数学III / 微分法の計算

微分法の計算 ★ 基礎の問題全12問

教科書レベル。定義・公式の確認と基本操作

難易度: ★ 基礎·★★ 標準·★★★ 応用·★★★★ 難関·実戦編·最難関編

積の微分
商の微分
合成関数の微分
三角関数の微分(sin)
三角関数の微分(cos)
指数関数の微分
対数関数の微分
三角関数の微分(tan)
合成関数の微分(指数)
合成関数の微分(対数)
累乗の微分(分数・根号)
合成関数の微分(3乗)

問1積の微分

★ 基礎積の微分

問題

関数 $y = (x^{2} + 1) (x - 3)$ を微分せよ。

ヒントを見る

積の形の微分には専用の規則がある。展開してから項別に微分しても答えは同じだ。両方やって一致を確かめると、規則の練習になる。

解答・解説

方針

積の微分公式 $(f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}$ を使う。 $f = x^{2} + 1$ 、 $g = x - 3$ として、それぞれの導関数を組み合わせる。(展開してから微分しても同じ。)

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $2$ つの式の掛け算だ。どう微分するか、道は $2$ つある。

展開してから、 $1$ 項ずつ微分する
積の微分公式を使う

この問題は展開できるので、どちらでも解ける。それでも、あえて公式で解く。

なぜか。 これから出てくる積は展開できないものばかりだからだ。

$x^{2} e^{x}, x sin x, e^{x} cos x$

こうした積は、展開しようがない。 積の微分公式が使えなければ、手も足も出ない。

$(f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}$

「どちらが $f$ で、どちらが $g$ か」を決めて、機械的に当てはめる。

展開できる問題で公式に慣れておくことが、この問題のねらいである。

公式積の微分

(f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}

$f = x^{2} + 1$ 、 $g = x - 3$ とする。 $f^{'} = 2 x$ 、 $g^{'} = 1$ 。

$y^{'} = f^{'} g + f g^{'} = 2 x (x - 3) + (x^{2} + 1) \cdot 1$

展開して整理する。

$= 2 x^{2} - 6 x + x^{2} + 1 = 3 x^{2} - 6 x + 1$

まとめ:積の微分は「片方を微分 × もう片方 + そのまま × もう片方を微分」。 $2$ 項の和になる。多項式なら展開して微分しても同じ結果になるので、検算に使える。

発展。 積の微分を何回も繰り返すとどうなるか。

$(f g)^{''}$ を計算してみよう。

$(f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}$

もう $1$ 回微分する。 各項に、また積の微分を使う。

$(f g)^{''} = (f^{''} g + f^{'} g^{'}) + (f^{'} g^{'} + f g^{''}) = f^{''} g + 2 f^{'} g^{'} + f g^{''}$

係数が $1, 2, 1$ になった。

$3$ 回微分すると?

$(f g)^{'''} = f^{'''} g + 3 f^{''} g^{'} + 3 f^{'} g^{''} + f g^{'''}$

係数は $1, 3, 3, 1$ 。

この数の並びに、見覚えがあるはずだ。パスカルの三角形に並ぶ、二項係数である。

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ $(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$

まったく同じ係数が現れる。一般に、こう書ける。

$(f g)^{(n)} = k = 0 \sum n (k n) f^{(n - k)} g^{(k)}$

ライプニッツの公式という。二項定理 $(a + b)^{n} = \sum (k n) a^{n - k} b^{k}$ と、瓜二つだ。なぜ、こんな一致が起こるのか。

微分を $1$ 回するたびに、「 $f$ を微分するか、 $g$ を微分するか」の $2$ 択が生じる。 $n$ 回微分すれば、 $2^{n}$ 通りの選び方がある。そのうち「 $f$ を $n - k$ 回、 $g$ を $k$ 回」微分するものが $(k n)$ 通り。

これは「 $n$ 個の $(a + b)$ から、 $a$ を $n - k$ 個、 $b$ を $k$ 個選ぶ」のと、まったく同じ数え上げである。

微分と、展開。 まるで無関係に見える $2$ つの操作が、同じ組み合わせの構造をもっている。この公式は実用的でもある。

$y = x^{2} e^{x}$ を $10$ 回微分せよ、と言われたら。

素直にやると、地獄だ。 だが、ライプニッツの公式なら

$(x^{2} e^{x})^{(10)} = (0 10) (x^{2}) e^{x} + (1 10) (2 x) e^{x} + (2 10) (2) e^{x} + 0 + \dots$

$x^{2}$ は $3$ 回微分すると $0$ になるので、 $3$ 項で終わる。

$= (x^{2} + 20 x + 90) e^{x}$

$10$ 回の微分が $3$ 行で片づいた。

「組み合わせの構造」を見抜くと、計算が消える。 数学のあちこちで、同じことが起きる。

答

$y^{'} = 3 x^{2} - 6 x + 1$

別解

展開してから微分する。そして、公式の「意味」を考える。まず、素直に展開しよう。

$y = (x^{2} + 1) (x - 3) = x^{3} - 3 x^{2} + x - 3$

あとは、 $1$ 項ずつ微分するだけ。

$y^{'} = 3 x^{2} - 6 x + 1$

公式を使った答えと、一致する

この方法の価値は検算にある。

積の微分公式は符号や項を間違えやすい。 展開できる問題なら、展開ルートで検算できる。

では、なぜ $(f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}$ という形なのか。面積で考えると、腑に落ちる。

縦 $f$ 、横 $g$ の長方形を想像しよう。 面積は $f g$ である。時間が少し( $Δ x$ だけ)進むと、縦も横も少し伸びる。

縦が $Δ f$ 伸びる → 面積が $Δ f \times g$ 増える(下に横長の帯が追加)
横が $Δ g$ 伸びる → 面積が $f \times Δ g$ 増える(右に縦長の帯が追加)
角の小さな長方形 $Δ f \times Δ g$ も増えるが、これは極めて小さい( $2$ つの微小量の積)

だから、面積の増加は

$Δ (f g) \approx (Δ f) \cdot g + f \cdot (Δ g)$

両辺を $Δ x$ で割って、 $Δ x \to 0$ とすると

$(f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}$

公式の $2$ 項は「縦が伸びた分」と「横が伸びた分」である。

角の小さな長方形が無視できるのは、 $Δ f \cdot Δ g$ が「小さい $\times$ 小さい」= 極めて小さいから。 極限をとると、完全に消える。この見方から、 $(f g)^{'} = f^{'} g^{'}$ ではない理由も分かる。

縦だけ伸ばしても、横だけ伸ばしても、面積は増える。 両方の寄与を足さなければならない。「 $2$ つの変化が、それぞれ独立に影響する」というのが、積の微分の考え方である。

$3$ つの積なら?

$(f g h)^{'} = f^{'} g h + f g^{'} h + f g h^{'}$

「 $1$ つずつ微分して、残りはそのまま」を、 $3$ 通り足す。 直方体の $3$ つの面が伸びる、と思えばよい。

ポイント

$(f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}$ 。
「微分 × そのまま」を $2$ 通り足す。

よくある間違い

$(f g)^{'} = f^{'} g^{'}$ としてしまう(それぞれを微分して掛ける)。積の微分は $2$ 項の和になる
$f^{'} g + f g^{'}$ の $2$ 項目で、 $f$ をうっかり $f^{'}$ にしてしまう。各項で微分するのは片方だけ
展開ルートで検算するとき、展開そのものを間違える。 $(x^{2} + 1) (x - 3)$ の展開は $4$ 項すべてを丁寧に出す

問2商の微分

★ 基礎商の微分

問題

関数 $y = \frac{x}{x + 1}$ を微分せよ。

ヒントを見る

商の形の微分規則を使う。分子の並び順(どちらを先に微分するか)と符号を間違えやすいので、規則を書き出してから当てはめよう。

解答・解説

方針

商の微分公式 $(\frac{f}{g})^{'} = \frac{f ^{'} g - f g ^{'}}{g ^{2}}$ を使う。 $f = x$ 、 $g = x + 1$ を代入する。分子の引き算の順番に注意。

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 分数の形をした関数だ。商の微分公式を使う。

$(\frac{f}{g})^{'} = \frac{f ^{'} g - f g ^{'}}{g ^{2}}$

この公式には、間違えやすい点が $2$ つある。

① 分子は引き算。 しかも順番が命だ。

$f^{'} g - f g^{'} (f を微分したほうが先)$

逆にすると、符号が丸ごと反対になる。

② 分母は $g^{2}$ 。 $g$ ではない。

覚え方のコツ。

「分子を微分 $\times$ 分母 $-$ 分子 $\times$ 分母を微分、全部を分母の $2$ 乗で割る」呪文のように唱えて、順序を体に入れてしまうのが早い。あとは $f = x$ 、 $g = x + 1$ と仕分けて、機械的に当てはめるだけである。

公式商の微分

(\frac{f}{g})^{'} = \frac{f ^{'} g - f g ^{'}}{g ^{2}}

$f = x$ 、 $g = x + 1$ 。 $f^{'} = 1$ 、 $g^{'} = 1$ 。

$y^{'} = \frac{f ^{'} g - f g ^{'}}{g ^{2}} = \frac{1 \cdot ( x + 1 ) - x \cdot 1}{( x + 1 ) ^{2}}$

分子を整理する。

$= \frac{( x + 1 ) - x}{( x + 1 ) ^{2}} = \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}}$

まとめ:商の微分は分子が「 $f^{'} g - f g^{'}$ 」(引き算の順番が大事)、分母が「 $g^{2}$ 」。分子の順番を逆にすると符号が変わるので、 $f^{'} g$ が先、と覚える。

発展。 微分の公式はたくさんあるように見える。だが、本当に必要なのは $3$ つだけだ。

基本の $3$ 公式。

和・定数倍。

$(a f + b g)^{'} = a f^{'} + b g^{'}$

積。

$(f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}$

合成(連鎖律)。

${f (g (x))}^{'} = f^{'} (g (x)) g^{'} (x)$

この $3$ つから、他はすべて導ける。

商の微分は? $\frac{f}{g} = f \cdot g^{- 1}$ と書いて、積と合成から出る。

$tan$ の微分は? $\frac{sin}{cos}$ の商だから、これも積と合成から出る。

逆関数の微分は? $f (f^{- 1} (x)) = x$ の両辺を、合成の規則で微分すれば出る。

対数微分法は? $lo g y$ を、合成の規則で微分するだけ。「公式が多い」のではなく、「 $3$ つの原理の応用例が多い」のだ。

この視点をもつと、覚えることが大きく減る。そして、なぜ $3$ つなのか。関数の作り方が $3$ 通りしかないからだ。

足す・定数倍する → 和・定数倍の規則
掛ける → 積の規則
入れ子にする → 合成の規則(連鎖律)

どんなに複雑な関数もこの $3$ つの操作を組み合わせて作られている。たとえば

$y = \frac{e ^{x^{2}} sin x}{lo g ( 3 x + 1 )}$

この怪物も分解すればこうだ。

$e^{x^{2}}$ :合成( $e^{()}$ と $x^{2}$ )
$e^{x^{2}} sin x$ :積
$lo g (3 x + 1)$ :合成
全体:商( $=$ 積 $\times$ 逆数、つまり積と合成)

$3$ つの原理を、正しい順番で適用していけば、必ず微分できる。「微分は、どんな関数でも機械的に計算できる」

これが微分の大きな強みだ。 積分がしばしば「解けない」( $e^{x^{2}}$ の積分は初等関数で書けない)のとは、対照的である。微分は有限の手順で必ず終わる。積分は終わらないことがある。

この非対称性は微積分の大きな特徴である。

答

$y^{'} = \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}}$

別解

商の微分公式を使わずに解く。式を変形すればいい。分数を割り算で整理する。

$\frac{x}{x + 1} = \frac{( x + 1 ) - 1}{x + 1} = 1 - \frac{1}{x + 1}$

確かめる。 $x = 1$ なら、左辺 $= \frac{1}{2}$ 、右辺 $= 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

この形なら、商の微分は要らない。 $1$ は定数だから、微分すると $0$ 。

残りの $- \frac{1}{x + 1}$ を微分する。 これは合成関数だ。

$- \frac{1}{x + 1} = - (x + 1)^{- 1}$

べきの微分( $(u^{p})^{'} = p u^{p - 1} u^{'}$ )を使う。 内側 $x + 1$ の微分は $1$ 。

$y^{'} = - {- 1 \cdot (x + 1)^{- 2} \cdot 1} = \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}}$

本解と同じ答え

この方法の $2$ つの利点。

利点 $1$ : 公式を $1$ つ減らせる。そもそも、商の微分公式は覚えなくてもよい。

$\frac{f}{g} = f \cdot g^{- 1}$

と書けば、積の微分 $+$ 合成関数の微分で導ける。

$(f \cdot g^{- 1})^{'} = f^{'} g^{- 1} + f \cdot (- 1) g^{- 2} g^{'} = \frac{f ^{'}}{g} - \frac{f g ^{'}}{g ^{2}} = \frac{f ^{'} g - f g ^{'}}{g ^{2}}$

商の公式は積と合成から自動的に出てくる。 独立した公式ではないのだ。「公式を減らして、原理を増やす」と、覚える量が減り、応用は広がる。

利点 $2$ : グラフが見える。

$y = 1 - \frac{1}{x + 1}$

これは双曲線だ。 漸近線は $x = - 1$ と $y = 1$ 。しかも、導関数

$y^{'} = \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}} > 0$

は、 $x \neq = - 1$ のすべてで正。この関数はどこでも増加している。

$x = - 1$ を境に、左の枝も右の枝も、それぞれ右上がりになる。双曲線の $2$ 本の枝が、どちらも増加していることが分かる。「割り算で整理する」というひと手間が、微分を楽にし、グラフまで見せてくれる。

ポイント

$(\frac{f}{g})^{'} = \frac{f ^{'} g - f g ^{'}}{g ^{2}}$ 。
分子は $f^{'} g$ が先(順番に注意)。

よくある間違い

分子の引き算の順を逆にして $f g^{'} - f^{'} g$ としてしまう。答えの符号が丸ごと反対になる
分母を $g$ のままにする( $g^{2}$ にし忘れる)。商の微分の分母は必ず $2$ 乗
分子の展開で $1 \cdot (x + 1) - x \cdot 1 = 1$ となるところを、 $x + 1 - x = 1$ の計算を焦って符号を落とす

問3合成関数の微分

★ 基礎合成関数の微分

問題

関数 $y = (2 x + 1)^{3}$ を微分せよ。

ヒントを見る

$3$ 乗の外側と、 $2 x + 1$ の内側からなる、 $2$ 段構えの合成関数だ。外側を微分したあと、内側の微分を掛け忘れないこと。

解答・解説

方針

合成関数の微分(連鎖律)。「外側の微分 × 内側の微分」。外側は $()^{3}$ を微分して $3 ()^{2}$ 、内側 $2 x + 1$ の微分は $2$ 。

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $(2 x + 1)^{3}$ は、入れ子構造をしている。

外側と内側に分けて見る。

外側: $()^{3}$ (かたまりを $3$ 乗する操作)
内側: $2 x + 1$ (かたまりの中身)

この $2$ 段構えの関数を、合成関数という。微分の仕方はこうだ。

$外側の微分 \times 内側の微分$

外側: $u^{3}$ を $u$ で微分して $3 u^{2}$ 。 $u = 2 x + 1$ を戻して $3 (2 x + 1)^{2}$ 。

内側: $2 x + 1$ を $x$ で微分して $2$ 。

掛ける。

$y^{'} = 3 (2 x + 1)^{2} \times 2 = 6 (2 x + 1)^{2}$

忘れがちなのが、この最後の「 $\times 2$ 」だ。 内側の微分を掛け忘れると、答えが $3$ 分の $1$ になってしまう。

「外を微分して、中を微分して、掛ける。」 この連鎖律が、数学IIIの微分の中核である。

公式合成関数の微分(連鎖律)

{f (g (x))}^{'} = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)

(外側の微分 × 内側の微分)

外側は $()^{3}$ 、内側は $2 x + 1$ 。

① 外側を微分する。 $()^{3}$ を微分して $3 ()^{2}$ 。中身はそのまま。

$3 (2 x + 1)^{2}$

② 内側の微分をかける。 $(2 x + 1)^{'} = 2$ 。

$y^{'} = 3 (2 x + 1)^{2} \times 2 = 6 (2 x + 1)^{2}$

まとめ:合成関数は「外側を微分(中身そのまま)× 内側を微分」。かっこの中身を $1$ つのかたまりとみて外を微分し、最後に中身の微分をかける。連鎖律は数III微分の最重要ツールだ。

発展。 連鎖律は単なる計算規則ではなく、「変化が伝わる」ことの数学的な表現だ。

具体例で考えよう。

風船を膨らませている。 半径 $r$ が $1$ 秒に $0.1$ cm ずつ増えているとする。体積 $V$ は $1$ 秒に何 cm³ 増えるか。

体積の式は $V = \frac{4}{3} π r^{3}$ 。知りたいのは $\frac{d V}{d t}$ (時間あたりの体積の変化)だ。

連鎖律を使う。

$\frac{d V}{d t} = \frac{d V}{d r} \cdot \frac{d r}{d t}$

$\frac{d V}{d r} = 4 π r^{2} (表面積!)$

$\frac{d V}{d t} = 4 π r^{2} \times 0.1$

半径が $10$ cm のとき

$\frac{d V}{d t} = 4 π (100) (0.1) = 40 π \approx 126 cm^{3} / 秒$

ここで、あることに気づく。

$\frac{d V}{d r} = 4 π r^{2} = (球の表面積)$

「体積の、半径についての変化率」は、「表面積」に等しい。

当たり前だ。 半径を少し増やすと、球の表面に薄い皮が $1$ 枚追加される。 その体積は「表面積 $\times$ 厚み」だからだ。

同じことが円でも起こる。

$\frac{d}{d r} (π r^{2}) = 2 π r = (円周)$

面積を微分すると、円周になる。

「 $r$ を増やすと、外周に沿って細い輪が $1$ つ追加される」 と考えればよい。その面積が「円周 $\times$ 幅」だからだ。連鎖律の応用例は、理科の全域に広がっている。

物理: 位置 → 速度 → 加速度(時間で $2$ 回微分)
化学: 反応速度が濃度の関数、濃度が時間の関数
経済: 利益が価格の関数、価格が需要の関数
機械学習: 誤差が重みの関数(誤差逆伝播法は、連鎖律を何万層も繰り返す計算だ)

AI の学習の計算でも、連鎖律が使われている。深層学習の「バックプロパゲーション」は、 $\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \frac{d u}{d x}$ を、何千万回も適用しているにすぎない。「変化は、鎖のように伝わる」という $1$ 行の原理が、現代のAIの学習に使われている。

答

$y^{'} = 6 (2 x + 1)^{2}$

別解

展開してから微分し、公式の正しさを自分の目で確かめる。「内側の微分を掛ける」が本当に必要か、検算しよう。

まず展開する。

$(2 x + 1)^{3} = (2 x)^{3} + 3 (2 x)^{2} (1) + 3 (2 x) (1)^{2} + 1^{3}$

$= 8 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x + 1$

$1$ 項ずつ微分する。

$y^{'} = 24 x^{2} + 24 x + 6$

これが、公式の答えと一致するか。公式の答えは $6 (2 x + 1)^{2}$ 。展開してみる。

$6 (2 x + 1)^{2} = 6 (4 x^{2} + 4 x + 1) = 24 x^{2} + 24 x + 6$

ぴったり一致

もし「 $\times 2$ 」を忘れて $3 (2 x + 1)^{2}$ としていたら?

$3 (4 x^{2} + 4 x + 1) = 12 x^{2} + 12 x + 3$

正しい答えのちょうど半分。 展開ルートと合わない。「内側の微分」が本当に必要だったことが、これで確かめられた。

なぜ「掛ける」のか。連鎖律の意味を考えよう。歯車を思い浮かべてほしい。

$x$ が $1$ 回転すると、 $u = 2 x + 1$ は $2$ 回転する(内側の変化率 $2$ )。

$u$ が $1$ 回転すると、 $y = u^{3}$ は $3 u^{2}$ 回転する(外側の変化率)。では、 $x$ が $1$ 回転したら、 $y$ は何回転するか。

$3 u^{2} \times 2$

$2$ 段の歯車をつなぐと、変化率は掛け算になる。ライプニッツの記法で書くと、とても分かりやすい。

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$

$d u$ が約分されて消えるので、分数のように見える。

これは偶然ではない。 ライプニッツは、微分をこう書けば連鎖律が「約分」に見えることを、意図して設計した。

記号のうまさが理解を助ける。 「 $d y / d x$ 」という書き方は、 $300$ 年たった今も使われている。ちなみに、この問題では展開できたが、 $(2 x + 1)^{100}$ ならどうか。

展開は不可能。 だが連鎖律なら $1$ 行だ。

$y^{'} = 100 (2 x + 1)^{99} \times 2 = 200 (2 x + 1)^{99}$

公式が特に役に立つのは、展開できない場面だ。

ポイント

連鎖律:外側の微分 × 内側の微分。
外側を微分するとき中身はそのまま。

よくある間違い

内側の微分( $\times 2$ )を掛け忘れて $3 (2 x + 1)^{2}$ とする。合成関数は必ず「外の微分 $\times$ 中の微分」
$3 (2 x + 1)^{2}$ の $(2 x + 1)$ を $x$ に置き換えて $3 x^{2}$ としてしまう。外側を微分したあとも、中身はそのまま残る
展開ルートで検算するとき、 $(2 x + 1)^{3}$ の展開の係数( $8, 12, 6, 1$ )を間違える。 $(2 x)^{3} = 8 x^{3}$ のように、 $2 x$ ごと $3$ 乗する

問4三角関数の微分(sin)

★ 基礎三角関数の微分

問題

関数 $y = sin 2 x$ を微分せよ。

ヒントを見る

$sin$ の微分に、中身( $2 x$ )の微分を掛ける。合成関数の規則そのままだ。中身の微分の掛け忘れがよくあるミスだ。

解答・解説

方針

$(sin x)^{'} = cos x$ が基本。 $sin 2 x$ は合成関数なので、 $cos 2 x$ に内側 $2 x$ の微分 $2$ をかける。

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $sin 2 x$ は、 $sin$ の中に $2 x$ が入った合成関数だ。

外側: $sin ()$
内側: $2 x$

手順はいつもの連鎖律である。

外側の微分: $(sin u)^{'} = cos u$ だから $cos 2 x$ 。

内側の微分: $(2 x)^{'} = 2$ 。

掛ける。

$y^{'} = cos 2 x \times 2 = 2 cos 2 x$

ここでも、 $\times 2$ を忘れないことが命だ。間違いに気づく方法がある。

$sin 2 x$ は $sin x$ より $2$ 倍の速さで振動している。 波が急なぶん、傾きも大きくなるはずだ。だから、微分して振幅が $2$ 倍( $2 cos 2 x$ )になるのは、むしろ自然だ。

「速く振動する波は、傾きも大きい」という感覚をもっておくと、 $\times 2$ を落としたときに違和感が働く。

公式

(sin x)^{'} = cos x

。合成なら

(sin u)^{'} = cos u \cdot u^{'}

$u = 2 x$ とみる。 $(sin u)^{'} = cos u$ 、内側 $u^{'} = (2 x)^{'} = 2$ 。

$y^{'} = cos 2 x \times 2 = 2 cos 2 x$

まとめ: $sin$ の微分は $cos$ 。中身が $2 x$ のように $x$ 以外なら合成関数で、内側の微分 $2$ を忘れずにかける。 $sin (中身)$ の中身が複雑なほど連鎖律が役に立つ。

発展。 $sin ω x$ の微分に現れる係数 $ω$ は、物理では角速度と呼ばれる。

波の式を見てみよう。

$y = A sin (ω t)$

$A$ : 振幅(波の高さ)
$ω$ : 角速度(振動の速さ)
$t$ : 時間

この波の「速度」は、時間で微分して

$v = \frac{d y}{d t} = A ω cos (ω t)$

速度の振幅は $A ω$ で、角速度 $ω$ が掛かる。もう $1$ 回微分すると、加速度が出る。

$a = \frac{d v}{d t} = - A ω^{2} sin (ω t) = - ω^{2} y$

次の関係が現れた。

$a = - ω^{2} y$

「加速度は、位置に比例し、向きは逆」これは単振動の運動方程式そのものだ。バネにつないだおもりを思い浮かべよう。

フックの法則: バネの力は伸びに比例し、向きは逆( $F = - k x$ )。

ニュートンの運動方程式: $F = ma$ 。合わせると

$ma = - k x ⟹ a = - \frac{k}{m} x$

これは、上で微分から出てきた $a = - ω^{2} y$ と同じ形だ。

$ω^{2} = \frac{k}{m} ⟹ ω = \frac{k}{m}$

振動の速さ(角速度)がバネの硬さと重さから決まる。周期は

$T = \frac{2 π}{ω} = 2 π \frac{m}{k}$

「重いおもりはゆっくり、硬いバネは速く振動する」ので、直感と合う。

なぜ $sin$ なのか。

$y^{''} = - ω^{2} y$ という方程式(「 $2$ 回微分すると、自分自身の $- ω^{2}$ 倍」)を満たす関数は、 $sin$ と $cos$ しかない。振動する現象が、必ず $sin$ 波になる理由が、ここにある。

音波・光波・電波
交流電流
振り子・バネ・原子の熱振動

すべて $y^{''} = - ω^{2} y$ に従い、すべて $sin$ で書ける。 $(sin 2 x)^{'} = 2 cos 2 x$ という計算の中の $2$ は、振動の速さ(角速度)を表しているのだ。

答

$y^{'} = 2 cos 2 x$

別解

$2$ 倍角の公式で書き直し、積の微分で解く。まったく違う道から、同じ答えにたどり着けるかを確かめる別解である。

$2$ 倍角の公式を思い出す。

$sin 2 x = 2 sin x cos x$

この形なら、合成関数ではなく積の形だ。

積の微分公式を使う。 $f = sin x$ 、 $g = cos x$ とする。

$f^{'} = cos x, g^{'} = - sin x$

$y = 2 f g$

$y^{'} = 2 (f^{'} g + f g^{'}) = 2 {cos x \cdot cos x + sin x \cdot (- sin x)}$

$= 2 (cos^{2} x - sin^{2} x)$

ここで、また $2$ 倍角の公式が使える。

$cos 2 x = cos^{2} x - sin^{2} x$

$y^{'} = 2 cos 2 x$

本解と、完全に一致した

この一致は偶然ではない。

同じ関数を微分しているのだから、どんな道を通っても答えは同じになる。 数学の整合性そのものだ。そして、この計算には副産物がある。

途中で出てきた式

$(sin 2 x)^{'} = 2 (cos^{2} x - sin^{2} x)$

と、公式から得た

$(sin 2 x)^{'} = 2 cos 2 x$

を比べると

$cos 2 x = cos^{2} x - sin^{2} x$

$2$ 倍角の公式が微分から「再発見」できた。微分は恒等式を検証する道具にもなる。「 $2$ つの関数が等しいなら、その導関数も等しい」という当たり前の事実を使うと、公式の検算ができる。

逆に言えば、導関数が違えば、もとの関数は違う。たとえば「 $sin 2 x = 2 sin x$ 」という間違った式を疑うには、微分してみればいい。

$左辺の微分 = 2 cos 2 x, 右辺の微分 = 2 cos x$

$x = \frac{π}{2}$ で、左辺は $2 cos π = - 2$ 、右辺は $2 cos \frac{π}{2} = 0$ となり、一致しない。微分が違うのだから、もとの式も間違い。

公式に自信がないときは、微分してみる。 意外に役に立つ検算法である。

ポイント

$(sin x)^{'} = cos x$ 。
中身が $2 x$ なら $\times 2$ (連鎖律)。

よくある間違い

内側の微分( $\times 2$ )を忘れて $cos 2 x$ とする。合成関数では必ず中身の微分を掛ける
$(sin 2 x)^{'} = cos 2 x \cdot 2$ の $2$ を、 $cos$ の中に入れて $cos 4 x$ としてしまう。 $2$ は係数として前に出す
$sin 2 x$ を $2 sin x$ と書き換えてしまう。 $sin$ は $1$ 次関数ではないので、係数は外に出せない

問5三角関数の微分(cos)

★ 基礎三角関数の微分

問題

関数 $y = cos x$ を微分せよ。また $y = cos 3 x$ も微分せよ。

ヒントを見る

$cos$ の微分は符号に注意。 $cos 3 x$ のほうは、さらに中身の微分も掛かる。

解答・解説

方針

$(cos x)^{'} = - sin x$ (マイナスがつく)。 $cos 3 x$ は合成なので、 $- sin 3 x$ に内側 $3 x$ の微分 $3$ をかける。

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $cos$ の微分には、マイナスがつく。

$(cos x)^{'} = - sin x$

$sin$ の微分( $cos x$ )には符号が変わらないのに、 $cos$ は変わる。 ここが混乱のもとだ。

グラフで納得しておこう。

$x = 0$ の近くで、 $cos x$ は $1$ から下がり始める。 つまり傾きは負である。そして $- sin 0 = 0$ 、 $x$ が少し増えると $- sin x < 0$ となり、確かに負だ。

$cos$ は「山の頂上」から始まるので、最初は下り坂。だからマイナス。後半の $cos 3 x$ はいつもの合成関数だ。

$(cos 3 x)^{'} = - sin 3 x \times 3 = - 3 sin 3 x$

マイナスと、内側の微分。 $2$ つとも落とさないことである。

公式

(cos x)^{'} = - sin x

(マイナスがつく)。合成なら

(cos u)^{'} = - sin u \cdot u^{'}

① $cos x$ の微分。

$(cos x)^{'} = - sin x$

② $cos 3 x$ の微分。 $u = 3 x$ 、 $u^{'} = 3$ 。

$(cos 3 x)^{'} = - sin 3 x \times 3 = - 3 sin 3 x$

まとめ: $cos$ の微分は $- sin$ (マイナスが出る)。 $sin$ の微分( $+ cos$ )との符号のちがいを押さえる。中身が $3 x$ なら連鎖律で $\times 3$ 。

発展。 $sin$ と $cos$ が微分で $4$ 周期の循環をなすこと。この構造は意外な場所で再会する。

虚数単位 $i$ の累乗を見てほしい。

$i^{1} = i, i^{2} = - 1, i^{3} = - i, i^{4} = 1, i^{5} = i, \dots$

$4$ 回掛けると、元に戻る。微分の循環と、まったく同じ周期だ。

$sin x \to cos x \to - sin x \to - cos x \to sin x$

$1 \to i \to - 1 \to - i \to 1$

「微分する」ことと「 $i$ を掛ける」ことが、同じ構造をもっている。

これは偶然ではない。

オイラーの公式がその理由を明かす。

$e^{i x} = cos x + i sin x$

両辺を $x$ で微分してみよう。

左辺: $(e^{i x})^{'} = i e^{i x}$ (合成関数。内側 $i x$ の微分が $i$ )

右辺: $(cos x + i sin x)^{'} = - sin x + i cos x$

右辺を $i$ でくくり直す。

$- sin x + i cos x = i (cos x + i sin x)$

( $i \times i sin x = i^{2} sin x = - sin x$ だから)

両辺が一致した。

$(e^{i x})^{'} = i e^{i x}$

「微分する」ことがそのまま「 $i$ を掛ける」ことになっている。

三角関数の微分の循環は複素数平面での $9 0^{\circ}$ 回転である。

$i$ を掛けることは、複素数平面で $9 0^{\circ}$ 回転させること( $\frac{π}{2}$ の回転)。

微分すると位相が $\frac{π}{2}$ 進む。この $2$ つは、同じことを言っている。オイラーの公式に $x = π$ を代入すると

$e^{iπ} = cos π + i sin π = - 1$

$e^{iπ} + 1 = 0$

オイラーの等式と呼ばれる有名な式だ。 $e$ 、 $i$ 、 $π$ 、 $1$ 、 $0$ という数学の $5$ つの基本定数が、 $1$ 行に収まっている。その根っこには「 $cos$ を微分すると $- sin$ 」という、この問題の $1$ 行がある。

符号のマイナス $1$ つが、 $9 0^{\circ}$ の回転やオイラーの等式につながっている。

答

$(cos x)^{'} = - sin x$ 、 $(cos 3 x)^{'} = - 3 sin 3 x$

別解

$cos$ を $sin$ で表して、公式を $1$ つに減らす。三角関数には、こんな関係がある。

$cos x = sin (\frac{π}{2} - x)$

確かめよう。 $x = 0$ なら、左辺 $= 1$ 、右辺 $= sin \frac{π}{2} = 1$

$x = \frac{π}{2}$ なら、左辺 $= 0$ 、右辺 $= sin 0 = 0$

この式を使えば、 $cos$ の微分公式を覚えなくても済む。 $sin$ の微分公式と、連鎖律だけで計算する。

外側: $sin ()$ の微分は $cos ()$ 。

内側: $\frac{π}{2} - x$ の微分は $- 1$ 。

$(cos x)^{'} = {sin (\frac{π}{2} - x)}^{'} = cos (\frac{π}{2} - x) \times (- 1)$

ここで、 $cos (\frac{π}{2} - x) = sin x$ を使う。

$= - sin x$

本解と同じ

マイナスがつく理由が分かった。内側 $\frac{π}{2} - x$ の微分が $- 1$ だからである。 $cos$ のマイナスは「 $sin$ の中で $x$ が逆向きに動いている」ことの現れだった。

このアイデアはもっと広く使える。 $sin$ と $cos$ は $\frac{π}{2}$ ずらしただけの、同じ波である。

$cos x = sin (x + \frac{π}{2})$

この式でも、微分してみよう。

$(cos x)^{'} = cos (x + \frac{π}{2}) \times 1 = - sin x$

( $cos (x + \frac{π}{2}) = - sin x$ だから。)

同じ答え。

そして、この見方から次の法則が分かる。「微分すると、位相が $\frac{π}{2}$ 進む」

$sin x^{'} cos x^{'} - sin x^{'} - cos x^{'} sin x$

$4$ 回微分すると、元に戻る。

波を微分するとは波を $\frac{π}{2}$ だけずらすこと。 $4$ 回ずらせば $2 π$ で、 $1$ 周して元に戻る。「 $cos$ の微分はマイナス $sin$ 」を丸暗記する代わりに、この円環を思い浮かべればいい。

符号を間違えたら、 $4$ つの循環を書いて確かめる。 暗記より、構造で覚えるほうが強い。

ポイント

$(cos x)^{'} = - sin x$ (マイナス)。
$sin$ は $+ cos$ 、 $cos$ は $- sin$ 。符号に注意。

よくある間違い

$(cos x)^{'} = sin x$ と、マイナスを落とす。 $cos$ の微分には必ず負号がつく
$(cos 3 x)^{'}$ で、マイナスは書けても内側の微分 $3$ を掛け忘れる。符号と係数の両方が要る
$(sin x)^{'} = - cos x$ と、 $sin$ のほうにマイナスをつけてしまう。負号がつくのは $cos$ の微分だけ

問6指数関数の微分

★ 基礎指数関数の微分

問題

関数 $y = e^{2 x}$ を微分せよ。

ヒントを見る

$e$ の累乗の微分は形が変わらないのが持ち味。ただし中身が $2 x$ なので、その微分を掛ける。

解答・解説

方針

$(e^{x})^{'} = e^{x}$ (微分しても変わらない)。 $e^{2 x}$ は合成なので、 $e^{2 x}$ に内側 $2 x$ の微分 $2$ をかける。

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $e^{x}$ には、他のどんな関数にもない特別な性質がある。

$(e^{x})^{'} = e^{x}$

微分しても、自分自身。

これは特別な性質だ。 $x^{2}$ を微分すれば $2 x$ になり、 $sin x$ は $cos x$ になる。形が変わる。

だが $e^{x}$ だけは、微分しても $e^{x}$ のまま。 姿が変わらない。 $e$ という数( $2.718 \dots$ )は、この性質をもつように選ばれた底である。

さて、 $e^{2 x}$ は合成関数だ。

外側: $e^{()}$
内側: $2 x$

$y^{'} = e^{2 x} \times 2 = 2 e^{2 x}$

外側は変わらず、内側の微分 $2$ が前に出る。「 $e^{x}$ は不変、合成なら中身の微分を掛ける」の $2$ 点で、指数の微分はすべて処理できる。

公式

(e^{x})^{'} = e^{x}

(微分しても自分自身)。合成なら

(e^{u})^{'} = e^{u} \cdot u^{'}

$u = 2 x$ 、 $u^{'} = 2$ 。

$y^{'} = e^{2 x} \times 2 = 2 e^{2 x}$

まとめ: $e^{x}$ は微分しても $e^{x}$ のまま(この性質が指数関数の特別なところ)。中身が $2 x$ なら連鎖律で $\times 2$ 。 $e^{(中身)}$ はそのまま残り、中身の微分が前に出る。

発展。 「微分しても変わらない関数」は、 $e^{x}$ のほかにあるだろうか。

方程式で書くと、こうだ。

$y^{'} = y$

「変化率が、自分自身に等しい」この方程式を満たす関数を、すべて求めてみよう。

$\frac{y ^{'}}{y} = 1$

左辺は $(lo g y)^{'}$ だ。 両辺を積分すると

$lo g y = x + C$

$y = e^{x + C} = e^{C} \cdot e^{x} = A e^{x} (A = e^{C})$

答えは $y = A e^{x}$ で、 $e^{x}$ の定数倍だけだ。

$y^{'} = y$ を満たす関数は、定数倍を除けば $e^{x}$ しかない。そして、この方程式は自然界のいたるところに現れる。 $y^{'} = y$ の意味は「増える速さが、今の量に比例する」。

細菌の増殖: 菌が多いほど、分裂して増える数も多い
複利: 元本が多いほど、利息も多い
放射性崩壊: 原子が多いほど、崩壊する数も多い(こちらは $y^{'} = - k y$ で減少)
ムーアの法則: 技術が進むほど、次の進歩も速い

すべて $y^{'} = k y$ の形で、解は $y = A e^{k x}$ 。「指数関数的」という言葉が、これほど使われる理由がここにある。「自分自身に比例して変化する」システムは、必ず指数関数になる。

$k$ の符号で結果が分かれる。

$y = A e^{k x}$

$k > 0$ → 急増(細菌・複利・パンデミック)
$k < 0$ → 消滅(放射性崩壊・薬の代謝・冷却)

$e$ という数はこの方程式のために存在する。もし底が $2$ なら

$(2^{x})^{'} = 2^{x} lo g 2 \approx 0.693 \times 2^{x}$

余計な係数 $lo g 2$ がつく。

底が $10$ なら $lo g 10 \approx 2.303$ が。

底が $e$ のときだけ、係数が $1$ になる。

$(e^{x})^{'} = e^{x} \times lo g e = e^{x} \times 1 = e^{x}$

$e$ は「微分の係数が $1$ になる、ただ $1$ つの底」である。

この $1$ つの性質のために、微積分では $e$ を標準の底として使う。 自然対数の「自然」とはこの意味である。

答

$y^{'} = 2 e^{2 x}$

別解

$e^{2 x}$ を「 $e^{x}$ の $2$ 乗」と見て、積の微分で解く。

指数法則を思い出そう。

$e^{2 x} = e^{x + x} = e^{x} \cdot e^{x}$

合成関数ではなく、 $2$ つの $e^{x}$ の積だと見るのだ。

積の微分公式を使う。 $f = g = e^{x}$ とする。

$f^{'} = e^{x}, g^{'} = e^{x}$

$y^{'} = f^{'} g + f g^{'} = e^{x} \cdot e^{x} + e^{x} \cdot e^{x} = 2 e^{x} \cdot e^{x} = 2 e^{2 x}$

本解と同じ答え

連鎖律を使わずに、積の微分だけで解けた。

この計算が示すこと。

$(e^{2 x})^{'} = 2 e^{2 x}$ の $2$ は、「 $e^{x}$ が $2$ 個ある」ことから来ている。

片方を微分するときに、もう片方はそのまま残る。 $2$ 通りの微分の仕方があるから、 $2$ 倍になる。この見方を $e^{3 x}$ に広げてみよう。

$e^{3 x} = e^{x} \cdot e^{x} \cdot e^{x}$

$3$ つの積の微分は

$(f g h)^{'} = f^{'} g h + f g^{'} h + f g h^{'}$

すべて $e^{x}$ だから、 $3$ 項とも $e^{x} \cdot e^{x} \cdot e^{x} = e^{3 x}$ になる。

$(e^{3 x})^{'} = 3 e^{3 x}$

連鎖律の答えと一致する

「 $n$ 個の積だから、 $n$ 通りの微分がある。だから $n$ 倍」係数 $n$ の意味が、はっきり見えた。もう $1$ つ、対数微分法という道もある。

両辺の対数をとる。

$lo g y = lo g e^{2 x} = 2 x$

両辺を $x$ で微分する。 左辺は合成関数( $lo g y$ の $y$ が $x$ の関数)だから

$\frac{y ^{'}}{y} = 2$

$y^{'} = 2 y = 2 e^{2 x}$

$3$ つ目の道でも、同じ答え

対数微分法は $y = x^{x}$ のような「手も足も出ない」関数で役に立つ。

$lo g y = x lo g x ⟹ \frac{y ^{'}}{y} = lo g x + 1 ⟹ y^{'} = x^{x} (lo g x + 1)$

指数の肩に $x$ がある関数は、普通の公式では微分できない。 対数をとって、掛け算を足し算に変えるのだ。

$1$ つの関数に、 $3$ つの道。 どれも同じ答えに着く。数学の一貫性を自分の手で確かめられる。

ポイント

$(e^{x})^{'} = e^{x}$ (不変)。
$(e^{u})^{'} = e^{u} \cdot u^{'}$ 。中身の微分を前に。

よくある間違い

内側の微分( $\times 2$ )を忘れて $e^{2 x}$ とする。 $e^{x}$ の微分が $e^{x}$ なのは、肩がちょうど $x$ のときだけ
$(e^{2 x})^{'} = 2 x e^{2 x}$ のように、内側そのもの( $2 x$ )を掛けてしまう。掛けるのは内側の「微分」( $2$ )
$(e^{2 x})^{'}$ を $e^{2 x}$ の肩を下ろして $2 x e^{2 x - 1}$ とする(べき関数と混同)。 $x^{n}$ の微分と $e^{x}$ の微分は別物

問7対数関数の微分

★ 基礎対数関数の微分

問題

関数 $y = lo g x$ を微分せよ。( $lo g$ は自然対数)

ヒントを見る

自然対数の微分の基本公式そのもの。即答できるようにしたい $1$ 問。

解答・解説

方針

自然対数の微分は $(lo g x)^{'} = \frac{1}{x}$ 。これは基本公式として覚える。

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $lo g x$ (自然対数)の微分は、覚えるべき基本公式だ。

$(lo g x)^{'} = \frac{1}{x}$

この式の「意外さ」を、確かめておこう。対数という、いかにも複雑な関数を微分したら、 $\frac{1}{x}$ という素朴な分数が出てきた。まったく種類の違う関数が、微分でつながっている。

グラフでも確かめられる。

$x = 1$ のとき、傾きは $\frac{1}{1} = 1$ ( $lo g x$ は $x = 1$ で $4 5^{\circ}$ の傾き)
$x$ が大きくなると、傾きは $0$ に近づく( $lo g$ の増え方はどんどん緩やかになる)
$x$ が $0$ に近づくと、傾きは無限大( $y$ 軸に沿って急降下する)

「対数はゆっくり増える」という感覚が、 $\frac{1}{x}$ という導関数にそのまま表れている。まずは公式として使い、そのうえで「なぜ $\frac{1}{x}$ なのか」を考えてみよう。

公式

(lo g x)^{'} = \frac{1}{x}

(自然対数の微分)

$y^{'} = \frac{1}{x}$

まとめ:自然対数 $lo g x$ (底 $e$ )の微分は $\frac{1}{x}$ 。とてもシンプルな結果。 $\frac{1}{x}$ の積分が $lo g ∣ x ∣$ になる(逆の関係)ことにもつながる、重要な公式だ。

発展。 $(lo g x)^{'} = \frac{1}{x}$ という式には、大事な意味がある。

逆から読んでみよう。

$\int \frac{1}{x} d x = lo g x + C$

「 $\frac{1}{x}$ の原始関数は $lo g x$ 」

この事実がなぜ重要か。べきの積分公式を思い出そう。

$\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$

この公式は $n = - 1$ のときだけ使えない。 分母が $0$ になってしまう。

$\int x^{- 1} d x = \frac{x ^{0}}{0} ?$

例外は $x^{- 1} = \frac{1}{x}$ の $1$ つだけだ。この穴を埋めるために、対数が要る。

$\int x^{- 1} d x = lo g ∣ x ∣ + C$

「 $x^{n}$ の積分は、いつも $x$ の累乗。ただし $n = - 1$ のときだけ、対数という異質な関数が現れる。」この例外を埋めるのが、対数という関数である。

実は、歴史的には順序が逆だった。 $17$ 世紀、数学者たちは「双曲線 $y = \frac{1}{x}$ の下の面積」を計算しようとしていた。

$A (x) = \int_{1}^{x} \frac{1}{t} d t$

この面積が特別な性質をもつことに気づいた。

$A (ab) = A (a) + A (b)$

「掛け算が、足し算になる」これは、対数の性質そのものだ。

$lo g (ab) = lo g a + lo g b$

つまり、この面積そのものが対数だった。

$\int_{1}^{x} \frac{1}{t} d t = lo g x$

そして、この関数の逆関数として現れる数が $e$ である。

$\int_{1}^{e} \frac{1}{t} d t = 1$

「 $1$ から $e$ までの双曲線の下の面積が、ちょうど $1$ 」これが $e$ の、もう $1$ つの定義だ。 $e = 2.71828 \dots$ という値は、この面積が $1$ になる点として決まっている。

なぜ $e$ が「自然」なのか。

微分の視点: 微分しても変わらない関数の底
積分の視点: $\frac{1}{x}$ の面積が $1$ になる点
極限の視点: $(1 + \frac{1}{n})^{n}$ の行き着く先
級数の視点: $1 + \frac{1}{1 !} + \frac{1}{2 !} + \frac{1}{3 !} + \dots$

まったく違う $4$ つの道が、同じ $2.71828 \dots$ に集まる。そういう数だけが「自然」と呼ばれる資格をもつ。

答

$y^{'} = \frac{1}{x}$

別解

なぜ $\frac{1}{x}$ になるのか。逆関数の関係から導く。 $lo g$ の微分公式を、 $e^{x}$ の微分から作り出す別解である。

出発点は、 $lo g$ と $e^{x}$ が互いに逆関数だという事実だ。

$y = lo g x ⟺ x = e^{y}$

この $2$ つは、同じ関係を、違う向きから書いたものにすぎない。そこで、 $x = e^{y}$ のほうを、 $y$ で微分する。

$\frac{d x}{d y} = e^{y}$

ここで、 $e^{y} = x$ だった(上の関係式)。

$\frac{d x}{d y} = x$

知りたいのは $\frac{d y}{d x}$ である。

逆関数の微分は逆数になる。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{d x}{d y}} = \frac{1}{x}$

$(lo g x)^{'} = \frac{1}{x}$

導けた

なぜ「逆数」でよいのか。

グラフで見ると明快だ。 逆関数のグラフは $y = x$ に関して折り返した形になる。折り返すと、傾きは逆数になる。

もとのグラフで「右に $1$ 、上に $3$ 」なら、折り返したグラフでは「右に $3$ 、上に $1$ 」 となり、傾きは $3$ から $\frac{1}{3}$ に変わる。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{d x / d y}$

ライプニッツの記法だと、これは「分数の逆数」に見える。 記号の便利さがここでも生かされている。

具体的な数で確かめよう。

$x = e \approx 2.718$ での傾きは?

公式では $\frac{1}{e} \approx 0.368$ 。

逆関数で見ると: $y = lo g e = 1$ 。 $x = e^{y}$ の $y = 1$ での傾きは $e^{1} = e \approx 2.718$ 。その逆数は $\frac{1}{e} \approx 0.368$

一致した。

この導出の教訓。

$(lo g x)^{'} = \frac{1}{x}$ は、天下り式の公式ではなく、 $(e^{x})^{'} = e^{x}$ という $1$ つの事実から、逆関数の関係だけで自動的に出てくる。

覚える公式は $1$ つでいい。 $e^{x}$ の微分さえ知っていれば、 $lo g$ の微分はその「裏返し」として、いつでも復元できる。

同じ技法で、 $arcsin$ や $arctan$ の微分も導ける。 「逆関数の微分は逆数」という $1$ 行から、多くの公式が導ける。

ポイント

$(lo g x)^{'} = \frac{1}{x}$ 。
$\frac{1}{x}$ の積分が $lo g ∣ x ∣$ (逆の関係)。

よくある間違い

$(lo g x)^{'} = lo g$ の何か、と考えて $\frac{1}{lo g x}$ としてしまう。導関数は $\frac{1}{x}$ で、対数は消える
底が $e$ でない対数( $lo g_{2} x$ など)にも、そのまま $\frac{1}{x}$ を使う。正しくは $\frac{1}{x lo g 2}$ で、底の対数で割る
定義域を忘れる。 $lo g x$ は $x > 0$ でしか定義されないので、導関数 $\frac{1}{x}$ も $x > 0$ の話

問8三角関数の微分(tan)

★ 基礎三角関数の微分

問題

関数 $y = tan x$ を微分せよ。

ヒントを見る

$tan$ の微分公式を思い出そう。うろ覚えなら、 $tan = \frac{sin}{cos}$ とみて商の規則から自力で導ける。導出も良い練習になる。

解答・解説

方針

$(tan x)^{'} = \frac{1}{cos ^{2} x}$ 。 $tan x = \frac{sin x}{cos x}$ を商の微分で計算しても導ける公式。

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $tan$ の微分は、公式として与えられる。

$(tan x)^{'} = \frac{1}{cos ^{2} x}$

だが、これは丸暗記する必要がない公式だ。

$tan$ の定義を思い出そう。

$tan x = \frac{sin x}{cos x}$

分数の形をしている。 ならば、商の微分公式が使える。

$(\frac{f}{g})^{'} = \frac{f ^{'} g - f g ^{'}}{g ^{2}}$

$f = sin x$ 、 $g = cos x$ と当てはめれば、 $tan$ の微分公式が自分の手で作れる。公式は $3$ 通りの形で書ける。

$\frac{1}{cos ^{2} x} = sec^{2} x = 1 + tan^{2} x$

どれも同じもの。 場面によって使いやすい形が違う。

まずは公式を使い、そのうえで導出を追ってみよう。 由来を知ると、忘れない。

公式

(tan x)^{'} = \frac{1}{cos ^{2} x}

$y^{'} = \frac{1}{cos ^{2} x}$

(確認: $tan x = \frac{sin x}{cos x}$ を商の微分すると $\frac{cos x cos x - sin x ( - sin x )}{cos ^{2} x} = \frac{cos ^{2} x + sin ^{2} x}{cos ^{2} x} = \frac{1}{cos ^{2} x}$ 。)

まとめ: $tan$ の微分は $\frac{1}{cos ^{2} x}$ 。 $sin^{2} + cos^{2} = 1$ を使うと、 $\frac{sin}{cos}$ の商の微分からきれいに出る。 $1 + tan^{2} x = \frac{1}{cos ^{2} x}$ でもある。

発展。 $tan$ の微分から、 $arctan$ (逆正接)の微分が出る。そして、そこから $π$ が出てくる。

逆関数の微分を使おう。

$y = arctan x ⟺ x = tan y$

$x = tan y$ を $y$ で微分すると

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{cos ^{2} y} = 1 + tan^{2} y = 1 + x^{2}$

逆数をとって

$(arctan x)^{'} = \frac{1}{1 + x ^{2}}$

とても簡単な式だ。 三角関数の逆関数を微分したら、 $sin$ も $cos$ もない、ただの有理式になった。この式を逆から読む。

$\int \frac{1}{1 + x ^{2}} d x = arctan x + C$

そして、 $0$ から $1$ まで積分すると

$\int_{0}^{1} \frac{1}{1 + x ^{2}} d x = arctan 1 - arctan 0 = \frac{π}{4} - 0 = \frac{π}{4}$

$π$ が現れた。

なぜこれが重要か。

左辺は代数的な関数( $1$ と $x^{2}$ しかない)の積分だ。 そこに $π$ が出てくる。この式が $π$ を計算する道を開く。

$\frac{1}{1 + x ^{2}}$ を、等比級数として展開してみよう( $∣ x ∣ < 1$ )。

$\frac{1}{1 + x ^{2}} = 1 - x^{2} + x^{4} - x^{6} + \dots$

( $1$ 項ずつ確かめると、公比 $- x^{2}$ の無限等比級数だ。)両辺を $0$ から $1$ まで積分する。

$\frac{π}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \dots$

ライプニッツの公式。

奇数の逆数を、符号を交互に変えて足すと、 $\frac{π}{4}$ になる。円周率が奇数の足し算から出てくる。円とも三角形とも無関係な式から、 $π$ が生まれる。

この式は $1674$ 年にライプニッツが発見した。(実はインドのマーダヴァが $300$ 年前に発見していた。)

ただし、収束はとても遅い。 $π$ を小数点以下 $2$ 桁求めるだけで、数百項が要る。実用にはならない。

それでも、この式の価値は計算にはない。「代数と幾何が、微積分を通してつながっている」ことを、はっきり示しているからだ。 $tan$ の微分という、教科書の $1$ 行から、 $π$ の無限級数まで、道は $1$ 本につながっている。

答

$y^{'} = \frac{1}{cos ^{2} x}$

別解

商の微分公式で、 $tan$ の微分公式を自分で作る。 $tan x = \frac{sin x}{cos x}$ に、商の微分を当てはめる。

$f = sin x, g = cos x$ $f^{'} = cos x, g^{'} = - sin x$

公式に入れる。

$(tan x)^{'} = \frac{f ^{'} g - f g ^{'}}{g ^{2}} = \frac{cos x \cdot cos x - sin x \cdot ( - sin x )}{cos ^{2} x}$

分子を整理する。 マイナス $\times$ マイナスで、プラスになる。

$= \frac{cos ^{2} x + sin ^{2} x}{cos ^{2} x}$

ここで、三角関数の最重要公式が使える。

$sin^{2} x + cos^{2} x = 1$

$(tan x)^{'} = \frac{1}{cos ^{2} x}$

公式が導けた

分子が $1$ になる瞬間が、この導出のクライマックスだ。さて、分子を別の形で整理してみよう。

分子・分母を $cos^{2} x$ で割る。

$\frac{cos ^{2} x + sin ^{2} x}{cos ^{2} x} = 1 + \frac{sin ^{2} x}{cos ^{2} x} = 1 + tan^{2} x$

$(tan x)^{'} = \frac{1}{cos ^{2} x} = 1 + tan^{2} x$

$2$ つの表現が手に入った。

どちらを使うか。

$1 + tan^{2} x$ の形が便利なのは、「 $tan$ の値だけで導関数が書ける」ときだ。たとえば、 $tan θ = 2$ となる点での傾きは?

$1 + 2^{2} = 5$

$cos$ の値を知らなくても、 $5$ と即答できる。この形は微分方程式でも活躍する。

$y^{'} = 1 + y^{2}$

「変化率が、 $1$ に自分の $2$ 乗を足したもの」という方程式。 解は $y = tan (x + C)$ である。もう $1$ つ、大事な観察。

$(tan x)^{'} = \frac{1}{cos ^{2} x} > 0$

導関数は常に正( $cos^{2} x > 0$ だから)。

だから $tan x$ は定義されているどの区間でも、必ず増加している。

グラフを思い出そう。 $tan$ は $- \frac{π}{2}$ から $\frac{π}{2}$ まで、 $- \infty$ から $+ \infty$ へ一直線に駆け上がる。下がる場面が $1$ 度もない。

「導関数が常に正 $\Rightarrow$ 単調増加」 のように、微分の値からグラフの形が分かる。

この単調性があるので、 $tan$ には逆関数( $arctan$ )が存在する。 $1$ 対 $1$ だからだ。

ポイント

$(tan x)^{'} = \frac{1}{cos ^{2} x}$ 。
商の微分 + $sin^{2} + cos^{2} = 1$ から導ける。

よくある間違い

$(tan x)^{'} = \frac{1}{sin ^{2} x}$ と、分母を $sin$ にしてしまう。分母は $cos^{2} x$
商の微分で導くとき、分子の $- sin x \cdot (- sin x)$ の符号処理を誤り、 $cos^{2} x - sin^{2} x$ としてしまう。マイナス $\times$ マイナスはプラス
$tan$ の定義域を忘れる。 $cos x = 0$ ( $x = \frac{π}{2}$ など)では $tan$ 自体が定義されない

問9合成関数の微分(指数)

★ 基礎合成関数の微分指数関数の微分

問題

関数 $y = e^{x^{2}}$ を微分せよ。

ヒントを見る

外側は $e$ の累乗、内側は $x^{2}$ 。合成の規則で、内側の微分を忘れずに。

解答・解説

方針

合成関数。外側 $e^{()}$ の微分は $e^{()}$ 、内側 $x^{2}$ の微分は $2 x$ 。かけ合わせる。

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $e^{x^{2}}$ の肩に乗っているのは、 $x$ ではなく $x^{2}$ という式だ。

だから、これは合成関数である。

外側: $e^{()}$
内側: $x^{2}$

連鎖律を当てはめる。

外側の微分: $e^{x^{2}}$ (指数関数は微分しても変わらない)

内側の微分: $(x^{2})^{'} = 2 x$

掛ける。

$y^{'} = e^{x^{2}} \times 2 x = 2 x e^{x^{2}}$

書く順番の慣習として、係数を前に出して $2 x e^{x^{2}}$ とする。間違えやすいのは $e^{x^{2}}$ を $e^{2 x}$ と混同することだ。

$e^{2 x}$ の内側は $2 x$ 、微分は $2$
$e^{x^{2}}$ の内側は $x^{2}$ 、微分は $2 x$

肩に何が乗っているかを、まず正確に読む。 そこからすべてが決まる。

公式

(e^{u})^{'} = e^{u} \cdot u^{'}

(連鎖律)

$u = x^{2}$ 、 $u^{'} = 2 x$ 。

$y^{'} = e^{x^{2}} \times 2 x = 2 x e^{x^{2}}$

まとめ: $e^{(中身)}$ の微分は「 $e^{(中身)}$ そのまま × 中身の微分」。中身が $x^{2}$ なら $\times 2 x$ 。指数はそのまま残り、中身の微分 $2 x$ が前に出る。

発展。 $e^{x^{2}}$ の親戚に、統計学でもっとも有名な関数がいる。

$f (x) = e^{- x^{2}}$

符号がマイナスになっただけだ。

この関数のグラフは $x = 0$ を頂点とする、左右対称の釣鐘型。 正規分布の曲線である。

微分してみよう。

$f^{'} (x) = e^{- x^{2}} \times (- 2 x) = - 2 x e^{- x^{2}}$

$x = 0$ で $f^{'} (0) = 0$ となり、ここが頂点だ。

$x > 0$ で $f^{'} < 0$ なので、右下がりになる。

$x < 0$ で $f^{'} > 0$ なので、そこでは右上がり(増加)になる。確かに、 $x = 0$ を頂点とする山になっている。微分は簡単だった。 $3$ すぐに終わる。

では、積分は?

$\int e^{- x^{2}} d x = ?$

これが、できない。「まだ誰も見つけていない」のではない。「初等関数では書けないことが、証明されている」のだ。 $x^{n}$ 、 $sin$ 、 $cos$ 、 $e^{x}$ 、 $lo g$ をどう組み合わせても、 $e^{- x^{2}}$ の原始関数は作れない。

微分は $3$ 秒。積分は永遠に不可能。この非対称性は微積分の大事な性質を表している。

微分は「機械的な作業」だ。 どんな関数も $3$ つの公式(和・積・合成)を組み合わせれば、必ず微分できる。アルゴリズムがある。

積分は「発見」である。 うまい変形を見つけられるかどうかで決まり、そもそも答えが存在しないことすらある。

では、統計学者はどうやって正規分布の確率を計算しているのか。

数値積分だ。 コンピュータで面積を細かく足し上げる。そして、その結果を表にした。

正規分布表が存在する理由が、これである。 公式で計算できないから、あらかじめ計算した値を並べておくしかない。ただし、例外がある。

$- \infty$ から $\infty$ までの全積分だけは、きれいに求まる。

$\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x = π$

途中は計算できないのに、全体は $π$ 。

$2$ 次元にして極座標に変換すると、突然計算できるようになる( $1$ 次元では不可能、 $2$ 次元では可能)。数学はときに「遠回りをすると近道になる」。 $e^{x^{2}}$ という、微分がすぐに終わる関数でも、積分を考えるとこうした話につながる。

答

$y^{'} = 2 x e^{x^{2}}$

別解

対数をとってから微分する方法を、対数微分法という。この方法は、指数の肩が複雑なときに特に役に立つ。まず、両辺の自然対数をとる。

$lo g y = lo g e^{x^{2}} = x^{2}$

指数が肩から降りてきた。 対数をとると、こうなる。

両辺を $x$ で微分する。

左辺は合成関数である。 $y$ は $x$ の関数だから

$(lo g y)^{'} = \frac{1}{y} \cdot y^{'} = \frac{y ^{'}}{y}$

右辺は簡単。

$(x^{2})^{'} = 2 x$

等式にする。

$\frac{y ^{'}}{y} = 2 x$

$y^{'}$ について解く。

$y^{'} = 2 x \cdot y = 2 x e^{x^{2}}$

本解と同じ答え

この方法の何が便利なのか。「肩に乗った式を、地上に降ろせる」ことだ。

$y = x^{x}$ を微分してみよう。

これは、べき関数( $x^{n}$ )でも指数関数( $a^{x}$ )でもない。 底も肩も $x$ で、どの公式も当てはまらない。

だが、対数微分法なら解ける。

$lo g y = x lo g x$

右辺を積の微分で微分する。

$\frac{y ^{'}}{y} = 1 \cdot lo g x + x \cdot \frac{1}{x} = lo g x + 1$

$y^{'} = x^{x} (lo g x + 1)$

どの公式でも歯が立たなかった関数が、あっさり微分できた。対数微分法が役立つ場面は、 $3$ つある。

① 指数の肩に式がある( $e^{x^{2}}$ 、 $x^{x}$ 、 $x^{s i n x}$ )

② 積・商が入り組んでいる

$y = \frac{( x + 1 ) ^{3} ( x - 2 ) ^{5}}{( x + 3 ) ^{7}}$

このまま商と積の微分をやると、地獄だ。 対数をとれば

$lo g y = 3 lo g (x + 1) + 5 lo g (x - 2) - 7 lo g (x + 3)$

掛け算と割り算が、足し算と引き算になった。 微分は $3$ 行で終わる。

$\frac{y ^{'}}{y} = \frac{3}{x + 1} + \frac{5}{x - 2} - \frac{7}{x + 3}$

③ 累乗の指数が変数

対数のもつ「掛け算を足し算にする」性質が、微分をずっと簡単にする。 $lo g$ はただの関数ではなく、計算の形を変える道具だ。

ポイント

$(e^{u})^{'} = e^{u} \cdot u^{'}$ 。
指数はそのまま、中身の微分を前に。

よくある間違い

$e^{x^{2}}$ と $e^{2 x}$ を混同し、内側の微分を $2$ としてしまう。肩が $x^{2}$ なら、その微分は $2 x$
$e^{x^{2}}$ の微分で、 $e$ の肩まで微分して $e^{2 x}$ としてしまう。外側( $e$ の部分)は微分しても変わらない
$(e^{x^{2}})^{'} = x^{2} e^{x^{2} - 1}$ のように、べき関数の公式を使う。 $x^{n}$ と $e^{()}$ はまったく別の関数

問10合成関数の微分(対数)

★ 基礎合成関数の微分対数関数の微分

問題

関数 $y = lo g (2 x + 1)$ を微分せよ。

ヒントを見る

対数の微分は『中身の微分 ÷ 中身』の形になる。中身が $1$ 次式なので分子は定数。

解答・解説

方針

$(lo g u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$ 。 $u = 2 x + 1$ 、 $u^{'} = 2$ 。分子が内側の微分、分母が中身そのもの。

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $lo g (2 x + 1)$ は、 $lo g$ の中に $2 x + 1$ が入った合成関数だ。

連鎖律を当てはめる。

外側: $(lo g u)^{'} = \frac{1}{u}$ だから $\frac{1}{2 x + 1}$ 。

内側: $(2 x + 1)^{'} = 2$ 。

掛ける。

$y^{'} = \frac{1}{2 x + 1} \times 2 = \frac{2}{2 x + 1}$

この形を公式として覚えておくと速い。

$(lo g u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$

「中身の微分 $\div$ 中身」

分子に内側の微分、分母に中身そのもの。 きれいな形だ。この公式は、応用範囲が広い。

${lo g (x^{2} + 1)}^{'} = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}, (lo g sin x)^{'} = \frac{cos x}{sin x}$

「中身の微分を、中身で割る」だけで、どんな対数も微分できる。

公式

(lo g u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}

(中身の微分 ÷ 中身)

$u = 2 x + 1$ 、 $u^{'} = 2$ 。

$y^{'} = \frac{u ^{'}}{u} = \frac{2}{2 x + 1}$

まとめ: $lo g (中身)$ の微分は $\frac{( 中身の微分 )}{( 中身 )}$ 。 $lo g x$ の $\frac{1}{x}$ が $\frac{1}{u} \times u^{'}$ に一般化された形だ。分子に内側の微分がくる。

発展。 $(lo g u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$ という式には、経済学でおなじみの意味がある。

この $\frac{u ^{'}}{u}$ を、対数微分または成長率という。

なぜ「成長率」なのか。

$\frac{u ^{'}}{u} = \frac{変化の速さ}{今の量}$

「今の量に対して、何割増えているか」、つまり変化率をパーセントで測ったものだ。

具体例で見よう。

売上が $100$ 万円のとき、 $1$ 年で $10$ 万円増えた。 成長率は

$\frac{10}{100} = 0.1 = 10%$

売上が $1000$ 万円のとき、 $10$ 万円増えた。 成長率は

$\frac{10}{1000} = 0.01 = 1%$

同じ「 $10$ 万円増」でも、意味がまるで違う。規模が違うものを比べるには、絶対量( $u^{'}$ )ではなく、相対量( $\frac{u ^{'}}{u}$ )を見なければならない。この相対量が「 $lo g$ の微分」である。

$\frac{d}{d t} lo g u = \frac{u ^{'}}{u} = (成長率)$

「対数をとって微分すると、成長率が出る」だから、経済のグラフは対数目盛りで描かれることが多い。株価のチャートを、対数目盛りで見ると。

直線に見える → 一定の成長率(毎年 $x %$ ずつ)
傾きが急 → 成長率が高い

通常目盛りだと、価格が高くなるほどグラフが急に見えて、成長率の比較ができない。

対数目盛りなら、「 $100$ 円 → $200$ 円」と「 $10000$ 円 → $20000$ 円」が、同じ高さの上昇として描かれる。 どちらも $2$ 倍だからだ。さらに、対数微分は積を分解する。

$lo g (uv) = lo g u + lo g v$

両辺を微分すると

$\frac{( uv ) ^{'}}{uv} = \frac{u ^{'}}{u} + \frac{v ^{'}}{v}$

「積の成長率は、成長率の和」売上 $=$ 客数 $\times$ 単価なら

$(売上の成長率) = (客数の成長率) + (単価の成長率)$

客数が $3%$ 増、単価が $2%$ 増なら、売上は約 $5%$ 増。掛け算の関係が足し算で扱えるようになる。これがビジネスの現場で「対数」が使われる理由だ。

$(lo g u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$ という $1$ 行の公式が、成長率という概念の数学的な定義になっている。

答

$y^{'} = \frac{2}{2 x + 1}$

別解

置き換えを明示して、連鎖律を「分数の約分」として見る。内側を独立した文字で置く。

$u = 2 x + 1$

すると、もとの関数は $2$ 段に分かれる。

$y = lo g u, u = 2 x + 1$

それぞれを、独立に微分する。

$\frac{d y}{d u} = \frac{1}{u}, \frac{d u}{d x} = 2$

連鎖律をライプニッツの記法で書く。

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} = \frac{1}{u} \times 2 = \frac{2}{u}$

最後に、 $u$ を戻す。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{2 x + 1}$

本解と同じ

この記法の形を見てほしい。

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$

$d u$ が分数のように約分されて消える。

もちろん、 $d y$ や $d u$ は本当の数ではないので、厳密には「約分」ではない。 それでも、この形に書くと連鎖律を忘れない。

ライプニッツ( $1646$ – $1716$ )は、この記法を意図的に設計した。「記号がうまくできていれば、記号のほうが考えてくれる」というのが、彼の考えだった。

同時代のニュートンは微分を $\overset{y}{˙}$ (ドット)で書いた。 こちらは簡潔だが、連鎖律が見えない。

$\overset{y}{˙} = ?$

どちらの記法も正しい。だが、 $\frac{d y}{d x}$ のほうがずっと使いやすかった。

結果、大陸ヨーロッパの数学は $18$ 世紀に飛躍し、ニュートン記法にこだわったイギリスの数学は $100$ 年遅れたと言われる。記号の設計が学問の速度を変えた。 $3$ 段階の合成なら、こう書ける。

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d v} \cdot \frac{d v}{d x}$

どんなに深い入れ子でも、鎖のようにつないでいけばいい。

「何が何の関数か」を見失いそうになったら、この記法で書き出す。 迷子にならない道しるべになる。

ポイント

$(lo g u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$ 。
分子が中身の微分、分母が中身。

よくある間違い

内側の微分( $\times 2$ )を忘れて $\frac{1}{2 x + 1}$ とする。 $(lo g u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$ の分子を落とさない
$lo g (2 x + 1)$ を $lo g 2 x + lo g 1$ と展開してしまう。対数の性質は $lo g (ab) = lo g a + lo g b$ で、和の中身は分解できない
分子の $2$ を分母に入れて $\frac{1}{2 ( 2 x + 1 )}$ としてしまう。内側の微分は分子に掛かる

問11累乗の微分(分数・根号)

★ 基礎導関数

問題

関数 $y = x$ を微分せよ。

ヒントを見る

根号を分数の指数に書き直すと、いつもの累乗の微分規則が使える。答えを根号の形に戻すところまでやろう。

解答・解説

方針

$x = x^{\frac{1}{2}}$ と指数に直す。 $(x^{p})^{'} = p x^{p - 1}$ ( $p$ は実数でよい)を使い、最後に根号に戻す。

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 根号のままでは、微分の公式が当てはまらない。

そこで、指数に直す。

$x = x^{1/2}$

これで、べきの微分公式が使える。

$(x^{p})^{'} = p x^{p - 1}$

この公式が、 $p$ が分数でも負の数でも成り立つことが大事だ。

$p = \frac{1}{2}$ を入れる。

$y^{'} = \frac{1}{2} x^{1/2 - 1} = \frac{1}{2} x^{- 1/2}$

最後に、根号の形に戻す。

$x^{- 1/2} = \frac{1}{x ^{1/2}} = \frac{1}{x}$

$y^{'} = \frac{1}{2 x}$

「根号 → 分数指数 → 公式 → 根号に戻す」

この $4$ ステップが根号を含む微分の定型である。 $3 x$ でも $\frac{1}{x}$ でも、手順は同じだ。

公式

(x^{p})^{'} = p x^{p - 1}

(

p

は実数。分数・負でも成り立つ)

① 指数に直す。 $x = x^{\frac{1}{2}}$ 。

② 公式で微分する。

$y^{'} = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

③ 根号に戻す。 $x^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{x}$ 。

$y^{'} = \frac{1}{2 x}$

まとめ: や $\frac{1}{x ^{n}}$ は、まず指数( $x^{1/2}$ 、 $x^{- n}$ )に直すと $(x^{p})^{'} = p x^{p - 1}$ が使える。この公式は $p$ が分数や負でも成り立つのが数IIIの強み。答えは根号に戻して書く。

発展。 $x$ の微分は電卓のない時代に平方根を計算する方法を与えた。

ニュートン法という。

$2$ を求めたいとしよう。 つまり、 $f (x) = x^{2} - 2 = 0$ の解を探す。

アイデアは単純だ。

適当な出発点 $x_{0}$ をとり、そこでの接線を引く。 接線が $x$ 軸と交わる点を、次の近似値 $x_{1}$ とする。

これを繰り返す。

接線の式は微分から出る。

$y - f (x_{n}) = f^{'} (x_{n}) (x - x_{n})$

$y = 0$ とおいて、 $x$ を求める。

$x_{n + 1} = x_{n} - \frac{f ( x _{n} )}{f ^{'} ( x _{n} )}$

$f (x) = x^{2} - 2$ 、 $f^{'} (x) = 2 x$ を入れる。

$x_{n + 1} = x_{n} - \frac{x _{n}^{2} - 2}{2 x _{n}} = \frac{x _{n}}{2} + \frac{1}{x _{n}}$

この漸化式で、 $2$ が計算できる。

$x_{0} = 1$ から始めよう。

$x_{1} = \frac{1}{2} + 1 = 1.5$

$x_{2} = \frac{1.5}{2} + \frac{1}{1.5} = 0.75 + 0.6667 = 1.41667$

$x_{3} = 1.414216 \dots$

$x_{4} = 1.4142135624 \dots$

$2 = 1.41421356237 \dots$

$4$ 回だけで、小数点以下 $10$ 桁が合った。

非常に速い。 ニュートン法は、 $1$ 回の反復で正しい桁数が約 $2$ 倍になる( $2$ 次収束)。

$x_{1}$ : $1$ 桁
$x_{2}$ : $3$ 桁
$x_{3}$ : $6$ 桁
$x_{4}$ : $12$ 桁
$x_{5}$ : $24$ 桁

$10$ 回も回せば、小数点以下 $1000$ 桁を超える。コンピュータが平方根を計算するとき、内部でやっているのがこれである。なぜ、これほど速いのか。

接線はその点で関数を「最もよく近似する直線」だからだ。

曲線を直線で置き換えて、答えを近似する。その近似がとてもよいので、繰り返すたびに精度が大きく上がる。微分で「接線の傾き」が分かるからこそ、この方法が成立する。

方程式が解けなくても、微分できれば、解に近づける。 $(x)^{'} = \frac{1}{2 x}$ という $1$ 行を使えば、 $2$ を $1000$ 桁まで計算できる。

答

$y^{'} = \frac{1}{2 x}$

別解

微分の定義に戻って、極限から導く。公式を使わずに、定義だけで計算する別解である。

微分の定義。

$y^{'} = h \to 0 lim \frac{x + h - x}{h}$

$h$ を $0$ にすると、分子も分母も $0$ になり、 $\frac{0}{0}$ の不定形だ。根号の引き算は有理化で処理する。分子・分母に $x + h + x$ を掛ける。

$\frac{( x + h - x ) ( x + h + x )}{h ( x + h + x )}$

分子は、和と差の積の公式で

$(x + h)^{2} - (x)^{2} = (x + h) - x = h$

分子がただの $h$ になった。

$= \frac{h}{h ( x + h + x )} = \frac{1}{x + h + x}$

$h$ が約分で消えた。 これで $\frac{0}{0}$ が解消した。

あとは $h \to 0$ とするだけ。

$h \to 0 lim \frac{1}{x + h + x} = \frac{1}{x + x} = \frac{1}{2 x}$

公式と同じ答え

この計算が示すこと。

$\frac{1}{2 x}$ の「 $2$ 」は、 $x$ が $2$ 回足されたことから来ている。公式の $\frac{1}{2}$ が有理化の中から自然に出てきた。この導関数をくわしく見てみる。

$y^{'} = \frac{1}{2 x}$

$x$ が大きくなると、 $y^{'}$ は $0$ に近づく。 $x$ の増え方はどんどん緩やかになる。

$100 = 10, 10000 = 100$

$x$ が $100$ 倍になっても、 $x$ は $10$ 倍にしかならない。逆に、 $x \to + 0$ では

$y^{'} = \frac{1}{2 x} \to + \infty$

傾きが無限大に発散する。

グラフは原点で、垂直に立ち上がる。この事実には、意味がある。 $x$ は $x = 0$ で連続だが、微分できない。

「連続だが微分できない点」は、グラフが尖っていたり、垂直になっていたりする点だ。

$y = ∣ x ∣$ も、 $x = 0$ で連続だが微分できない(左からの傾き $- 1$ 、右からの傾き $+ 1$ で一致しない)。「連続 $\Rightarrow$ 微分可能」は成り立たない。逆に「微分可能 $\Rightarrow$ 連続」は正しい。

微分可能のほうが強い条件だ。

さらに、「すべての点で連続だが、すべての点で微分できない関数」も存在する(ワイエルシュトラス関数)。どこまで拡大しても、ギザギザが続く。 直感だけでは、こうした関数は思いつかない。

ポイント

・ $\frac{1}{x ^{n}}$ は指数に直す。
$(x^{p})^{'} = p x^{p - 1}$ ( $p$ が実数ならよい)。

よくある間違い

$(x^{1/2})^{'}$ の指数計算で、 $\frac{1}{2} - 1 = - \frac{1}{2}$ を $\frac{1}{2}$ のままにしてしまう。指数は必ず $1$ 減る
$x^{- 1/2}$ を $- x$ と読み違える。負の指数は逆数( $\frac{1}{x}$ )であって、符号のマイナスではない
$x$ の微分を $\frac{1}{x}$ とし、 $\frac{1}{2}$ を落とす。係数の $\frac{1}{2}$ は、指数から降りてきたもの

問12合成関数の微分(3乗)

★ 基礎合成関数の微分三角関数の微分

問題

関数 $y = sin^{3} x$ を微分せよ。

ヒントを見る

$sin^{3} x$ は『 $sin x$ の $3$ 乗』で、外側が $3$ 乗、内側が $sin x$ の合成だ。外→内の順に微分して掛ける。

解答・解説

方針

$sin^{3} x = (sin x)^{3}$ とみる。外側 $()^{3}$ の微分 $3 ()^{2}$ 、内側 $sin x$ の微分 $cos x$ 。かけ合わせる。

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $sin^{3} x$ という書き方に、まず慣れよう。

$sin^{3} x = (sin x)^{3}$

$sin x$ を $3$ 乗したもの、という意味だ。 $sin (x^{3})$ ではない。この読み替えがすべてを決める。

$(sin x)^{3}$ と書けば、構造が見える。

外側: $()^{3}$ (かたまりを $3$ 乗)
内側: $sin x$ (かたまりの中身)

合成関数だ。連鎖律を当てはめる。

外側の微分: $u^{3}$ を微分して $3 u^{2}$ 、つまり $3 (sin x)^{2} = 3 sin^{2} x$ 。

内側の微分: $(sin x)^{'} = cos x$ 。

掛ける。

$y^{'} = 3 sin^{2} x \cdot cos x$

「かたまりを見抜けば、あとはいつもの連鎖律」で、 $cos^{4} x$ でも $tan^{2} x$ でも、まったく同じ手順で微分できる。

公式合成関数

{u^{3}}^{'} = 3 u^{2} \cdot u^{'}

(

u = sin x

)

$sin^{3} x = (sin x)^{3}$ とみる。 $u = sin x$ 。

① 外側を微分する。 $()^{3} \to 3 ()^{2}$ 。

$3 (sin x)^{2} = 3 sin^{2} x$

② 内側の微分をかける。 $(sin x)^{'} = cos x$ 。

$y^{'} = 3 sin^{2} x \times cos x = 3 sin^{2} x cos x$

まとめ: $sin^{3} x$ は「 $sin x$ の $3$ 乗」= 合成関数。外側( $3$ 乗)を微分し、内側( $sin x$ )の微分 $cos x$ をかける。 $sin^{n} x$ の微分では $cos x$ が必ず出てくる。

発展。 ここまでで、数学IIIの微分の道具が出そろった。全体を $1$ 枚の地図にまとめておこう。

覚えるべき基本の導関数。

$(x^{p})^{'} = p x^{p - 1} (p は任意の実数)$ $(e^{x})^{'} = e^{x}, (lo g x)^{'} = \frac{1}{x}$ $(sin x)^{'} = cos x, (cos x)^{'} = - sin x, (tan x)^{'} = \frac{1}{cos ^{2} x}$

$6$ つだけ。

組み立ての規則(これも $3$ つだけ)。

$(a f + b g)^{'} = a f^{'} + b g^{'} (和・定数倍)$ $(f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'} (積)$ ${f (g (x))}^{'} = f^{'} (g (x)) g^{'} (x) (合成)$

基本 $6$ つ、規則 $3$ つ。合わせて $9$ 個。これだけで、高校で出会うどんな関数も微分できる。

商の微分は? 積 $+$ 合成から出る。 $tan$ の微分は? 商から出る。 逆関数の微分は? 合成から出る。 対数微分法は? 合成 $+$ 対数の性質。

「 $9$ 個の道具で、無限の関数を微分する」少ない道具で足りることが、微分の特徴だ。そして、微分は必ず終わる。

どんなに複雑な式でも、分解していけば、必ず基本の $6$ つに行き着く。 迷子になることはない。

手順はいつも同じ。

① 式の「いちばん外側」の構造を見る(和? 積? 商? 合成?)

② 対応する規則を当てはめる

③ 出てきた部品を、また ① から

この再帰的な手続きが必ず有限回で終わる。

だから、微分はコンピュータにもできる。 数式処理システム(Mathematica、SymPy)は、この手順を実装している。一方、積分にはこんな保証がない。

$e^{x^{2}}$ 、 $\frac{sin x}{x}$ 、 $\frac{1}{lo g x}$ は、どれも微分はすぐにできるが、積分は初等関数で書けない。

微分は「分解」、積分は「発見」。次の単元(積分法の計算)ではこの非対称性と向き合うことになる。そこで道具になるのは、意外にも微分の公式である。

「積分とは、微分の逆をたどること」 だからだ。

$9$ 個の道具を、しっかり手に馴染ませておこう。 次の問題でも、同じ道具を使う。

答

$y^{'} = 3 sin^{2} x cos x$

別解

$3$ 倍角の公式で「波の重ね合わせ」に分解してから微分する。まったく違う道を通って、同じ答えに着くことを確かめよう。

$3$ 倍角の公式を思い出す。

$sin 3 x = 3 sin x - 4 sin^{3} x$

これを $sin^{3} x$ について解く。

$4 sin^{3} x = 3 sin x - sin 3 x$

$sin^{3} x = \frac{3 sin x - sin 3 x}{4}$

確かめよう。 $x = \frac{π}{2}$ なら、左辺 $= 1^{3} = 1$ 。右辺 $= \frac{3 \times 1 - sin \frac{3 π}{2}}{4} = \frac{3 - ( - 1 )}{4} = 1$

この形なら、合成関数の $3$ 乗はどこにもない。 ただの $sin$ の足し算だ。

微分する。

$y^{'} = \frac{3 cos x - 3 cos 3 x}{4}$

( $sin 3 x$ の微分は $3 cos 3 x$ 。内側の微分 $3$ を忘れずに。)さて、これが本解の $3 sin^{2} x cos x$ と一致するだろうか。

$3$ 倍角( $cos$ 版)を使う。

$cos 3 x = 4 cos^{3} x - 3 cos x$

$3 cos x - 3 cos 3 x = 3 cos x - 3 (4 cos^{3} x - 3 cos x) = 12 cos x - 12 cos^{3} x$

$= 12 cos x (1 - cos^{2} x) = 12 cos x sin^{2} x$

$4$ で割ると

$y^{'} = \frac{12 sin ^{2} x cos x}{4} = 3 sin^{2} x cos x$

本解と一致した

遠回りだったが、収穫がある。 $sin^{3} x$ が $2$ つの単純な波の重ね合わせだと分かった。

$sin^{3} x = \frac{3}{4} sin x - \frac{1}{4} sin 3 x$

「 $3$ 乗する」という非線形な操作の結果は、「基本の波( $sin x$ )と、 $3$ 倍の速さの波( $sin 3 x$ )の混合」である。この分解は音の性質を説明するのにも使われる。ギターの弦を弾くと、基本の振動( $sin x$ )だけでなく、 $2$ 倍・ $3$ 倍の速さの振動(倍音)も同時に鳴る。

その混ざり具合が音色を決める。 同じ「ド」でも、ピアノとバイオリンで音色が違うのは、倍音の配合が違うからだ。「どんな波も、単純な $sin$ 波の重ね合わせで書ける」

これをフーリエ級数という。 音声・画像の圧縮(MP3・JPEG)は、この原理で動いている。 $sin^{3} x$ の微分という素朴な計算が、音楽や信号処理の考え方につながっていた。

そして、この分解形は積分でも役に立つ。

$\int sin^{3} x d x = \int (\frac{3 sin x - sin 3 x}{4}) d x = - \frac{3 cos x}{4} + \frac{cos 3 x}{12} + C$

$sin^{3} x$ をそのまま積分するより、はるかに楽だ。「難しい形を、単純な形の和に分解する」という発想は、微分でも積分でも役に立つ。

ポイント

$sin^{3} x = (sin x)^{3}$ は合成関数。
外側 $3 ()^{2}$ × 内側 $cos x$ 。

よくある間違い

$sin^{3} x$ を $sin (x^{3})$ と読み違える。 $sin^{3} x$ は $(sin x)^{3}$ で、 $3$ 乗されるのは $sin x$ 全体
内側の微分( $cos x$ )を掛け忘れて $3 sin^{2} x$ で終える。合成関数は必ず中身の微分を掛ける
外側を微分したあと、 $sin^{2} x$ をさらに $sin x$ に減らそうとする。 $3 u^{2}$ の $u$ には $sin x$ をそのまま戻す

微分法の計算 ★ 基礎の問題 全12問

問1積の微分

問題

方針

解答

別解

ポイント

よくある間違い

問2商の微分

問題

方針

解答

別解

ポイント

よくある間違い

問3合成関数の微分

問題

方針

解答

別解

ポイント

よくある間違い

問4三角関数の微分(sin)

問題

方針

解答

別解

ポイント

よくある間違い

問5三角関数の微分(cos)

問題

方針

解答

別解

ポイント

よくある間違い

問6指数関数の微分

問題

方針

解答

別解

ポイント

よくある間違い

問7対数関数の微分

問題

方針

解答

別解

ポイント

よくある間違い

問8三角関数の微分(tan)

問題

方針

解答

別解

ポイント

よくある間違い

問9合成関数の微分(指数)

問題

方針

解答

別解

ポイント

よくある間違い

問10合成関数の微分(対数)

問題

方針

解答

別解

ポイント

よくある間違い

問11累乗の微分(分数・根号)

問題

方針

解答

別解

ポイント

よくある間違い

問12合成関数の微分(3乗)

問題

微分法の計算 ★ 基礎の問題全12問