微分法の計算 実戦編の問題 全8問

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $n$ 階微分を1回ずつ計算するのは無理。まず1回微分して、「何が起きるか」の規則を見つける。

$y^{\prime }=e^x\sin x+e^x\cos x=e^x(\sin x+\cos x)$。この $\sin x+\cos x$ を合成すると $\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$。つまり1回微分すると、大きさが $\sqrt{2}$ 倍、位相が $\frac{\pi }{4}$ 進む。この操作の繰り返しだから、$n$ 回で $(\sqrt{2}{)}^n$ 倍・位相 $\frac{n\pi }{4}$ 進む。帰納法でまとめれば公式が出る。

① $1$ 回微分。 積の微分で $$y^{\prime }=e^x\sin x+e^x\cos x=e^x(\sin x+\cos x)=\sqrt{2}{e}^x\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right).$$ $n=1$ で $2^{1/2}{e}^x\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$、主張は成り立つ。

② 帰納法。 $y^{(k)}=2^{k/2}{e}^x\sin \left(x+\frac{k\pi }{4}\right)$ を仮定して微分すると、$g(x)=e^x\sin \left(x+\frac{k\pi }{4}\right)$ に ① と同じ計算をして $$g^{\prime }(x)=e^x\left\{\sin \left(x+\frac{k\pi }{4}\right)+\cos \left(x+\frac{k\pi }{4}\right)\right\}=\sqrt{2}{e}^x\sin \left(x+\frac{k\pi }{4}+\frac{\pi }{4}\right).$$ よって $$y^{(k+1)}=2^{k/2}\cdot \sqrt{2}{e}^x\sin \left(x+\frac{(k+1)\pi }{4}\right)=2^{(k+1)/2}{e}^x\sin \left(x+\frac{(k+1)\pi }{4}\right).$$ ③ 結論。 帰納法により、すべての自然数 $n$ で $$y^{(n)}=2^{n/2}{e}^x\sin \left(x+\frac{n\pi }{4}\right).$$

まとめ $1$ 回の微分が「$\sqrt{2}$ 倍・偏角 $+\frac{\pi }{4}$」で、帰納法により $y^{(n)}=2^{n/2}{e}^x\sin \left(x+\frac{n\pi }{4}\right)$。高次導関数(積の微分)と合成・帰納法の融合。

発展。 同じ複素数の見方で、$e^x\cos x$ の $n$ 階は $2^{n/2}{e}^x\cos \left(x+\frac{n\pi }{4}\right)$(実部をとるだけ)。一般に $e^{ax}\sin bx$ 型は複素数 $a+bi$ を掛ける操作の反復で、$(a^2+b^2{)}^{n/2}$ 倍・位相 $n\arg (a+bi)$ 進む。微分が複素平面の回転と拡大に置きかわっている。

別解

別解:複素数 $e^{(1+i)x}$ の虚部として一度に求める(得意な人向けの高い視点)。 $e^x\sin x$ は複素指数関数 $e^{(1+i)x}=e^x(\cos x+i\sin x)$ の虚部だ。

複素指数の微分は簡単で、$\frac{d}{dx}{e}^{(1+i)x}=(1+i)e^{(1+i)x}$。$n$ 回微分すれば係数が $(1+i{)}^n$ 倍になるだけ。$1+i$ を極形式にすると $1+i=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}\right)$。ド・モアブルで

$$(1+i{)}^n=2^{n/2}\left(\cos \frac{n\pi }{4}+i\sin \frac{n\pi }{4}\right).$$

だから ${\left(e^{(1+i)x}\right)}^{(n)}=2^{n/2}{e}^x\left(\cos \left(x+\frac{n\pi }{4}\right)+i\sin \left(x+\frac{n\pi }{4}\right)\right)$。この虚部が答え

$$y^{(n)}=2^{n/2}{e}^x\sin \left(x+\frac{n\pi }{4}\right).$$

帰納法(本解)の「$\sqrt{2}$ 倍・位相 $\frac{\pi }{4}$」は、複素数 $1+i$ を掛ける操作(大きさ $\sqrt{2}$・回転 $45^{\circ }$)を表している。微分が「複素数を掛ける」操作に置きかわるのである。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $x^2{e}^x$ は「多項式 $\times$ 指数」の積。積の $n$ 階微分にはライプニッツの公式 $(uv{)}^{(n)}=\sum _k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})u^{(k)}{v}^{(n-k)}$ がある。

$u=x^2$ を選ぶのがコツ。$x^2$ は微分すると $2x,2,0$ と、$3$ 階以上で消える。だから和は $k=0,1,2$ の3項だけで打ち切れる。

$v=e^x$ は何回微分しても $e^x$。3項を足すだけで $n$ 階導関数が出る。

① 各因数の導関数。 $u=x^2$:$u=x^2,u^{\prime }=2x,u^{\prime \prime }=2,u^{(k)}=0(k\ge 3)$。$v=e^x$:$v^{(m)}=e^x$(すべての $m$)。

② ライプニッツ。 $u^{(k)}=0$($k\ge 3$)より $k=0,1,2$ だけ残り $$y^{(n)}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0}\right)x^2{e}^x+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1}\right)(2x)e^x+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)(2)e^x.$$ ③ 整理。 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1}\right)=n,\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)=\frac{n(n-1)}{2}$ より $$y^{(n)}=e^x\left\{x^2+2nx+2\cdot \frac{n(n-1)}{2}\right\}=e^x\{x^2+2nx+n(n-1)\}.$$

まとめライプニッツで $u=x^2$ が $k\le 2$ で止まり、$y^{(n)}=e^x\{x^2+2nx+n(n-1)\}$。高次導関数(ライプニッツ)と二項係数の融合。

発展。 「$e^x$ を外に出すと多項式部分が $P+P^{\prime }$ で育つ」(別解)は、演算子 $D=\frac{d}{dx}$ を使うと $(D+1)$ を掛けることに当たる。${\left(x^2{e}^x\right)}^{(n)}=e^x(D+1{)}^n{x}^2$ と書け、$(D+1{)}^n$ を二項展開すればライプニッツの公式に戻る。微分を「演算子の掛け算」とみる見方は、微分方程式でよく使う。

別解

別解:$e^x$ でくくって、多項式部分を追う(苦手な人にも見通しのよいルート)。 $y^{(n)}=e^x{P}_n(x)$ の形($P_n$ は多項式)になることに着目する。積の微分で

$$y^{(n+1)}=e^x{P}_n+e^x{P}_n^{\prime }=e^x\{P_n+P_n^{\prime }\}.$$

つまり多項式部分は「$P_{n+1}=P_n+P_n^{\prime }$」という簡単な漸化式に従う。$P_0=x^2$ から順に

$$P_1=x^2+2x,P_2=(x^2+2x)+(2x+2)=x^2+4x+2,P_3=x^2+6x+6,\dots$$

$1$ 次の係数は $2,4,6,\cdots =2n$、定数項は $0,2,6,\cdots =n(n-1)$。だから $P_n=x^2+2nx+n(n-1)$。ライプニッツの公式(本解)を覚えていなくても、「$e^x$ を外に出すと多項式が $P+P^{\prime }$ で育つ」と気づけば、足し算だけで $n$ 階が追える。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $x^x$ は底も指数も $x$。指数関数の公式($a^x$ の $a$ は定数)も、べき関数の公式($x^a$ の $a$ は定数)も、そのままでは当てはまらない。

こういうときは対数微分法。両辺の自然対数をとると $\log y=x\log x$ と、扱いやすい積になる。両辺を $x$ で微分すると、左辺は $\frac{y^{\prime }}{y}$(合成関数)。右辺は積の微分で $\log x+1$。$y$ を掛け戻せば $y^{\prime }$ が出る。

① 対数をとる。 $x>0,y=x^x>0$ で $$\log y=\log (x^x)=x\log x.$$ ② 両辺を微分。 左辺は合成関数で $\frac{y^{\prime }}{y}$。右辺は積の微分で $$\frac{y^{\prime }}{y}=1\cdot \log x+x\cdot \frac{1}{x}=\log x+1.$$ ③ $y^{\prime }$ を求める。 $y=x^x$ を掛けて $$y^{\prime }=x^x(\log x+1).$$

まとめ対数をとって $\log y=x\log x$、微分して $\frac{y^{\prime }}{y}=\log x+1$、$y^{\prime }=x^x(\log x+1)$。対数微分法と指数関数の融合。底も指数も変数なら対数をとる。

発展。 $y^{\prime }=x^x(\log x+1)=0$ より、$x^x$ は $\log x+1=0$、すなわち $x=\frac{1}{e}$ で極小になる。最小値は ${\left(\frac{1}{e}\right)}^{1/e}\approx 0.69$。「$x^x$ は $x\to 0^{+}$ で $1$ に近づき、$\frac{1}{e}$ でいったん下がってから増加に転じる」という、意外な形のグラフが導関数から読める。

別解

別解:指数の形 $x^x=e^{x\log x}$ に直す(得意な人向けの高い視点)。 対数をとる代わりに、最初から指数関数として書いてしまう。

$$x^x=e^{x\log x}.$$

これなら合成関数の微分がそのまま使える。外側 $e^u$ の微分は $e^u$、内側 $u=x\log x$ の微分は積の微分で $\log x+x\cdot \frac{1}{x}=\log x+1$。よって

$$y^{\prime }=e^{x\log x}(\log x+1)=x^x(\log x+1).$$

対数微分法(本解)と中身は同じだが、「$\log y=\cdots$ を微分して $\frac{y^{\prime }}{y}$」という間接的な手順を踏まず、合成関数1本で直接 $y^{\prime }$ が出る。指数の肩に変数があるときは $e^{(\cdots )}$ に書き換える、と覚えておくと迷わない。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $x,y$ が媒介変数 $t$ で与えられている。$y$ を $x$ の式に直すのは大変なので、$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$ を使う。

$x,y$ をそれぞれ $t$ で微分する(合成関数)。$\frac{dx}{dt}=-3{\cos }^{2}t\sin t$、$\frac{dy}{dt}=3{\sin }^{2}t\cos t$。割り算すると共通因数 $3\cos t\sin t$ が約分されて、簡単な形に落ちる。

① それぞれ $t$ で微分。 合成関数の微分で $$\frac{dx}{dt}=3{\cos }^{2}t\cdot (-\sin t)=-3{\cos }^{2}t\sin t,\frac{dy}{dt}=3{\sin }^{2}t\cdot \cos t=3{\sin }^{2}t\cos t.$$ ② 割る。 $$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{3{\sin }^{2}t\cos t}{-3{\cos }^{2}t\sin t}.$$ ③ 約分。 $0<t<\frac{\pi }{2}$ で $\sin t,\cos t\ne 0$ だから $$\frac{dy}{dx}=-\frac{\sin t}{\cos t}=-\tan t.$$

まとめ $\frac{dx}{dt}=-3{\cos }^{2}t\sin t$、$\frac{dy}{dt}=3{\sin }^{2}t\cos t$、割って約分すると $\frac{dy}{dx}=-\tan t$。媒介変数の微分と三角関数の融合。

発展。 アステロイドの接線が両軸で切り取る線分の長さは、$t$ によらず常に $1$。これは「長さ $1$ の棒を壁と床に立てかけ、滑り落とすときに棒が通らない境界(包絡線)」がこの曲線であることを意味する。$\frac{dy}{dx}=-\tan t$ という単純な傾きの裏に、こんな力学的な生い立ちが隠れている。

別解

別解:傾きの図形的な意味で検算する(得意な人向けの視点)。 アステロイド $x={\cos }^{3}t,y={\sin }^{3}t$ 上の点での接線の傾きが $-\tan t$ になることは、図形的にも読める。

この曲線の接線には有名な性質がある。点 $({\cos }^{3}t,{\sin }^{3}t)$ での接線が $x$ 軸・$y$ 軸で切り取る線分の長さは、$t$ によらず常に $1$。接線の傾きが $-\tan t$ なら、$x$ 切片は $\cos t$、$y$ 切片は $\sin t$ の位置に来て、切片間の長さは $\sqrt{{\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t}=1$。たしかに一定だ。

計算で出した $\frac{dy}{dx}=-\tan t$ が、「一定長の棒を壁と床に立てかけて滑らせたときに包絡線として現れる曲線」というアステロイドの生い立ちと符合する。数値の答えを図形の性質で裏づけると、計算ミスにも気づける。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $x^3+y^3=3xy$ は $y$ について解けない(3次)。だが接線の傾き $y^{\prime }$ だけなら、陰関数の微分で出せる。

$y$ を $x$ の関数とみて、両辺を $x$ で微分する。$y^3$ の微分は合成関数で $3y^2{y}^{\prime }$、$3xy$ は積の微分で $3y+3x{y}^{\prime }$。出てきた式を $y^{\prime }$ について解き、最後に点の座標を代入すれば傾きが決まる。

① 両辺を微分。 $x^3+y^3=3xy$ を $x$ で微分すると $$3x^2+3y^2{y}^{\prime }=3y+3x{y}^{\prime }.$$ ② $y^{\prime }$ について解く。 $y^{\prime }$ の項を集めて $$3y^2{y}^{\prime }-3x{y}^{\prime }=3y-3x^2⟹y^{\prime }(y^2-x)=y-x^2⟹y^{\prime }=\frac{y-x^2}{y^2-x}.$$ ③ 代入。 $\left(\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right)$(この点は曲線上:${\left(\frac{3}{2}\right)}^3\cdot 2=\frac{27}{4}=3\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{3}{2}$)で $$y^{\prime }=\frac{\frac{3}{2}-\frac{9}{4}}{\frac{9}{4}-\frac{3}{2}}=\frac{-\frac{3}{4}}{\frac{3}{4}}=-1.$$

まとめ陰関数の微分で $y^{\prime }=\frac{y-x^2}{y^2-x}$、点 $\left(\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right)$ を代入して傾き $-1$。陰関数の微分と接線の融合。$y^3\to 3y^2{y}^{\prime }$ が要。

発展。 この曲線(デカルトの葉線)は原点 $(0,0)$ も通るが、そこでは接線が $2$ 本ある特異点(自分自身と交差する結び目)。陰関数微分の式 $\frac{y-x^2}{y^2-x}$ は原点で $\frac{0}{0}$ となり、傾きが1つに定まらない。これは特異点であることを示している。滑らかな点でだけ「傾き」が意味をもつことが、この点から分かる。

別解

別解:曲線の対称性で傾きを見抜く(得意な人向けの高い視点)。 方程式 $x^3+y^3=3xy$ は、$x$ と $y$ を入れ替えても変わらない($x\leftrightarrow y$ で不変)。つまり曲線は直線 $y=x$ について対称だ。

点 $\left(\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right)$ はその対称軸 $y=x$ の上にある(実際 $\frac{27}{8}+\frac{27}{8}=\frac{27}{4}$、$3\cdot \frac{9}{4}=\frac{27}{4}$ で曲線上)。$y=x$ 対称な曲線が対称軸と交わる点では、接線は対称軸に直交する(特異点でない限り)。$y=x$ に垂直な直線の傾きは $-1$。

だから傾きは $-1$。陰関数微分(本解)で $\frac{y-x^2}{y^2-x}$ に $\left(\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right)$ を入れても $-1$ で一致する。対称性を使うと、微分の前に答えが見えることがある。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 逆関数 $g$ の導関数を、$g$ を式で書かずに求めたい。$y=x+e^x$ は $x$ について解けないからだ。

逆関数の微分公式 $g^{\prime }(y)=\frac{dx}{dy}=\frac{1}{dy/dx}$ を使う。必要なのは「$y=1$ に対応する $x$」と、そこでの $\frac{dy}{dx}$。$x+e^x=1$ を満たすのは $x=0$($0+e^0=1$)。そこでの $\frac{dy}{dx}=1+e^x=2$。逆数をとって $g^{\prime }(1)=\frac{1}{2}$。

① 対応する $x$。 $y=1$ となる $x$ は $x+e^x=1$。$x=0$ で $0+e^0=0+1=1$ を満たす。$\frac{dy}{dx}=1+e^x>0$ で単調増加だから逆関数は存在し、$y=1\leftrightarrow x=0$。

② $\frac{dy}{dx}$。 $\frac{dy}{dx}=1+e^x$、$x=0$ で $1+e^0=2$。

③ 逆関数の微分。 $$g^{\prime }(1)=\frac{dx}{dy}{|}_{y=1}=\frac{1}{dy/dx}{|}_{x=0}=\frac{1}{2}.$$

まとめ $y=1\leftrightarrow x=0$、$\frac{dy}{dx}{|}_{x=0}=2$、逆関数の微分で $g^{\prime }(1)=\frac{1}{2}$。逆関数の微分と指数関数の融合。対応する $x$ を先に見つける。

発展。 $y=x+e^x$ は $\frac{dy}{dx}=1+e^x>0$ で常に増加、だから逆関数が全域で存在する。「単調な関数だけが逆関数をもつ」という原則の好例だ。逆関数の微分公式 $g^{\prime }(y)=\frac{1}{f^{\prime }(x)}$ は、$f^{\prime }(x)\ne 0$(接線が水平でない)なら必ず使える。傾きが $0$ の点でだけ、逆関数の微分が破綻する。

別解

別解:逆関数のグラフの「傾きは逆数」を図で捉える(苦手な人向け)。 逆関数 $y=g(x)$ のグラフは、元の関数 $y=f(x)$ のグラフを直線 $y=x$ について折り返したものだ。

折り返すと、$x$ 軸と $y$ 軸が入れ替わる。だから、元のグラフのある点での傾きが $m$ なら、折り返した後の対応する点での傾きは $\frac{1}{m}$(縦横が入れ替わるから逆数)。

元の関数 $f(x)=x+e^x$ で、$g^{\prime }(1)$ に対応するのは「$f$ の出力が $1$ になる点」。$f(0)=0+e^0=1$ だから、その点は $x=0$。そこでの $f$ の傾きは $f^{\prime }(0)=1+e^0=2$。

折り返しで逆数をとって $g^{\prime }(1)=\frac{1}{2}$。公式 $g^{\prime }(y)=\frac{1}{f^{\prime }(x)}$ の暗記に頼らず、「$y=x$ で折り返すと傾きが逆数」という図の性質から同じ答えが出る。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $\frac{1}{1-x}=(1-x{)}^{-1}$ とみて、まず数回微分して規則を探す。

$y^{\prime }=(1-x{)}^{-2}$、$y^{\prime \prime }=2(1-x{)}^{-3}$、$y^{\prime \prime \prime }=6(1-x{)}^{-4}$。$1$ 回ごとに指数が $1$ 下がり($-2,-3,-4,\dots$)、係数に新しい因子が掛かる($1,2,6,\cdots =n!$)。内側の微分 $-1$ とマイナスの指数のマイナスが打ち消し合って、符号は常に正。規則が見えたら帰納法で $y^{(n)}=\frac{n!}{(1-x{)}^{n+1}}$ を確定する。

① 数回微分。 $y=(1-x{)}^{-1}$。 $$y^{\prime }=(-1)(1-x{)}^{-2}(-1)=(1-x{)}^{-2},$$ $$y^{\prime \prime }=(-2)(1-x{)}^{-3}(-1)=2(1-x{)}^{-3},y^{\prime \prime \prime }=(-3)\cdot 2(1-x{)}^{-4}(-1)=6(1-x{)}^{-4}.$$ 係数は $1,2,6=1!,2!,3!$。

② 帰納法。 $y^{(k)}=k!(1-x{)}^{-(k+1)}$ を仮定して微分すると、上の公式($m=k+1$)から $$y^{(k+1)}=k!\cdot (k+1)(1-x{)}^{-(k+2)}=(k+1)!(1-x{)}^{-(k+2)}.$$ ③ 結論。 帰納法により、すべての自然数 $n$ で $$y^{(n)}=n!(1-x{)}^{-(n+1)}=\frac{n!}{(1-x{)}^{n+1}}.$$

まとめ合成関数の微分で係数が $n!$、指数が $-(n+1)$ に育ち、帰納法で $y^{(n)}=\frac{n!}{(1-x{)}^{n+1}}$。高次導関数と合成関数(帰納法)の融合。

発展。 $\frac{n!}{(1-x{)}^{n+1}}$ を $n!$ で割ると $\frac{1}{(1-x{)}^{n+1}}=\sum _k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+n}{n}\right)x^k$。つまり $\frac{1}{1-x}$ の高階微分から、二項係数(重複組合せ)が次々に現れる。母関数の理論で「$\frac{1}{(1-x{)}^m}$ の係数が組合せの数」という事実の源が、この単純な微分公式である。

別解

別解:等比級数を項別に微分する(得意な人向けの高い視点)。 $|x|<1$ では、$\frac{1}{1-x}$ は等比級数に開ける。

$$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{x}^k.$$

これを項別に $n$ 回微分する。$x^k$ を $n$ 回微分すると $k(k-1)\cdots (k-n+1)x^{k-n}$(定数項以下は消える)。とくに $x^n$ の項からは、定数 $n(n-1)\cdots 1=n!$ が生まれる。

左辺の $n$ 階微分は $\frac{1}{(1-x{)}^{n+1}}$ の定数倍のはずで、$x=0$ での値を比べると、右辺の定数項がちょうど $n!$。だから

$${\left(\frac{1}{1-x}\right)}^{(n)}=\frac{n!}{(1-x{)}^{n+1}}.$$

1回ずつ微分して規則をつかむ本解に対し、こちらは無限級数の項別微分から $n!$ を直接読み取る。$\frac{1}{(1-x{)}^{n+1}}$ の級数展開に二項係数 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{n}\right)$ が現れるのも、この計算の副産物だ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $\sqrt{\frac{x(x+1)}{x+2}}$ は積・商・根号が入り混じっている。このまま微分すると煩雑だ。

対数微分法で、掛け算・割り算・累乗を、足し算・引き算・定数倍に変える。両辺の対数をとると、$\log y=\frac{1}{2}\{\log x+\log (x+1)-\log (x+2)\}$ と和・差にほどける。各項を微分するのは簡単($\frac{1}{x}$ 型)。$\frac{y^{\prime }}{y}$ が求まったら $y$ を掛け戻す。

① 対数をとる。 $x>0$ で $$\log y=\frac{1}{2}\{\log x+\log (x+1)-\log (x+2)\}.$$ ② 微分。 左辺は $\frac{y^{\prime }}{y}$、右辺は各項 $\frac{1}{(\cdots )}$ の和で $$\frac{y^{\prime }}{y}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}\right).$$ ③ $y^{\prime }$ を求める。 $y=\sqrt{\frac{x(x+1)}{x+2}}$ を掛けて $$y^{\prime }=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{x(x+1)}{x+2}}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}\right).$$

まとめ対数をとって和・差に分解し、$\frac{y^{\prime }}{y}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}\right)$、$y$ を掛け戻す。対数微分法と積・商の融合。

発展。 対数微分法は「対数微分 $\frac{y^{\prime }}{y}=(\log y{)}^{\prime }$」を計算している。この量は相対変化率とよばれ、経済学では成長率、物理では崩壊率として現れる。積 $y=fg$ の成長率が各因子の成長率の和 $\frac{f^{\prime }}{f}+\frac{g^{\prime }}{g}$ になるという性質があるから、対数微分は役に立つ。

別解

別解:対数をとらず、商と積の微分で押し切る(苦手な人向けの確認ルート)。 本解では対数微分法を使ったが、素朴に微分しても同じ答えになることを確かめておく。まず根号を $\frac{1}{2}$ 乗に直す。

$$y={\left(\frac{x(x+1)}{x+2}\right)}^{1/2}.$$

合成関数で $y^{\prime }=\frac{1}{2}{\left(\frac{x(x+1)}{x+2}\right)}^{-1/2}\cdot {\left(\frac{x(x+1)}{x+2}\right)}^{\prime }$。中の商 $\frac{x^2+x}{x+2}$ を商の微分で計算すると

$${\left(\frac{x^2+x}{x+2}\right)}^{\prime }=\frac{(2x+1)(x+2)-(x^2+x)}{(x+2{)}^2}=\frac{x^2+4x+2}{(x+2{)}^2}.$$

これを整理していくと、対数微分法で得た $y^{\prime }=\frac{y}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}\right)$ と一致する(数値でも $x=2$ で両者が合う)。対数微分は「積・商・累乗を足し算に変える」ぶんずっと速いが、直接微分と突き合わせると計算ミスの検算になる。どちらでも同じ、を一度確かめておくと安心だ。