平面上の曲線 ★★ 標準の問題 全12問

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $(y-1{)}^2=4(x-2)$ は、基本形 $y^2=4px$ の $x$ を $x-2$、$y$ を $y-1$ に置き換えた形だ。つまり基本の放物線を $x$ 方向に $2$、$y$ 方向に $1$ 平行移動したものだ。

基本形 $y^2=4x$($p=1$)の頂点は原点、焦点は $(1,0)$。平行移動では頂点も焦点も同じだけずれる。頂点 $(2,1)$、焦点 $(3,1)$。「部品(頂点・焦点・準線)ごと引っ越す」のが平行移動の読み方である。

① もとの放物線を見る。 $(y-1{)}^2=4(x-2)$ は、$Y^2=4X$($X=x-2$、$Y=y-1$)。$4p=4$ なので $p=1$。

② もとの頂点・焦点。 $Y^2=4X$ の頂点は $(X,Y)=(0,0)$、焦点は $(1,0)$。

③ 平行移動して戻す。 $x=X+2$、$y=Y+1$ を加える。

$$\text{頂点}(2,1),\text{焦点}(2+1,1)=(3,1)$$

まとめ:$(y-k{)}^2=4p(x-h)$ は基本形 $y^2=4px$ を $(h,k)$ だけずらした形。頂点・焦点・準線もまるごと同じだけ平行移動すればよい。カッコの中の符号(引く)に注意($x-2$ なら右へ $2$)。

発展。 数Iの $2$ 次関数 $y=a(x-p{)}^2+q$ の頂点の読みと、今回の $(y-1{)}^2=4(x-2)$ の読みは同じ「平行移動の文法」だ。違いは向き(横に開く)と、焦点・準線という新しい部品が増えたことだけだ。放物線は数Iの知識の延長で学べ、$2$ 次曲線の最初に扱う曲線である。

焦点の実用的意味も添えたい。放物線の内側に焦点から光を放つと、反射光はすべて軸に平行に飛ぶ(逆も然り)。パラボラアンテナや懐中電灯の反射鏡は、この $1$ 点の位置で性能が決まる。「焦点を求めよ」は工学の設計図の計算でもある。

別解

出した答えを、放物線の定義に戻して検分してみよう。焦点だけでなく準線も確かめられる。放物線は「焦点と準線から等距離の点の集まり」。基本形 $y^2=4x$ の準線 $x=-1$ も一緒に引っ越して、この放物線の準線は $x=1$ だ。

検分 $1$(頂点): 頂点は焦点と準線のちょうど中間にいるはず。焦点 $(3,1)$ と準線 $x=1$ の中間は $x=2$ で、頂点 $(2,1)$ と一致。

検分 $2$(曲線上の点): たとえば $y=3$ のとき $(y-1{)}^2=4$ から $x=3$ で、点 $(3,3)$ をとる。焦点までの距離は $\sqrt{0+4}=2$、準線 $x=1$ までの距離も $3-1=2$ で、等距離。

「頂点は焦点と準線の中点」「$p$ は頂点から焦点までの距離」という位置関係を身につけておくと、平行移動した式でも部品の配置が絵で描け、焦点の座標のずらし忘れ・ずらし過ぎに自分で気づける。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 楕円の設計図は $a,b,c$ の $3$ つの数。問題文から $2$ つ読み取れば、関係式 $b^2=a^2-c^2$ で残りが決まる。

• 長軸の長さ $2a=10$ → $a=5$
• 焦点 $(\pm 3,0)$ → $c=3$($x$ 軸上なので横長の楕円)

$$b^2=25-9=16$$

$$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$$

焦点が $x$ 軸上 → 分母の大きい方が $x^2$ に付く、という向きの確認も忘れずに。

① $a$ を出す。 長軸 $2a=10$ より $a=5$、$a^2=25$。

② $b^2$ を出す。 焦点 $(\pm 3,0)$ より $c=3$。楕円は $b^2=a^2-c^2=25-9=16$。

③ 方程式を書く。 焦点が $x$ 軸上なので $x^2$ の分母が大きい($a^2$)。

$$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$$

まとめ:楕円を作るには $a$(長軸の半分)と $c$(焦点距離)から $b^2=a^2-c^2$ を出す。焦点が $x$ 軸上なら $x^2$ 側の分母が大きい。焦点と長軸が与えられたら、この順で組み立てる。

発展。 $c$ と $a$ の比 $e=\frac{c}{a}=\frac{3}{5}$ は離心率と呼ばれ、楕円の「つぶれ具合」を表す($e=0$ で円、$1$ に近いほど細長い)。惑星の軌道は太陽を焦点とする楕円(ケプラーの第一法則)で、地球は $e\approx 0.017$ のほぼ円、ハレー彗星は $e\approx 0.97$ の細長い楕円だ。離心率は天文学で実際に使われる量である。

糸とピンの作図は、実際に画鋲 $2$ つと糸で試せる数少ない曲線の定義でもある。定義(距離の和)→ 作図(糸)→ 式($b^2=a^2-c^2$)の三点セットで持っておくと、楕円の問題はどの角度から来ても受けられる。

別解

$b^2=a^2-c^2$ という関係式を、糸とピンの絵から取り出してみよう。楕円は「$2$ 本のピン(焦点)に長さ $2a$ の糸を留め、ピンと張ったペン先が描く曲線」で、距離の和が一定 $=2a$ であることを実際に示している。

ペン先が短軸の端 $(0,b)$ に来た瞬間を見る。左右対称だから、糸は二等分され、片側の長さは $a=5$。このとき「焦点 $(3,0)$ → 短軸の端 $(0,b)$」の糸は、横 $c=3$・縦 $b$ の直角三角形の斜辺になっている。三平方の定理で

$$c^2+b^2=a^2⟺b^2=a^2-c^2=16$$

$3$–$4$–$5$ の直角三角形が楕円の中に隠れていた($b=4$)。$b^2=a^2-c^2$ は、短軸の端で糸を張ったときの三平方の定理から出る式だ。この絵があれば、双曲線の $c^2=a^2+b^2$(符号が逆)との混同も起きない(あちらは別の三角形から出る別の式だ)。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 双曲線も $a,b,c$ の $3$ つで決まる。ただし関係式は楕円と符号が違う。

$$c^2=a^2+b^2(\text{足す!})$$

読み取れるのは、焦点 $c=5$ と、漸近線の傾き $\frac{b}{a}=\frac{4}{3}$。$b=\frac{4}{3}a$ を関係式に入れて $a^2+\frac{16}{9}{a}^2=25$、$a^2=9$。よって $a=3,b=4$ で

$$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$$

① 漸近線から $b$ と $a$ の関係。 $\frac{b}{a}=\frac{4}{3}$ より $b=\frac{4}{3}a$。

② 焦点の式に代入。 $c=5$ で $c^2=a^2+b^2$ だから

$$25=a^2+(\frac{4}{3}a{)}^2=a^2+\frac{16}{9}{a}^2=\frac{25}{9}{a}^2$$

よって $a^2=9$、$b^2=\frac{16}{9}\cdot 9=16$。

③ 方程式を書く。

$$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$$

まとめ:双曲線は $c^2=a^2+b^2$(足す)。漸近線の傾き $\frac{b}{a}$ から $b=\frac{4}{3}a$ を作り、焦点の式に入れて $a^2$ を出す。楕円($c^2=a^2-b^2$)と符号が逆なので混同しない。

発展。 この双曲線は遠方で漸近線 $y=\pm \frac{4}{3}x$ に限りなく近づくが決して触れない。式で見ると $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ の右辺 $1$ が「漸近線からのずれの源」で、$x$ が大きいほど相対的に無視され、$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}\approx 0$(漸近線のペア)に近づく。右辺を $0$ に置き換えると漸近線が出る、という覚え方はこれが理由である。

$a=b$ の特別な場合(直角双曲線)では箱が正方形になり、漸近線が直交する。$45^{\circ }$ 回すと $xy=k$ の形になる。以前に習った反比例のグラフも双曲線の一つだったことが、ここで分かる。

別解

連立を解かずに、双曲線の箱の絵で $a,b$ を直読みする方法がある。双曲線 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ には、補助の長方形(横 $2a$・縦 $2b$、原点中心)がある。漸近線はこの長方形の対角線で、焦点までの距離 $c$ は対角線の半分の長さ、つまり

$$c=\sqrt{a^2+b^2}$$

($c^2=a^2+b^2$ は、この長方形の対角線についての三平方の定理だ。)問題の条件を箱の言葉に訳す。対角線の傾きが $\frac{4}{3}$ で、対角線の半分が $5$ なので、条件に合うのは $3$–$4$–$5$ の直角三角形だけだ。$a=3,b=4$ が即読みできる。

楕円の $b^2=a^2-c^2$ は「糸を張った三角形」、双曲線の $c^2=a^2+b^2$ は「箱の対角線」から出る。出どころの絵が違うから符号が違う。$2$ つの絵を持てば、符号の混同は構造的に起きない。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 点 $\mathrm{P}$ の位置は指定されていない。つまり「どこにいても同じ値になる」ことが答えの前提だ。それこそが楕円の定義である。

楕円 $=$ $2$ つの焦点からの距離の和が一定の点の集まり。その一定値は長軸の長さ $2a$。$a^2=25$ より $a=5$、よって

$$\mathrm{PF}+{\mathrm{PF}}^{\prime }=2a=10$$

計算はほぼない。「定義を知っているか」を聞いている問題である。

① 楕円の定義を思い出す。 楕円上のどの点 $\mathrm{P}$ でも、$\mathrm{PF}+{\mathrm{PF}}^{\prime }=2a$(一定)。

② $a$ を読む。 $a^2=25$ より $a=5$。

$$\mathrm{PF}+{\mathrm{PF}}^{\prime }=2a=10$$

まとめ:楕円は「$2$ 点(焦点)からの距離の和が一定」の曲線。その和は長軸の長さ $2a$ に等しい。$\mathrm{P}$ をどこにとっても変わらない。計算不要で、$a$ を読むだけ。これが楕円の一番の性質だ。

発展。 「和が一定」から、反射の性質も導ける。一方の焦点から出た光(音)は、楕円の壁で反射して必ずもう一方の焦点に集まる。ささやきの回廊(楕円形ホールの音響)や結石の破砕治療(衝撃波を焦点に集める)は、この性質の実用である。

逆向きの問題「$\mathrm{PF}+{\mathrm{PF}}^{\prime }=10$ を満たす点の軌跡を求めよ」に答えると、距離の式から楕円の方程式を導出する計算(根号を $2$ 回消す)になる。定義と方程式を行き来することが、この単元の論証の中心になる。

別解

「本当にどこでも $10$ なのか」を、特別な点 $2$ か所で実測して確かめてみよう。焦点は $c^2=25-16=9$ から $(\pm 3,0)$。

長軸の端 $(5,0)$: 焦点までの距離は $5-3=2$ と $5+3=8$。

$$2+8=10✓$$

短軸の端 $(0,4)$: 左右対称なので $2$ つの距離は等しく、それぞれ $\sqrt{3^2+4^2}=5$($3$–$4$–$5$ 三角形)。

$$5+5=10✓$$

近い焦点と遠い焦点の配分($2$ と $8$、$5$ と $5$)は点ごとに変わるのに、合計だけは常に $10$ である。糸の長さが変わらないまま、ペン先が動いている様子と同じだ。

答えを出すだけなら定義の $1$ 行で足りるが、$2$ 点での実測を一度やっておくと「和が一定」という抽象的な定義を、具体的な数で確かめられる。検算の型としても、楕円の問題全般で使える。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 楕円の「和が一定」に対して、双曲線は「差が一定」である。これが定義で、一定値はやはり $2a$。

$$|\mathrm{PF}-{\mathrm{PF}}^{\prime }|=2a$$

$a^2=9$ より $a=3$、答えは $6$。差に絶対値が付くのは、双曲線に枝が $2$ 本あるからだ。右の枝では左の焦点の方が遠く、左の枝では逆になる。どちらの枝でも「遠い方 $-$ 近い方 $=6$」である。

① 双曲線の定義。 双曲線上のどの点でも $|\mathrm{PF}-{\mathrm{PF}}^{\prime }|=2a$(一定)。

② $a$ を読む。 $a^2=9$ より $a=3$。

$$|\mathrm{PF}-{\mathrm{PF}}^{\prime }|=2a=6$$

まとめ:双曲線は「$2$ 焦点からの距離の差が一定」(楕円は和が一定)。差の絶対値は $2a$ に等しい。楕円と双曲線は「和か差か」で対になっている。ここも計算不要で $a$ を読むだけだ。

発展。 「差が一定」は測位の原理だ。$2$ つの局から同時に電波を出すと、受信時刻の差から「差が一定の曲線 $=$ 双曲線」の上にいることが分かる。局のペアを $2$ 組使えば双曲線 $2$ 本の交点で位置が決まる。GPS 以前の航法システム(ロラン)はこの双曲線測位で、雷の落雷位置の標定にも同じ原理が使われている。

なお定義の式で $2a$ を $2$ 焦点間の距離 $2c$ より大きくすると、条件を満たす点が消える(三角形の成立条件に反する)。$2a<2c$ が双曲線の存在条件で、楕円($2a>2c$)とちょうど逆向きの不等式になっている。

別解

「差が $6$」を、いちばん見やすい点、つまり頂点で実測しておこう。焦点は $c^2=9+16=25$ から $(\pm 5,0)$。右の頂点 $(3,0)$ に立つと

• 近い焦点 $(5,0)$ まで: $5-3=2$
• 遠い焦点 $(-5,0)$ まで: $3+5=8$

$$|2-8|=6✓$$

一般の点でも確かめられる。たとえば $x=4$ の点($y^2=16\left(\frac{16}{9}-1\right)$ から $y=\frac{4\sqrt{7}}{3}$)で $2$ つの距離を計算すると、値は変わっても差はやはり $6$ になる。

楕円との対比で覚える。「和が $2a$(糸で結ばれた $2$ ピン)」対「差が $2a$(遠近の差を保って逃げる)」。差が一定の点をたどると、焦点をよける $2$ 本の枝が自然に現れる。双曲線のあの独特な形は「差の一定」という束縛の絵姿である。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 媒介変数表示から $x,y$ の方程式を作る。やることは $t$ の消去だ。

$x=t+1$ を $t$ について解くと $t=x-1$。これを $y=t^2$ に代入して

$$y=(x-1{)}^2$$

頂点 $(1,0)$ の放物線。$t$ が全実数を動くとき $x=t+1$ も全実数を動くので、放物線の全体が軌跡になる(範囲の欠けなし)。消去した後に変数の動く範囲を一言確認するのが作法である。

① $t$ を $x$ で表す。 $x=t+1$ より $t=x-1$。

② $y$ に代入する。

$$y=t^2=(x-1{)}^2$$

これは頂点 $(1,0)$ の放物線。

まとめ:三角関数でない媒介変数は、$t=(x\text{ の式})$ を作って代入するのが基本。$\cos ,\sin$ のときだけ ${\cos }^2+{\sin }^2=1$ を使う。ここは $t=x-1$ を $y=t^2$ に入れて $y=(x-1{)}^2$、平行移動した放物線になる。

発展。 $t$ が消去できるのは今回のような易しい形だけで、サイクロイド($x=t-\sin t$、$y=1-\cos t$)のように消去不可能な曲線こそ媒介変数表示の主戦場だ。消せない場合は媒介変数のまま扱う。接線(dy/dx を dy/dt ÷ dx/dt で)や面積を $t$ のまま計算する方法は、数IIIで学ぶ。

範囲の欠けの実例もひとつ: $(x,y)=(\cos t,\cos 2t)$ は消去すると $y=2x^2-1$ だが、$x=\cos t$ は $[-1,1]$ しか動かないので、軌跡は放物線の一部分になる。消去した式は「候補の曲線」であり、範囲の検分をして初めて「軌跡」になる。

別解

消去の前に、数表で点を打って曲線の形を先に見てしまう手がある。$t$ に小さい値を順に入れる。

• $t=-1$: $(0,1)$
• $t=0$: $(1,0)$
• $t=1$: $(2,1)$
• $t=2$: $(3,4)$

打った $4$ 点を見ると、$(1,0)$ を底にした放物線の形をしている。$y=(x-1{)}^2$ と予想でき、$4$ 点すべてが乗ることも代入で確かめられる。あとは消去計算(本解)で裏付ければよい。

媒介変数の意味も添えたい。$t$ を時刻と読むと、$(x,y)=(t+1,t^2)$ は「点の運動のスケジュール」になる。$x$ 方向へ等速、$y$ 方向へ加速しながら動く点の軌跡が、この放物線だ。$t$ の消去は「時刻の情報を捨てて、通り道だけを残す」操作である。

逆は一意でない。同じ放物線に $(t^2+1,t^4)$ など別のスケジュールも張り付けられる(ただしこれは右半分しか動かない)。軌跡は同じでも、動き方は無数にある。媒介変数表示に自由さがあることと、範囲の確認が要ることは、同じ理由から来ている。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 極 → 直交の書き直しに使う式は $3$ つで、$x=r\cos \theta$、$y=r\sin \theta$、$r^2=x^2+y^2$ である。

$r=2\cos \theta$ のままでは辞書の語がない。両辺に $r$ を掛けて辞書の形を作る。

$$r^2=2r\cos \theta ⟹x^2+y^2=2x$$

平方完成して $(x-1{)}^2+y^2=1$ となる。中心 $(1,0)$、半径 $1$ の円(原点を通る)だ。「$r$ を掛けて $r^2$ と $r\cos \theta$ を作る」が、この型の決め手である。

① 両辺に $r$ をかける。 そのままでは $r\cos \theta$ を使えないので、$r$ をかけて形を作る。

$$r^2=2r\cos \theta$$

② 直交座標に直す。 $r^2=x^2+y^2$、$r\cos \theta =x$ を代入。

$$x^2+y^2=2x$$

③ 平方完成する。

$$x^2-2x+y^2=0\Rightarrow (x-1{)}^2+y^2=1$$

中心 $(1,0)$、半径 $1$ の円。

まとめ:$r=2\cos \theta$ のように $r$ が $\cos \theta$ を含むときは、両辺に $r$ をかけて $r^2$・$r\cos \theta$ の形を作ると直交座標に直せる。結果は原点を通る円。極方程式では円がとても簡単な式で書けることがある。

発展。 両辺に $r$ を掛ける操作は $r=0$(原点)を解に追加し得るので、厳密には注意が要る。今回は $\theta =\frac{\pi }{2}$ で $r=0$ となり、原点はもともと曲線上にあるので、追加の実害はない。極座標の変形では「原点の扱い」が唯一のデリケートな箇所である。

$r=2\cos \theta$ に似た式として、$r=2\sin \theta$($y$ 軸上に立つ円)、$r=1+\cos \theta$(カージオイド)、$r=\frac{1}{1+\cos \theta }$(放物線)がある。極座標は「原点(焦点)から測る」座標なので、円錐曲線や渦巻きがとても短い式になる。惑星軌道の計算で極座標が使われる理由である。

別解

$r=2\cos \theta$ という式がなぜ円になるのかは、円の中の直角三角形で説明できる。答えの円を先に描く: 原点 $\mathrm{O}$ を通り、$(2,0)$ を直径の反対端とする円(中心 $(1,0)$・半径 $1$)。円周上の点 $\mathrm{P}$ をとると、$\mathrm{OA}$($\mathrm{A}=(2,0)$)は直径だから

直径に対する円周角は直角(タレスの定理)なので、$\angle \mathrm{OPA}=90^{\circ }$。直角三角形 $\mathrm{OPA}$ で、斜辺 $\mathrm{OA}=2$、$\mathrm{O}$ の角が $\theta$(偏角)なら、隣辺は

$$\mathrm{OP}=2\cos \theta$$

極座標の $r$ はちょうどこの長さだ。つまり $r=2\cos \theta$ は「直径 $2$ の円をタレスの定理で読んだ式」だった。

$\theta$ が $-\frac{\pi }{2}$ から $\frac{\pi }{2}$ まで動くと $\mathrm{P}$ は円を一周する($\theta =0$ で最遠点 $(2,0)$、$\theta \to \pm \frac{\pi }{2}$ で原点へ)。中学で習った円周角の定理が、極方程式の形で再び使われている。$r=2a\cos \theta$ の形の式(原点を通る円)は、すべてこの三角形の絵で読める。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 式 $r\cos \theta =x$ がそのまま使える形なので、書き直しは $1$ 回で終わる。

$$r\cos \theta =2⟺x=2$$

$y$ 軸に平行な縦の直線だ。極方程式の見た目($r$ と $\theta$ の絡んだ式)に身構える前に、「辞書の語がむき出しになっていないか」を最初に見る。この問題はその練習である。

$r\cos \theta =x$ をそのまま当てはめる。

$$r\cos \theta =2\Rightarrow x=2$$

これは $x=2$、すなわち $y$ 軸に平行な縦の直線。

まとめ:$r\cos \theta$ はそのまま $x$、$r\sin \theta$ はそのまま $y$ になる。だから $r\cos \theta =2$ は即 $x=2$(縦の直線)。$r$ を丸ごとかけたりせず、$r\cos \theta$ のかたまりに注目するのがコツ。

発展。 円の $r=2\cos \theta$ と直線の $r\cos \theta =2$ を比べると、$\cos \theta$ の掛かる場所が違うだけで図形がまったく変わる。極方程式の読み方の良い練習になる。前者は「$\theta$ が開くと縮む」(原点に戻る円)、後者は「開くと伸びる」(無限遠へ逃げる直線)。$\cos \theta$ が分子か分母かで、原点からの距離の変わり方が逆になる。

さらに $r=\frac{2}{1+\cos \theta }$ と分母に $1$ を足すと放物線になる。円錐曲線の統一極方程式 $r=\frac{l}{1+e\cos \theta }$($e$ は離心率)で考えると、直線はその $e\to \infty$ の極限とみなせる。焦点から測る極座標では、円・楕円・放物線・双曲線が $1$ つの式の家族になる。

別解

直交座標に直さず、式の意味を直接読むとこうなる。$r\cos \theta$ は「原点から距離 $r$・角 $\theta$ の点の、横方向の成分」である。つまり点の $x$ 座標そのものだ。式 $r\cos \theta =2$ は

「$x$ 座標が $2$ の点の集まり」という日本語を極座標で書いただけで、縦の直線 $x=2$ である。

$r=\frac{2}{\cos \theta }$ と変形した形でも様子が読める。$\theta =0$ で $r=2$(最短で、原点から直線への垂線の足 $(2,0)$)、$\theta$ が開くほど $r$ は伸び、$\theta \to \pm \frac{\pi }{2}$ で $r\to \infty$(直線の彼方へ)。「垂線の足が最短で、角度が開くと遠ざかる」という、原点から直線までの距離の変わり方が、$\frac{1}{\cos \theta }$ の形に表れている。

一般に、原点から距離 $d$・垂線の向き $\alpha$ の直線は $r\cos (\theta -\alpha )=d$。今回はその $\alpha =0$ の特別な場合である。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $2$ 次曲線の見分けは、$x^2$ と $y^2$ の係数の符号を見るだけでよい。

• 両方プラスで和の形($=1$)なら楕円(分母が等しければ円)
• プラスとマイナスの差の形なら双曲線
• 片方だけが $2$ 次(もう片方は $1$ 次)なら放物線

(1) は和 → 楕円、(2) は差 → 双曲線、(3) は $y$ が $1$ 次・$x$ が $2$ 次 → 放物線。「$2$ 乗の顔ぶれ」で三択が決まる。

(1) $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$:$x^2$ も $y^2$ も係数が正で和 $=1$。→ 楕円($y$ 側の分母が大きいので縦長)。

(2) $x^2-y^2=1$:$x^2$ が $+$、$y^2$ が $-$ の差。→ 双曲線。

(3) $y=x^2-2x$:$x$ は $2$ 次だが $y$ は $1$ 次(片方だけ $2$ 次)。→ 放物線。

まとめ:$2$ 次曲線の見分けは「$x^2$ と $y^2$ の符号」。両方同符号(和)なら楕円、異符号(差)なら双曲線、どちらか一方しか $2$ 乗がないなら放物線。まず項を見て、符号で仲間分けするのが速い。

発展。 離心率 $e$ でも $3$ 種は一列に並ぶ: $e=0$(円)、$0<e<1$(楕円)、$e=1$(放物線)、$e>1$(双曲線)。切り角の連続的な変化が $1$ つの数の大小で表される。彗星の軌道が「楕円(回帰する)か双曲線(二度と戻らない)か」は、この $e$ が $1$ を超えるかどうかの判定である。

$xy$ 項を含む一般の $2$ 次式 $a{x}^2+bxy+c{y}^2+\cdots =0$ でも、判別式 $b^2-4ac$ の符号で同じ三択が決まる(負=楕円系、$0$=放物線系、正=双曲線系)。$2$ 次方程式の判別式と同じ形が、曲線の分類にも現れる。

別解

$3$ 種の曲線がなぜ「ひとまとめに」学ばれるのか。円錐の切り口という共通の出どころを知ると、分類の意味が分かる。上下 $2$ つの円錐(砂時計の形)を平面で切る。切る角度によって

• 浅く切る(底面に近い角度): 切り口は閉じて楕円(真横なら円)
• 円錐の斜面(母線)とちょうど平行に切る: 閉じ切らず開いた放物線
• さらに深く切る(上下両方の円錐に当たる): $2$ 枝の双曲線

$3$ 種は別々の曲線ではなく、同じ円錐の切り方の連続変化で生まれる。だから「円錐曲線」と総称される。放物線は楕円と双曲線の「境目」に現れる曲線だ。

式の側の分類(係数の符号)はこの切り角の違いの代数的な影にすぎない。懐中電灯の光の輪を壁に当てて傾けていくと、円 → 楕円 → 放物線 → 双曲線と実演できる。分類を丸暗記しなくても、$1$ つの絵で覚えられる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $2$ 次曲線上の点での接線には、半分ずつ置き換える公式がある。$y^2=4px$ 上の点 $(x_1,y_1)$ では

$$y_{1}y=2p(x+x_1)$$

($y^2=y\cdot y$ の片方を $y_1$ に、$x$ を $\frac{x+x_1}{2}$ 的に置き換えた形。)$p=1$、$(x_1,y_1)=(1,2)$ を代入して

$$2y=2(x+1)⟺y=x+1$$

① 公式に当てはめる。 $y^2=4x$ は $p=1$。点 $(x_1,y_1)=(1,2)$。

$$y_{1}y=2p(x+x_1)\Rightarrow 2y=2(x+1)$$

② 整理する。 両辺を $2$ で割って

$$y=x+1$$

まとめ:$2$ 次曲線の接線は「$x^2\to x_{1}x$、$y^2\to y_{1}y$ に置き換える」タイプの公式で出せる。放物線 $y^2=4px$ なら $y_{1}y=2p(x+x_1)$。微分せずに接点の座標を入れるだけで接線が求まる。

発展。 この接線 $y=x+1$ は、準線 $x=-1$ と $x$ 軸の交点を通る。これは偶然ではなく、放物線の接線は接点・焦点・準線とのあいだに多くの対称な関係をもつ。たとえば焦点 $(1,0)$ から接線に下ろした垂線の足は必ず $y$ 軸上に乗る。また、接線は「焦点からの光の反射方向」を二等分する。パラボラアンテナの反射性質の証明は、この接線の式から始まる。

「半分ずつ置き換える」公式は円($x_{1}x+y_{1}y=r^2$)・楕円・双曲線に共通の文法で、$2$ 次式の「極線」という統一概念の現れ。$1$ つ覚えれば $4$ 曲線分の接線公式が手に入る。

別解

公式を使わず、微分で傾きを出す道と、重解で確かめる道がある。$2$ つの独立なルートで同じ接線になることを確かめる。

微分ルート: $y^2=4x$ の両辺を $x$ で微分(陰関数微分)すると $2y{y}^{\prime }=4$、つまり

$$y^{\prime }=\frac{2}{y}$$

点 $(1,2)$ では $y^{\prime }=1$。傾き $1$ で $(1,2)$ を通る直線は

$$y=1\cdot (x-1)+2=x+1$$

重解チェック: $y=x+1$ を $y^2=4x$ に代入すると

$$(x+1{)}^2=4x⟺(x-1{)}^2=0$$

$x=1$ の重解なので、直線は曲線と $1$ 点でだけ触れている。接線の資格の完全な証明だ。

「公式(速い)・微分(汎用)・重解(検算)」の三段構え。公式の形を忘れても微分で作れ、答えが合っているかは重解で確かめられる。楕円・双曲線の接線でも、この三つの方法はそのまま使える。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 楕円 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ の面積は

$$S=\pi ab$$

これは円の面積 $\pi r^2$ の半径を $2$ 種類にしたものだ。$a=3$、$b=2$ を読み取って

$$S=\pi \cdot 3\cdot 2=6\pi$$

読み取りで注意することはひとつだ。分母は $a^2,b^2$ なので、$9\to a=3$、$4\to b=2$ と平方根をとってから掛ける。

① $a,b$ を読む。 $a^2=9$、$b^2=4$ より $a=3$、$b=2$。

② 面積公式に入れる。

$$S=\pi ab=\pi \cdot 3\cdot 2=6\pi$$

まとめ:楕円の面積は $\pi ab$($a,b$ は半軸の長さ)。円 $\pi r^2$($a=b=r$)の自然な一般化だ。円を横に $\frac{a}{b}$ 倍引き伸ばした形と思えば、面積も同じ倍率で伸びると納得できる。

発展。 面積は $\pi ab$ と簡単な式になるのに、周の長さは $a\ne b$ になると初等関数で書けなくなる(楕円積分と呼ばれる新しい関数が要る。「楕円」の名がつく数学の大きな分野につながる)。同じ図形でも、求める量によって難しさが大きく変わる例だ。

伸縮(アフィン変換)は面積を倍率の積で変える一方、角度や長さの比は壊す。楕円に「焦点」の議論が要るのは、円の対称性が伸縮で失われるからでもある。何が保たれ何が壊れるかを意識すると、円の性質のどれが楕円に持ち上がるか(直径の中点の性質は残る、垂直は残らない)を見分けられるようになる。

別解

公式 $\pi ab$ の出どころを、伸縮の絵で手作りしてみよう。単位円 $X^2+Y^2=1$(面積 $\pi$)から出発する。$x=3X$、$y=2Y$ と置き換える。つまり円を横に $3$ 倍、縦に $2$ 倍引き伸ばすと

$$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=X^2+Y^2=1$$

ちょうどこの楕円になる。楕円とは「円を $2$ 方向に別々の倍率で伸ばした図形」だ。面積は伸ばした倍率のぶん大きくなる。横 $3$ 倍で面積 $3$ 倍、縦 $2$ 倍でさらに $2$ 倍なので

$$S=\pi \times 3\times 2=6\pi$$

(細かい正方形のタイルで円を敷き詰めた絵を想像すると、各タイルが $3\times 2$ の長方形に伸びるので、全体も $6$ 倍になると納得できる。)

$\pi ab$ は「円の $\pi \cdot 1\cdot 1$ を $a$ 倍・$b$ 倍したもの」で、$a=b=r$ とすれば円の $\pi r^2$ に戻る。この伸縮の目は楕円の面積を積分で求める問題(置換 $x=a\cos t$)や、斜めに切った円柱の断面積でも同じように働く。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 極座標の $2$ 点の距離を求める。確実なのは直交座標に直してから測る道だ。

$$\mathrm{A}(2,0)\to (2\cos 0,2\sin 0)=(2,0),\mathrm{B}\left(2,\frac{\pi }{2}\right)\to (0,2)$$

距離の公式で

$$\mathrm{AB}=\sqrt{(2-0{)}^2+(0-2{)}^2}=2\sqrt{2}$$

極座標のままでは引き算ができない($r$ どうし・$\theta$ どうしを引いても距離にならない)ので、まず直交座標に直すのが安全である。

① 直交座標に直す。 $x=r\cos \theta$、$y=r\sin \theta$ で

$$\mathrm{A}:(2\cos 0,2\sin 0)=(2,0),\mathrm{B}:(2\cos \frac{\pi }{2},2\sin \frac{\pi }{2})=(0,2)$$

② 距離を計算する。

$$\mathrm{AB}=\sqrt{(2-0{)}^2+(0-2{)}^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$$

まとめ:極座標の $2$ 点間の距離は、いったん直交座標 $(x,y)$ に直してから $\sqrt{(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2}$ で出すのが確実。$\mathrm{A},\mathrm{B}$ は原点から距離 $2$ で $90^{\circ }$ 離れているので、直角二等辺三角形の斜辺 $2\sqrt{2}$ とも読める。

発展。 極座標の距離公式 $\sqrt{r_1^2+r_2^2-2r_1{r}_2\cos ({\theta }_1-{\theta }_2)}$ は、複素数の $|z_1-z_2|$(極形式)とまったく同じ式になる。極座標平面と複素数平面が同じ幾何を扱っているからだ。ベクトルの $|\vec{a}-\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}$ も同族で、余弦定理は $3$ つの単元(三角比・ベクトル・複素数/極座標)で共通して使う $1$ 本の式である。

数Cの曲線の単元はここで一巡する。直交座標・媒介変数・極座標という、$3$ 通りの方法で同じ平面の図形を表してきた。問題ごとに「どの表し方なら短く書けるか」を選べるようになることが、この単元の目標である。

別解

直交座標を経由せず、三角形を描いて余弦定理で測る道もある。こちらは極座標の意味に忠実だ。$2$ 点と極 $\mathrm{O}$ で三角形 $\mathrm{OAB}$ を作る。極座標の情報がそのまま三角形の部品になる:

• $\mathrm{OA}=2$($\mathrm{A}$ の $r$)
• $\mathrm{OB}=2$($\mathrm{B}$ の $r$)
• はさむ角 $\angle \mathrm{AOB}=\frac{\pi }{2}-0=\frac{\pi }{2}$(偏角の差)

余弦定理で

$${\mathrm{AB}}^2=2^2+2^2-2\cdot 2\cdot 2\cos \frac{\pi }{2}=8-0=8⟹\mathrm{AB}=2\sqrt{2}$$

今回は挟角が直角なので、実は三平方の定理(等辺 $2$ の直角二等辺三角形の斜辺)だけで済む。

一般形 ${\mathrm{AB}}^2=r_1^2+r_2^2-2r_1{r}_2\cos ({\theta }_1-{\theta }_2)$ は「極座標の距離公式」と呼ばれ、中身は余弦定理そのものだ。極座標は「原点からの距離と角」の言葉なので、原点を頂点とする三角形を描くのが最も自然な作図だ。数Iの余弦定理が数Cの最後でも使われる。