平面上の曲線 ★★★★ 難関の問題 全8問

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 放物線の焦点距離は、いちいち距離の公式を使うより「焦点距離 $=$ 準線までの距離」という定義を使うのが速い。

$y^2=4x$ は $y^2=4px$ で $p=1$ だから、焦点 $(1,0)$、準線 $x=-1$。放物線上の点から焦点までの距離は準線までの距離 $x+1$ に等しい。だから $x+1=5$ から $x$ が決まる、と見通す。

① 焦点距離を $x$ で表す。 $y^2=4x$ は $p=1$ で焦点 $(1,0)$、準線 $x=-1$。放物線上の点 $(x,y)$ から焦点までの距離は $x+1$。

② $=5$ とおく。

$$x+1=5⟹x=4$$

③ $y$ を求める。 $y^2=4\cdot 4=16$ より $y=\pm 4$。よって点は $(4,4)$、$(4,-4)$。

まとめ:放物線の焦点距離は「準線までの距離 $x+p$」で計算するのが速い(距離の公式より簡単)。$x+1=5$ から $x=4$、$y^2=16$ で $y=\pm 4$。上下対称に $2$ 点。

発展。 放物線はそもそも「焦点までの距離と準線までの距離が等しい点の集まり」として定義される。だから焦点距離 $=x+1$(準線までの距離)は、定義そのもの。距離の公式を使わずに済む理由がここにある。

この「焦点と準線からの距離の比(離心率)」が $1$ なのが放物線。比が $1$ より小さければ楕円、大きければ双曲線になる。$3$ つの円錐曲線はこの $1$ つの見方で統一できる。

放物線の反射性質(焦点から出た光が軸に平行に反射する)も、この定義から導ける。パラボラアンテナや反射鏡は、この性質を使っている。

別解

別解:距離の公式で計算する(得意な人向けの確かめ)。 定義を使わず、焦点からの距離を素直に $2$ 乗して計算しても、同じ $x+1$ が出る。

焦点は $(1,0)$、放物線上の点 $(x,y)$ は $y^2=4x$ を満たす。焦点までの距離の $2$ 乗は

$$(x-1{)}^2+y^2=(x-1{)}^2+4x=x^2-2x+1+4x=x^2+2x+1=(x+1{)}^2.$$

$y^2=4x$ を代入すると、$y$ が消えてきれいに完全平方 $(x+1{)}^2$ になる。だから距離は $x+1$。これが $5$ に等しいので $x=4$、$y^2=16$ より $y=\pm 4$。点は $(4,4)$、$(4,-4)$。

「焦点距離 $=$ 準線までの距離」を使う本解と同じ。距離を $2$ 乗すると $(x+1{)}^2$ になるのは、焦点・準線の定義($x+1$ が準線 $x=-1$ までの距離)があるからだ。計算で進めても、定義と同じ式が出てくる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 楕円は $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ の形で、$a,b$ が分かれば決まる。

長軸の長さ $2a$ から $a$、焦点の位置 $(\pm c,0)$ から $c$ が分かる。楕円の関係式 $b^2=a^2-c^2$ で $b$ が出る。順に $a\to c\to b$ と埋めていく。焦点が $x$ 軸上なので横長の楕円、と見通す。

① $a$ を求める。 長軸の長さ $2a=10$ より $a=5$、$a^2=25$。

② $b$ を求める。 焦点 $(\pm 3,0)$ より $c=3$。$b^2=a^2-c^2=25-9=16$。

③ 方程式。

$$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$$

まとめ:楕円は「$a$(長軸の半分)、$c$(焦点)、$b^2=a^2-c^2$」で決まる。$a=5$、$c=3$、$b^2=16$。焦点が $x$ 軸上だから $a^2$ が $x^2$ の下(横長)。$c^2=a^2-b^2$ の関係(円との違い)を使う。

発展。 関係式 $b^2=a^2-c^2$ には、きれいな図形の意味がある。短軸の端 $(0,b)$ から $2$ 焦点までの距離は、対称性からどちらも等しい。距離の和が $2a$ だから、それぞれ $a$。

すると、焦点 $(c,0)$・原点・短軸端 $(0,b)$ が作る直角三角形で、斜辺 $a$、他の $2$ 辺が $b,c$。三平方の定理から $a^2=b^2+c^2$、すなわち $b^2=a^2-c^2$。ピタゴラスの定理そのものだ。

双曲線では $c^2=a^2+b^2$ と、$a$ と $c$ の役割が入れかわる。楕円は「$a$ が最長」、双曲線は「$c$ が最長」。この違いが、$2$ 曲線の形の違いを生む。

別解

別解:短軸の端から焦点までの距離で $b$ を出す(得意な人向けの視点)。 $b^2=a^2-c^2$ を公式として覚えていなくても、楕円の定義から $b$ を導ける。

長軸から $a=5$、焦点から $c=3$ はすぐ分かる。短軸の端の点 $(0,b)$ に注目する。楕円の定義は「$2$ 焦点からの距離の和が $2a=10$」。点 $(0,b)$ は左右の焦点から等距離なので、片方までの距離はその半分の $a=5$。焦点 $(3,0)$ までの距離は $\sqrt{3^2+b^2}$ だから

$$\sqrt{9+b^2}=5⟹9+b^2=25⟹b^2=16.$$

よって $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$。$b^2=a^2-c^2$ に代入する本解と同じ。じつはこの計算が、$b^2=a^2-c^2$ という公式の導出そのもの。短軸端・焦点・原点の直角三角形で、斜辺 $a$、脚 $b,c$ の三平方になっている。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 双曲線 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ は $a^2=9$、$b^2=16$ と読める。

焦点は $(\pm c,0)$ で、双曲線では $c^2=a^2+b^2$(楕円の $a^2-b^2$ と違い和)。頂点は $x$ 軸との交点 $(\pm a,0)$、漸近線は原点を通る $y=\pm \frac{b}{a}x$。公式に当てはめるだけ。楕円との符号の違い($c^2=a^2+b^2$)に注意、と見通す。

① $a,b$ を読む。 $a^2=9$ より $a=3$、$b^2=16$ より $b=4$。

② 焦点。 $c^2=a^2+b^2=9+16=25$、$c=5$。焦点は $(\pm 5,0)$。

③ 頂点と漸近線。 頂点は $(\pm a,0)=(\pm 3,0)$。漸近線は

$$y=\pm \frac{b}{a}x=\pm \frac{4}{3}x$$

まとめ:双曲線は「焦点 $c^2=a^2+b^2$(和)、頂点 $(\pm a,0)$、漸近線 $y=\pm \frac{b}{a}x$」。楕円では $c^2=a^2-b^2$ だが双曲線は和になるのが最大の違い。漸近線の傾きは $\pm \frac{b}{a}$。

発展。 漸近線は双曲線の式の右辺を $0$ にした $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0$ の表す $2$ 直線。これは $\left(\frac{x}{a}-\frac{y}{b}\right)\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\right)=0$ と因数分解でき、$y=\pm \frac{b}{a}x$ になる。だから漸近線は覚えなくても導ける。

遠くへ行くほど、右辺の $1$ が $x^2,y^2$ に比べて無視できるようになり、双曲線は漸近線に限りなく近づく。$a\times b$ の長方形の対角線が漸近線、と見ると図で覚えやすい。

焦点の $c^2=a^2+b^2$(和)は、楕円の $c^2=a^2-b^2$(差)と対照的。楕円は閉じ、双曲線は開く。この符号の違いが $2$ 曲線を分ける。

別解

別解:右辺を $0$ にして漸近線を出す(得意な人向けの視点)。 漸近線の公式 $y=\pm \frac{b}{a}x$ を暗記しなくても、式の右辺を $0$ に置きかえるだけで出せる。

双曲線 $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ の右辺 $1$ を $0$ にする。

$$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=0.$$

左辺は $2$ 乗の差だから因数分解できる。

$$\left(\frac{x}{3}-\frac{y}{4}\right)\left(\frac{x}{3}+\frac{y}{4}\right)=0⟹y=\pm \frac{4}{3}x.$$

これが漸近線。焦点は $c^2=a^2+b^2=9+16=25$ より $(\pm 5,0)$、頂点は $(\pm 3,0)$。漸近線の傾きを $\pm \frac{b}{a}$ と覚える本解と同じ。「右辺を $0$ にすると漸近線」と知っておくと、傾きを $\frac{b}{a}$ か $\frac{a}{b}$ か迷わない。遠方で双曲線が近づく直線が、この因数分解で自然に現れる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 媒介変数を消去して、$x,y$ の関係式を作る。

$x=t+\frac{1}{t}$、$y=t-\frac{1}{t}$ は「和と差」の形。だから $x+y$ と $x-y$ を作ると、$t$ と $\frac{1}{t}$ がきれいに分離される。$(x+y)$ と $(x-y)$ を掛けると $t\cdot \frac{1}{t}=1$ が現れて $t$ が消える。

すると $x^2-y^2$ の形になる、と見通す。和と差を作るのがコツ。

① 和と差を作る。

$$x+y=\left(t+\frac{1}{t}\right)+\left(t-\frac{1}{t}\right)=2t$$ $$x-y=\left(t+\frac{1}{t}\right)-\left(t-\frac{1}{t}\right)=\frac{2}{t}$$

② 掛けて $t$ を消す。

$$(x+y)(x-y)=2t\cdot \frac{2}{t}=4$$

左辺は $x^2-y^2$ だから

$$x^2-y^2=4$$

まとめ:「和と差」の形の媒介変数は「$x+y$、$x-y$ を作って掛ける」と $t$ が消える。$x+y=2t$、$x-y=\frac{2}{t}$ を掛けて $x^2-y^2=4$(双曲線)。$t\cdot \frac{1}{t}=1$ で媒介変数が約分されるのが決め手。

発展。 得られた $x^2-y^2=4$ は双曲線だが、$t$ の動く範囲によって描かれるのは一部だけ。$x=t+\frac{1}{t}$ は、相加相乗平均から $t>0$ で $x\ge 2$、$t<0$ で $x\le -2$。だから左右両方の枝が現れる。

この $t+\frac{1}{t}$、$t-\frac{1}{t}$ という組は単位円上の $z+\frac{1}{z}=2\cos \theta$(複素数)と同じ発想の親戚。和と差で変数を分離するのは、媒介変数消去の基本の方法だ。

一般に、媒介変数表示は「同じ曲線を、点の動き方も込めて」表す。方程式 $x^2-y^2=4$ だけでは分からない「どちらの枝を、どの向きに動くか」まで、$t$ から分かる。

別解

別解:$x^2$ と $y^2$ を直接計算して引く(得意な人向けの視点)。 和と差を作らず、$x^2$ と $y^2$ をそれぞれ展開して引いても $t$ が消える。

$$x^2={\left(t+\frac{1}{t}\right)}^2=t^2+2+\frac{1}{t^2},y^2={\left(t-\frac{1}{t}\right)}^2=t^2-2+\frac{1}{t^2}.$$

どちらにも $t^2$ と $\frac{1}{t^2}$ が同じだけ含まれる。だから引くと、それらが消えて定数だけ残る。

$$x^2-y^2=\left(t^2+2+\frac{1}{t^2}\right)-\left(t^2-2+\frac{1}{t^2}\right)=4.$$

$(x+y)(x-y)$ で消す本解と同じ $x^2-y^2=4$。${\left(t\pm \frac{1}{t}\right)}^2$ を展開すると、$2$ 乗項 $t^2,\frac{1}{t^2}$ は共通で、中央の $\pm 2$ だけが符号違い。引けばその差 $4$ が残る。「和と差の積」を使わなくても、真ん中の項の符号差が答えを作る。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 極方程式を直交座標に直すには、$x=r\cos \theta$、$y=r\sin \theta$、$r=\sqrt{x^2+y^2}$ の変換を使う。

まず分母を払って $r-r\cos \theta =2$ の形にする。すると $r\cos \theta$(=$x$)と $r$(=$\sqrt{x^2+y^2}$)がそのまま代入できる。$\sqrt{}=2+x$ を $2$ 乗すれば $x,y$ の方程式が出る、と見通す。

① 分母を払う。 $r=\frac{2}{1-\cos \theta }$ より

$$r(1-\cos \theta )=2⟹r-r\cos \theta =2$$

② 直交座標に直す。 $r\cos \theta =x$、$r=\sqrt{x^2+y^2}$ を代入して

$$\sqrt{x^2+y^2}-x=2⟹\sqrt{x^2+y^2}=2+x$$

③ $2$ 乗して整理する。

$$x^2+y^2=(2+x{)}^2=4+4x+x^2⟹y^2=4x+4=4(x+1)$$

まとめ:極方程式は「$x=r\cos \theta$、$r=\sqrt{x^2+y^2}$ を代入」。分母を払って $r-r\cos \theta =2$ にすると代入しやすい。$\sqrt{}=2+x$ を $2$ 乗して $y^2=4(x+1)$(頂点 $(-1,0)$ の放物線)。$\frac{2}{1-\cos \theta }$ の形は放物線(離心率 $1$)を表す。

発展。 $r=\frac{l}{1-e\cos \theta }$ という形は、焦点を極(原点)に置いた円錐曲線の統一表示。離心率 $e$ で形が決まり、$e<1$ なら楕円、$e=1$ なら放物線、$e>1$ なら双曲線になる。

今回は $r=\frac{2}{1-\cos \theta }$ で $e=1$。だから放物線。実際 $y^2=4(x+1)$ の焦点は原点 $(0,0)$ で、極とちょうど一致する。

この極形式は惑星や彗星の軌道(ケプラーの法則)を表すのに使われる。太陽を焦点(極)に置くと、軌道が $r=\frac{l}{1-e\cos \theta }$ の形になる。極方程式は天体の運動を記述する言葉でもある。

別解

別解:離心率で曲線の種類を見抜く(得意な人向けの視点)。 計算する前に、極形式の分母の形から曲線の種類が分かる。

焦点を極に置いた円錐曲線は $r=\frac{l}{1-e\cos \theta }$ の形で、$e$ が離心率。$e<1$ で楕円、$e=1$ で放物線、$e>1$ で双曲線。今回の $r=\frac{2}{1-\cos \theta }$ は $\cos \theta$ の係数が $1$、つまり $e=1$。だからこれは放物線だと即断できる。

種類が分かったうえで、直交座標に直す。分母を払って $r-r\cos \theta =2$、$r=\sqrt{x^2+y^2}$、$r\cos \theta =x$ を代入し $\sqrt{x^2+y^2}=2+x$、$2$ 乗して

$$y^2=4(x+1).$$

焦点は原点 $(0,0)$(=極)、準線は $x=-2$。$e=1$ という予想どおりの放物線。素直に代入して計算する本解と同じ。$e=1$ を見た時点で「放物線が出るはず」と分かるので、計算結果の検算にもなる。円錐曲線の統一形を知っていると、答えの形が先読みできる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 「接する」は「共有点がちょうど $1$ つ」$=$ 連立した $2$ 次方程式の判別式が $0$。

直線 $y=x+k$ を楕円の式に代入して、$x$ の $2$ 次方程式を作る。その判別式 $=0$ を $k$ について解く。まず代入して整理するのが第一手、と見通す。

① 代入して $2$ 次方程式に。 $y=x+k$ を $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ に代入する。

$$\frac{x^2}{4}+(x+k{)}^2=1$$

両辺を $4$ 倍して

$$x^2+4(x+k{)}^2=4⟹5x^2+8kx+4k^2-4=0$$

② 判別式 $=0$。

$$D=(8k{)}^2-4\cdot 5\cdot (4k^2-4)=64k^2-80k^2+80=-16k^2+80=0$$

③ $k$ を求める。 $16k^2=80$、$k^2=5$、$k=\pm \sqrt{5}$。

まとめ:楕円と直線が接する条件は「代入して $2$ 次方程式 → 判別式 $=0$」。$5x^2+8kx+4k^2-4=0$ の判別式が $-16k^2+80=0$ で $k=\pm \sqrt{5}$。$2$ 本の接線(上下)ができる。

発展。 じつは楕円 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ と直線 $y=mx+k$ が接する条件は、$k^2=a^2{m}^2+b^2$ という公式にまとまる。これは今回の判別式 $=0$ を一般の $a,b,m$ でやった結果だ。

$k$ が $\pm \sqrt{a^2{m}^2+b^2}$ の $2$ 値になるのは、傾き $m$ の接線が楕円の上下に $1$ 本ずつあるから。$k$ の符号が、接線が楕円のどちら側にあるかを表す。

「接する $=$ 判別式 $0$」は、曲線と直線が接するあらゆる場面で使える。放物線・双曲線・円でも、代入して $2$ 次方程式を作り、重解条件をとればよい。

別解

別解:楕円の接線公式 $k^2=a^2{m}^2+b^2$ で出す(得意な人向けの視点)。 判別式を毎回計算するかわりに、楕円と直線の接する条件の公式を使うとすぐに出る。

楕円 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ と直線 $y=mx+k$ が接する条件は

$$k^2=a^2{m}^2+b^2.$$

いまの楕円は $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ なので $a^2=4$、$b^2=1$。直線 $y=x+k$ は傾き $m=1$。代入して

$$k^2=4\cdot 1^2+1=5⟹k=\pm \sqrt{5}.$$

代入して判別式 $=0$ を解く本解と同じ $k=\pm \sqrt{5}$。この公式 $k^2=a^2{m}^2+b^2$ は、判別式 $=0$ の計算を一般の文字で行った結果だ。傾き $m$ が決まれば、接する $k$ が $2$ つ(上下の接線)すぐ出る。円 $x^2+y^2=r^2$ の $k^2=r^2(1+m^2)$ の楕円版だ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 楕円上の点での接線には公式があり、接点の座標を「片方だけ $x_1,y_1$ に置きかえる」形($x^2\to x_{1}x$、$y^2\to y_{1}y$)で書ける。

だから微分せずに、接点 $\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},\sqrt{2}\right)$ を公式に代入するだけ。$a^2=9$、$b^2=4$ を確認する。あとは係数を見やすく整理する、と見通す。

① 公式に代入する。 $a^2=9$、$b^2=4$、接点 $(x_1,y_1)=\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},\sqrt{2}\right)$。接線は

$$\frac{x_1}{9}x+\frac{y_1}{4}y=1⟹\frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{9}x+\frac{\sqrt{2}}{4}y=1$$

② 係数を整理する。 $\frac{3\sqrt{2}/2}{9}=\frac{3\sqrt{2}}{18}=\frac{\sqrt{2}}{6}$ だから

$$\frac{\sqrt{2}}{6}x+\frac{\sqrt{2}}{4}y=1$$

(両辺を $\frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}$ 倍して $x+\frac{3}{2}y=3\sqrt{2}$、さらに $2$ 倍で $2x+3y=6\sqrt{2}$ と整数係数にもできる。)

まとめ:楕円上の点での接線は「$x^2\to x_{1}x$、$y^2\to y_{1}y$ に置きかえる」公式 $\frac{x_{1}x}{a^2}+\frac{y_{1}y}{b^2}=1$。微分不要で、接点を代入するだけ。係数 $\frac{\sqrt{2}}{6},\frac{\sqrt{2}}{4}$ を整理して見やすい形にする。

発展。 接線公式 $\frac{x_{1}x}{a^2}+\frac{y_{1}y}{b^2}=1$ は「$x^2$ を $x_{1}x$、$y^2$ を $y_{1}y$ に置きかえる」という覚えやすい形。円 $x^2+y^2=r^2$ の接線 $x_{1}x+y_{1}y=r^2$ の楕円版だ。放物線でも同じ置きかえが使える。

なぜこれで接線になるのか。楕円上で微分すると、接線の傾きが $-\frac{b^2{x}_1}{a^2{y}_1}$ と出る。それを点 $(x_1,y_1)$ を通る直線として整理すると、ちょうどこの公式になる。だから微分の結果を公式に畳み込んだものだ。

$\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\right)$ の勾配が、楕円に垂直な向き(法線)を指す。接線はそれに直交する。置きかえ公式のもとには、この幾何がある。

別解

別解:陰関数微分で傾きを出す(得意な人向けの視点)。 接線公式を覚えていなくても、楕円の式を微分して傾きを求め、点を通る直線として書けばよい。

$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ の両辺を $x$ で微分する。

$$\frac{2x}{9}+\frac{2y}{4}\cdot \frac{dy}{dx}=0⟹\frac{dy}{dx}=-\frac{4x}{9y}.$$

接点 $(x_1,y_1)=\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},\sqrt{2}\right)$ を入れると

$$\frac{dy}{dx}=-\frac{4\cdot \frac{3\sqrt{2}}{2}}{9\sqrt{2}}=-\frac{6\sqrt{2}}{9\sqrt{2}}=-\frac{2}{3}.$$

傾き $-\frac{2}{3}$、接点を通る直線として

$$y-\sqrt{2}=-\frac{2}{3}\left(x-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right).$$

整理すると $\frac{\sqrt{2}}{6}x+\frac{\sqrt{2}}{4}y=1$(=$2x+3y=6\sqrt{2}$)。置きかえ公式を使う本解と同じ接線。陰関数微分で出した傾き $-\frac{2}{3}$ は、公式の係数 $\frac{\sqrt{2}}{6},\frac{\sqrt{2}}{4}$ から出る傾き $-\frac{\sqrt{2}/6}{\sqrt{2}/4}=-\frac{2}{3}$ と一致する。公式はこの微分計算を畳み込んだものだと分かる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 「$2$ 定点からの距離の和が一定」は、楕円の定義そのものだ。

だから座標計算で軌跡を求めるより、定義から直接 $a,b,c$ を読むほうが速い。$2$ 定点が焦点 $(\pm 3,0)$ で $c=3$、距離の和が $2a=10$ で $a=5$、$b^2=a^2-c^2$。定義を思い出せば計算がほぼ不要(念のため座標計算でも確かめられる)、と見通す。

① 定義から $a,c$。 $2$ 定点 $\mathrm{F},{\mathrm{F}}^{\prime }$ は焦点で $c=3$。距離の和 $2a=10$ より $a=5$。

② $b$ を求める。 $b^2=a^2-c^2=25-9=16$。

③ 方程式。

$$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$$

(座標で確認:$\mathrm{P}(x,y)$ として $\sqrt{(x-3{)}^2+y^2}+\sqrt{(x+3{)}^2+y^2}=10$ を整理しても同じ式になる。)

まとめ:「距離の和が一定」は楕円の定義そのもの。焦点から $c=3$、和 $2a=10$ で $a=5$、$b^2=a^2-c^2=16$。定義を使えば座標計算(根号 $2$ つの整理)を経ずに方程式が書ける。

発展。 「$2$ 焦点からの距離の和が一定」は、楕円の定義そのもの。$2$ 本のピン(焦点)に糸をかけ、ピンと張ったまま鉛筆を動かすと楕円が描ける(糸の長さ $=2a$)のは、この定義の実演だ。

同じ楕円 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ は、「焦点 $(\pm 3,0)$、長軸 $10$」からも作れる(この単元の別の問題と同じ答え)。定義から入っても、方程式の要素から入っても、行き着く楕円は同じ。

定義を使うと、根号 $2$ つの重い座標計算を回避できる。「$2$ 定点からの距離の和 $=$ 楕円」「差 $=$ 双曲線」「$1$ 定点と $1$ 直線から等距離 $=$ 放物線」という定義を知っていれば、軌跡問題の多くはすぐに答えられる。

別解

別解:座標で $2$ 乗して導出する(得意な人向けの確かめ)。 定義に頼らず、距離の和の式を素直に整理しても、同じ楕円が出る。

点 $\mathrm{P}(x,y)$ として、$\mathrm{PF}+\mathrm{P}{\mathrm{F}}^{\prime }=10$ を式にする。$\mathrm{PF}=\sqrt{(x-3{)}^2+y^2}$、$\mathrm{P}{\mathrm{F}}^{\prime }=\sqrt{(x+3{)}^2+y^2}$。まず $2$ つの距離の $2$ 乗の差をとる。

$${\mathrm{P}{\mathrm{F}}^{\prime }}^2-{\mathrm{PF}}^2=(x+3{)}^2-(x-3{)}^2=12x.$$

これは $(\mathrm{P}{\mathrm{F}}^{\prime }-\mathrm{PF})(\mathrm{P}{\mathrm{F}}^{\prime }+\mathrm{PF})=(\mathrm{P}{\mathrm{F}}^{\prime }-\mathrm{PF})\cdot 10$ でもあるから、$\mathrm{P}{\mathrm{F}}^{\prime }-\mathrm{PF}=\frac{12x}{10}=\frac{6x}{5}$。和 $\mathrm{P}{\mathrm{F}}^{\prime }+\mathrm{PF}=10$ と連立して

$$\mathrm{PF}=5-\frac{3x}{5}.$$

これを ${\mathrm{PF}}^2=(x-3{)}^2+y^2$ に入れて整理すると

$${\left(5-\frac{3x}{5}\right)}^2=(x-3{)}^2+y^2⟹25+\frac{9x^2}{25}=x^2+9+y^2⟹\frac{16x^2}{25}+y^2=16.$$

両辺を $16$ で割って $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$。定義から $a,b,c$ を読む本解と同じ。距離の和・差をうまく組み合わせると、根号を一度も残さずに整理できる。定義を使う近道がこの計算をきちんと裏づけている。