積分法の応用 実戦編の問題 全8問

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $(X,Y,Z)$ は単位立方体 $[0,1{]}^3$ に一様に散らばる。だから確率は「条件を満たす立体の体積」そのものだ。

条件 $X^2+Y^2+Z^2\le 1$ は、原点中心・半径 $1$ の球の内部。ただし $X,Y,Z$ はすべて $0$ 以上だから、球の第1象限の部分($x,y,z\ge 0$)だけを見る。球は $8$ つの象限に均等に分かれるので、求める体積は球全体 $\frac{4}{3}\pi$ の $\frac{1}{8}$。それが確率になる。

① 確率を体積で表す。 立方体は体積 $1$ に一様だから、求める確率は $\{(x,y,z):x,y,z\in [0,1],x^2+y^2+z^2\le 1\}$ の体積。

② 球の $\frac{1}{8}$。 この領域は半径 $1$ の球 $x^2+y^2+z^2\le 1$ の第1象限($x,y,z\ge 0$)の部分。球は $3$ つの座標平面で $8$ 等分され、各象限は合同だから、体積は $$\frac{1}{8}\cdot \frac{4}{3}\pi \cdot 1^3=\frac{\pi }{6}.$$ ③ 結論。 立方体の体積が $1$ なので、確率はそのまま $$P=\frac{\pi }{6}.$$ (補足:体積は ${\int }_0^1{\int }_0^{\sqrt{1-x^2}}\sqrt{1-x^2-y^2}dydx$ の累次積分でも $\frac{\pi }{6}$ になる。)

まとめ独立一様な $3$ 変数は単位立方体に一様、確率は立体の体積。条件領域は単位球の $\frac{1}{8}$ で $\frac{\pi }{6}$。確率・積分(体積)・立体の融合。

発展。 次元を上げると、$n$ 次元の単位球の体積は $\frac{{\pi }^{n/2}}{\Gamma (n/2+1)}$。$n$ を大きくすると、この体積は $0$ に近づく。高次元の球は「ほとんど空っぽ」で、質量が表面近くに集中する(次元の呪い)。3次元の $\frac{\pi }{6}\approx 0.52$ はまだ立方体の半分ほどだが、この割合は次元とともに急減する。

別解

別解:逐次積分で「スライスして足す」(苦手な人にも追えるルート)。 「球の $\frac{1}{8}$」という幾何を使わず、積分で直接体積を出す。

$x$ を固定して $[0,1]$ を動かすと、その断面は「$y^2+z^2\le 1-x^2$ かつ $y,z\ge 0$」、つまり半径 $\sqrt{1-x^2}$ の四分円だ。面積は $\frac{\pi }{4}(1-x^2)$。これを $x=0$ から $1$ まで積分する。

$$V={\int }_0^1\frac{\pi }{4}(1-x^2)dx=\frac{\pi }{4}{\left[x-\frac{x^3}{3}\right]}_0^1=\frac{\pi }{4}\cdot \frac{2}{3}=\frac{\pi }{6}.$$

球の対称性(本解)を知らなくても、「薄いスライスの面積を足す」という積分の原則で同じ $\frac{\pi }{6}$ に着く。確率は面積・体積そのもの、という視点(幾何確率)と、多重積分の考え方が一度に身につく。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $x^n$ は $n$ が大きいほど、$x=1$ の近くだけで大きく、それ以外ではほぼ $0$。つまり「重み」が右端に集まる。

その重み $x^n$ で $e^x$ を平均するようなものだから、$n$ が大きいと $x=1$ での値 $e^1=e$ に近づきそうだ。これを厳密にするには、$n{\int }_0^1{x}^{n}g(x)dx\to g(1)$($g$ が連続)を、部分積分かはさみうちで示す。ここでは $g(x)=e^x$ で極限は $e$。

① もとになる積分。 $n{\int }_0^1{x}^{n}dx=n\cdot \frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}\to 1$。

② $e^x$ をはさむ。 任意の小さな $\delta >0$ に対し、$[1-\delta ,1]$ では $e^x\ge e^{1-\delta }$、また全体で $e^x\le e$。質量が $[1-\delta ,1]$ に集まる($n{\int }_0^{1-\delta }{x}^{n}dx=\frac{n(1-\delta {)}^{n+1}}{n+1}\to 0$)ことから、 $$e^{1-\delta }\le \mathrm{liminf}n{\int }_0^1{x}^n{e}^{x}dx\le \mathrm{limsup}n{\int }_0^1{x}^n{e}^{x}dx\le e.$$ $\delta \to 0$ とすると両端が $e$ に近づく。

③ 極限。 よって $\underset{n\to \infty }{\lim }n{\int }_0^1{x}^n{e}^{x}dx=e^1=e$。

まとめ $n{\int }_0^1{x}^{n}g(x)dx$ は、$x^n$ の質量が $x=1$ に集中するので $g(1)$ に収束する。ここでは $g(x)=e^x$ で答えは $e$。積分の重み・極限・はさみうちの融合。部分積分 $n{\int }_0^1{x}^n{e}^{x}dx=\frac{n}{n+1}[x^{n+1}{e}^x{]}_0^1-\cdots$ からも確認できる。

発展。 一般に連続な $g$ で $n{\int }_0^1{x}^{n}g(x)dx\to g(1)$。重み $n{x}^n$ は $n\to \infty$ で $x=1$ の一点に集中する「デルタ関数」のように振る舞う。$g(x)=x^2$ なら $\to 1$、$g(x)=\cos x$ なら $\to \cos 1$。「点で値を拾い出す」この仕組みは、フーリエ解析や信号処理の核(カーネル)の考え方につながる。

別解

別解:部分積分で $\frac{1}{n+1}$ の重みを取り出す(得意な人向けの高い視点)。 ${\int }_0^1{x}^n{e}^{x}dx$ を、$x^n$ を積分・$e^x$ を微分する向きで部分積分する。

$${\int }_0^1{x}^n{e}^{x}dx={\left[\frac{x^{n+1}}{n+1}{e}^x\right]}_0^1-\frac{1}{n+1}{\int }_0^1{x}^{n+1}{e}^{x}dx=\frac{e}{n+1}-\frac{1}{n+1}{\int }_0^1{x}^{n+1}{e}^{x}dx.$$

$n$ を掛けると、第1項は $\frac{ne}{n+1}\to e$。第2項は $\frac{n}{n+1}{\int }_0^1{x}^{n+1}{e}^{x}dx$ で、${\int }_0^1{x}^{n+1}{e}^{x}dx\le \frac{e}{n+2}\to 0$ だから消える。よって極限は $e$。「$x^n$ の質量が $x=1$ に集まる」(本解)という直感を、$\frac{e}{n+1}$ という具体的な形で確認できる。一般に $n{\int }_0^1{x}^{n}g(x)dx\to g(1)$ が、この計算でそのまま示せる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $S_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}$ の大きさを、積分 $\int \frac{dx}{\sqrt{x}}=2\sqrt{x}$ で見積もる。

$\frac{1}{\sqrt{x}}$ は減少関数だから、幅 $1$ の短冊(和)は対応する積分で上下からはさめる。具体的には $2\sqrt{n+1}-2\le S_n\le 2\sqrt{n}-1$。両端を $\sqrt{n}$ で割ると、どちらも $2$ に近づく。はさみうちで $\frac{S_n}{\sqrt{n}}\to 2$。「和を積分ではさむ」基本の方法だ。

① 積分ではさむ。 減少性から、各 $k$ で ${\int }_k^{k+1}\frac{dx}{\sqrt{x}}\le \frac{1}{\sqrt{k}}\le {\int }_{k-1}^k\frac{dx}{\sqrt{x}}$。$k=1$ から $n$ まで足すと $${\int }_1^{n+1}\frac{dx}{\sqrt{x}}\le S_n\le 1+{\int }_1^n\frac{dx}{\sqrt{x}}.$$ (右辺は $k=1$ の項 $\frac{1}{\sqrt{1}}=1$ を別扱いした。) ② 積分を計算する。 ${\int }_1^m\frac{dx}{\sqrt{x}}=[2\sqrt{x}{]}_1^m=2\sqrt{m}-2$。よって $$2\sqrt{n+1}-2\le S_n\le 2\sqrt{n}-1.$$ ③ $\sqrt{n}$ で割って極限。 $$\frac{2\sqrt{n+1}-2}{\sqrt{n}}\le \frac{S_n}{\sqrt{n}}\le \frac{2\sqrt{n}-1}{\sqrt{n}}.$$ 左端 $=2\sqrt{1+\frac{1}{n}}-\frac{2}{\sqrt{n}}\to 2$、右端 $=2-\frac{1}{\sqrt{n}}\to 2$。はさみうちで $$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{S_n}{\sqrt{n}}=2.$$

まとめ和の漸近は単調な被加数を積分で上下からはさむ。$\frac{1}{\sqrt{x}}$ の積分 $2\sqrt{x}$ で $S_n\approx 2\sqrt{n}$、$\frac{S_n}{\sqrt{n}}\to 2$。数列の和と積分の比較・極限の融合。

発展。 より精密には $S_n=2\sqrt{n}+\zeta \left(\frac{1}{2}\right)+o(1)$ で、定数 $\zeta \left(\frac{1}{2}\right)\approx -1.4604$(リーマンゼータ関数の値)が現れる。$\frac{1}{\sqrt{k}}=k^{-1/2}$ の和が発散する($p=\frac{1}{2}\le 1$)速さは $\sqrt{n}$ で、その先の定数項にはゼータ関数が現れる。積分による評価はこの漸近の主要項をつかむ第一歩だ。

別解

別解:差 $\sqrt{k}-\sqrt{k-1}$ と比べる(苦手な人向け)。 $\frac{1}{\sqrt{k}}$ を、扱いやすい差 $2(\sqrt{k}-\sqrt{k-1})$ とくらべる。分母を有理化すると

$$2(\sqrt{k}-\sqrt{k-1})=\frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}.$$

分母 $\sqrt{k}+\sqrt{k-1}$ は $2\sqrt{k}$ より少し小さいから、$2(\sqrt{k}-\sqrt{k-1})>\frac{2}{2\sqrt{k}}=\frac{1}{\sqrt{k}}$。同様に $\frac{1}{\sqrt{k}}>2(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})$。$k=1$ から $n$ まで足すと、右辺は望遠鏡で $2\sqrt{n}-2$ や $2\sqrt{n+1}-2$ に畳まれる。はさむと

$$2\sqrt{n+1}-2<S_n<2\sqrt{n}-1.$$

$\sqrt{n}$ で割れば両端 $\to 2$、極限は $2$。積分ではさむ(本解)のと同じことを、差の望遠鏡でやっている。$\frac{1}{\sqrt{k}}\approx 2(\sqrt{k}-\sqrt{k-1})$ という近似が、$\int \frac{dx}{\sqrt{x}}=2\sqrt{x}$ の離散版だ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 回転体の体積は $V=\pi \int y^{2}dx=\pi \int e^{-2x}dx$。左右をそれぞれ計算して等しいとおく。

左側($0\le x\le a$)は $\frac{\pi }{2}(1-e^{-2a})$。右側($x\ge a$)は $x\to \infty$ までの広義積分で $\frac{\pi }{2}{e}^{-2a}$。等しい条件 $1-e^{-2a}=e^{-2a}$、すなわち $e^{-2a}=\frac{1}{2}$。これを解けば $a$ が出る。これが、全体の体積を半分ずつに割る $a$ である。

① 左側の体積。 $V_{\text{左}}=\pi {\int }_0^a{e}^{-2x}dx=\pi [-\frac{1}{2}{e}^{-2x}{]}_0^a=\frac{\pi }{2}(1-e^{-2a})$。

② 右側の体積(広義積分)。 $V_{\text{右}}=\pi {\int }_a^{\infty }{e}^{-2x}dx=\pi \underset{t\to \infty }{\lim }[-\frac{1}{2}{e}^{-2x}{]}_a^t=\frac{\pi }{2}{e}^{-2a}$。 ③ 等号を解く。 $V_{\text{左}}=V_{\text{右}}$ より $$\frac{\pi }{2}(1-e^{-2a})=\frac{\pi }{2}{e}^{-2a}⟹1-e^{-2a}=e^{-2a}⟹e^{-2a}=\frac{1}{2}.$$ 両辺の自然対数をとって $-2a=-\log 2$、すなわち $$a=\frac{\log 2}{2}.$$

まとめ回転体の体積は $\pi \int e^{-2x}dx$。左右をともに $e^{-2a}$ で表し、等号から $e^{-2a}=\frac{1}{2}$、$a=\frac{\log 2}{2}$。無限に伸びる図形でも広義積分が収束するので体積を二等分できる。回転体・広義積分・方程式の融合。

発展。 体積を2等分する $a=\frac{\log 2}{2}$ と、面積を2等分する $a=\log 2$ は違う(面積は $\int e^{-x}$、体積は $\int e^{-2x}$ で減衰が2倍速い)。回転させると $y$ が2乗で体積に入るため、体積は左に偏り、等分点が手前に来る。「同じ図形でも、面積・体積・重心で『真ん中』は別の場所」という好例だ。

別解

別解:「全体の半分」と一言で片づける(得意な人向けの視点)。 左右の体積を別々に計算する前に、全体の体積を見る。曲線 $y=e^{-x}$($x\ge 0$)を $x$ 軸で回した立体の総体積は

$$V_{\text{全}}=\pi {\int }_0^{\infty }{e}^{-2x}dx=\pi {\left[-\frac{1}{2}{e}^{-2x}\right]}_0^{\infty }=\frac{\pi }{2}.$$

「左右が等しい」とは「左が全体のちょうど半分 $\frac{\pi }{4}$」ということ。左側の体積は

$$\pi {\int }_0^a{e}^{-2x}dx=\frac{\pi }{2}(1-e^{-2a})=\frac{\pi }{4}⟹1-e^{-2a}=\frac{1}{2}⟹e^{-2a}=\frac{1}{2}.$$

$-2a=\log \frac{1}{2}=-\log 2$ より $a=\frac{\log 2}{2}$。右側の広義積分をわざわざ計算しなくても(本解)、「全体の半分」と読み替えると左側1本で決まる。$e^{-2x}$ の半減が $2x=\log 2$ で起きる、という感覚とも合う。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 被積分関数 ${\left(1-\frac{x}{n}\right)}^n$ は、$n\to \infty$ で各 $x$ について $e^{-x}$ に近づく($e$ の定義の変形)。

積分区間の上端も $n\to \infty$ で $\infty$ に伸びる。だから極限は ${\int }_0^{\infty }{e}^{-x}dx$ になりそうだ。極限と積分の交換を正当化するには、${\left(1-\frac{x}{n}\right)}^n\le e^{-x}$(上から押さえる)を使う。極限は ${\int }_0^{\infty }{e}^{-x}dx=1$。

① 各点での収束。 固定した $x(\ge 0)$ に対し、$0\le x\le n$ なら ${\left(1-\frac{x}{n}\right)}^n\to e^{-x}$($n\to \infty$)。

② 上から押さえる。 $0\le u\le 1$ で $\log (1-u)\le -u$ だから、$0\le x\le n$ で $n\log \left(1-\frac{x}{n}\right)\le -x$、すなわち $$0\le {\left(1-\frac{x}{n}\right)}^n\le e^{-x}.$$ この上界 $e^{-x}$ は $[0,\infty )$ で積分可能(${\int }_0^{\infty }{e}^{-x}dx=1$)。

③ 極限と積分を入れ替える。 押さえがあるので極限を積分の中に入れてよく $$\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_0^n{\left(1-\frac{x}{n}\right)}^{n}dx={\int }_0^{\infty }{e}^{-x}dx=[-e^{-x}{]}_0^{\infty }=1.$$

まとめ被積分関数が $e^{-x}$ に近づき、上から $e^{-x}$ で押さえられるので、極限と積分を入れ替えて ${\int }_0^{\infty }{e}^{-x}dx=1$。$e$ の定義の極限が積分の中で働く、積分・極限の融合。

発展。 ${\int }_0^{n}x{\left(1-\frac{x}{n}\right)}^{n}dx\to {\int }_0^{\infty }x{e}^{-x}dx=1!=1$、${\int }_0^{\infty }{x}^k{e}^{-x}dx=k!$(ガンマ関数)。${\left(1-\frac{x}{n}\right)}^n$ という「$e^{-x}$ の近似」を通して、階乗が積分で表せる。指数関数の定義 ${\left(1+\frac{x}{n}\right)}^n\to e^x$ が、この積分でもそのまま使われている。

別解

別解:二項定理で開いて項別に積分する(得意な人向けの高い視点)。 極限と積分の交換に頼らず、有限の $n$ で積分を実行してから極限をとる道もある。置換 $t=\frac{x}{n}$($x=nt$)で

$${\int }_0^n{\left(1-\frac{x}{n}\right)}^{n}dx=n{\int }_0^1(1-t{)}^{n}dt=n\cdot \frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}.$$

(${\int }_0^1(1-t{)}^{n}dt=\frac{1}{n+1}$ は直接計算できる。)$n\to \infty$ で $\frac{n}{n+1}\to 1$。$e^{-x}$ への収束や優関数(本解)を経由せず、置換ひとつで積分が $\frac{n}{n+1}$ という初等的な式になり、極限が $1$ とすぐ出る。「先に積分、後で極限」が使えるときは、収束の議論を回避できて安全だ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 回転体でない立体の体積は、断面積 $S(x)$ を求めて $\int S(x)dx$ で出す。回転体の $\pi y^2$ にこだわらないのがコツだ。

底面は半径 $1$ の円。位置 $x$ で底面を切ると、弦の長さは $2\sqrt{1-x^2}$。この弦を1辺とする正三角形が切り口だ。

1辺 $s$ の正三角形の面積は $\frac{\sqrt{3}}{4}{s}^2$。$s=2\sqrt{1-x^2}$ を入れて $S(x)=\sqrt{3}(1-x^2)$。あとは $x=-1$ から $1$ まで積分する。

① 断面積を求める。 位置 $x$($-1\le x\le 1$)での底面の弦の長さは $a=2\sqrt{1-x^2}$。切り口の正三角形の面積は $$S(x)=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 4(1-x^2)=\sqrt{3}(1-x^2).$$

② 積分する。 $$V={\int }_{-1}^1\sqrt{3}(1-x^2)dx=\sqrt{3}[x-\frac{x^3}{3}{]}_{-1}^1=\sqrt{3}\cdot 2(1-\frac{1}{3})=\sqrt{3}\cdot \frac{4}{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}.$$

まとめ非回転体でも、断面積 $S(x)$ を積分すれば体積が出る(カヴァリエリ)。弦 $2\sqrt{1-x^2}$ を1辺とする正三角形の面積 $\sqrt{3}(1-x^2)$ を積分して $\frac{4\sqrt{3}}{3}$。断面積・積分・三角形の融合。

発展。 断面積を「(形の係数)$\times$(1辺)${}^2$」と分けると、同じ底面でも断面が正方形なら $\frac{16}{3}$、正三角形なら $\frac{4\sqrt{3}}{3}$、半円なら $\frac{\pi }{2}\cdot \frac{16}{3}\cdot \frac{1}{4}$… と、形の係数を掛けるだけ。カヴァリエリの原理「断面積が等しい立体は体積も等しい」の精密版で、断面の形が体積に影響する仕組みが見える。

別解

別解:相似な断面の比で捉える(得意な人向けの視点)。 断面はどれも正三角形で、形は同じ・大きさだけが違う(相似)。1辺が $s(x)=2\sqrt{1-x^2}$ だから、面積は $1$ 辺の2乗に比例する。

「もし断面が、弦を1辺とする正方形だったら」体積は ${\int }_{-1}^{1}s(x{)}^{2}dx={\int }_{-1}^{1}4(1-x^2)dx=\frac{16}{3}$。正三角形の面積は正方形($s^2$)の $\frac{\sqrt{3}}{4}$ 倍だから、体積も同じ比率で

$$V=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{16}{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}.$$

断面の「形の係数」($\frac{\sqrt{3}}{4}$)を最後に掛けるだけ、と分けて考えると、正六角形でも半円でも、同じ $\int s(x{)}^{2}dx=\frac{16}{3}$ に形の係数を掛ければ体積が出る。断面積を「(形の係数)$\times$(1辺)${}^2$」と分解する見方だ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $y$ 軸のまわりの回転だから、高さ $y$ で水平に切る。断面は「円環(ドーナツの輪切り)」だ。

高さ $y$ での円板の左右の端は $x=b\pm \sqrt{a^2-y^2}$。回転すると、外半径 $b+\sqrt{a^2-y^2}$、内半径 $b-\sqrt{a^2-y^2}$ の輪になる。輪の面積 $\pi (R_{\text{外}}^2-R_{\text{内}}^2)$ を展開すると、$\sqrt{a^2-y^2}$ の項だけが残り、$4\pi b\sqrt{a^2-y^2}$ になる。これを $y$ で積分する($\int \sqrt{a^2-y^2}dy$ は半円の面積)。

① 断面(円環)の面積。 高さ $y$ で $s=\sqrt{a^2-y^2}$ とおくと、外半径 $R=b+s$、内半径 $r=b-s$。円環の面積は $$\pi (R^2-r^2)=\pi (R+r)(R-r)=\pi \cdot (2b)\cdot (2s)=4\pi b\sqrt{a^2-y^2}.$$

② 積分する。 $$V={\int }_{-a}^{a}4\pi b\sqrt{a^2-y^2}dy=4\pi b{\int }_{-a}^a\sqrt{a^2-y^2}dy.$$ ${\int }_{-a}^a\sqrt{a^2-y^2}dy$ は半径 $a$ の半円の面積 $\frac{\pi a^2}{2}$。よって $$V=4\pi b\cdot \frac{\pi a^2}{2}=2{\pi }^2{a}^{2}b.$$

まとめ $y$ 軸回転は高さで切って円環にする。$R^2-r^2=(R+r)(R-r)=4bs$ と因数分解でき、残る $\int \sqrt{a^2-y^2}$ は半円の面積 $\frac{\pi a^2}{2}$。体積は $2{\pi }^2{a}^{2}b$。回転体・積分・幾何の融合。

発展。 パップス・ギュルダンの定理(別解)は、曲線の長さ版もある。「曲線を軸のまわりに回した曲面の面積 $=$(曲線の長さ)$\times$(重心が動く距離)」。トーラスの表面積なら $2\pi a\times 2\pi b=4{\pi }^{2}ab$。回転体の体積・表面積が、どちらも「重心の移動距離」で書けるのは、重心が「平均の位置」だからだ。

別解

別解:パップス・ギュルダンの定理で積分なしに出す(得意な人向けの高い視点)。 回転体の体積は積分を使わない定理でも求められる。「平面図形を、それと交わらない軸のまわりに1回転してできる立体の体積は、(図形の面積)$\times$(重心が動く距離)」。

回す円板の面積は $\pi a^2$。重心は円の中心 $(b,0)$ で、$y$ 軸のまわりに1回転すると半径 $b$ の円を描き、動く距離は $2\pi b$。よって

$$V=\pi a^2\times 2\pi b=2{\pi }^2{a}^{2}b.$$

断面の円環を積分する(本解)と同じ答えが、掛け算1回で出る。パップスの定理は「回転体の体積 $=$ 面積 $\times$ 重心の周」という形で、重心と回転体の体積を結びつける。トーラスの体積が「半径 $a$ の円の面積 $\times$ 中心が描く円周」というのは、直感にもよく合う。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 重心は「図形をつり合わせる点」。左右対称($x=\frac{\pi }{2}$ について対称)だから $x$ 座標は $\frac{\pi }{2}$ とすぐ分かる。問題は $y$ 座標だ。

$y$ 座標は各縦線分($x$ を固定したときの $0$ から $\sin x$ の線分)の中点 $\frac{\sin x}{2}$ を、線分の長さ(面積の要素)で重みづけて平均する。式にすると $\overline{y}=\frac{1}{A}{\int }_0^{\pi }\frac{1}{2}(\sin x{)}^{2}dx$。面積 $A=2$、積分は ${\sin }^2$ を半角で計算する。

① 面積 $A$。 $A={\int }_0^{\pi }\sin xdx=[-\cos x{]}_0^{\pi }=2$。

② 分子の積分。 半角公式 ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$ を使い $${\int }_0^{\pi }\frac{1}{2}{\sin }^{2}xdx=\frac{1}{2}{\int }_0^{\pi }\frac{1-\cos 2x}{2}dx=\frac{1}{4}[x-\frac{\sin 2x}{2}{]}_0^{\pi }=\frac{1}{4}\cdot \pi =\frac{\pi }{4}.$$ ③ 重心の $y$ 座標。 $$\overline{y}=\frac{1}{A}{\int }_0^{\pi }\frac{1}{2}{\sin }^{2}xdx=\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{8}.$$ (対称性から重心の $x$ 座標は $\frac{\pi }{2}$。)

まとめ重心の $y$ 座標は各縦短冊の中点 $\frac{y}{2}$ を面積で重みづけた平均 $\overline{y}=\frac{1}{A}\int \frac{y^2}{2}dx$。面積 $2$、分子 $\frac{\pi }{4}$ で $\overline{y}=\frac{\pi }{8}$。積分と重心の融合。

発展。 重心の $x$ 座標は対称性から $\frac{\pi }{2}$。$y$ 座標 $\frac{\pi }{8}\approx 0.39$ は、山の高さ $1$ の $4$ 割ほどの位置にある(半円や三角形の重心が高さの $\frac{1}{3}\sim \frac{4}{3\pi }$ 付近に来るのと似た感覚)。重心はモーメント $\int ydm$ を質量で割った「つり合いの点」で、物理の剛体の運動や安定性の解析で中心的な量になる。

別解

別解:パップスの定理を逆に使って重心を出す(得意な人向けの高い視点)。 パップス・ギュルダンの定理「回転体の体積 $=$(面積)$\times$(重心が動く距離)」を、重心を求める向きに使う。

この図形を $x$ 軸のまわりに回すと、体積は

$$V=\pi {\int }_0^{\pi }{\sin }^{2}xdx=\pi \cdot \frac{\pi }{2}=\frac{{\pi }^2}{2}.$$

一方パップスの定理では $V=(\text{面積}A)\times (\text{重心が動く距離}2\pi \overline{y})$。$A=2$ だから

$$\frac{{\pi }^2}{2}=2\times 2\pi \overline{y}⟹\overline{y}=\frac{{\pi }^2/2}{4\pi }=\frac{\pi }{8}.$$

各縦線分の中点を積分する(本解)代わりに、「回転体の体積を1回計算 → 定理で割り算」でも $\frac{\pi }{8}$ が出る。回転体の体積と重心が、パップスの定理で表裏一体になっている。