物理基礎 / 運動の表し方

変位と道のり(折り返しのある運動)

★★ 標準v-tグラフ変位道のり

問題

図は、一直線上を動く物体の速度 $v [m/s]$ と時刻 $t [s]$ の関係である。速度は $v = 6.0 - 3.0 t$ で変化する。 $t = 0$ から $4.0 s$ までについて、

v=6.0−3.0t の v-tグラフ。t=2.0 s で速度の符号が変わる

(1) 変位を求めよ。

(2) 道のりと平均の速さを求めよ。

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グラフが軸の下に潜る 2.0 s 以降は、物体はどちら向きに動いているだろう。「面積」を符号つきで足すか、大きさで足すかが(1)(2)の分かれ目。

解答・解説

v-tグラフの面積で考える。軸より上の面積は正の変位、下の面積は負の変位。変位は符号つきの和、道のりは大きさの和。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $t = 2.0 s$ で速度が $0$ になり、その後は負 — つまり物体は折り返して戻ってくる。

こういうときこそ v-tグラフだ。軸より上の三角形は「進んだ分」、下の三角形は「戻った分」。

① 面積を 2 つ求める。

$0$ 〜 $2.0 s$ (軸の上): $\frac{1}{2} \times 2.0 \times 6.0 = 6.0 m$ (正の向きへ $6.0 m$ )
$2.0$ 〜 $4.0 s$ (軸の下): 大きさ $\frac{1}{2} \times 2.0 \times 6.0 = 6.0 m$ (負の向きへ $6.0 m$ )

② 変位(符号つきの和)。

$+ 6.0 - 6.0 = 0 m$

ちょうど出発点に戻っている。

③ 道のり(大きさの和)と平均の速さ。

$6.0 + 6.0 = 12 m, 平均の速さ = \frac{12}{4.0} = 3.0 m/s$

まとめ v-tグラフの面積は、軸より下を負と数えれば変位、全部正と数えれば道のり。1 枚のグラフから 2 種類の量が読める。

答

(1) $0 m$ (2) 道のり $12 m$ 、平均の速さ $3.0 m/s$

式で確かめるルート。 変位は $x = 6.0 t - 1.5 t^{2}$ に $t = 4.0$ を入れて $24 - 24 = 0 m$ 。確かに戻っている。

道のりは、折り返し点までの距離の 2 倍。折り返し( $t = 2.0$ )までに $x = 6.0 \times 2.0 - 1.5 \times 4.0 = 6.0 m$ 進むから、往復で $12 m$ 。式でもグラフでも、折り返しの時刻 $v = 0$ を先に押さえるのが要点だ。