微分法の計算 ★★★★ 難関の問題 全8問

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $y=\log (\sin x^2)$ は「$\log$ の中に $\sin$、その中に $x^2$」という $3$ 段の入れ子(合成関数)。

合成関数は連鎖律で「外側から順に微分して掛ける」。まず $\log$ を微分($\frac{中身の微分}{中身}$)、次に $\sin$ を微分($\cos \times$ 中身の微分)、最後に $x^2$ を微分($2x$)。一段ずつ外から剥いて掛け合わせる、と見通す。

① 外側($\log$)を微分。 中身を $u=\sin x^2$ として

$$y^{\prime }=\frac{(\sin x^2{)}^{\prime }}{\sin x^2}$$

② 中の $\sin$ を微分。 中身を $v=x^2$ として $(\sin x^2{)}^{\prime }=\cos x^2\cdot (x^2{)}^{\prime }=\cos x^2\cdot 2x$。

③ まとめる。

$$y^{\prime }=\frac{2x\cos x^2}{\sin x^2}$$

まとめ:多重の合成は「外側から順に微分して掛ける」連鎖律。$\log \to \frac{u^{\prime }}{u}$、$\sin \to \cos \cdot v^{\prime }$、$x^2\to 2x$ と、一段ずつ剥いて掛け合わせる。中身の微分を掛け忘れないのが要。

発展。 $\log$ の微分 $\frac{g^{\prime }}{g}$ は「対数微分」と呼ばれ、掛け算を足し算に変える働きをもつ。答え $\frac{2x\cos x^2}{\sin x^2}$ は、$\sin x^2$ の対数微分にほかならない。

連鎖律は「合成 $=$ 変換の積み重ね、微分 $=$ その各段の伸び率の掛け算」と考えると分かりやすい。$x^2$ 段が $2x$ 倍、$\sin$ 段が $\cos$ 倍、$\log$ 段が $\frac{1}{\text{中身}}$ 倍、と伸び率が掛け合わさる。

だから何段重なっても、外から順に伸び率を掛けていくだけでよい。段が増えても手順は同じだ。

別解

別解:置きかえて一段ずつ計算する(苦手な人向けの整理ルート)。 何を掛けるか混乱するなら、内側から名前をつけて表にすると迷わない。

$u=x^2$、$v=\sin u$、$y=\log v$ と置く。それぞれの微分は

$$\frac{du}{dx}=2x,\frac{dv}{du}=\cos u,\frac{dy}{dv}=\frac{1}{v}.$$

連鎖律はこれらを掛けるだけ。

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dv}\cdot \frac{dv}{du}\cdot \frac{du}{dx}=\frac{1}{v}\cdot \cos u\cdot 2x=\frac{\cos x^2}{\sin x^2}\cdot 2x=\frac{2x\cos x^2}{\sin x^2}.$$

外側から順に剥く本解と同じだ。$u,v$ と名前をつけて $\frac{dy}{dv}\cdot \frac{dv}{du}\cdot \frac{du}{dx}$ と分数のように並べると、掛け忘れが起きにくい。最後に $u=x^2$、$v=\sin x^2$ を戻すのを忘れないこと。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $y=x^{\log x}$ は「底も指数も $x$ がらみ」。指数法則の微分公式($(x^a{)}^{\prime }=a{x}^{a-1}$ など)がそのままでは使えない。

こういうときは対数微分法。両辺の自然対数をとると、指数が前に下りる。$\log y=(\log x)\cdot \log x=(\log x{)}^2$ と、扱いやすい式になる。

両辺を $x$ で微分すると左辺は $\frac{y^{\prime }}{y}$。あとは $y^{\prime }$ について解く、と見通す。

① 両辺の対数をとる。 $y=x^{\log x}$ の対数をとると、指数が前に下りて

$$\log y=(\log x)\cdot \log x=(\log x{)}^2$$

② 両辺を微分する。 左辺は $\frac{y^{\prime }}{y}$。右辺は $(\log x{)}^2$ の合成関数の微分で $2\log x\cdot \frac{1}{x}$。

$$\frac{y^{\prime }}{y}=\frac{2\log x}{x}$$

③ $y^{\prime }$ を求める。 $y=x^{\log x}$ を掛けて

$$y^{\prime }=x^{\log x}\cdot \frac{2\log x}{x}$$

まとめ:底も指数も変数がらみのときは対数微分法。$\log y=(\log x{)}^2$ と単純化し、両辺微分で $\frac{y^{\prime }}{y}=\frac{2\log x}{x}$。最後に $y$($=x^{\log x}$)を掛けて戻す。$(\log x{)}^2$ の微分(連鎖律)を落とさない。

発展。 底も指数も変数の $y=f^g$ は対数をとると $\log y=g\log f$。微分すると $\frac{y^{\prime }}{y}=g^{\prime }\log f+g\frac{f^{\prime }}{f}$ で、「指数関数ぶん」と「べき関数ぶん」の和になる。

今回の $x^{\log x}$ は、$\log y=(\log x{)}^2$ が $x=1$($\log x=0$)で最小 $0$。だから $y=x^{\log x}$ は $x=1$ で最小値 $1$ をとる。$x^{\prime }(1)=0$ になるのはそのためだ。

対数をとる操作は掛け算やべきを足し算に変え、複雑な形を見通しよくする。微分だけでなく、大小比較や極値の判定でも同じ発想が使える。

別解

別解:$e$ の肩に乗せて直接微分する(得意な人向けの視点)。 対数をとって $y^{\prime }$ を解くかわりに、はじめから指数関数の形に書きかえてしまう。

$x=e^{\log x}$ だから

$$x^{\log x}={\left(e^{\log x}\right)}^{\log x}=e^{(\log x{)}^2}.$$

これは $e^{()}$ の合成関数。${\left(e^u\right)}^{\prime }=e^u{u}^{\prime }$ で、$u=(\log x{)}^2$、$u^{\prime }=2\log x\cdot \frac{1}{x}$ を使うと

$$y^{\prime }=e^{(\log x{)}^2}\cdot \frac{2\log x}{x}=x^{\log x}\cdot \frac{2\log x}{x}.$$

対数微分法の本解と同じ。$a^{()}$ 型はすべて $e^{()\log a}$ に直せる、と覚えておくと、対数をとらずに合成関数の微分だけで押し切れる。「底に変数」の関数を $e$ の肩に集める方法は、どんな場合にも使える。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 分数関数の微分は、商の微分公式 ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$ に当てはめる。

$f=2x+1$、$g=x^2+1$ と分ける。それぞれの導関数 $f^{\prime }=2$、$g^{\prime }=2x$ を用意し、公式に代入する。分子の引き算の順($f^{\prime }g$ が先)を守り、分子を展開・整理する、と見通す。

① 部品を用意する。 $f=2x+1$、$f^{\prime }=2$。$g=x^2+1$、$g^{\prime }=2x$。

② 公式に代入する。

$$y^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}=\frac{2(x^2+1)-(2x+1)\cdot 2x}{(x^2+1{)}^2}$$

③ 分子を整理する。

$$2(x^2+1)-2x(2x+1)=2x^2+2-4x^2-2x=-2x^2-2x+2$$

よって

$$y^{\prime }=\frac{-2x^2-2x+2}{(x^2+1{)}^2}$$

まとめ:商の微分は「$\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$」。引き算の順($f^{\prime }g$ が先)と、分母が $g^2$ になることを守る。分子を展開・整理して $-2x^2-2x+2$。$-2(x^2+x-1)$ とくくってもよい。

発展。 商の微分公式は、じつは積の微分から導ける。$\frac{f}{g}=f\cdot g^{-1}$ を積の微分すると $f^{\prime }{g}^{-1}+f\cdot (-1)g^{-2}{g}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$。だから丸暗記でなく組み立てられる。

分子 $-2x^2-2x+2=-2(x^2+x-1)$ が $0$ になる $x=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$ が、この関数の極値の場所。分子(=導関数)の符号がそこで変わる。黄金比の逆数 $\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ が現れるのは、$x^2+x-1=0$ がその定義式だから。ふつうの分数関数の極値にも、このような有名な数が現れる。

別解

別解:積の微分に直す(得意な人向けの視点)。 商の公式を覚えていなくても、分母を「$-1$ 乗」とみて積の微分で処理できる。

$y=(2x+1)(x^2+1{)}^{-1}$ と書く。積の微分 $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$ で、$u=2x+1$、$v=(x^2+1{)}^{-1}$。$v^{\prime }=-(x^2+1{)}^{-2}\cdot 2x$ だから

$$y^{\prime }=2\cdot (x^2+1{)}^{-1}+(2x+1)\cdot \left(-\frac{2x}{(x^2+1{)}^2}\right)=\frac{2}{x^2+1}-\frac{2x(2x+1)}{(x^2+1{)}^2}.$$

分母を $(x^2+1{)}^2$ でそろえると

$$y^{\prime }=\frac{2(x^2+1)-2x(2x+1)}{(x^2+1{)}^2}=\frac{-2x^2-2x+2}{(x^2+1{)}^2}.$$

商の公式を使う本解と同じ。じつはこの計算が商の公式の導出そのもの。「分母は $-1$ 乗」「積の微分 $+$ 合成関数」で、公式を忘れても再現できる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 媒介変数表示の微分は $\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$。まずこれを計算する。

第 $2$ 次導関数でつまずきやすいのは、$\frac{dy}{dx}$ を「$x$ で」もう一度微分できない点。$\frac{dy}{dx}$ は $t$ の式だから、$t$ で微分してから $\frac{dx}{dt}$ で割る、という手順になる。この $2$ 段を取り違えないように進める、と見通す。

① $\frac{dy}{dx}$。 $\frac{dx}{dt}=2t$、$\frac{dy}{dt}=3t^2-1$ より

$$\frac{dy}{dx}=\frac{3t^2-1}{2t}$$

② $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$。 まず $\frac{dy}{dx}=\frac{3t^2-1}{2t}=\frac{3}{2}t-\frac{1}{2t}$ を $t$ で微分する。

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)=\frac{3}{2}+\frac{1}{2t^2}=\frac{3t^2+1}{2t^2}$$

これを $\frac{dx}{dt}=2t$ で割って

$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{\frac{3t^2+1}{2t^2}}{2t}=\frac{3t^2+1}{4t^3}$$

まとめ:媒介変数の微分は「$\frac{dy/dt}{dx/dt}$」。第 $2$ 次は「$\frac{dy}{dx}$(=$t$ の式)を $t$ で微分し、$\frac{dx}{dt}$ で割る」。$x$ で $2$ 回微分するのは誤り。$\frac{dy}{dx}$ を $t$ の式に整理してから微分すると楽。

発展。 第 $2$ 次を $\frac{d^{2}y/d{t}^2}{d^{2}x/d{t}^2}$ としてはいけないのは、$\frac{dy}{dx}$ 自体が $t$ の関数で、それをさらに $x$ で微分するには連鎖律 $\frac{d}{dx}=\frac{1}{dx/dt}\cdot \frac{d}{dt}$ を通す必要があるから。

この曲線は $t$ を消すと $y^2=x(x-1{)}^2$。$y=t^3-t=t(t^2-1)=t(x-1)$ から $y^2=t^2(x-1{)}^2=x(x-1{)}^2$ となる。

原点で自分自身と交わる「結び目(節点)」をもつ $3$ 次曲線だ。媒介変数を使うと、こうした自己交差する曲線もなめらかに $1$ 本の $t$ でたどれる。陰関数のままでは扱いにくい曲線を、パラメータを使えば扱いやすくできる。

別解

別解:$\frac{dy}{dx}$ を商のまま微分する(得意な人向けの視点)。 本解では $\frac{dy}{dx}=\frac{3t^2-1}{2t}$ を $\frac{3}{2}t-\frac{1}{2t}$ と分けてから微分した。分けずに、商の微分で処理しても同じ。

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{3t^2-1}{2t}\right)=\frac{(6t)(2t)-(3t^2-1)(2)}{(2t{)}^2}=\frac{12t^2-6t^2+2}{4t^2}=\frac{6t^2+2}{4t^2}=\frac{3t^2+1}{2t^2}.$$

これを $\frac{dx}{dt}=2t$ で割って

$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{3t^2+1}{2t^2}÷2t=\frac{3t^2+1}{4t^3}.$$

$1$ 次式の和に分けてから微分する本解と同じ。分数を分けると計算は軽くなるが、分けにくい形では商の微分でそのまま押すほうが確実。どちらでも「$t$ で微分 → $\frac{dx}{dt}$ で割る」の流れは変わらない。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $y$ が $x$ の式として解けない(陰関数)ので、$y$ を「$x$ の関数」とみたまま両辺を $x$ で微分する。

$xy$ は積の微分、$y^2$ は合成関数の微分で $2y\frac{dy}{dx}$ になる。こうして $\frac{dy}{dx}$ を含む式ができるので、それについて解く。最後に点 $(1,2)$ を代入して傾きを出す、と見通す。

① 両辺を微分する。 $x^2+xy+y^2=7$ の両辺を $x$ で微分する。

$$2x+\left(y+x\frac{dy}{dx}\right)+2y\frac{dy}{dx}=0$$

② $\frac{dy}{dx}$ について解く。 $\frac{dy}{dx}$ を含む項をまとめて

$$(x+2y)\frac{dy}{dx}=-(2x+y)⟹\frac{dy}{dx}=-\frac{2x+y}{x+2y}$$

③ 点を代入する。 $(x,y)=(1,2)$ を入れて

$$\frac{dy}{dx}=-\frac{2\cdot 1+2}{1+2\cdot 2}=-\frac{4}{5}$$

まとめ:陰関数は「$y$ を $x$ の関数とみて両辺微分 → $\frac{dy}{dx}$ について解く」。$xy$ は積の微分($y+x\frac{dy}{dx}$)、$y^2$ は $2y\frac{dy}{dx}$。$\frac{dy}{dx}$ でくくって解き、点を代入して傾き $-\frac{4}{5}$。

発展。 陰関数微分で得た $\frac{dy}{dx}=-\frac{2x+y}{x+2y}$ は、曲線上のどの点でも使える。接線が水平になるのは $2x+y=0$、垂直になるのは $x+2y=0$ のとき。

じつは $x^2+xy+y^2=7$ は、原点を中心に傾いた楕円。$F(x,y)=x^2+xy+y^2$ の勾配 $(2x+y,x+2y)$ が、各点で曲線に垂直な向き(法線)を指す。「等高線に垂直なのが勾配」という見方は、多変数の微分で学ぶ内容の基礎になる。陰関数微分はその一歩手前で同じ構造を先取りしている。

別解

別解:$y$ を解いて陽関数で微分する(得意な人向けの視点)。 点 $(1,2)$ の近くなら、$y$ について $2$ 次方程式を解いて陽関数にできる。

$y^2+xy+(x^2-7)=0$ を $y$ の $2$ 次方程式とみて解くと

$$y=\frac{-x+\sqrt{x^2-4(x^2-7)}}{2}=\frac{-x+\sqrt{28-3x^2}}{2}$$

(正の平方根を選ぶと $x=1$ で $y=\frac{-1+5}{2}=2$ となり、点を通る枝)。これを微分すると

$$y^{\prime }=\frac{1}{2}\left(-1+\frac{-6x}{2\sqrt{28-3x^2}}\right)=\frac{1}{2}\left(-1-\frac{3x}{\sqrt{28-3x^2}}\right).$$

$x=1$ で $\sqrt{25}=5$ だから $y^{\prime }=\frac{1}{2}\left(-1-\frac{3}{5}\right)=\frac{1}{2}\cdot \left(-\frac{8}{5}\right)=-\frac{4}{5}$。陰関数のまま微分する本解と同じ。解ける形なら陽関数にしてもよいが、根号や枝の選び方が増える。陰関数微分は「解かずに済ませる」ぶん、こうした場合はむしろ手早い。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 第 $n$ 次導関数は「数回微分して規則を見つけ、一般化する」。

$y=(x+1{)}^{-1}$ を微分するたびに、指数が $1$ つ下がり、係数に元の指数が掛かる。$1,2,3$ 回微分した結果を並べる。そこから符号・階乗・指数のパターンを読み取り、$y^{(n)}$ の形を推測する、と見通す。

① 数回微分する。 $y=(x+1{)}^{-1}$ とみて

$$y^{\prime }=-(x+1{)}^{-2},y^{\prime \prime }=(-1)(-2)(x+1{)}^{-3}=2(x+1{)}^{-3}$$ $$y^{\prime \prime \prime }=2\cdot (-3)(x+1{)}^{-4}=-6(x+1{)}^{-4}$$

② 規則を読む。 係数は $-1,2,-6,\dots$ すなわち $(-1{)}^{n}n!$($1$ 回で $-1!$、$2$ 回で $2!$、$3$ 回で $-3!$)。指数は $-(n+1)$。よって

$$y^{(n)}=(-1{)}^{n}n!(x+1{)}^{-(n+1)}=\frac{(-1{)}^{n}n!}{(x+1{)}^{n+1}}$$

③ 確認。 $n=1$:$\frac{-1}{(x+1{)}^2}$、$n=2$:$\frac{2}{(x+1{)}^3}$。上の計算と一致。

まとめ:第 $n$ 次導関数は「数回微分して規則を推測」。$(x+1{)}^{-1}$ は微分のたびに符号が反転($(-1{)}^n$)、係数に階乗($n!$)、指数が $-(n+1)$。$1,2,3$ 回の結果でパターンを確信してから一般化する。

発展。 この $y^{(n)}=\frac{(-1{)}^{n}n!}{(x+1{)}^{n+1}}$ は、$\frac{1}{x+1}$ のマクローリン展開とつながる。$x=0$ を入れると $y^{(n)}(0)=(-1{)}^{n}n!$。

テイラー係数は $\frac{y^{(n)}(0)}{n!}=(-1{)}^n$。並べると $\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+\cdots$、公比 $-x$ の等比級数そのもの。$n$ 次導関数の階乗 $n!$ がテイラー係数の分母の $n!$ とちょうど打ち消し合って、きれいな係数 $(-1{)}^n$ が残る。高次導関数は関数を多項式で近似するときの「各次の重み」を測っている。

別解

別解:帰納法できちんと示す(得意な人向けの視点)。 「規則を推測」で終えず、数学的帰納法で確かめると証明として完結する。

推測した式を $y^{(n)}=(-1{)}^{n}n!(x+1{)}^{-(n+1)}$ とおく。$n=1$ のとき $y^{\prime }=-(x+1{)}^{-2}=(-1{)}^{1}1!(x+1{)}^{-2}$ で成立。$n=k$ で成り立つと仮定し、もう $1$ 回微分する。

$$y^{(k+1)}=(-1{)}^{k}k!\cdot (-(k+1))(x+1{)}^{-(k+2)}=(-1{)}^{k+1}(k+1)!(x+1{)}^{-(k+2)}.$$

これは $n=k+1$ の式そのもの。よってすべての $n$ で成立する。低次で規則を読む本解に、帰納法の裏づけを与えた形。$-(k+1)$ が「新たに掛かる指数」で、これが符号を反転させ($(-1{)}^{k+1}$)、階乗を $1$ つ伸ばす($(k+1)!$)。推測を証明にする基本の方法だ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 逆関数の導関数は、公式 $(f^{-1}{)}^{\prime }(a)=\frac{1}{f^{\prime }(f^{-1}(a))}$ で、元の関数 $f$ の微分だけで求まる。$f^{-1}$ を具体的に求めなくてよい。

$a=1$ なので、まず $f^{-1}(1)$、すなわち $f(x)=1$ を満たす $x$ を見つける。$f(x)=x+e^x$ を見ると、$x=0$ で $f(0)=0+1=1$。だから $f^{-1}(1)=0$。あとは $f^{\prime }(0)$ を計算し、その逆数をとる、と見通す。

① $f^{-1}(1)$ を求める。 $f(x)=x+e^x=1$ となる $x$ を探す。$x=0$ のとき $f(0)=0+e^0=0+1=1$。よって $f^{-1}(1)=0$。

② $f^{\prime }$ を計算する。 $f^{\prime }(x)=1+e^x$。$f^{\prime }(0)=1+e^0=1+1=2$。

③ 公式に代入する。

$$(f^{-1}{)}^{\prime }(1)=\frac{1}{f^{\prime }(f^{-1}(1))}=\frac{1}{f^{\prime }(0)}=\frac{1}{2}$$

まとめ:逆関数の微分係数は「$(f^{-1}{)}^{\prime }(a)=\frac{1}{f^{\prime }(f^{-1}(a))}$」で、$f^{-1}$ を求めずに $f$ の微分だけで出る。$f(x)=1$ の解 $x=0$ を見つけ($f^{-1}(1)=0$)、$f^{\prime }(0)=2$ の逆数 $\frac{1}{2}$。逆関数のグラフの傾きは元のグラフの傾きの逆数、というのが背景。

発展。 逆関数のグラフは元のグラフを直線 $y=x$ で折り返したもの。折り返すと縦横が入れ替わるので、傾きは逆数になる。点 $(0,1)$ が $(1,0)$ に移り、傾き $2$ が $\frac{1}{2}$ に変わる。

そもそも $f$ が逆関数をもつのは、$f^{\prime }(x)=1+e^x>0$ で常に増加だから。単調増加なら $1$ 対 $1$ で、逆向きにたどれる。「傾きが逆数」は、$f(f^{-1}(x))=x$ を微分すれば出る自然な帰結。逆関数の微分はこの折り返しの幾何を式にしたものだ。

別解

別解:恒等式 $f(f^{-1}(x))=x$ を微分して導く(得意な人向けの視点)。 公式を暗記せず、逆関数の定義式から作れる。

$g=f^{-1}$ とおくと、逆関数の定義から $f(g(x))=x$ が恒等的に成り立つ。両辺を $x$ で微分する。左辺は合成関数の微分で

$$f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)=1,\text{よって}{g}^{\prime }(x)=\frac{1}{f^{\prime }(g(x))}.$$

これが逆関数の微分公式そのもの。$x=1$ を入れると、$g(1)=f^{-1}(1)=0$(なぜなら $f(0)=1$)だから

$$g^{\prime }(1)=\frac{1}{f^{\prime }(0)}=\frac{1}{1+e^0}=\frac{1}{2}.$$

公式に当てはめる本解と同じ。$f(g(x))=x$ を微分するだけで公式が出るので、忘れてもその場で導ける。合成関数の微分が「$f^{\prime }\times g^{\prime }$」になることから、逆数の形が出てくる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 第 $n$ 次導関数は数回微分して規則を推測する。

$y=x{e}^{2x}$ は積なので、微分のたびに積の微分で $e^{2x}$ の前の $1$ 次式が変わり、$2$ のべきが増える。$1,2,3$ 回微分した結果を並べる。$e^{2x}$ の係数($1$ 次式)と $2$ のべきのパターンを読み取って一般化する、と見通す。

① 数回微分する。 積の微分($e^{2x}$ の微分は $2e^{2x}$)で

$$y^{\prime }=e^{2x}+x\cdot 2e^{2x}=(2x+1)e^{2x}$$ $$y^{\prime \prime }=2e^{2x}+(2x+1)\cdot 2e^{2x}=(4x+4)e^{2x}=2(2x+2)e^{2x}$$ $$y^{\prime \prime \prime }=2\cdot 2e^{2x}+(4x+4)\cdot 2e^{2x}=(8x+12)e^{2x}=4(2x+3)e^{2x}$$

② 規則を読む。 $e^{2x}$ の係数は $(2x+1),2(2x+2),4(2x+3),\dots$。$2$ のべきは $2^0,2^1,2^2,\cdots =2^{n-1}$、かっこ内は $2x+n$。よって

$$y^{(n)}=2^{n-1}(2x+n)e^{2x}$$

③ 確認。 $n=1$:$(2x+1)e^{2x}$、$n=2$:$2(2x+2)e^{2x}$。上の計算と一致。

まとめ:第 $n$ 次導関数は「数回微分して規則を推測」。$x{e}^{2x}$ は微分のたびに $2$ のべきが増え($2^{n-1}$)、$e^{2x}$ の前の $1$ 次式が $2x+n$ に。$1,2,3$ 回の結果でパターンを確信してから一般化する。

発展。 積の $n$ 次導関数には、ライプニッツの公式 $(uv{)}^{(n)}=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})u^{(k)}{v}^{(n-k)}$ がある。二項定理とそっくりの形だ。

$y=x\cdot e^{2x}$ は $u=x$ が $1$ 次式なので、$u^{\prime \prime }=0$ 以降が消え、$k=0,1$ の $2$ 項だけ残る。だから一般項が短くまとまる。

$x^m{e}^{2x}$ なら残るのは $m+1$ 項。「片方が多項式なら、その次数ぶんだけ項が残る」というのが、規則がきれいになる理由。パターン推測の裏に、ライプニッツの公式という保証がある。

別解

別解:ライプニッツの公式で一度に出す(得意な人向けの視点)。 数回微分して規則を推測するかわりに、積の $n$ 次導関数の公式を使うと途中を飛ばせる。

$u=x$、$v=e^{2x}$ とおく。$u^{\prime }=1$、$u^{\prime \prime }=0$ なので、ライプニッツの公式は $k=0,1$ の $2$ 項だけ残る。

$$y^{(n)}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0}\right)x(e^{2x}{)}^{(n)}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})(1)(e^{2x}{)}^{(n-1)}.$$

$e^{2x}$ は微分のたびに $2$ 倍だから $(e^{2x}{)}^{(n)}=2^n{e}^{2x}$。$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0}\right)=1$、$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1}\right)=n$ を入れると

$$y^{(n)}=x\cdot 2^n{e}^{2x}+n\cdot 2^{n-1}{e}^{2x}=2^{n-1}(2x+n)e^{2x}.$$

低次から規則を読む本解と同じ。$u=x$ が $1$ 次式なので $2$ 項で終わる、と最初から分かるのがこの公式の強み。推測に頼らず、いきなり一般項へ到達できる。