面積の問題の解き方(立式の4つの手順)

文: KOSNiZ·最終更新: 2026年9月6日

積分で面積を求める問題は、数学IIで初めて出会い、数学IIIで関数の種類が広がり、入試でもよく出ます。計算そのものより、「式を立てるまで」で失点する人が多いテーマです。

立式の4つの手順

面積の問題は次の4手順を毎回同じ順序で行えば、立式で失点しなくなります。

1つ目、交点を求めます。2つの曲線(または曲線と軸)を連立して、交点の $x$ 座標を求める段階です。ここで2次方程式や因数定理が要ります。

2つ目、図を描きます。交点を印にして、2つの曲線の上下関係を確かめるのが目的です。上下が途中で入れ替わるなら、その点で区間を分けます。

3つ目、「上 − 下」を区間ごとに積分します。 $x$ 軸との間で曲線が軸より下にあるなら、 $- f (x)$ を積分します。

4つ目、計算します。ここで公式(6分の1公式など)が使えるかを判断します。

この4手順は数学IIの積分の考えの基礎「2曲線で囲む面積」「x 軸の下にある部分の面積」で身につけ、数学IIIの積分法の応用で三角・指数・対数関数に広げます。このサイトの面積の問題にはすべて塗り分けの図を付けてあるので、2つ目の手順で自分の描いた図と照らしてください。

計算を短くする公式

放物線と直線が2点 $α$ 、 $β$ で交わるとき、間の面積は $\frac{∣ a ∣}{6} (β - α)^{3}$ です(6分の1公式)。交点が根号を含むときに特に役立ちます。放物線と2本の接線で囲む面積は $\frac{∣ a ∣}{12} (β - α)^{3}$ (12分の1公式)、3次曲線と接線で囲む面積も同じ形の公式があります。

公式を使うときは、「放物線と直線(または放物線どうし)」という条件を満たしているかを確認してください。3次曲線と直線には6分の1公式は使えません(交点が3つになるからです)。公式の証明は実戦編の6分の1公式の証明にあります。1度証明を追っておくと、条件を忘れません。

面積の最小値を求める問題(応用の囲む面積の最小値)は、6分の1公式で面積をパラメータの式にし、 $(β - α)^{2}$ を解と係数の関係で表す、という流れです。

数学IIIで加わるもの

数学IIIでは、交点を求めるのに指数方程式・対数方程式・三角方程式が要り、積分に置換積分・部分積分が要ります。 $lo g x$ と $x$ 軸で囲まれた面積なら、 $x$ で積分すると部分積分、 $y$ で積分すると $x = e^{y}$ として指数関数の積分です。「 $y$ で積分する」という選択肢を持っていると、計算が短くなる問題が多くあります。

$\frac{1}{x}$ 、 $e^{- x}$ のように、 $x \to \infty$ で0に近づく関数と $x$ 軸で囲まれた「無限に伸びる領域」の面積は、上端を $t$ として積分し、 $t \to \infty$ の極限をとります(広義積分)。収束するかどうかも含めて答えます。

つまずきやすいところ

よくある失点は上下関係を図で確かめずに「上 − 下」を逆にすることです。答えが負になったら、上下が逆です。図を描く手順を省かないでください。

区間の分け忘れもよく起きます。3次曲線と直線が3点で交わるとき、2つの領域で上下が入れ替わるので、区間を分けて別々に積分します。直線が変曲点を通る場合は、変曲点に関する点対称から2つの領域の面積が等しいことがわかり、計算が半分になります(実戦編の3次曲線とx軸で囲む2つの部分の面積)。

絶対値を含む関数の面積は、絶対値の中身の符号が変わる点で区間を分けます。標準の絶対値を含む定積分で確認してください。

面積から逆算する問題

「面積が $S$ になるように直線を決めよ」「面積を2等分する直線を求めよ」という逆算の問題は、面積を未知数の式で表してから方程式を解きます。面積の2等分(応用の面積を2等分する直線)は、 $y$ で積分するほうが短いことが多く、 $x$ で積分する方法と見比べてください。