微分法の計算 ★★ 標準の問題 全12問

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $x^2$ と $\sin x$ の積。積の微分は「バラして掛ける」ではなく、専用の公式を使う。

$$(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$$

「前を微分 $\times$ 後ろそのまま $+$ 前そのまま $\times$ 後ろを微分」のように、$2$ つの部品が交代で微分される形だ。$f=x^2,g=\sin x$ と役を決めて、$f^{\prime }=2x$、$g^{\prime }=\cos x$ を組めばよい。

$f=x^2$、$g=\sin x$。$f^{\prime }=2x$、$g^{\prime }=\cos x$。

$$y^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }=2x\sin x+x^2\cos x$$

まとめ:$x^2$ と $\sin x$ の積は積の微分公式で $2$ 項に。「$x^2$ を微分 × $\sin x$」+「$x^2$ × $\sin x$ を微分」。多項式 × 三角関数はこの形が基本だ。

発展。 積の公式の出どころは増分の分解にある。$f$ と $g$ が同時に少しずつ動くとき、積 $fg$ の増え幅は「$f$ の増分 $\times g$」と「$f\times g$ の増分」の和になる(両方の増分の積は $2$ 次の微小量で消える)。長方形の縦横を少し伸ばすと、増える面積は帯 $2$ 本分になる、という絵で考えるとよい。

答えの検算には数値が手軽だ。$x=1$ で $y^{\prime }=2\sin 1+\cos 1\approx 2.223$。$\frac{f(1.001)-f(0.999)}{0.002}$ を電卓で計算すると同じ値に近づく。記号の計算を数の計算で照合する習慣は、微分のどの単元でも検算として役に立つ。

別解

積を対数で和にほどいてから微分する道もある($x^2\sin x>0$ の範囲で考え、対数微分法を使う)。

$$\log y=2\log x+\log \sin x$$

積が和に変わった。両辺を微分すると、和は項ごとに微分できて

$$\frac{y^{\prime }}{y}=\frac{2}{x}+\frac{\cos x}{\sin x}$$

両辺に $y=x^2\sin x$ を掛けて戻すと

$$y^{\prime }=x^2\sin x\left(\frac{2}{x}+\frac{\cos x}{\sin x}\right)=2x\sin x+x^2\cos x$$

積の公式と同じ答えだ。$2$ 個の積なら公式の方が速い。だがこの「積 $\to$ 対数 $\to$ 和」の変換は、$3$ 個以上の積や商・累乗が入り混じった式($\frac{x^2\sqrt{x+1}}{(x+2{)}^3}$ など)で役に立つ。対数微分法は $x^x$ 専用の技ではなく、積の構造を一括でほどく汎用の道具である。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 分数の形なので、商の微分公式を使う。

$${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$$

分子は「上を微分 $\times$ 下 $-$ 上 $\times$ 下を微分」で引き算(積の公式との違いはここ)、分母は $2$ 乗。$f=\sin x,g=x$ を当てはめる。引き算の順序($f^{\prime }g$ が先)を崩さないことだけ気をつければ、あとは代入だ。

$f=\sin x$、$g=x$。$f^{\prime }=\cos x$、$g^{\prime }=1$。

$$y^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}=\frac{\cos x\cdot x-\sin x\cdot 1}{x^2}=\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}$$

まとめ:商の微分は分子 $f^{\prime }g-f{g}^{\prime }$、分母 $g^2$。$\frac{\sin x}{x}$ の微分は $\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}$。分子の順番($f^{\prime }g$ が先)を守れば符号ミスが防げる。

発展。 この $y=\frac{\sin x}{x}$ は、極限の単元で $x\to 0$ のとき $1$ に向かうことを調べた関数だ(シンク関数と呼ばれ、信号処理で重要)。いま求めた導関数の分子 $x\cos x-\sin x$ が $0$ になる点が、この減衰する波の山と谷になる。計算の答えを、グラフの形で読みとれる。

分子 $=0$ は $\tan x=x$ と書き直せて、この方程式の解は無限個あるが規則的な式では書けない。「微分はできるのに、極値の位置は閉じた式にならない」という関数は、数IIIでは普通に出てくる。

別解

商の公式を使わずに、積の公式だけで片づける道がある。分母を負のべきに直すのだ。

$$y=\frac{\sin x}{x}=\sin x\cdot x^{-1}$$

積の公式で

$$y^{\prime }=\cos x\cdot x^{-1}+\sin x\cdot (-x^{-2})=\frac{\cos x}{x}-\frac{\sin x}{x^2}$$

通分すれば $\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}$ となり、商の公式と同じ答えになる。

この見方の利点は $2$ つ。第一に、覚える公式が減る(商の公式は「積 $+$ 負のべき」から毎回作れる。実際 ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=(f{g}^{-1}{)}^{\prime }$ を展開すると公式が出てくる)。第二に、引き算の順序を間違えるミスが、式の形のうえで起きない($-x^{-2}$ の符号が自動で正しい位置に入る)。

商の公式の分子の順序に不安がある人は、この積ルートを本線にしてよい。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $\sin (x^2)$ は「$x^2$ を計算してから $\sin$ に入れる」二段構えの関数(合成関数)だ。合成の微分は連鎖律で、外と内の微分の掛け算になる。

$$y^{\prime }=\underset{\text{外の微分(中身そのまま)}}{\underbrace{\cos (x^2)}}\times \underset{\text{内の微分}}{\underbrace{2x}}$$

まぎらわしい兄弟 ${\sin }^{2}x=(\sin x{)}^2$ とは別物であることに注意。あちらは「$\sin$ してから $2$ 乗」で、微分は $2\sin x\cos x$ になる。合成の順序が違えば答えも違う。

$u=x^2$、$u^{\prime }=2x$。

$$y^{\prime }=\cos (x^2)\times 2x=2x\cos (x^2)$$

まとめ:$\sin (x^2)$ は「$\sin$ の中身が $x^2$」の合成関数。外側 $\sin \to \cos$(中身そのまま)、内側 $x^2$ の微分 $2x$ をかける。${\sin }^{2}x=(\sin x{)}^2$ とは全くの別物なので、書き方に注意。

発展。 $y^{\prime }=2x\cos (x^2)$ をよく見ると、$x$ が大きいほど振幅が育つ。もとの $\sin (x^2)$ は $\pm 1$ に収まる波なのに、傾きは際限なく急になる。$x^2$ のせいで波の間隔がどんどん詰まるからだ(チャープ信号と呼ばれ、レーダーやコウモリの超音波がこの形)。導関数が関数本体より「暴れる」例である。

なお ${\sin }^{2}x$ の微分 $2\sin x\cos x=\sin 2x$ も、実は合成($u=\sin x$ の $2$ 乗)。⓪で対比した兄弟はどちらも連鎖律の練習台である。

別解

連鎖律を「公式」でなく増幅率のリレーとして見ると、掛け算になる理由ごと頭に入る。中継点に名前をつける。$u=x^2$、$y=\sin u$。ライプニッツの記法で

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}$$

これは「$x$ が動くと $u$ がその $\frac{du}{dx}$ 倍動き、$u$ が動くと $y$ がさらに $\frac{dy}{du}$ 倍動く」ということだ。変化の倍率がリレーのように掛け算で伝わる、というのが連鎖律の中身だ。

$$\frac{dy}{du}=\cos u,\frac{du}{dx}=2x⟹\frac{dy}{dx}=\cos (x^2)\cdot 2x$$

記法上も $du$ が「約分」されるように見えて覚えやすい。三段の合成($\sin (e^{x^2})$ など)になっても、中継点を $2$ つ置いてリレーを $3$ 本つなぐだけだ。「合成が深くなったら、名前をつけて一段ずつ」というのが、数IIIの微分の基本である。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $x^x$ は困った形だ。底が定数なら指数関数の公式、指数が定数ならべき乗の公式が使える。だが両方に $x$ がいて、どちらの公式も使えない。

指数の絡んだ複雑な式は対数をとって次数を下ろす。両辺の対数で

$$\log y=x\log x$$

右辺はただの積になり、積の公式で微分できる。左辺の微分は $\frac{y^{\prime }}{y}$(合成関数)で、最後に $y$ を掛け戻せば $y^{\prime }$ が出る。これが対数微分法である。

① 両辺の対数をとる。

$$\log y=\log x^x=x\log x$$

② 両辺を $x$ で微分する。 左辺は $\frac{y^{\prime }}{y}$(合成関数)、右辺は積の微分 $(x\log x{)}^{\prime }=1\cdot \log x+x\cdot \frac{1}{x}=\log x+1$。

$$\frac{y^{\prime }}{y}=\log x+1$$

③ $y^{\prime }$ について解く。 $y=x^x$ を戻す。

$$y^{\prime }=y(\log x+1)=x^x(\log x+1)$$

まとめ:$x^x$ のように「底も指数も $x$」は、$(x^n{)}^{\prime }$ でも $(a^x{)}^{\prime }$ でも扱えない。両辺の対数をとると積 $x\log x$ になり、ふつうに微分できる。左辺の微分が $\frac{y^{\prime }}{y}$ になる点が決め手だ。

発展。 ⓪のよくある誤答 $2$ つ、実は足すと正解になる。べき乗扱いの $x\cdot x^{x-1}=x^x$ と、指数関数扱いの $x^x\log x$ の和は $x^x(1+\log x)$ だ。偶然ではなく、「底の $x$ を動かした寄与」と「指数の $x$ を動かした寄与」の分業で、両方動くなら寄与は足し算(多変数の連鎖律・大学)になるからだ。つまり、2つの誤答は正解の部品になっていたのである。

$y^{\prime }=0$ を解くと $\log x=-1$、$x=\frac{1}{e}$。$x^x$ はここで最小値 $e^{-1/e}\approx 0.692$ をとる。${\left(\frac{1}{2}\right)}^{1/2}\approx 0.707$ より小さい値が、$e$ に関係する場所で出てくる。

別解

対数を「とる」代わりに、最初から指数関数の形に書き直す手がある。$a=e^{\log a}$ の関係を使うと($x>0$)

$$x^x=e^{x\log x}$$

これで「$e^{(\text{中身})}$」という、ただの合成関数になった。連鎖律で

$$y^{\prime }=e^{x\log x}\cdot (x\log x{)}^{\prime }=e^{x\log x}\left(\log x+x\cdot \frac{1}{x}\right)=x^x(\log x+1)$$

対数微分法と同じ答えになる。

$2$ つのルートは鏡写しだ。対数微分法は「両辺の $\log$ をとってから微分」し、この別解は「式そのものを $e$ の累乗に書き直してから微分」する。どちらも「べきの肩の $x$ を、掛け算の形に下ろす」ことをしている。$y$ を残したまま進む対数微分法に対し、こちらは $y$ が現れず一本道なので、式変形の見通しはむしろ良い。$x^{\sin x}$ でも $(\log x{)}^x$ でも、同じ方法が使える。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $\log$ の中身が $x$ でなく $x^2+1$ なので、合成関数だ。対数の合成には専用の速記がある。

$$(\log u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$$

「分子に中身の微分、分母に中身」。$u=x^2+1$ なら $u^{\prime }=2x$ で

$$y^{\prime }=\frac{2x}{x^2+1}$$

$x^2+1>0$ が常に成り立つから真数条件の心配も絶対値も不要で、この形はそのまま書けばよい。

$u=x^2+1$、$u^{\prime }=2x$。

$$y^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}=\frac{2x}{x^2+1}$$

まとめ:$\log (\text{中身})$ の微分は $\frac{(\text{中身の微分})}{(\text{中身})}$。中身 $x^2+1$ の微分 $2x$ が分子に。真数がつねに正($x^2+1>0$)なので、定義域の心配もない使いやすい形だ。

発展。 $\frac{u^{\prime }}{u}$ という形には「対数微分 $=$ 変化率」という意味がある。$(\log u{)}^{\prime }$ は $u$ の瞬間の変化率(何 % 伸びているか)を表す量で、経済の成長率・音の大きさ(デシベル)・地震のマグニチュードなど、比で測る量の解析の基礎になっている。

また、答え $\frac{2x}{x^2+1}$ は積分の単元で再会する顔だ。$\int \frac{2x}{x^2+1}dx=\log (x^2+1)+C$ となる。「分子が分母の微分」の形を見たら $\log$ を思い出す、という逆向きの読みが、積分の重要な技になる。

別解

答えの式 $\frac{2x}{x^2+1}$ を、対称性で検算する目を紹介する。もとの関数 $y=\log (x^2+1)$ は、$x$ を $-x$ に替えても値が変わらない偶関数(グラフは $y$ 軸対称の谷型)だ。

$y$ 軸対称のグラフでは、$x=a$ と $x=-a$ での接線の傾きは符号だけ反対になる。つまり偶関数の導関数は奇関数になるはずだ。答えを検分すると

$$\frac{2(-x)}{(-x{)}^2+1}=-\frac{2x}{x^2+1}$$

確かに奇関数になっていて、検算は合格だ。さらに $x=0$ で $y^{\prime }=0$(谷底で水平)、$x>0$ で $y^{\prime }>0$(右半分は登り)も、グラフの絵と一致する。

「偶関数の微分は奇関数、奇関数の微分は偶関数」という対称性のルールは、計算ミス(たとえば $y^{\prime }=\frac{2x+1}{x^2+1}$ のような取り違え)を、代入計算なしの一瞥ではねられる。答えの形を疑う道具として覚えておきたい。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 指数関数の微分の基準は $e^x$(微分しても変わらない、特別な底)。底が $2$ のときは、公式

$$(a^x{)}^{\prime }=a^x\log a$$

に $a=2$ を入れて $y^{\prime }=2^x\log 2$。ここの $\log$ は自然対数(${\log }_e$)だ。「底が $e$ ならそのまま、$e$ 以外なら $\log (\text{底})$ の料金がかかる」と覚える。この補正係数の由来は別解で説明する。

$a=2$。

$$y^{\prime }=2^x\log 2$$

(導出:$2^x=e^{x\log 2}$ とみて合成関数の微分。$e^{x\log 2}\times \log 2=2^x\log 2$。)

まとめ:底が $e$ でない指数 $a^x$ の微分は、$a^x$ に $\log a$(自然対数)がかかる。$e^x$ のときは $\log e=1$ なので $e^x$ のまま。$a=e$ が特別扱いされる理由がここにある。

発展。 $y^{\prime }=2^x\log 2$ は $y^{\prime }=(\log 2)y$ と書ける。「増える速さが、いまの量に比例する」ということだ。細菌の増殖・放射性崩壊・複利など、自然界の指数的変化はすべてこの型の関係(微分方程式)から生まれる。比例定数 $\log 2$ が大きいほど成長が速い。

倍加時間の実感も持てる。$2^x$ は $x$ が $1$ 増えるごとに倍になるから、変化率は一定の $\log 2\approx 69.3\%$ になる。金利の計算の「$70$ の法則」(年利 $r\%$ なら約 $70/r$ 年で倍)は、この $\log 2$ の近似値 $0.7$ から来ている。

別解

公式を丸暗記せず、$e$ の言葉で書き直して導くと $\log 2$ の出どころが見える。$2=e^{\log 2}$ だから

$$2^x={\left(e^{\log 2}\right)}^x=e^{x\log 2}$$

$2^x$ は「$e^{(\text{定数})\times x}$」の形で、肩の部分が傾き $\log 2$ で増えていく $e$ の指数関数だった。合成の微分(内側 $x\log 2$ の微分は定数 $\log 2$)で

$$y^{\prime }=e^{x\log 2}\cdot \log 2=2^x\log 2$$

公式が $1$ 行で復元できた。$\log 2\approx 0.693$ という係数は「$2^x$ は $e^x$ より少しゆるやかに増える」度合いを表す。もし底が $e\approx 2.718$ なら $\log e=1$ で係数が消える。$e$ が「微分で使う標準の底」に選ばれた理由が、この書き直しから分かる。

すべての指数関数は $e^{kx}$ の変装、と覚えれば、$(a^x{)}^{\prime }$ の公式は暗記リストから消してよい。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 第 $2$ 次導関数は、「微分を $2$ 回」以外の何ものでもない。$1$ 回目の結果をもう一度微分するだけだ。

$e^{2x}$ は合成関数(内側 $2x$)だから、微分のたびに内側の微分 $2$ が前に出る。

$$y^{\prime }=2e^{2x},y^{\prime \prime }=2\cdot 2e^{2x}=4e^{2x}$$

「$1$ 回につき $\times 2$」の規則が見えれば、手が止まることはない。

① $1$ 回微分する。 $(e^{2x}{)}^{\prime }=e^{2x}\times 2=2e^{2x}$。

$$y^{\prime }=2e^{2x}$$

② もう $1$ 回微分する。

$$y^{\prime \prime }=(2e^{2x}{)}^{\prime }=2\times 2e^{2x}=4e^{2x}$$

まとめ:第 $2$ 次導関数は「微分を $2$ 回」。$e^{2x}$ は微分のたびに $2$ が出るので、$2$ 回で $2^2=4$ 倍になる。一般に $e^{ax}$ を $n$ 回微分すると $a^n{e}^{ax}$ だ。

発展。 $\sin x$ で同じ遊びをすると、$1$ 回微分するたびに $\cos x\to -\sin x\to -\cos x\to \sin x$ と周期 $4$ で一巡する。指数は等比($2^n$ 倍)、三角は循環になる。高次導関数がどうなるかは関数の種類で全く違い、$e^x\sin x$ 型ではこの $2$ つが混ざった螺旋(回転 $+$ 拡大)が現れる。

$y^{\prime \prime }=4y$ の親戚 $y^{\prime \prime }=-4y$ を満たすのは $\sin 2x,\cos 2x$。符号ひとつで「急激に増える指数」と「回り続ける振動」に分かれる。この対比は大学で学ぶ微分方程式の最初に出てくる。

別解

$2$ 回で止めず、規則として先読みしてしまおう。微分のたびに $2$ が $1$ つ前に出るのだから

$$y^{\prime }=2e^{2x},y^{\prime \prime }=2^2{e}^{2x},y^{\prime \prime \prime }=2^3{e}^{2x},\dots y^{(n)}=2^n{e}^{2x}$$

第 $n$ 次導関数までまとめて手に入った。「$2$ 回微分せよ」という問いは、この等比の列($1$ 回ごとに $2$ 倍)の $2$ 段目を聞いているにすぎない。もうひとつの見どころは答えを $y$ 自身で書き直した関係

$$y^{\prime \prime }=4y$$

「$2$ 回微分すると自分の $4$ 倍に戻る」。$e^{2x}$ はこの性質を持つ関数の代表だ($e^{-2x}$ も同じ関係を満たす)。ばねの振動や波の方程式など、物理法則の多くは「$y^{\prime \prime }$ と $y$ の関係」で書かれる。指数関数が自然科学のいろいろな場所に現れるのは、微分に対してこのように閉じているからである。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $x$ も $y$ も $t$ で表されている(媒介変数表示)。$y$ を $x$ で直接微分できないときは、$t$ を仲介役にする。

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$$

「$t$ が動くと $y$ がどれだけ動くか」を「$t$ が動くと $x$ がどれだけ動くか」で割れば、$x$ に対する $y$ の変化率になる。分数の約分と同じ感覚だ。$\frac{dy}{dt}=3t^2$、$\frac{dx}{dt}=2t$ を割って $\frac{3t}{2}$。

① $t$ でそれぞれ微分する。

$$\frac{dx}{dt}=2t,\frac{dy}{dt}=3t^2$$

② 比をとる。

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{3t^2}{2t}=\frac{3t}{2}$$

まとめ:$x,y$ が両方 $t$ の式(媒介変数表示)なら、$\frac{dy}{dx}$ は「$t$ で微分した $\frac{dy}{dt}$ を $\frac{dx}{dt}$ で割る」。$t$ を消さずに、$t$ の式のまま答えることが多い。

発展。 $(x,y)=(t^2,t^3)$ の $t$ を全実数に広げると、原点で尖った「カスプ(とがり)」を持つ有名な曲線(半立方放物線)になる。$t=0$ では $\frac{dx}{dt}=\frac{dy}{dt}=0$ となり、分母も分子も $0$ で公式が使えない。ちょうどそこに尖りが現れている。公式の適用限界と図形の特異点が対応する好例だ。

媒介変数の微分は物理では「時刻 $t$ の位置 $(x(t),y(t))$ から軌道の向きを求める」計算そのもの。$\frac{dy}{dx}=\frac{3t}{2}$ は、時刻 $t$ に粒子が進む方向の傾きである。

別解

この曲線は $t$ を消去して普通の関数に直せる。公式の答えを独立ルートで検算してみよう。$x=t^2$($t>0$)から $t=\sqrt{x}$。これを $y=t^3$ に入れて

$$y=(\sqrt{x}{)}^3=x^{3/2}$$

この曲線は $y=x^{3/2}$ だった。べき乗の公式で

$$\frac{dy}{dx}=\frac{3}{2}{x}^{1/2}=\frac{3}{2}\sqrt{x}$$

$\sqrt{x}=t$ を戻せば $\frac{3t}{2}$ となり、媒介変数の公式と完全に一致する。

いつでも消去できるわけではない(サイクロイドのように $t$ が消せない曲線でこそ媒介変数表示が役に立つ)。だが消去できる問題では、この照合が公式の使い方の誤り(逆さに割る、$t$ の微分を忘れる)を確実にあぶり出す。「$2$ つの道で同じ答え」は新しい公式を信頼するいちばんの近道である。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 根号は $\frac{1}{2}$ 乗なので、$\sqrt{u}=u^{1/2}$ と書き直せば、べき乗 $+$ 合成の型に落ちる。

外側 $u^{1/2}$ の微分は $\frac{1}{2}{u}^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{u}}$、内側 $u=x^2+1$ の微分は $2x$。掛けて

$$y^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$$

$2$ と $\frac{1}{2}$ が打ち消し合ってきれいに整う。「 ​ を見たら $\frac{1}{2}$ 乗に読み替える」が第一手だ。

$u=x^2+1$、$u^{\prime }=2x$。

$$y^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$$

まとめ:$\sqrt{(\text{中身})}$ の微分は $\frac{(\text{中身の微分})}{2\sqrt{(\text{中身})}}$。中身 $x^2+1$ の微分 $2x$ が分子に出て、$2$ と約分できて $\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$。

発展。 答え $\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ の絶対値は常に $1$ 未満で、$x\to \pm \infty$ で $\pm 1$ に近づく。つまり $y=\sqrt{x^2+1}$ の傾きは決して $1$ を超えず、遠方で直線 $y=\pm x$ に漸近する。この曲線は双曲線 $y^2-x^2=1$ の上半分で、漸近線の性質が導関数の式にそのまま表れている。

$y^2=x^2+1$ を微分した $2y{y}^{\prime }=2x$、すなわち $y{y}^{\prime }=x$ という関係は「$ydy=xdx$」と書ける。これは積分の言葉に直せる形で、微分方程式の変数分離の最初の一歩と同じ構造をしている。

別解

根号を微分する前に消す手がある。両辺を $2$ 乗して

$$y^2=x^2+1$$

根号のない、多項式だけの関係になった。この両辺を $x$ で微分する。左辺の $y^2$ は「$y$ が $x$ の関数」であることを忘れずに、合成として

$$2y{y}^{\prime }=2x$$

$y^{\prime }$ について解いて

$$y^{\prime }=\frac{x}{y}=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$$

$\frac{1}{2}$ 乗ルートと同じ答えだ($y>0$ なので割り算は安全)。

この「式の関係のまま微分して、後で $y^{\prime }$ を取り出す」やり方を陰関数微分という。分数べきの計算が一切現れないのが利点で、円 $x^2+y^2=1$ のように「$y=$」の形に直しにくい曲線では、この方法だけが実用的になる。根号・分数べきが嫌いな人の正式な避難路である。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $\tan$ の微分の公式に、合成(中身 $2x$)を重ねるだけだ。

$$(\tan u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{{\cos }^{2}u}$$

$u=2x$、$u^{\prime }=2$ を入れて

$$y^{\prime }=\frac{2}{{\cos }^{2}2x}$$

「分子に中身の微分、分母に ${\cos }^2(\text{中身})$」と、$\log$ の $\frac{u^{\prime }}{u}$ と同じ「速記の型」として覚えると速い。

$u=2x$、$u^{\prime }=2$。

$$y^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{{\cos }^{2}u}=\frac{2}{{\cos }^{2}2x}$$

まとめ:$\tan (\text{中身})$ の微分は $\frac{(\text{中身の微分})}{{\cos }^2(\text{中身})}$。$\tan x$ の $\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ が中身 $2x$ の微分 $2$ で $\frac{2}{{\cos }^{2}2x}$ になる。

発展。 $\frac{1}{{\cos }^{2}u}=1+{\tan }^{2}u$(三平方の恒等式を ${\cos }^2$ で割った形)を使うと、$y^{\prime }=2(1+{\tan }^{2}2x)=2(1+y^2)$ となり、導関数が関数自身の $2$ 次式で書ける。$\tan$ は「傾きが自分の $2$ 乗で決まる」関数で、この関係は積分($\frac{1}{1+x^2}$ の積分が $\arctan$)への準備になっている。

また $y^{\prime }=\frac{2}{{\cos }^{2}2x}\geqq 2>0$ なので、$\tan 2x$ は定義される区間ではどこでも増加で、傾きの最小値 $2$ は $x=0$ 付近でとる。グラフの「立ち上がりの速さ」が導関数の式から読める。

別解

$\tan$ の公式そのものを、商の微分から手作りしてみよう。公式を忘れたときの復元手順そのものだ。$\tan 2x=\frac{\sin 2x}{\cos 2x}$ に商の公式を使う($\sin 2x,\cos 2x$ の微分はそれぞれ $2\cos 2x,-2\sin 2x$)。

$$y^{\prime }=\frac{2\cos 2x\cdot \cos 2x-\sin 2x\cdot (-2\sin 2x)}{{\cos }^{2}2x}=\frac{2({\cos }^{2}2x+{\sin }^{2}2x)}{{\cos }^{2}2x}$$

分子に ${\cos }^2+{\sin }^2=1$ が現れて

$$y^{\prime }=\frac{2}{{\cos }^{2}2x}$$

公式と同じ答えに着地した。

$(\tan x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ という公式は、この計算($\sin ,\cos$ の微分 $+$ 商の公式 $+$ 三平方の恒等式)を $1$ 語に圧縮した略語にすぎない。一度自分の手で展開しておくと、「分母はなぜ ${\cos }^2$ か」「分子の $1$ はどこから来たか」が腑に落ちて、忘れても現場で作り直せる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 微分で使う対数の標準は、自然対数(${\log }_e$)だ。底が $3$ のときは、まず底の変換で自然対数に直す。

$${\log }_{3}x=\frac{\log x}{\log 3}$$

$\frac{1}{\log 3}$ はただの定数。定数倍は微分の外に出せるから

$$y^{\prime }=\frac{1}{\log 3}\cdot (\log x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\log 3}$$

指数関数 $a^x$ のときの $\log a$ が「掛かる」のに対し、対数では「割る」。対になった補正である。

① 自然対数に直す。 底の変換で

$${\log }_{3}x=\frac{\log x}{\log 3}$$

$\frac{1}{\log 3}$ は定数。

② 微分する。

$$y^{\prime }=\frac{1}{\log 3}\cdot (\log x{)}^{\prime }=\frac{1}{\log 3}\cdot \frac{1}{x}=\frac{1}{x\log 3}$$

まとめ:底が $3$ の対数は、底の変換で $\frac{\log x}{\log 3}$ にすれば、$\log 3$ は定数として外に出せる。$\log x$ の微分 $\frac{1}{x}$ にかけて $\frac{1}{x\log 3}$。$(\log x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$という自然対数($\log e=1$)の特別な性質を、ここでも使っている。

発展。 $({\log }_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\log a}$ で $a=e$ とすれば $\log e=1$ で $(\log x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$ となる。自然対数の公式は一般形の特別な場合だ。補正係数が $1$ になる底、として $e$ を定義することさえできる(実際、$e$ の定義の仕方のひとつだ)。

指数と対数の補正の対($a^x$ には $\times \log a$、${\log }_{a}x$ には $÷\log a$)は、逆関数の微分が「傾きの逆数」であることの現れ。片方を覚えれば、もう片方は $y=x$ の鏡で写して復元できる。

別解

${\log }_{3}x$ は $3^x$ の逆関数なので、この関係から微分する道もある。$y={\log }_{3}x$ は $x=3^y$ と同じこと。右の式を $y$ で微分すると

$$\frac{dx}{dy}=3^y\log 3$$

逆関数の微分の関係「$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{dx/dy}$」(傾きの逆数。グラフを $y=x$ で折り返すと傾きが逆数になる、の式版)を使って

$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{3^y\log 3}=\frac{1}{x\log 3}$$

(最後に $3^y=x$ を戻した。)底の変換ルートと同じ答えだ。

「対数の微分は、指数の微分の裏返し」である。$(3^x{)}^{\prime }$ に $\log 3$ が掛かるから、逆関数の $({\log }_{3}x{)}^{\prime }$ では $\log 3$ で割ることになる。$2$ つの公式が独立の暗記事項ではなく、$y=x$ 対称の表裏だったと分かる。この逆関数の見方は数IIIの後半($\arcsin$ 型の微分など)でもよく使う。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $e^x$ と $\cos x$ の積なので、積の公式 $(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$ を使う。

$e^x$ は微分しても $e^x$ のまま、という特技を持つ。だから

$$y^{\prime }=e^x\cos x+e^x(-\sin x)$$

どちらの項にも $e^x$ が残る。共通因数 $e^x$ でくくって

$$y^{\prime }=e^x(\cos x-\sin x)$$

と整理するのが仕上げの作法。$e^x\times$(三角)の積は、微分してもこの形が保たれる。

$f=e^x$、$g=\cos x$。$f^{\prime }=e^x$、$g^{\prime }=-\sin x$。

$$y^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }=e^x\cos x+e^x(-\sin x)$$

共通因数 $e^x$ でくくる。

$$=e^x(\cos x-\sin x)$$

まとめ:$e^x\times$(三角関数)の積は、$e^x$ が微分しても変わらないので、共通因数 $e^x$ でくくれてきれいにまとまる。$\cos$ の微分の $-\sin$ の符号を落とさないこと。

発展。 $y=e^x\cos x$ のグラフは、指数の勢いで広がる封筒 $\pm e^x$ の内側で振動する「育つ波」。ばねを揺らしながらエネルギーを注ぎ込む系(負の減衰)の変位がこの形で、逆符号の $e^{-x}\cos x$ は減衰振動になる。車のサスペンションや地震計の針の動きがその例だ。

別解の「$\sqrt{2}$ 倍と $\frac{\pi }{4}$ 回転」は大学で複素数を使うと $e^x\cos x=\mathrm{Re}{e}^{(1+i)x}$、微分は $(1+i)$ 倍($|1+i|=\sqrt{2}$、偏角 $\frac{\pi }{4}$)という $1$ 行に圧縮される。実数の計算で見えた螺旋は、複素数平面の回転そのものだった。

別解

答えのカッコ $\cos x-\sin x$ を三角関数の合成でまとめると、この関数を微分すると何が起きるかが分かる。

$$\cos x-\sin x=\sqrt{2}\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$$

つまり

$$y^{\prime }=\sqrt{2}{e}^x\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$$

もとの $y=e^x\cos x$ と見比べてほしい。微分した結果は「振幅が $\sqrt{2}$ 倍、位相が $\frac{\pi }{4}$ 進んだ、同じ形」になる。$e^x\cos$ 型は、微分で拡大 $+$ 回転されるだけで型が崩れない。

もう $1$ 回微分すれば、さらに $\sqrt{2}$ 倍・$\frac{\pi }{4}$ 進みで $y^{\prime \prime }=2e^x\cos \left(x+\frac{\pi }{2}\right)=-2e^x\sin x$。$n$ 回なら $(\sqrt{2}{)}^n$ 倍・$\frac{n\pi }{4}$ 進みとなり、高次導関数が等比数列のように読める。

「微分のたびに $2$ 項がシャッフルされる面倒な関数」が、合成の目では「回りながら育つ螺旋」という単純な構造だった。この見方を使うと、$e^x\sin x$ の $n$ 階微分(入試でよく出る)が最も短く求められる。