速度を積分して位置・変位・道のりを求める

文: KOSNiZ·最終更新: 2026年11月9日

直線上を移動する点の速度 $v(t)$ が与えられたとき、位置・変位・道のりはどれも積分で求めます。3つのうち道のりだけは $|v(t)|$ を積分するという違いがあり、折り返しのある運動で符号の扱いを誤る人が多くいます。数学IIIの積分法の応用と、物理の $v$-$t$ グラフに共通する考え方です。

位置・変位・道のりの関係

位置 $x(t)$ を時刻 $t$ で微分したものが速度 $v(t)=x^{\prime }(t)$ です。反対に、速度を積分すると位置の変化が得られ、時刻 $0$ の位置 $x(0)$ との和が時刻 $t$ の位置になります。

$$x(t)=x(0)+{\int }_0^{t}v(s)ds$$

時刻 $a$ から $b$ までの位置の変化を変位といい、${\int }_a^{b}v(t)dt=x(b)-x(a)$ です。前進した分と後退した分が打ち消し合うので、最後に出発点と同じ位置にあれば変位は $0$ になります。

一方、道のりは実際に移動した距離の合計で、後退した分も正の量として合計します。

$v(t)>0$ の間は前進、$v(t)<0$ の間は後退しているので、$v(t)$ の符号が変化する時刻で区間を分割すれば、絶対値の記号なしで計算できます。

例: 折り返しのある運動

$v(t)=t^2-4t+3=(t-1)(t-3)$、$0\le t\le 4$ の場合を考えます。$v(t)$ は $0<t<1$ で正、$1<t<3$ で負、$3<t\le 4$ で正です。

原始関数を $F(t)=\frac{t^3}{3}-2t^2+3t$ とおくと、$F(0)=0$、$F(1)=\frac{4}{3}$、$F(3)=0$、$F(4)=\frac{4}{3}$ です。変位は $F(4)-F(0)=\frac{4}{3}$ になります。

道のりは区間ごとの変化の絶対値の和です。

$$|F(1)-F(0)|+|F(3)-F(1)|+|F(4)-F(3)|=\frac{4}{3}+\frac{4}{3}+\frac{4}{3}=4$$

点は最初に $\frac{4}{3}$ だけ前進し、同じ距離を後退して $t=3$ で出発点の位置に達し、最後に再び $\frac{4}{3}$ 前進しています。最終的な位置の変化は $\frac{4}{3}$ で、移動した距離の合計は $4$ です。

このように、符号が変化する時刻での原始関数の値を先に表にしておくと、変位と道のりを同じ計算から求められます。

区切るのは符号が変化する時刻

$v(t)=0$ になる時刻でも、符号が変化しなければ折り返しではありません。$v(t)=(t-2{)}^2$ は $t=2$ で $0$ になりますが、その前後でどちらも正なので、点は一瞬止まるだけで前進を継続します。この場合、道のりは変位と等しくなります。

符号が変化する時刻を1つでも見落とすと、道のりの値は誤りになります。反対に、符号が変化しない時刻で区間を分割しても、結果は同じです。迷ったら $v(t)=0$ の解すべてで分割し、各区間の符号を確認してください。

グラフで考えると、道のりは $v(t)$ のグラフと $t$ 軸の間の面積の合計、変位は $t$ 軸より上の面積から下の面積を引いた値です。面積の求め方は面積の問題の解き方と同じで、上下が入れ替わる点で区切るという手順も共通しています。

物理の $v$-$t$ グラフとの対応

物理基礎では $v$-$t$ グラフとグラフの下の面積から変位を求めます。積分を使用しない計算ですが、内容は上と同じです。

ボールを真上に速さ $19.6m/s$ で投げ上げた場合、上向きを正とすると $v=19.6-9.8t$ です。$t=2\mathrm{s}$ で $v=0$ になって最高点に達し、$t=4\mathrm{s}$ で投げた位置に到達します。$0\le t\le 4$ の変位は $0$、道のりは三角形2つの面積の和で $2\times \frac{1}{2}\times 2\times 19.6=39.2\mathrm{m}$ です。最高点の高さはその半分の $19.6\mathrm{m}$ になります。

加速度から位置までは積分を2回くり返します。$a(t)$ を積分すると $v(t)$ が得られ、$v(t)$ を積分すると $x(t)$ が得られますが、積分のたびに初めの値が1つずつ必要です。上の例なら、$a=-9.8$ と初速度 $v(0)=19.6$ から $v=19.6-9.8t$、初めの位置 $x(0)=0$ から $x=19.6t-4.9t^2$ となります。

平面上の運動では速さを積分する

点が平面上を移動するとき、位置は $(x(t),y(t))$、速度はベクトル $(x^{\prime }(t),y^{\prime }(t))$ です。速度の大きさ(速さ)は $\sqrt{x^{\prime }(t{)}^2+y^{\prime }(t{)}^2}$ で、これは負になりません。平面上の道のりは速さを積分して求めます。

$$\text{道のり}={\int }_a^b\sqrt{x^{\prime }(t{)}^2+y^{\prime }(t{)}^2}dt$$

この式は曲線の長さの公式と同じ形です。直線上の $|v(t)|$ が、平面では速度ベクトルの大きさになったと考えてください。

例として $x=e^t\cos t$、$y=e^t\sin t$($0\le t\le 1$)を計算します。$x^{\prime }=e^t(\cos t-\sin t)$、$y^{\prime }=e^t(\sin t+\cos t)$ から $x^{\prime 2}+y^{\prime 2}=2e^{2t}$ となり、速さは $\sqrt{2}{e}^t$ です。道のりは ${\int }_0^1\sqrt{2}{e}^{t}dt=\sqrt{2}(e-1)$ になります。

つまずきやすいところ

最も多い誤りは道のりを求める問題で ${\int }_a^{b}v(t)dt$ を計算してしまうことです。問題文が「位置」「変位」「道のり」のどれを求めているかを、最初に確認してください。

次に多いのは位置を求める問題で初めの位置 $x(0)$ の加算を忘れることです。${\int }_0^{t}v(s)ds$ は位置の変化であり、位置そのものではありません。物理では正の向きをどちらに設定したかを最初に明記すると、符号の誤りを防止できます。

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積分法の応用の速度と道のり、道のりと変位、道のりと変位(三角関数)、難関の速度と道のり・変位で、ここまでの手順を練習できます。物理基礎の運動の表し方には、$v$-$t$ グラフで考える変位と道のり(折り返しのある運動)があります。物理基礎の全体の学習の順序は図とグラフで考える物理基礎の勉強法を参照してください。