微分法の計算 ★★★ 応用の問題 全8問

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}$ は根号と分数が絡んで、そのままでは微分しにくい。

両辺の対数をとると、$\frac{1}{2}(\log (x-1)-\log (x+1))$ と和・差にほどける。すると微分がぐっと楽になる。積・商・累乗が絡む複雑な式は、対数でほどく。これが対数微分法の発想の典型だ。

① 両辺の対数をとる。 $\log$ の性質で分解。

$$\log y=\frac{1}{2}\log \frac{x-1}{x+1}=\frac{1}{2}\{\log (x-1)-\log (x+1)\}$$

② 両辺を微分する。 左辺は $\frac{y^{\prime }}{y}$。

$$\frac{y^{\prime }}{y}=\frac{1}{2}(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1})$$

③ 中カッコを通分する。 $\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}=\frac{(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{2}{(x-1)(x+1)}$。

$$\frac{y^{\prime }}{y}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{(x-1)(x+1)}=\frac{1}{(x-1)(x+1)}$$

④ $y^{\prime }$ を求める。 $y=\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}$ をかける。

$$y^{\prime }=\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\cdot \frac{1}{(x-1)(x+1)}$$

まとめ:対数微分法の利点は「積・商・累乗を、$\log$ の性質で和・差・係数にほどく」ことにある。$\frac{y^{\prime }}{y}$ の形で微分でき、最後に $y$ をかけて戻す。根号は $\frac{1}{2}$ 乗として前に出る。

発展。 この関数の姿をつかむには、両辺を $2$ 乗するとよい。$y^2=\frac{x-1}{x+1}=1-\frac{2}{x+1}$ と、平行移動した反比例の形になる。

こうすると増減が一目でわかる。$x$ が $1$ から大きくなるほど $\frac{2}{x+1}$ は $0$ に近づき、$y^2$ は $0$ から $1$ へ増える。だから $y$ は $0$ と $1$ のあいだを単調に増える有界な関数で、グラフは幅 $0<y<1$ の帯に収まる。

導関数が $x>1$ でつねに正だったのは、この単調増加の裏づけだ。根号と分数が入り組んだ式でも、$2$ 乗して隠れた素直な形を見抜くと、増減も値域もまとめて分かる。

別解

別解:指数の形に直して、積の微分で押す(得意な人向けの視点)。 対数をとらずに、根号と分数を指数にまとめて直接微分してもよい。

$y=\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}=(x-1{)}^{1/2}(x+1{)}^{-1/2}$ と書く。これは $2$ つのべきの積だから、積の微分と合成関数の微分でそのまま計算できる。

$$y^{\prime }=\frac{1}{2}(x-1{)}^{-1/2}(x+1{)}^{-1/2}+(x-1{)}^{1/2}\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)(x+1{)}^{-3/2}.$$

共通因数 $\frac{1}{2}(x-1{)}^{-1/2}(x+1{)}^{-3/2}$ でくくると、残るのは $(x+1)-(x-1)=2$。

$$y^{\prime }=\frac{1}{2}(x-1{)}^{-1/2}(x+1{)}^{-3/2}\cdot 2=\frac{1}{\sqrt{x-1}(x+1{)}^{3/2}}=\frac{1}{(x+1)\sqrt{(x-1)(x+1)}}.$$

対数微分法の本解と同じ答えに達する。負のべきをためらわず使えるなら、対数をとらなくてもそのまま微分できる。どちらの道でも、根号を $\frac{1}{2}$ 乗として扱うところが中心になる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $\sin x$ を繰り返し微分すると、$\sin \to \cos \to -\sin \to -\cos \to \sin$ と変わっていく。$4$ 回で元に戻る。

この周期性を見抜くのが主題だ。高次導関数では、微分を繰り返して現れる周期パターンを捉える。この発想を持って進む。

① 順に微分する。

$$y^{\prime }=(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$$

$$y^{\prime \prime }=(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$$

② 循環を確認する。 さらに続けると

$$y^{\prime \prime \prime }=(-\sin x{)}^{\prime }=-\cos x,y^{(4)}=(-\cos x{)}^{\prime }=\sin x$$

$4$ 回微分すると元の $\sin x$ に戻る。よって第 $2$ 次導関数は

$$y^{\prime \prime }=-\sin x$$

まとめ:$\sin x$ を微分し続けると $\sin \to \cos \to -\sin \to -\cos \to \sin$ の $4$ 周期でぐるぐる回る。$n$ 回微分の結果は $n$ を $4$ で割った余りで決まる。$y^{\prime \prime }=-\sin x$ は、$\sin$ が自分自身の $-1$ 倍に戻る(単振動の方程式)大事な関係だ。

発展。 $y^{\prime \prime }=-\sin x=-y$ という関係は、$\sin x$ が「$2$ 階微分すると自分の $-1$ 倍に戻る」関数であることを示す。これは単振動の方程式 $y^{\prime \prime }+y=0$ そのものだ。

この方程式の解は $\sin x$ と $\cos x$ の組み合わせに限られる。ばねやふりこの運動が三角関数で書けるのは、背景にこの $y^{\prime \prime }=-y$ があるからだ。

周期が $4$ になる理由は、複素指数 $e^{ix}$ で説明できる。$\frac{d}{dx}{e}^{ix}=i{e}^{ix}$ で、微分は「$i$ を掛ける」操作。$i$ は $i,-1,-i,1$ と $4$ 乗で $1$ に戻るから、$\sin x$ の微分も $4$ 周期で回る。

別解

別解:位相をずらす見方でまとめて出す(得意な人向けの視点)。 $\sin x$ の微分は、じつは「位相を $\frac{\pi }{2}$ 進める」操作と同じだ。

$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x=\sin \left(x+\frac{\pi }{2}\right)$ だから、$1$ 回微分するごとに角に $\frac{\pi }{2}$ が足される。よって $n$ 回微分すると

$$y^{(n)}=\sin \left(x+\frac{n\pi }{2}\right).$$

$n=2$ を入れると $y^{\prime \prime }=\sin (x+\pi )=-\sin x$。第 $2$ 次だけでなく、どの階数もこの $1$ つの式で一度に出る。$1$ 回ずつ書き並べる本解と同じ答え。周期が $4$ になるのは、$4$ 回で位相が $2\pi$ 進んで一周するからだ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 媒介変数表示の微分は、$t$ での微分の比で求まる。$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$ だ。

$x=\cos t$、$y=\sin t$ をそれぞれ $t$ で微分して比をとると、$\frac{\cos t}{-\sin t}$ になる。この曲線は単位円だ。出てきた傾きを、円という具体的な図形の上で確かめられる。

① $t$ でそれぞれ微分する。

$$\frac{dx}{dt}=(\cos t{)}^{\prime }=-\sin t,\frac{dy}{dt}=(\sin t{)}^{\prime }=\cos t$$

② 比をとる。

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{\cos t}{-\sin t}=-\frac{\cos t}{\sin t}$$

まとめ:$x=\cos t$、$y=\sin t$ は単位円。$\frac{dy}{dx}=-\frac{\cos t}{\sin t}$ は、円周上の点での接線の傾き。円の接線は半径 $(\cos t,\sin t)$ に垂直で、傾きが $-\frac{\cos t}{\sin t}$(半径の傾き $\frac{\sin t}{\cos t}$ の逆数の $-1$ 倍)になる、と幾何的にも一致する。

発展。 点 $(\cos t,\sin t)$ が動くときの速度ベクトルは $\left(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt}\right)=(-\sin t,\cos t)$。その大きさは $\sqrt{{\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t}=1$ で、$t$ によらずつねに一定だ。

速さが $1$ で一定ということは、点は円周上を同じペースで進んでいる。だから媒介変数 $t$ は進んだ道のり(弧の長さ)そのものを表す。半径 $1$ の円で中心角 $t$ の弧の長さがちょうど $t$ になる、あの関係と同じことだ。

こうして「速さが一定になるパラメータ」で曲線をたどる見方を、弧長パラメータという。曲線を弧の長さで測ると、速度や接線の向きの扱いが簡潔になる。一定の速さで円をまわるこの発想は、物理の等速円運動ともそのままつながっている。

別解

別解:パラメータを消して $x$ の関数にする(得意な人向けの視点)。 $t$ を消してしまえば、ふつうの $y=f(x)$ の微分に持ち込める。

$0<t<\pi$ では $y=\sin t>0$ だから、$x=\cos t$、$y=\sin t$ から $y=\sqrt{1-x^2}$。これを $x$ で微分すると

$$\frac{dy}{dx}=\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}.$$

ここで $x=\cos t$、$\sqrt{1-x^2}=\sin t$ を戻すと、$\frac{dy}{dx}=-\frac{\cos t}{\sin t}$。比をとる本解と同じ答え。パラメータを消せる曲線なら、陽関数にしてから微分しても結果は一致する。ただし今回のように、定義域($y>0$ の半円)を先に見きわめる必要がある。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 円の式を $y=$ の形に解かずに、両辺をそのまま $x$ で微分する。これが陰関数の微分だ。

このとき $y^2$ の項は連鎖律で $2y\frac{dy}{dx}$ になる。$y$ が $x$ の関数だからだ。すると $\frac{dy}{dx}$ を含む式ができる。それを $\frac{dy}{dx}$ について解く。解かずに微分し、$\frac{dy}{dx}$ を未知数として取り出すのが核だ。

① 両辺を $x$ で微分する。 $x^2$ の微分は $2x$。$y^2$ は $y$ が $x$ の関数なので、連鎖律で $2y\cdot \frac{dy}{dx}$。右辺の定数 $1$ は $0$。

$$2x+2y\frac{dy}{dx}=0$$

② $\frac{dy}{dx}$ について解く。

$$2y\frac{dy}{dx}=-2x\Rightarrow \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$$

まとめ:$y=\pm \sqrt{1-x^2}$ と解いてから微分してもよいが、陰関数の微分なら解かずに両辺を微分するだけ。$y$ を含む項は「$y$ で微分 × $\frac{dy}{dx}$」になるのがポイント。円の接線の傾き $-\frac{x}{y}$ がすぐ出る。

発展。 $\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$ をもう一度 $x$ で微分すると、円の曲がり具合が見える。商の微分と $\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$、$x^2+y^2=1$ を使うと $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=-\frac{1}{y^3}$ が得られる。

上半円 $y>0$ では $y^{\prime \prime }<0$ で、上に凸(中心の側へ曲がる)。円がふくらむ向きと一致する。さらに曲率 $\kappa =\frac{|y^{\prime \prime }|}{(1+y^{\prime 2}{)}^{3/2}}$ を計算すると、$1+y^{\prime 2}=\frac{1}{y^2}$ より $\kappa =1$。どの点でも曲がり具合が同じで、$1$($=\frac{1}{\text{半径}}$)になる。円が「曲率一定の曲線」であることが、微分から出てくる。

別解

別解:上下 $2$ 枚の半円に分けて微分する(得意な人向けの視点)。 円は $1$ つの関数のグラフではない。だが上半分と下半分に切り分ければ、それぞれ陽関数になる。

上半円は $y=\sqrt{1-x^2}$、下半円は $y=-\sqrt{1-x^2}$。それぞれ $x$ で微分すると

$$(\sqrt{1-x^2}{)}^{\prime }=\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}},(-\sqrt{1-x^2}{)}^{\prime }=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}.$$

ここで $\sqrt{1-x^2}=|y|$ に気をつけて戻すと、上半円は $\frac{-x}{y}$、下半円も $\frac{x}{-y}=\frac{-x}{y}$。結局どちらの枝でも $\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$ にそろう。

両辺をそのまま微分する本解と同じ答え。陰関数の $-\frac{x}{y}$ は上下 $2$ 枚の半円を $1$ つの式でまとめて言い当てている。枝ごとに根号を場合分けせずに済むのが、陰関数の微分の強みだ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $e^{\sin x}$ は、$e^{()}$ の中身が $\sin x$ になっている合成関数だ。

合成関数は連鎖律で微分する。外側 $e^{()}$ はそのまま、内側 $\sin x$ の微分 $\cos x$ を掛ける。指数の肩が三角関数でも、やることは同じ。中身の微分を掛ける、この一手を適用するだけだ。

$u=\sin x$、$u^{\prime }=\cos x$。

$$y^{\prime }=e^{\sin x}\times \cos x=\cos x{e}^{\sin x}$$

まとめ:$e^{(\text{中身})}$ の微分は「$e^{(\text{中身})}$ そのまま × 中身の微分」。中身が $\sin x$ なら、その微分 $\cos x$ が前に出る。指数関数と三角関数が組み合わさっても、連鎖律を一段適用するだけだ。

発展。 導関数 $y^{\prime }=\cos x{e}^{\sin x}$ が $0$ になるのは、$e^{\sin x}>0$ だから $\cos x=0$ のとき、つまり $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$。これは $\sin x$ の最大・最小の場所とぴったり同じだ。

理由は、外側の $e^{()}$ が増加関数だから。増加関数を通しても、山や谷の位置は動かない。$\sin x$ が最大の所で $e^{\sin x}$ も最大になる。

この「単調な変換は最大・最小の場所を変えない」性質は広く使われる。統計で、扱いにくい積 $L$ の最大を、対数をとった $\log L$ の最大に置きかえて探すのも、この原理による。

別解

別解:微分の定義に戻って導く(得意な人向けの高い視点)。 公式 $(e^u{)}^{\prime }=e^u{u}^{\prime }$ を使わず、微分の定義そのものから同じ結果を出せる。

定義より

$$y^{\prime }=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{e^{\sin (x+h)}-e^{\sin x}}{h}=e^{\sin x}\underset{h\to 0}{\lim }\frac{e^{\sin (x+h)-\sin x}-1}{h}.$$

ここで肩の増分を $\delta =\sin (x+h)-\sin x$ とおく。$h\to 0$ のとき $\delta \to 0$ で、しかも $\frac{\delta }{h}\to (\sin x{)}^{\prime }=\cos x$ だ。すると $\frac{e^{\delta }-1}{h}=\frac{e^{\delta }-1}{\delta }\cdot \frac{\delta }{h}$ の右辺は、$\frac{e^{\delta }-1}{\delta }\to 1$ と $\frac{\delta }{h}\to \cos x$ の積で、$\cos x$ に収束する。

$$y^{\prime }=e^{\sin x}\cdot \cos x=\cos x{e}^{\sin x}.$$

連鎖律を使う本解と同じ答え。定義に戻ると、$(e^u{)}^{\prime }=e^u{u}^{\prime }$ が「外側 $e^u$ の伸び $\times$ 肩 $u$ の伸び $\cos x$」として立ち上がる様子まで見える。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $x{e}^x$ の第 $2$ 次導関数は、$1$ 回目を積の微分で求め、それをもう $1$ 回微分すればよい。

$e^x$ は微分しても変わらない。だから共通因数でくくると、式がすっきりする。くくるたびに $(x+n)e^x$ の形が現れる。積の高次導関数は微分のたびに共通因数でまとめる。これが発想だ。

① $1$ 回微分する。 $f=x$、$g=e^x$。

$$y^{\prime }=1\cdot e^x+x\cdot e^x=(x+1)e^x$$

② もう $1$ 回微分する。 これも積($x+1$ と $e^x$)。

$$y^{\prime \prime }=1\cdot e^x+(x+1)\cdot e^x=e^x+(x+1)e^x=(x+2)e^x$$

まとめ:$x{e}^x$ は微分するたびに「$e^x$ でくくれる形」が続く。$1$ 回で $(x+1)e^x$、$2$ 回で $(x+2)e^x$。一般に $n$ 回微分すると $(x+n)e^x$ になる、きれいなパターンだ。

発展。 $y=x{e}^x$ は、微分方程式 $y^{\prime \prime }-2y^{\prime }+y=0$ を満たす。実際 $2y^{\prime }-y=2(x+1)e^x-x{e}^x=(x+2)e^x=y^{\prime \prime }$ で確かめられる。

この方程式は $(t-1{)}^2=0$ を特性方程式にもつ。解が $t=1$ の重解のとき、$e^x$ だけでは足りず、もう1つの解として $x{e}^x$ が現れる。$x{e}^x$ に $x$ が掛かるのは、この重解のためだ。

重解のとき「もとの指数関数 $\times x$」が解に加わる現象は、線形の微分方程式や漸化式に共通して起きる。$x{e}^x$ の高次導関数がきれいなのは、この構造があるからだ。

別解

別解:導関数の形が閉じることを使う(得意な人向けの視点)。 $x{e}^x$ を微分していくと、答えはいつも「($1$ 次式)$\times e^x$」の形になる。この形が微分で閉じることを利用する。

一般に $(ax+b)e^x$ を微分すると、積の微分で

$$\{(ax+b)e^x{\}}^{\prime }=a{e}^x+(ax+b)e^x=(ax+a+b)e^x.$$

つまり $x$ の係数 $a$ はそのまま、定数だけが $a+b$ に増える。$(a,b)$ が $(a,a+b)$ に移る、と読める。出発は $y=x{e}^x$ すなわち $(a,b)=(1,0)$。$1$ 回で $(1,1)$、$2$ 回で $(1,2)$ となり、$y^{\prime \prime }=(x+2)e^x$。共通因数でくくる本解と同じ答え。係数 $1$ は不動で、定数が $1$ ずつ増えるから $(x+n)e^x$ になる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $x^{\sin x}$ は、肩が変数の $\sin x$ になっている。指数が定数でないので、ふつうのべきの微分は使えない。

そこで対数微分法。両辺の対数をとると $\log y=\sin x\log x$ になる。右辺は $\sin x$ と $\log x$ の積だ。だから積の微分で処理できる。肩が変数の累乗は対数をとり、出てきた積を積の微分で、という発展形だ。

① 両辺の対数をとる。

$$\log y=\log x^{\sin x}=\sin x\log x$$

② 両辺を微分する。 左辺は $\frac{y^{\prime }}{y}$。右辺は積 $\sin x\cdot \log x$ の微分。

$$\frac{y^{\prime }}{y}=(\sin x{)}^{\prime }\log x+\sin x(\log x{)}^{\prime }=\cos x\log x+\sin x\cdot \frac{1}{x}$$

③ $y^{\prime }$ を求める。 $y=x^{\sin x}$ をかける。

$$y^{\prime }=x^{\sin x}(\cos x\log x+\frac{\sin x}{x})$$

まとめ:$x^{\sin x}$ のように「指数が変数」なら対数微分法。$\log y=\sin x\log x$ にすると、右辺が積になり、積の微分で処理できる。$\frac{y^{\prime }}{y}$ に $y$ をかけて戻すのを忘れずに。

発展。 $x^{\sin x}$ という関数そのものの姿を見てみる。$\sin x$ は $-1$ と $1$ の間で振れるので、肩の値しだいで $y$ が大きく変わる。

$x\ge 1$ のとき、底 $x\ge 1$ だから肩が大きいほど値も大きい。$\sin x$ が $-1$ から $1$ まで動くので $\frac{1}{x}\le x^{\sin x}\le x$ が成り立つ。$\sin x=1$ の所で上端 $y=x$ に、$\sin x=-1$ の所で下端 $y=\frac{1}{x}$ に触れる。

さらに $\sin x=0$、すなわち $x=k\pi$ では $y=x^0=1$。だから $x^{\sin x}$ のグラフは $y=\frac{1}{x}$、$y=1$、$y=x$ の間を縫うように振動する。式だけの関数にも、はっきりした形がある。

別解

別解:底と指数を別々に固定して足す(得意な人向けの視点)。 $f^g$ の形は「指数を定数と思った微分」と「底を定数と思った微分」を足すと求まる。

$x^{\sin x}$ で、まず指数 $\sin x$ を定数扱いすると、べきの微分で $\sin x\cdot x^{\sin x-1}=x^{\sin x}\cdot \frac{\sin x}{x}$。次に底 $x$ を定数扱いすると、指数関数の微分で $x^{\sin x}\log x\cdot (\sin x{)}^{\prime }=x^{\sin x}\cos x\log x$。この $2$ つを足すと

$$y^{\prime }=x^{\sin x}\left(\frac{\sin x}{x}+\cos x\log x\right).$$

対数をとる本解と同じ答え。$x$ が底にも指数にも入るとき、その $2$ か所の影響を別々に求めて足す、と見れば迷わない。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 逆関数の微分は、$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{dy/dx}$、つまり元の微分の逆数で求まる。

だからまず $\frac{dy}{dx}$ を計算し、その逆数をとればよい。入力と出力を入れ替えた微分は、元の微分の逆数になる。この発想を押さえておく。

① $\frac{dy}{dx}$ を求める。

$$\frac{dy}{dx}=3x^2+1$$

② 逆数をとる。

$$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}=\frac{1}{3x^2+1}$$

③ $x=1$ での値。

$$\frac{dx}{dy}{|}_{x=1}=\frac{1}{3\cdot 1+1}=\frac{1}{4}$$

まとめ:逆関数の微分は「$\frac{dy}{dx}$ の逆数」。分数のようにひっくり返すだけ。逆関数 $x=g(y)$ を実際に求めなくても、$\frac{dx}{dy}$ が $x$ の式で得られる。$y=x^3+x$ は逆関数を式で書けないが、微分係数は逆数で分かる。

発展。 この問題では、逆関数を式で書かずに導関数だけが手に入る。$y=x^3+x$ の逆関数は $3$ 次方程式を解くことになり、根の公式を使っても複雑だ。それでも $\frac{dx}{dy}=\frac{1}{3x^2+1}$ はきれいな分数式になる。

逆関数は求めにくいが、その微分は元の微分の逆数で簡単に出る。これが逆関数の微分の値打ちだ。得られた式が $y$ でなく $x$ の関数のままなのも、$y$ で書くには結局 $3$ 次方程式を解く必要があるからだ。

式から逆関数の姿も読める。$x=0$($y=0$)で $\frac{dx}{dy}=1$、$|x|$ が大きいと $\frac{dx}{dy}\to 0$。元の $y=x^3+x$ が急になる所ほど、逆関数はゆるやかになる。傾きが逆数だと、片方が立てば片方は寝る。

別解

別解:両辺を $y$ で微分する(得意な人向けの視点)。 $\frac{dy}{dx}$ を作って逆数をとるかわりに、$x$ を $y$ の関数とみて、定義式そのものを $y$ で微分してもよい。

$y=x^3+x$ の両辺を $y$ で微分する。左辺は $\frac{dy}{dy}=1$。右辺は $x$ が $y$ の関数なので、連鎖律で $(3x^2+1)\frac{dx}{dy}$ になる。よって

$$1=(3x^2+1)\frac{dx}{dy}⟹\frac{dx}{dy}=\frac{1}{3x^2+1}.$$

$x=1$ を入れると $\frac{dx}{dy}=\frac{1}{4}$。逆数公式を当てはめる本解と同じ答え。$\frac{dy}{dx}$ をいったん作ってからひっくり返すのではなく、はじめから $\frac{dx}{dy}$ を未知数として式を微分する。逆数公式 $\frac{dx}{dy}=\frac{1}{dy/dx}$ は、この $1=(3x^2+1)\frac{dx}{dy}$ を解いた結果にほかならない。