平面上の曲線 ★★★ 応用の問題 全8問

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 通径は、焦点 $(1,0)$ を通り軸に垂直な弦のこと。

その弦は直線 $x=1$ に乗っている。だから $x=1$ を $y^2=4x$ に代入し、$2$ 交点の $y$ の差をとればよい。「弦の長さは、その直線を曲線に代入して交点を求める」。円のときと同じ発想を、通径でも使う。

① 焦点と弦の直線。 $y^2=4x$ は $p=1$ で焦点 $(1,0)$。軸($x$ 軸)に垂直で焦点を通る直線は $x=1$。

② 交点を求める。 $x=1$ を代入すると $y^2=4$、$y=\pm 2$。交点は $(1,2)$ と $(1,-2)$。

③ 弦の長さ。

$$2-(-2)=4$$

まとめ:通径(focal chord のうち軸に垂直なもの)は、焦点の $x$ 座標を放物線に代入して上下の交点の幅を測る。$y^2=4px$ の通径はつねに $4p$(ここでは $4$)。放物線の「開き具合」を表す量だ。

発展。 $y^2=4px$ の通径はつねに $4p$ になる。実際 $x=p$ を代入すると $y^2=4p^2$、$y=\pm 2p$ で、幅は $4p$。いまは $4p=4$。

つまり通径の長さは方程式 $y^2=4px$ の右辺の係数 $4p$ をそのまま読めばよい。この係数が放物線の「開き具合」を数値で表している。$p$ が大きい(焦点が遠い)ほど通径が長く、放物線は横に広く開く。

通径は放物線だけのものではなく、楕円にも双曲線にも、焦点を通り軸に垂直な弦(通径)がある。焦点まわりの曲線の「太さ」を測る共通のものさしだ。

別解

別解:焦点・準線の定義で高さを出す(得意な人向けの定義視点)。 放物線の式に代入せず、放物線の定義から通径の端点を求められる。

$y^2=4x$ は $p=1$ で、焦点 $(1,0)$、準線は $x=-1$。放物線上の点は「焦点までの距離と準線までの距離が等しい」。通径の端点は $x=1$ の上にある。準線 $x=-1$ までの距離は $1-(-1)=2$。よって焦点までの距離も $2$。

端点は $(1,y)$、焦点は $(1,0)$ だから、焦点までの距離は $|y|$。これが $2$ に等しく $y=\pm 2$。

$$\text{通径}=2-(-2)=4.$$

代入で解く本解と同じ答え。放物線の定義(焦点距離＝準線までの距離)を使うと、方程式に頼らずに端点の高さ $|y|=2$ が出る。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 交点は直線 $y=x$ の上にしかない。

だから $y=x$ を楕円 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ に代入し、$x$ だけの方程式に落とす。「曲線と直線の交点は、直線の式を曲線に代入して連立」。円のときと同じ発想を、楕円で使う。

① 代入する。 $y=x$ を楕円 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ に入れる。

$$\frac{x^2}{4}+x^2=1$$

② $x$ を求める。 左辺は $\frac{x^2}{4}+\frac{4x^2}{4}=\frac{5x^2}{4}$。

$$\frac{5}{4}{x}^2=1\Rightarrow x^2=\frac{4}{5}\Rightarrow x=\pm \frac{2}{\sqrt{5}}$$

③ $y$ を出す。 $y=x$ なので $y$ も同じ値。

$$(\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}),(-\frac{2}{\sqrt{5}},-\frac{2}{\sqrt{5}})$$

まとめ:曲線と直線の交点は、直線の式($y=x$)を曲線に代入して文字を $1$ つ減らすのが基本だ。ここは $x^2=\frac{4}{5}$ から $2$ 交点が出る。$y=x$ 上なので $x$ と $y$ は等しく、原点対称の $2$ 点になる。

発展。 $2$ つの交点 $\left(\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}\right)$ と $\left(-\frac{2}{\sqrt{5}},-\frac{2}{\sqrt{5}}\right)$ は、原点について対称。これは偶然ではない。

原点を通る直線 $y=mx$ を楕円に代入すると、$x^2$ の項だけの偶関数の方程式になり、解は必ず $\pm$ の対になる。原点を通る弦(直径)はいつも中心で二等分される。

さらに見晴らしよく言えば、楕円 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ は単位円を横に $2$ 倍引き伸ばした図形(縦横で倍率が違う拡大＝アフィン変換であって、相似ではない)。引き伸ばしは中点を保つので、円の直径が楕円の直径にうつり、中心対称がそのまま残る。

別解

別解:楕円を媒介変数で表して解く(得意な人向けの視点)。 楕円上の点は $x=2\cos t$、$y=\sin t$ と表せる。この形で直線 $y=x$ に当てはめる。

$y=x$ は $\sin t=2\cos t$、すなわち $\tan t=2$。$\tan t=2$ のとき、$\cos t=\pm \frac{1}{\sqrt{5}}$、$\sin t=\pm \frac{2}{\sqrt{5}}$(同符号)。したがって

$$x=2\cos t=\pm \frac{2}{\sqrt{5}},y=\sin t=\pm \frac{2}{\sqrt{5}}.$$

代入して $2$ 次方程式を解く本解と同じ $2$ 点。楕円上の点を角 $t$ で表すと、直線との交点条件が $\tan t=2$ という角の条件になる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 双曲線が遠方で近づく直線が漸近線。第 $1$ 象限で $x$ を大きくすると近づくのは、傾きが正の漸近線だ。

漸近線は $y=\pm \frac{b}{a}x$ の $2$ 本。$a=3$、$b=4$ だから $y=\pm \frac{4}{3}x$。このうち $x>0,y>0$ に伸びるのは傾き正のほう。だから $y=\frac{4}{3}x$ を選ぶ、と見通す。

① 漸近線を求める。 $a=3$、$b=4$ より漸近線は $y=\pm \frac{4}{3}x$。

② なぜ近づくかを確認する。 $x$ が大きいとき、$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ の右辺の $1$ は $\frac{x^2}{9}$ に比べて無視でき、$\frac{x^2}{9}\approx \frac{y^2}{16}$、すなわち $y\approx \frac{4}{3}x$。

③ 第 $1$ 象限のほうを選ぶ。 $x>0,y>0$ に伸びるのは傾き正。

$$y=\frac{4}{3}x$$

まとめ:双曲線は遠くへ行くほど漸近線に貼りつく。第 $1$ 象限($x,y$ とも正)へ伸びる枝は、傾きが正の漸近線 $y=\frac{4}{3}x$ に近づく。右辺の $1$ が「無視できるほど小さくなる」ことが、近づく理由だ。

発展。 漸近線の傾き $\pm \frac{b}{a}$ は双曲線の「開き方」を決める。$\frac{b}{a}$ が大きいほど枝は急に立ち上がる。

とくに $a=b$ のときは漸近線が $y=\pm x$ となり、$2$ 本が直交する。これを直角双曲線(等軸双曲線)という。直角双曲線を $45^{\circ }$ 回すと、中学以来おなじみの反比例 $xy=k$ の形になる。反比例のグラフも、漸近線が座標軸に直交した双曲線である。

別解

別解:$y$ を $x$ で表して遠方の様子を調べる(得意な人向けの視点)。 「近づく」を式で確かめるため、第 $1$ 象限の枝を $y$ について解く。

$\frac{y^2}{16}=\frac{x^2}{9}-1=\frac{x^2-9}{9}$ より、$y=\frac{4}{3}\sqrt{x^2-9}$($x>0,y>0$)。これを $\frac{4}{3}x$ と比べる。差を有理化すると

$$y-\frac{4}{3}x=\frac{4}{3}\left(\sqrt{x^2-9}-x\right)=\frac{4}{3}\cdot \frac{-9}{\sqrt{x^2-9}+x}.$$

$x\to \infty$ で分母が限りなく大きくなるから、この差は $0$ に近づく(しかも負なので、枝は漸近線のわずかに下から迫る)。

よって第 $1$ 象限の枝は $y=\frac{4}{3}x$ に限りなく近づく。公式で漸近線を出す本解と同じ答え。式で見ると「近づく」ようすと、下側から迫ることまで分かる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 高さ $y=1-\cos t$ の中で動くのは $\cos t$ だけ。

$y$ が最大になるのは $\cos t$ が最小、つまり $\cos t=-1$ のとき。$0\le t\le 2\pi$ でそれは $t=\pi$。媒介変数で表された $y$ の最大は $y$ を $t$ の関数とみて素直に考えればよい、と見通す。

① $y$ を $t$ で見る。 $y=1-\cos t$。これが最大 ⇔ $\cos t$ が最小。

② $\cos t$ の最小。 $0\le t\le 2\pi$ で $\cos t$ の最小は $-1$、それは $t=\pi$ のとき。

③ 座標を出す。 $t=\pi$ のとき

$$x=\pi -\sin \pi =\pi -0=\pi ,y=1-\cos \pi =1-(-1)=2$$

よって最高点は $(\pi ,2)$。

まとめ:サイクロイドは、半径 $1$ の円がすべらず転がるとき、円周上の $1$ 点が描く曲線。高さ $y=1-\cos t$ は $t=\pi$(円が半回転)で最大 $2$(直径)になる。媒介変数の最大最小はその変数の関数として素直に考えればよい。

発展。 サイクロイドの $t=0$ と $t=2\pi$ では、$y=0$ で曲線がとがる(尖点)。ここでは速度 $\left(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt}\right)=(1-\cos t,\sin t)$ が両方 $0$ になり、点は一瞬止まる。転がる円が地面に触れる瞬間だ。

最高点 $t=\pi$ では逆に、点は最も速く動く。速さは $2\left|\sin \frac{t}{2}\right|$ で、$t=\pi$ で最大 $2$、$t=0$ で $0$。上で速く、下で止まる。この速さの変化がサイクロイドらしさを生む。

サイクロイドは、坂を転がり落ちる時間が最短になる曲線(最速降下線)、どこから離してもふもとに着く時間が同じ曲線(等時曲線)としても知られる。転がる円が描く $1$ 本の曲線に、これだけの性質が詰まっている。

別解

別解:微分して最大を探す(得意な人向けの視点)。 $y$ を $t$ の関数とみて、増減から最大を出す。

$y=1-\cos t$ を $t$ で微分すると $\frac{dy}{dt}=\sin t$。$0\le t\le 2\pi$ で $\frac{dy}{dt}=0$ となるのは $t=0,\pi ,2\pi$。この $3$ 点で $y$ の値を比べる。

$$y(0)=0,y(\pi )=2,y(2\pi )=0.$$

最大は $t=\pi$ の $y=2$。このとき $x=\pi -\sin \pi =\pi$ で、最高点は $(\pi ,2)$。$\cos t$ の最小に注目する本解と同じ答え。$\cos t=-1$ を探すのと、$\sin t=0$ の候補から選ぶのは、同じ増減を別の方法で調べているだけだ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 極方程式を直交座標に直す。使う置きかえは $r\cos \theta =x$ と $r=\sqrt{x^2+y^2}$。

まず分母を払って $r-r\cos \theta =2$ の形にする。すると $r\cos \theta =x$ が代入でき、$r=x+2$ になる。残った $r$ を $\sqrt{x^2+y^2}$ で置いて $2$ 乗すれば、$x,y$ だけの式になる。放物線が出る、と見通す。

① 分母を払う。

$$r(1-\cos \theta )=2\Rightarrow r-r\cos \theta =2$$

② $r\cos \theta =x$ を代入。 $r-x=2$ より $r=x+2$。

③ $r=\sqrt{x^2+y^2}$ を代入して $2$ 乗。

$$x^2+y^2=(x+2{)}^2=x^2+4x+4$$

$x^2$ が消えて $y^2=4x+4$、すなわち

$$y^2=4(x+1)$$

頂点 $(-1,0)$ の放物線。

まとめ:$r=\frac{k}{1-\cos \theta }$ の形は放物線(離心率 $1$)。分母を払って $r\cos \theta =x$ を入れ、残った $r$ を $\sqrt{x^2+y^2}$ で置いて $2$ 乗すれば直交座標に直せる。原点が焦点になっているのが極方程式表示の特徴だ。

発展。 得られた $y^2=4(x+1)$ は、頂点 $(-1,0)$、焦点が原点の放物線。極(原点)がちょうど焦点に一致するのが、この極形式のうまみだ。

分子の $2$ には意味がある。$\theta =\frac{\pi }{2}$ を入れると $r=\frac{2}{1-0}=2$。これは焦点から真上に伸ばした距離、つまり焦点を通り軸に垂直な弦(通径)の半分にあたる。

だから通径の全長は $2\times 2=4$ で、$y^2=4(x+1)$ の通径 $4$ と一致する。極形式の分子は放物線の「太さ」をそのまま表している。

別解

別解:いくつかの点を打って形を読む(苦手な人向けの実験ルート)。 計算に入る前に、$\theta$ をいくつか代入して点を打ってみる。

$\theta =\pi$ のとき $r=\frac{2}{1-(-1)}=1$、点は $(-1,0)$。$\theta =\frac{\pi }{2}$ のとき $r=2$、点は $(0,2)$。$\theta =\frac{3\pi }{2}$ のとき $r=2$、点は $(0,-2)$。

原点にいちばん近い点が $(-1,0)$ で、そこから上下に開いていく。これは頂点 $(-1,0)$、右に開く放物線の形だ。焦点は極すなわち原点 $(0,0)$。頂点から焦点までが $1$ だから、放物線は $y^2=4\cdot 1\cdot (x+1)$、つまり

$$y^2=4(x+1).$$

分母を払って代入する本解と同じ。点を打つと、頂点・開く向き・焦点の位置が図で分かり、答えの放物線の形が先に分かる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $x=\cos 2t$ と $y=\sin t$ を、別々に見ても $t$ は消えない。

$\cos 2t$ を $\sin t$ だけで表す関係を思い出す。$2$ 倍角 $\cos 2t=1-2{\sin }^{2}t$ がそれ。$\sin t=y$ を代入すれば $x$ が $y$ だけで書ける。三角関数の媒介変数は倍角公式でパラメータを橋渡しして消す、と見通す。

① 使える公式を選ぶ。 $x=\cos 2t$ に $y=\sin t$ を結びつけたい。$\cos 2t$ を $\sin t$ で表す $2$ 倍角 $\cos 2t=1-2{\sin }^{2}t$ が使える。

② 代入する。 $\sin t=y$ だから

$$x=1-2{\sin }^{2}t=1-2y^2$$

③ 範囲を確認する。 $y=\sin t$ より $-1\le y\le 1$。$x=1-2y^2$ は横向きの放物線(の一部)。$x$ の範囲も $-1\le x\le 1$ になる。端の点も確認しておく。$t=\pi /2$ のとき $(-1,1)$、$t=3\pi /2$ のとき $(-1,-1)$ に実際に到達するから、両端の点も曲線に含まれる。

まとめ:媒介変数が三角関数でも、$2$ 倍角や相互関係で「片方の変数だけ」に寄せられれば $t$ を消せる。$\cos 2t=1-2{\sin }^{2}t$ を使うと $x=1-2y^2$。頂点 $(1,0)$ で左に開く放物線になる($y$ の範囲つき)。

発展。 消去して得た $x=1-2y^2$ は、頂点 $(1,0)$ で左に開く放物線。ただし $y=\sin t$ は $-1\le y\le 1$ でしか動かないから、描かれるのは端点 $(-1,1)$ と $(-1,-1)$ を結ぶ弧の部分だけ。方程式だけを見て全体の放物線と早合点しないことが大切だ。

しかも、$t$ が $0$ から $2\pi$ まで動くあいだ、$y=\sin t$ は $0\to 1\to 0\to -1\to 0$ と往復する。点はこの弧の上を行ったり来たりする。

媒介変数表示は「どの範囲を、どう動くか」まで含めて曲線を表す。$t$ を消した方程式は形だけを残し、動きと範囲は落ちてしまう。だから範囲 $-1\le y\le 1$ を書き添えて、はじめて元の曲線を正しく表せる。

別解

別解:点を打って曲線を予想し、恒等式で確かめる(苦手な人向けの実験ルート)。 公式で消去する前に、$t$ にいくつか値を入れて点を並べてみる。

• $t=0$:$(x,y)=(\cos 0,\sin 0)=(1,0)$。
• $t=\frac{\pi }{6}$:$\left(\cos \frac{\pi }{3},\sin \frac{\pi }{6}\right)=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$。
• $t=\frac{\pi }{2}$:$(\cos \pi ,\sin \frac{\pi }{2})=(-1,1)$。
• $t=-\frac{\pi }{6}$:$\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)$。

$y$ が $\pm \frac{1}{2}$ で $x$ が同じ $\frac{1}{2}$、と左右対称。横倒しの放物線 $x=1-2y^2$ を疑って各点を入れると、$(1,0)$ は $1-0=1$、$\left(\frac{1}{2},\pm \frac{1}{2}\right)$ は $1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$、$(-1,1)$ は $1-2=-1$。全部ぴたりと乗る。

予想が立ったら、恒等式で仕上げる。$x-(1-2y^2)=\cos 2t-1+2{\sin }^{2}t$ は、倍角公式によりすべての $t$ で $0$。だから曲線は $x=1-2y^2$($-1\le y\le 1$)。

公式でまとめて消去する本解と同じ答えになる。先に点で形をつかむと、消去した式が正しいかの検算にもなる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 楕円上の点での接線には公式がある。

接点 $\left(\sqrt{2},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ を、公式 $\frac{x_{1}x}{a^2}+\frac{y_{1}y}{b^2}=1$ に代入するだけ。$a^2=4$、$b^2=1$ を確かめる。「$2$ 次曲線の接線は専用公式に接点を代入」。放物線や円の接線と同じ発想を、楕円で使う。

① 公式に代入する。 $a^2=4$、$b^2=1$、$(x_1,y_1)=\left(\sqrt{2},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$。

$$\frac{\sqrt{2}x}{4}+\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}y}{1}=1$$

② 整理する。 $\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{1}{2\sqrt{2}}$ だから

$$\frac{x}{2\sqrt{2}}+\frac{y}{\sqrt{2}}=1$$

両辺を $2\sqrt{2}$ 倍して $x+2y=2\sqrt{2}$。

まとめ:楕円の接線も「$x^2\to x_{1}x$、$y^2\to y_{1}y$」の置き換えでできる($\frac{x_{1}x}{a^2}+\frac{y_{1}y}{b^2}=1$)。放物線・双曲線でも同じ発想。接点の座標を入れるだけで、微分せずに接線が求まるのが強みだ。

発展。 接線公式 $\frac{x_{1}x}{a^2}+\frac{y_{1}y}{b^2}=1$ には、点が楕円の外にあるときの意味もある。

点 $(x_1,y_1)$ が楕円の外にあると、そこから楕円へ接線が $2$ 本引ける。このとき同じ式 $\frac{x_{1}x}{a^2}+\frac{y_{1}y}{b^2}=1$ が表すのは、$2$ つの接点を結ぶ直線だ。

点が楕円上に来ると、$2$ つの接点が重なって $1$ 本の接線になる。だから「接点を入れると接線、外の点を入れると接点どうしを結ぶ弦」と、$1$ つの式が両方を受けもつ。点と直線を対応させるこの見方は、極と極線と呼ばれる。

別解

別解:判別式で接線を出す(公式に頼らない汎用ルート)。 接線公式を覚えていなくても、接点を通る直線を楕円に代入し、重解条件から傾きを決められる。

接点 $\left(\sqrt{2},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ を通り傾き $m$ の直線 $y=m(x-\sqrt{2})+\frac{1}{\sqrt{2}}$ を、$x^2+4y^2=4$(楕円の両辺 $4$ 倍)に代入する。整理すると $x$ の $2$ 次方程式になり、接する条件は判別式 $0$。計算すると $(2m+1{)}^2=0$、すなわち $m=-\frac{1}{2}$。傾き $-\frac{1}{2}$ で接点を通る直線は

$$y=-\frac{1}{2}(x-\sqrt{2})+\frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{1}{2}x+\sqrt{2},$$

整理して $x+2y=2\sqrt{2}$。公式に代入する本解と同じ接線。判別式 $=0$ の条件は放物線でも双曲線でも円でも同じように使える。接線公式を思い出せないときの確実な逃げ道だ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $\mathrm{P}$ の座標を求めにいくと計算が重い。

楕円には「$2$ 焦点からの距離の和が一定」という定義がある。和は $2a$。$a^2=25$ より $a=5$ だから、$\mathrm{PF}+{\mathrm{PF}}^{\prime }=10$。

$\mathrm{PF}=7$ が分かっているので、あとは引き算。${\mathrm{PF}}^{\prime }=10-7=3$、と見通す。

① 距離の和を出す。 $a^2=25$ より $a=5$。楕円上の点では

$$\mathrm{PF}+{\mathrm{PF}}^{\prime }=2a=10$$

② 引き算する。 $\mathrm{PF}=7$ だから

$${\mathrm{PF}}^{\prime }=10-7=3$$

まとめ:楕円の「$2$ 焦点からの距離の和は一定($2a$)」を使えば、片方の距離からもう片方が即座に出る。$\mathrm{PF}=7$ なら ${\mathrm{PF}}^{\prime }=10-7=3$。座標を求める必要はなく、定義だけで解ける典型だ。

発展。 じつは楕円上の点から焦点までの距離は、$x$ 座標の $1$ 次式で書ける。$e=\frac{c}{a}$ を離心率として、$\mathrm{PF}=a-ex$、${\mathrm{PF}}^{\prime }=a+ex$。和が $2a$ になるのは、この $2$ 式を足すと $x$ が消えるからだ。

この楕円は $a=5$、$c=\sqrt{25-9}=4$ で $e=\frac{4}{5}$。焦点距離は $x$ について $a-ex$ と直線的に変わり、いちばん近い頂点で $a-c=1$、いちばん遠い頂点で $a+c=9$。

だから焦点距離は $1$ から $9$ までの値をとる。$\mathrm{PF}=7$ はこの範囲に収まる正しい値。離心率 $e$ が大きい(楕円がつぶれている)ほど、$a-c$ と $a+c$ の開きが大きくなる。

別解

別解:$\mathrm{P}$ の座標を求めて直接測る(得意な人向けの確かめ)。 定義に頼らず、$\mathrm{P}$ を実際に求めて距離を計算しても $3$ が出る。

焦点は $c=\sqrt{25-9}=4$ で、$\mathrm{F}(4,0)$、${\mathrm{F}}^{\prime }(-4,0)$。$\mathrm{P}(x,y)$ は楕円上だから $y^2=9-\frac{9x^2}{25}$。$\mathrm{PF}=7$ より

$$(x-4{)}^2+y^2=49.$$

$y^2$ を代入して整理すると $\frac{16}{25}{x}^2-8x-24=0$、すなわち $2x^2-25x-75=0$。解くと $x=15$ または $x=-\frac{5}{2}$。楕円上では $-5\le x\le 5$ だから $x=-\frac{5}{2}$。

このとき $y^2=9-\frac{9}{4}=\frac{27}{4}$。${\mathrm{F}}^{\prime }(-4,0)$ までの距離は

$${\mathrm{PF}}^{\prime 2}={\left(-\frac{5}{2}+4\right)}^2+\frac{27}{4}=\frac{9}{4}+\frac{27}{4}=9,{\mathrm{PF}}^{\prime }=3.$$

定義で引き算する本解と同じ。座標を出して直接測っても、$\mathrm{PF}+{\mathrm{PF}}^{\prime }=7+3=10=2a$ が確かに成り立つ。定義の近道がこの計算に裏づけられている。