか。

シンプソンの公式は $3$ 次関数まで厳密に積分できる。

放物線($2$ 次)で近似しているのに、$3$ 次まで正確になる。これが「$4$ 倍」という重みをつける理由である。この $\frac{1}{6}(f(a)+4f(m)+f(b))$ という形、どこかで見たことはないだろうか。

$\frac{1}{6}$ 公式だ。

$${\int }_{\alpha }^{\beta }(x-\alpha )(x-\beta )dx=-\frac{(\beta -\alpha {)}^3}{6}$$

同じ $\frac{1}{6}$ が出てくるのは、偶然ではない。 どちらも「$2$ 次関数の積分」の構造から生まれている。数値積分はコンピュータで積分を計算するときに広く使われている。

• CGのレンダリング: 光の積分を数値的に計算
• 金融工学: オプション価格の期待値(積分)を数値計算
• 気象予測: 大気の方程式を数値積分
• 正規分布表: $e^{-x^2/2}$ の積分を数値計算した表

「積分できない関数」でも、「積分の値」は求められる。

公式で解くことと、数値で求めること。 どちらも立派な数学である。

別解

同じ面積を、横から($y$ 軸方向に)見て計算する。面積は、縦に切るだけが能ではない。横に切ってもいい。まず、領域を長方形で囲む。

$x$ が $0$ から $1$、$y$ が $0$ から $e$ の長方形を考える。 面積は $1\times e=e$。曲線 $y=e^x$ はこの長方形を $2$ つに分ける。

• 曲線の下(右下側) → 求めたい面積 $S$
• 曲線の上(左上側) → もう $1$ つの部分 $T$

そして

$$S+T=e$$

$T$ を計算してみよう。

曲線の上の部分を、横から見る。 $y$ を固定したとき、その高さでの横幅はいくらか。$y=e^x$ を $x$ について解くと

$$x=\log y$$

$y$ の値ごとに、左端($x=0$)から曲線までの幅が $\log y$ である。ただし、$y$ が $1$ 未満では、曲線はまだ長方形の左端にあり、幅は $0$。だから $T$ は、$y$ が $1$ から $e$ までの積分になる。

$$T={\int }_1^e\log ydy$$

この積分は部分積分で計算できる($f=\log y$、$g^{\prime }=1$)。

$$\int \log ydy=y\log y-y+C$$

$$T={\left[y\log y-y\right]}_1^e=(e\cdot 1-e)-(1\cdot 0-1)=0+1=1$$

$T=1$ だ。

したがって

$$S=e-T=e-1$$

本解と同じ答え

この計算から、うれしい副産物が得られる。

$${\int }_1^e\log xdx=1$$

$\log$ の定積分が $1$ という整数になる。そして、この $2$ つの積分の関係は逆関数の一般法則だ。

$${\int }_0^{a}f(x)dx+{\int }_{f(0)}^{f(a)}{f}^{-1}(y)dy=af(a)-0\cdot f(0)$$

「もとの関数の面積」と「逆関数の面積」を足すと、長方形になる。$e^x$ と $\log x$ は逆関数どうし。だから、$2$ つの面積で長方形($e$)を分け合う。

$$\underset{e^x\text{ の下}}{\underbrace{(e-1)}}+\underset{\log x\text{ の下}}{\underbrace{1}}=e$$

きれいに、つじつまが合っている。「縦に切るか、横に切るか」

この視点の切り替えが難しい積分を簡単にすることがある。 $\log$ や $\arcsin$ のように、逆関数のほうが積分しやすい関数では、特に有効だ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) まず符号を確認する。

$$\frac{1}{x}>0(1\leqq x\leqq e\text{ では})$$

曲線は $x$ 軸より上。だから面積 $=$ 定積分だ。

$$S={\int }_1^e\frac{1}{x}dx$$

原始関数は $\log |x|$。 積分区間は正なので、絶対値は外してよい。

$$S={\left[\log x\right]}_1^e=\log e-\log 1=1-0=1$$

面積はぴったり $1$。すっきりした答えだ。$1$ から $e$ という、一見中途半端な区間で、なぜ面積がきれいな $1$ になるのか。

逆である。 「双曲線の下の面積が $1$ になる点」として、$e$ が定められている。

$e=2.71828\dots$ という数は、この面積から決まるのである。

$1\leqq x\leqq e$ で $\frac{1}{x}>0$。

$$\text{面積}={\int }_1^e\frac{1}{x}dx=[\log x{]}_1^e=\log e-\log 1=1-0=1$$

まとめ:$\frac{1}{x}$ と $x$ 軸が $[1,e]$ で囲む面積はちょうど $1$。$\frac{1}{x}$ の積分は $\log$、$\log e=1$ を使う。$e$ という数の定義(${\int }_1^e\frac{1}{x}=1$)そのものだ。

発展。 「区間を $2$ 倍にしても面積が同じ」という性質を、無限に続けてみよう。

$${\int }_1^2\frac{dx}{x}={\int }_2^4\frac{dx}{x}={\int }_4^8\frac{dx}{x}=\cdots =\log 2$$

面積 $\log 2\approx 0.693$ の区画が、無限に続く。

全部足すと?

$${\int }_1^{\infty }\frac{dx}{x}=\log 2+\log 2+\log 2+\cdots =\infty$$

発散する。

「同じ面積が無限に続くのだから、当然」だ。この事実は調和級数の発散と、まったく同じ構造をしている。

$$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots =\infty$$

証明を思い出そう。 項をグループ分けして、各グループが $\frac{1}{2}$ より大きいことを示した。

$$\underset{>1/2}{\underbrace{\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}}+\underset{>1/2}{\underbrace{\frac{1}{5}+\cdots +\frac{1}{8}}}+\cdots$$

「一定量の塊が、無限に続く」ところが、積分の話とそっくりだ。

これは偶然ではない。

積分判定法という定理がある。「$f$ が正で減少なら、$\sum _{n=1}^{\infty }f(n)$ と ${\int }_1^{\infty }f(x)dx$ は、同時に収束し、同時に発散する。」級数と積分の収束・発散が一致する。

なぜか。

級数は「幅 $1$ の長方形の和」、積分は「曲線の下の面積」。関数が減少なら、この $2$ つは互いに挟み込む。

$${\int }_1^{N+1}f(x)dx\leqq \sum _{n=1}^{N}f(n)\leqq f(1)+{\int }_1^{N}f(x)dx$$

上下から挟まれているので、片方が発散すればもう片方も発散する。この定理で、いろいろな級数の収束が判定できる。

$$\sum \frac{1}{n^2}⟷{\int }_1^{\infty }\frac{dx}{x^2}=1(\text{収束})$$

$$\sum \frac{1}{n}⟷{\int }_1^{\infty }\frac{dx}{x}=\infty (\text{発散})$$

$$\sum \frac{1}{n\log n}⟷{\int }_2^{\infty }\frac{dx}{x\log x}=\infty (\text{発散!})$$

$3$ つ目は意外な結果だ。 $\frac{1}{n\log n}$ は $\frac{1}{n}$ よりずっと小さいのに、それでも発散する。

($\log$ の増え方が、あまりに遅いからだ。)発散と収束の境界線は、想像以上に微妙な場所にある。そして、その微妙さを判定する道具が、積分である。

離散的な級数の問題を、連続的な積分の問題に直して解く。${\int }_1^e\frac{dx}{x}=1$ という素朴な面積計算が、無限級数の収束・発散の判定につながっている。

別解

この双曲線の面積には、特別な性質がある。「区間を $e$ 倍に引き伸ばしても、面積は変わらない。」

確かめよう。

$${\int }_1^e\frac{1}{x}dx=\log e-\log 1=1$$

では、区間を $[e,e^2]$ にすると?

$${\int }_e^{e^2}\frac{1}{x}dx=\log e^2-\log e=2-1=1$$

同じ $1$ になる。

$[e^2,e^3]$ なら?

$$\log e^3-\log e^2=3-2=1$$

やはり $1$。

区間はどんどん長くなっているのに($[1,2.72]$、$[2.72,7.39]$、$[7.39,20.1]$)、面積は変わらない。

なぜか。

区間が長くなるぶん、曲線の高さ($\frac{1}{x}$)が低くなる。 その $2$ つが、ぴったり打ち消し合うのだ。

もっと一般に言える。

$${\int }_a^{ka}\frac{1}{x}dx=\log (ka)-\log a=\log k$$

面積は $a$ に一切よらない。$k$(倍率)だけで決まる。

具体例で確かめよう。

$${\int }_1^2\frac{dx}{x}=\log 2\approx 0.693$$

$${\int }_3^6\frac{dx}{x}=\log 2\approx 0.693$$

$${\int }_{100}^{200}\frac{dx}{x}=\log 2\approx 0.693$$

$3$ つとも、まったく同じ面積。区間が $[100,200]$ と巨大でも、$[1,2]$ と同じ面積しかない。「$2$ 倍に伸ばす」という操作が同じなら、面積も同じ。

この性質をスケール不変性という。そして、これが「掛け算 → 足し算」の変換を生む。

$${\int }_1^{ab}\frac{dx}{x}={\int }_1^a\frac{dx}{x}+{\int }_a^{ab}\frac{dx}{x}=\log a+\log b$$

$$\log (ab)=\log a+\log b$$

対数の最重要性質が面積の分割から出てきた。この視点で、対数目盛りの意味も分かる。対数グラフでは $1$ から $10$ までの距離と、$10$ から $100$ までの距離が等しい。

どちらも「$10$ 倍」だから、$\log 10$ という同じ距離になる。

地震のマグニチュード、音のデシベル、pH、星の等級は、どれも対数目盛りだ。

「$1000$ 倍のエネルギー」を「$3$ 段階の差」として表せるから、扱いやすい。${\int }_1^e\frac{dx}{x}=1$ という $1$ 行の面積計算を見てみる。そこには、掛け算を足し算に直すという対数の性質が表れている。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) まず、符号の確認から。

$$\sin x\geqq 0(0\leqq x\leqq \pi )$$

この区間では、$\sin$ の値は $0$ 以上。 グラフは $x$ 軸の上にある(山の形)。だから、面積 $=$ 定積分だ。

$$S={\int }_0^{\pi }\sin xdx={\left[-\cos x\right]}_0^{\pi }=-(-1)-(-1)=2$$

面積は $2$。

もし区間が $0$ から $2\pi$ だったら、話は変わる。$\pi$ から $2\pi$ では $\sin x<0$ となり、曲線が $x$ 軸の下に潜る。その部分の定積分は負になり、そのままでは面積にならない。

「まず符号、それから積分」という順序を、必ず守ること。符号が変わる点(この場合 $x=\pi$)で、区間を切り分ける必要がある。

$$\text{面積}={\int }_0^{\pi }\sin xdx=[-\cos x{]}_0^{\pi }=-\cos \pi +\cos 0=1+1=2$$

まとめ:$\sin x$ の $1$ 山($[0,\pi ]$)と $x$ 軸が囲む面積は $2$。有名な値。$-\cos \pi =+1$、$+\cos 0=+1$ の符号処理に注意する。

発展。 「符号が変わる区間では、絶対値をつける」

この操作の意味を、物理で確かめよう。速度 $v$ が時刻とともに正負に変わる運動を考える。

$$v(t)=\sin t(0\leqq t\leqq 2\pi )$$

前半($0\sim \pi$)は正の向き、後半($\pi \sim 2\pi$)は負の向きに動く。変位(位置の変化)は速度の定積分だ。

$$\text{変位}={\int }_0^{2\pi }\sin tdt={\left[-\cos t\right]}_0^{2\pi }=-1+1=0$$

変位はゼロ。 出発点に戻ってきた。だが、「まったく動かなかった」わけではない。

実際に動いた距離(道のり)は、速さ($=$ 速度の絶対値)の積分だ。

$$\text{道のり}={\int }_0^{2\pi }|\sin t|dt={\int }_0^{\pi }\sin tdt+{\int }_{\pi }^{2\pi }(-\sin t)dt=2+2=4$$

道のりは $4$。

「$2$ だけ進んで、$2$ だけ戻った」ので、合計 $4$ 動いたが、位置は元通りだ。

$$\boxed{\text{変位}=\int vdt,\text{道のり}=\int |v|dt}$$

この $2$ つを混同すると、必ず間違える。日常でも、同じ区別がある。

家から駅まで往復した。

• 変位: $0$ km(家に戻ったから)
• 道のり: $2$ km(往復したから)

タクシーの料金は道のりで決まる。 変位で決まったら、往復は無料になってしまう。

問題文を読むときの原則。

• 「変位は?」「位置の変化は?」 → 符号つきで積分
• 「道のりは?」「動いた距離は?」 → 絶対値をつけて積分
• 「面積は?」 → 絶対値(符号を反転させて足す)

そして、絶対値つきの積分を計算するときは、$3$ ステップだ。

① 符号が変わる点を見つける($\sin t=0$ となる $t=\pi$)

② 区間を、その点で分割する

③ 負の区間では、符号を反転させて積分する

この $3$ ステップを踏めば、絶対値は怖くない。「符号を確認する」という、$5$ 秒の手間。それを惜しむと、答えが半分になったり、$0$ になったりする。

別解

答えの $2$ が「妥当な大きさか」を、図形で挟み込んで確かめる。

計算ミスを見抜くには、答えの大きさを見積もる目が要る。

上から押さえる。

$\sin$ の山は幅 $\pi$、高さ $1$ の長方形にすっぽり収まる。

$$S<\pi \times 1\approx 3.14$$

下から押さえる。

山の中に、底辺 $\pi$、高さ $1$ の三角形が収まる(頂点を結んだ形)。

$$S>\frac{1}{2}\times \pi \times 1\approx 1.57$$

挟み込むと

$$1.57<S<3.14$$

答えの $2$ は、この範囲にきちんと入っている

「大きすぎず、小さすぎず」で、妥当な値だ。もう少し踏み込んで、「平均の高さ」を出してみよう。

$$\text{平均の高さ}=\frac{\text{面積}}{\text{幅}}=\frac{2}{\pi }\approx 0.6366$$

$\sin$ の山の平均高さは約 $0.64$。最大値 $1$ の、およそ $64\%$。これは、三角形の場合の平均($0.5$)より高い。

なぜか。 $\sin$ の山は、頂上付近が平らで、高いところに長く留まっているからだ。面積 $2$ という値はこの「ふっくらした山の形」を反映している。

そして、対称性を使えば計算が半分で済む。$\sin$ の山は $x=\frac{\pi }{2}$ を軸に左右対称だ。

$${\int }_0^{\pi }\sin xdx=2{\int }_0^{\pi /2}\sin xdx=2{\left[-\cos x\right]}_0^{\pi /2}=2(0+1)=2$$

半分だけ計算して、$2$ 倍する。 符号のミスも減る。この「対称性を使う」という発想は、$\sin$ の山に限らない。

偶関数なら ${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=2{\int }_0^{a}f(x)dx$

奇関数なら ${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=0$(計算不要)対称性は、計算量を半分に、あるいはゼロにする。積分を見たら、まず「対称性はないか」を疑う。

この習慣が時間と正確さの両方を稼いでくれる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $2$ つの曲線で囲まれた面積は、「上 $-$ 下」の積分だ。

$$S={\int }_a^b\left\{(\text{上の関数})-(\text{下の関数})\right\}dx$$

この問題では、$y=e^x$ と $y=1$ のどちらが上か。

区間 $0\leqq x\leqq 1$ で確かめる。

$$x=0:e^0=1(\text{同じ高さで、ここで接する})$$ $$x=0.5:e^{0.5}\approx 1.65>1$$ $$x=1:e^1\approx 2.72>1$$

$e^x$ のほうが上だ($x=0$ では等しい)。

$$S={\int }_0^1\left(e^x-1\right)dx$$

「どちらが上か」を、必ず区間内で確認する。 ここで間違えやすい。上下を取り違えると、答えの符号が反対になる。

そして、面積は必ず正だ。 負の答えが出たら、上下を間違えている。

① 上下を確かめる。 $0\leqq x\leqq 1$ で $e^x\geqq 1$。曲線 $y=e^x$ が上、直線 $y=1$ が下。

② 「上 − 下」を積分する。

$$\text{面積}={\int }_0^1(e^x-1)dx=[e^x-x{]}_0^1=(e-1)-(1-0)=e-2$$

まとめ:$2$ 曲線(曲線と直線)の面積は「上 − 下」を積分。$e^x-1$ の原始関数は $e^x-x$。$e-2\approx 0.72$ が求める面積。上下の確認を忘れずに。

発展。 「上 $-$ 下」の積分は $x$ 軸との位置関係を気にしなくてよい。この事実は意外に重要だ。

$2$ 曲線が両方とも $x$ 軸の下にある場合を考えよう。$y=-1$(下の直線)と $y=-e^x$(上の曲線)、$0\leqq x\leqq 1$。

どちらも負の値。 定積分はどちらも負になる。それでも、「上 $-$ 下」なら大丈夫だ。

$$S={\int }_0^1\left\{(-1)-(-e^x)\right\}dx={\int }_0^1(e^x-1)dx=e-2$$

同じ答えが出る。

もとの領域を、$x$ 軸に関して折り返しただけだから、面積が同じなのは当然である。なぜ「上 $-$ 下」がいつでも使えるのか。縦の細長い長方形を考えると分かる。

$x$ の位置での長方形の高さは、$x$ 軸の位置に関係なく

$$(\text{上の y 座標})-(\text{下の y 座標})$$

「高さ $=$ 上 $-$ 下」はどこにあっても成り立つ。そして、幅 $dx$ を掛けて足し上げれば、面積になる。

$$S={\int }_a^b\left\{f(x)-g(x)\right\}dx$$

$x$ 軸の位置はまったく影響していない。この普遍性が「上 $-$ 下」の強さである。逆に、「$x$ 軸との面積」を求めるときは、符号に注意が要る。

$$S={\int }_a^b|f(x)|dx$$

これは、「$f$ と $y=0$(x軸)のあいだの面積」だ。$f$ が上なら $f-0$、$x$ 軸が上なら $0-f$。つまり、$|f|$ を積分するのと同じこと。

まとめると、面積の計算は $1$ 種類しかない。

$$\boxed{S={\int }_a^b\left\{(\text{上})-(\text{下})\right\}dx}$$

$x$ 軸との面積も、$2$ 曲線の面積も、すべてこの形。

$x$ 軸は「$y=0$ という直線」にすぎない。 特別扱いする必要はない。この統一的な視点をもてば、「$x$ 軸の下だから $-f$」といった場合分けを、暗記する必要がなくなる。

毎回「どっちが上か」だけを確認すればいい。シンプルなルールを $1$ つ持っているほうが、複雑なルールを $3$ つ覚えるより、ずっと強い。

別解

引き算を、図形の引き算として見る。積分の中で引き算をしなくても、面積そのものを引けばいい。

手順は $2$ ステップだ。

① $y=e^x$ の下の面積(前に計算したもの)を求める。

$$S_1={\int }_0^1{e}^{x}dx=e-1\approx 1.718$$

これは、$e^x$ と $x$ 軸、$x=0$、$x=1$ で囲まれた領域の面積。

② その中から、余分な部分(長方形)を引く。

$y=1$ の下、つまり $0\leqq y\leqq 1$、$0\leqq x\leqq 1$ の部分は、$1$ 辺 $1$ の正方形だ。

$$S_2=1\times 1=1$$

求める面積は $S_1$ から $S_2$ を引いたもの。

$$S=S_1-S_2=(e-1)-1=e-2$$

$$e-2\approx 0.718$$

本解と同じ答え

図でイメージしよう。

$e^x$ の下の領域から、床にあたる正方形を取り除く。 残ったのが、$e^x$ と直線 $y=1$ に挟まれた三日月型の領域だ。

この見方の利点。

「上 $-$ 下」という式変形を、図形の引き算として実感できる。

$${\int }_0^1\left(e^x-1\right)dx={\int }_0^1{e}^{x}dx-{\int }_0^{1}1dx$$

積分の線形性で、$2$ つに分かれる。 そして

$${\int }_0^{1}1dx={\left[x\right]}_0^1=1(\text{正方形の面積!})$$

「定数 $1$ の積分」が「長方形の面積」になる。当たり前のようだが、大事な見方だ。この考え方はもっと複雑な場面でも使える。

例: $y=x^2$ と $y=x$ で囲まれた面積($0\leqq x\leqq 1$)。

$$S={\int }_0^1(x-x^2)dx=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$$

「直線の下の三角形($\frac{1}{2}$)から、放物線の下($\frac{1}{3}$)を引く」 と読める。引き算を、$2$ つの面積の差として見る。そうすれば、「なぜ上から下を引くのか」で迷うことはない。

大きいほうから小さいほうを引くだけの話だ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 回転体の体積は、薄い円板を積み重ねるという発想で求める。

$x$ の位置で、立体を垂直に切る。

切り口は何か。 半径 $y$ の円だ。その円の面積は

$$\pi y^2$$

この円板を厚み $dx$ で積み重ねていく。

$$V={\int }_a^b\pi y^{2}dx$$

「回転体は、薄い円板の積み重ね。断面積を積分する。」これが、すべての回転体に共通する考え方だ。

この問題では $y=x$ だから

$$V=\pi {\int }_0^1{x}^{2}dx=\pi {\left[\frac{x^3}{3}\right]}_0^1=\frac{\pi }{3}$$

できる立体は底面の半径 $1$、高さ $1$ の円錐である。

答えの $\frac{\pi }{3}$ が小学校で習った「円錐の体積 $=$ 底面積 $\times$ 高さ $÷3$」と一致するか、確かめてみよう。

① 公式にあてはめる。 $y=x$ なので $y^2=x^2$。

$$V=\pi {\int }_0^1{y}^{2}dx=\pi {\int }_0^1{x}^{2}dx$$

② 計算する。

$$=\pi [\frac{x^3}{3}{]}_0^1=\frac{\pi }{3}$$

まとめ:回転体の体積は「断面(半径 $y$ の円)の面積 $\pi y^2$ を積分」。$V=\pi \int y^{2}dx$。これは底面半径 $1$、高さ $1$ の円錐で、公式 $\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{\pi }{3}$ とも一致する。

発展。 「断面積を積分すれば体積」という原理は、回転体に限らない。

カヴァリエリの原理という定理がある。「$2$ つの立体を、同じ高さで切ったとき、どの高さでも断面積が等しいなら、体積も等しい。」形が全然違っても、断面積さえ同じなら、体積は同じ。

トランプの束を思い浮かべてほしい。

まっすぐ積んだ束と、斜めにずらした束。 形はまるで違うが、体積(カードの総量)は同じだ。

どの高さで切っても、断面(カード $1$ 枚)の面積が同じだからである。この原理を使うと、球の体積が簡単に求まる。

アルキメデスの方法。

半径 $r$ の半球を考える。 高さ $h$ で切った断面は、半径 $\sqrt{r^2-h^2}$ の円だ。

$$S_{\text{半球}}=\pi (r^2-h^2)$$

次に、こんな立体を考える。半径 $r$、高さ $r$ の円柱から、$1$ 点を頂点とする円錐をくり抜いた立体。高さ $h$ での断面は、外側が半径 $r$ の円、内側(くり抜かれた部分)が半径 $h$ の円。

$$S_{\text{円柱}-\text{円錐}}=\pi r^2-\pi h^2=\pi (r^2-h^2)$$

同じだ。

どの高さでも、断面積が一致している。カヴァリエリの原理より、$2$ つの立体の体積は等しい。

$$V_{\text{半球}}=V_{\text{円柱}}-V_{\text{円錐}}=\pi r^2\cdot r-\frac{1}{3}\pi r^2\cdot r=\frac{2}{3}\pi r^3$$

球全体なら、その $2$ 倍。

$$\boxed{V_{\text{球}}=\frac{4}{3}\pi r^3}$$

積分を使わずに、球の体積が出た。アルキメデスはこの発見をとても誇りに思い、自分の墓に「球と円柱」の図を刻ませたという。「球は、外接する円柱の $\frac{2}{3}$」

$$\frac{\frac{4}{3}\pi r^3}{2\pi r^3}=\frac{2}{3}$$

$2000$ 年以上前に、微積分なしで、この結果に到達していた。もちろん、今なら積分ですぐに求められる。

$$V=\pi {\int }_{-r}^r\left(r^2-x^2\right)dx=\pi {\left[r^{2}x-\frac{x^3}{3}\right]}_{-r}^r=\frac{4}{3}\pi r^3$$

アルキメデスの何ページもの議論が $1$ 行で済む。それでも、「断面積を積み上げる」という発想そのものは、$2000$ 年前と変わっていない。積分はその古い発想に、機械的な計算手段を与えたのだ。

別解

小学校の公式と照合し、「なぜ $\frac{1}{3}$ なのか」を積分で明かす。円錐の体積公式を、思い出そう。

$$V=\frac{1}{3}\times (\text{底面積})\times (\text{高さ})$$

この立体は底面の半径 $1$、高さ $1$ の円錐だ。

$$V=\frac{1}{3}\times \pi \times 1^2\times 1=\frac{\pi }{3}$$

積分の答えと、ぴったり一致

さて、ここからが本題だ。小学校では「円錐の体積は円柱の $\frac{1}{3}$」と、天下り式に教わった。

なぜ $\frac{1}{3}$ なのか。 学校ではあまり習わないはずだ。その答えがこの積分の中にある。

$$V=\pi {\int }_0^1{x}^{2}dx=\pi \times \frac{1}{3}$$

$\frac{1}{3}$ は ${\int }_0^1{x}^{2}dx=\frac{1}{3}$ から来ている。「$x^2$ の積分の $\frac{1}{3}$」がそのまま「円錐の $\frac{1}{3}$」になっているのだ。

もう少し丁寧に見よう。

外接する円柱(半径 $1$、高さ $1$)の体積は

$$V_{\text{円柱}}=\pi \times 1^2\times 1=\pi$$

円柱は、断面の円がずっと半径 $1$ のまま。 断面積は一定($\pi$)。

円錐は、断面の半径が $0$ から $1$ へ、直線的に増える。 断面積は $\pi x^2$ で、$2$ 次関数的に増える。

「断面積の平均」を比べよう。

• 円柱: 平均 $\pi$
• 円錐: 平均 $={\int }_0^1\pi x^{2}dx=\frac{\pi }{3}$

半径が線形に増えても、面積は $2$ 乗で増える。 だから、平均は真ん中($\frac{\pi }{2}$)ではなく、$\frac{\pi }{3}$ になる。「$2$ 乗で増えるものの平均は、$\frac{1}{3}$」

$${\int }_0^1{x}^{2}dx=\frac{1}{3}$$

この $\frac{1}{3}$ が円錐の $\frac{1}{3}$ の理由だった。同じ論理で、$4$ 角錐でも三角錐でも、どんな錐体でも $\frac{1}{3}$ になる。底面の形が何であれ、「相似な断面が線形に縮む」なら、断面積は $2$ 乗で縮む。

$$V={\int }_0^{h}S{\left(\frac{x}{h}\right)}^{2}dx=S\cdot \frac{h}{3}$$

すべての錐体が $\frac{1}{3}$ である理由が、これだ。そして、$4$ 次元の「超錐体」なら?断面が $3$ 乗で縮むので

$${\int }_0^1{x}^{3}dx=\frac{1}{4}$$

$\frac{1}{4}$ になる。

$n$ 次元の錐体の体積は外接する柱体の $\frac{1}{n}$。小学校の $\frac{1}{3}$ は $3$ 次元だから $3$ で割っていたのだ。積分は暗記していた公式に「理由」を与えてくれる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 回転体の公式に、そのまま入れる。

$$V=\pi {\int }_a^b{y}^{2}dx$$

ここで、うれしいことが起こる。

$$y=\sqrt{x}⟹y^2={\left(\sqrt{x}\right)}^2=x$$

根号が消えた。

回転体の公式は $y$ ではなく $y^2$ を使う。 だから、$y$ に根号があっても、$2$ 乗すればきれいに外れる。

$$V=\pi {\int }_0^{1}xdx=\pi {\left[\frac{x^2}{2}\right]}_0^1=\frac{\pi }{2}$$

根号を含む関数と、回転体の相性はとてもよい。面積($\int ydx$)なら、$\sqrt{x}$ をそのまま積分する必要があり、指数の計算が要る。だが体積($\int y^{2}dx$)なら、$2$ 乗で根号が消えて、ただの $1$ 次関数になる。

「体積のほうが計算が楽」という、珍しいケースだ。

① $y^2$ を求める。 $y=\sqrt{x}$ なので $y^2=x$。

② 積分する。

$$V=\pi {\int }_0^1{y}^{2}dx=\pi {\int }_0^{1}xdx=\pi [\frac{x^2}{2}{]}_0^1=\frac{\pi }{2}$$

まとめ:回転体は $y^2$ を積分するので、$y=\sqrt{x}$ のような根号が $y^2=x$ できれいに消える。これが回転体の計算のうれしいところ。$V=\frac{\pi }{2}$。

発展。 回転体の体積は $x$ 軸まわりだけではない。$y$ 軸まわりに回すこともできる。

同じ領域($y=\sqrt{x}$、$x$ 軸、$x=1$ で囲まれた部分)を、$y$ 軸のまわりに回してみよう。$y$ 軸まわりなら、公式はこうなる。

$$V=\pi {\int }_c^d{x}^{2}dy$$

役割が入れかわる。 $y$ で積分し、$x$ を $2$ 乗する。

$y=\sqrt{x}$ を $x$ について解くと $x=y^2$。

だが、注意が要る。 回転させる領域は「曲線の下」なので、$y$ 軸まわりに回すと中空になる。外側の円柱(半径 $1$)から、内側($x=y^2$ の左側)をくり抜く形だ。

$$V=\underset{\text{円柱}}{\underbrace{\pi \times 1^2\times 1}}-\underset{\text{くり抜く部分}}{\underbrace{\pi {\int }_0^1{\left(y^2\right)}^{2}dy}}=\pi -\pi {\int }_0^1{y}^{4}dy=\pi -\frac{\pi }{5}=\frac{4\pi }{5}$$

$x$ 軸まわりが $\frac{\pi }{2}$、$y$ 軸まわりが $\frac{4\pi }{5}$。同じ領域なのに、回す軸が違うと、体積はまったく違う。

当然だ。 遠くの軸のまわりに回すほど、大きく振り回されて、体積は大きくなる。この「軸によって体積が変わる」という事実は、パップス・ギュルダンの定理で定量的に表される。

$$\boxed{V=2\pi \bar{r}\times S}$$

• $S$: 回転させる図形の面積
• $\bar{r}$: 図形の重心から、回転軸までの距離

「重心が動いた距離($2\pi \bar{r}$)$\times$ 面積」が体積になる。

確かめてみよう。 この領域の面積は

$$S={\int }_0^1\sqrt{x}dx=\frac{2}{3}$$

重心の $y$ 座標を計算すると、$\bar{y}=\frac{3}{8}$ になる。$x$ 軸まわりの体積は

$$V=2\pi \times \frac{3}{8}\times \frac{2}{3}=\frac{\pi }{2}$$

公式と一致した。

この定理はトーラス(ドーナツ)の体積を求めるときに役に立つ。半径 $a$ の円を、距離 $b$($>a$)離れた軸のまわりに回すと

$$V=2\pi b\times \pi a^2=2{\pi }^2{a}^{2}b$$

積分を $1$ 度もせずに、ドーナツの体積が出た。($\pi$ が $2$ 乗で現れる点に注目したい。)「重心が描く円周 $\times$ 面積」

この直感的な公式が $3$ 世紀のパップスによって発見され、$17$ 世紀にギュルダンが再発見した。回転体を「面積が動いた軌跡」として見る。$1$ つの視点の転換が面倒な積分を消してしまうことがある。

別解

答えの $\frac{\pi }{2}$ が「円柱のちょうど半分」であることに注目する。

この立体を囲む円柱を考えよう。半径 $1$(最大の $y$ の値)、高さ $1$($x$ の範囲)の円柱。

$$V_{\text{円柱}}=\pi \times 1^2\times 1=\pi$$

求めた体積は $\frac{\pi }{2}$ で、ちょうどその半分だ。なぜ、きっかり半分なのか。断面の面積を追いかけてみよう。

$$S(x)=\pi y^2=\pi x$$

断面積が $x$ に比例している。

$$x=0:S=0$$ $$x=0.5:S=0.5\pi$$ $$x=1:S=\pi$$

断面積が $0$ から $\pi$ へ、まっすぐ(線形に)増えていく。線形に増えるものの平均は、両端の平均だ。

$$\text{平均の断面積}=\frac{0+\pi }{2}=\frac{\pi }{2}$$

体積 $=$ 平均の断面積 $\times$ 高さ $=\frac{\pi }{2}\times 1=\frac{\pi }{2}$

「断面積が線形に増えるから、体積は円柱の半分」円錐($\frac{1}{3}$)との違いが、はっきりする。

• 円錐($y=x$): 断面積 $\pi x^2$ は $2$ 次関数的に増える → 平均は $\frac{\pi }{3}$ → 円柱の $\frac{1}{3}$
• この立体($y=\sqrt{x}$): 断面積 $\pi x$ は線形に増える → 平均は $\frac{\pi }{2}$ → 円柱の $\frac{1}{2}$

「断面積がどう増えるか」が、体積の割合を決めている。

さらに、$y=x^2$ を回転させたら?(次の問題で扱う)

断面積は $\pi x^4$ で $4$ 次関数的に増える。

$${\int }_0^1{x}^{4}dx=\frac{1}{5}⟹V=\frac{\pi }{5}(\text{円柱の }\frac{1}{5})$$

$3$ つを並べてみよう。

$$y=\sqrt{x}:\frac{\pi }{2},y=x:\frac{\pi }{3},y=x^2:\frac{\pi }{5}$$

曲線が「下に張りつく」ほど、体積は小さくなる。

$\sqrt{x}$ は急に立ち上がって、上のほうに膨らんでいる → 太い立体

$x^2$ は $0$ の近くで長く這っている → 細い立体

一般に、$y=x^n$ を回転させると

$$V=\pi {\int }_0^1{x}^{2n}dx=\frac{\pi }{2n+1}$$

$n=\frac{1}{2}$ なら $\frac{\pi }{2}$、$n=1$ なら $\frac{\pi }{3}$、$n=2$ なら $\frac{\pi }{5}$

すべて、$1$ つの公式で説明がつく。「断面積の増え方」を見れば、計算する前に体積の見当がつく。この感覚は検算に役立つ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 無限個の項の和なので、そのままでは計算できない。

だが、この和には特徴的な形がある。

$$\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{k}{n}$$

$2$ つの部品に注目してほしい。

• $\frac{k}{n}$:$k$ が $1$ から $n$ まで動くと、$0$ から $1$ までを細かく刻む
• $\frac{1}{n}$:刻み幅そのもの

この形は「細い長方形の面積を足し上げている」姿だ。

• 横幅 $=\frac{1}{n}$
• 高さ $=f\left(\frac{k}{n}\right)$(ここでは $f(x)=x$)

$n\to \infty$ で、長方形は無限に細くなり、和は面積(定積分)に収束する。

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)={\int }_0^{1}f(x)dx$$

「$\frac{k}{n}$ を $x$ に、$\frac{1}{n}$ を $dx$ に置き換える」これが区分求積法だ。和の極限を積分に直す。

① 定積分に読みかえる。 $\frac{k}{n}$ を $x$、$\frac{1}{n}$ を $dx$ とみる。$f\left(\frac{k}{n}\right)=\frac{k}{n}$ なので $f(x)=x$。

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{k}{n}={\int }_0^{1}xdx$$

② 計算する。

$$=[\frac{x^2}{2}{]}_0^1=\frac{1}{2}$$

まとめ:区分求積法は「$\frac{1}{n}\sum f\left(\frac{k}{n}\right)$ の極限 = ${\int }_0^{1}f$」。$\frac{k}{n}$ を $x$、$\frac{1}{n}$ を幅 $dx$ とみると、和が面積(定積分)になる。細い長方形を無限に集める、という積分の原点だ。

発展。 区分求積法は「積分の定義」そのものを逆に使っている。

この視点で、有名な極限をいくつか片づけてみよう。問題 $1$: $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{2n}\right)$

一見、手も足も出ない。だが、無理やり $\frac{1}{n}$ をくくり出す。

$$=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{1}{1+\frac{k}{n}}={\int }_0^1\frac{dx}{1+x}={\left[\log (1+x)\right]}_0^1=\log 2$$

答えは $\log 2\approx 0.693$。

$n$ 個の分数を足しただけで、対数が現れた。問題 $2$: $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\left(\sqrt{\frac{1}{n}}+\sqrt{\frac{2}{n}}+\cdots +\sqrt{\frac{n}{n}}\right)$

$$={\int }_0^1\sqrt{x}dx=\frac{2}{3}$$

問題 $3$(難関): $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}$

階乗の $n$ 乗根である。 どう手をつけるのか。

対数をとる。

$$\log \frac{\sqrt[n]{n!}}{n}=\frac{1}{n}\log \frac{n!}{n^n}=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\log \frac{k}{n}$$

区分求積法の形になった。

$$\to {\int }_0^1\log xdx={\left[x\log x-x\right]}_0^1=-1$$

($x\to 0$ で $x\log x\to 0$ を使う。)

対数が $-1$ に収束するので、元の量は

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}=e^{-1}=\frac{1}{e}$$

階乗の $n$ 乗根が $\frac{n}{e}$ に近づく。

確かめよう。 $n=10$ なら

$$\sqrt[10]{10!}=\sqrt[10]{3628800}\approx 4.53,\frac{10}{e}\approx 3.68$$

$n=100$ なら、比は $0.99$ 程度まで近づく。この結果はスターリングの公式

$$n!\approx \sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n$$

の、$n$ 乗根版にあたる。階乗という離散的な対象の増え方が、${\left(\frac{n}{e}\right)}^n$ という連続的な式で捉えられる。そして、その橋渡しをしたのが区分求積法だった。

「離散(和)と連続(積分)を行き来する」この往復ができるようになると、解ける問題の幅がずっと広がる。和で困ったら、積分へ。積分で困ったら、和へ。

別解

積分を使わず、和を直接計算して極限をとる。この問題の和は、実は手で計算できてしまう。

$$\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{k}{n}=\frac{1}{n^2}\sum _{k=1}^{n}k$$

$\Sigma k$ の公式(ガウスの和)を使う。

$$\sum _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$$

代入する。

$$\frac{1}{n^2}\cdot \frac{n(n+1)}{2}=\frac{n+1}{2n}$$

きれいな形になった。

極限をとる。

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n+1}{2n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1+\frac{1}{n}}{2}=\frac{1}{2}$$

答えは $\frac{1}{2}$ 本解と一致した。

数値で追ってみよう。

$$n=10:\frac{11}{20}=0.55$$ $$n=100:\frac{101}{200}=0.505$$ $$n=10000:0.50005$$

$\frac{1}{2}$ に、上から近づいている。

なぜ「上から」なのか。

$f(x)=x$ は増加関数だ。 各区間の右端の値を高さに使っているので、長方形は真の面積より少しはみ出す。だから、和は真の値より少し大きい。

もし左端($\frac{k-1}{n}$)を使えば、下から近づく。

$$\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{k-1}{n}=\frac{n-1}{2n}\to \frac{1}{2}(\text{下から})$$

どちらも、極限は同じ $\frac{1}{2}$。「右端でも左端でも、$n\to \infty$ なら同じ」というのが、区分求積法の要点だ。さて、この問題では和が直接計算できた。だが、それは例外である。

たとえば、こんな和は?

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{1}{1+{\left(\frac{k}{n}\right)}^2}$$

$\Sigma$ の公式では、まったく歯が立たない。だが、区分求積法ならすぐに求められる。

$$={\int }_0^1\frac{1}{1+x^2}dx={\left[\arctan x\right]}_0^1=\frac{\pi }{4}$$

$\pi$ が出てきた。

和の形からは想像しにくい答えが、積分に直すとすぐに出てくる。「計算できない和を、計算できる積分に直す」これが区分求積法の、本当の使い道である。

図形の面積を「和の極限」で定義したから、こう計算できる。 定義した道を、逆にたどって、和を積分で計算する。