平面上の曲線 ★ 基礎の問題 全12問

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 放物線の標準形を、思い出そう。

$$y^2=4px$$

この形なら、焦点と準線は $p$ だけで決まる。

• 焦点: $(p,0)$
• 準線: $x=-p$

与えられた式と、見比べる。

$$y^2=4x⟺y^2=4\times 1\times x$$

$4p=4$、つまり $p=1$。

$$\text{焦点}(1,0),\text{準線}x=-1$$

焦点と準線は、原点をはさんで反対側にある。

焦点が右($x=1$)なら、準線は左($x=-1$)。この対称性を図で確認しておこう。放物線は焦点のある側へ開いている。

この $2$ つ(焦点と準線)は、放物線の定義そのものに使われる。 それは別解で見よう。

① $p$ を求める。 $y^2=4x$ を $y^2=4px$ と比べて $4p=4$、$p=1$。

② 焦点と準線を書く。

$$\text{焦点}(1,0),\text{準線}x=-1$$

まとめ:放物線 $y^2=4px$ は「焦点からの距離 = 準線からの距離」の点の集まり。$4x$ の係数から $p=1$ を読む。焦点は $x$ 軸上 $(1,0)$、準線は縦線 $x=-1$。$p$ が正なら右向きに開く。

発展。 放物線・楕円・双曲線の $3$ つを、まとめて $2$ 次曲線という。

なぜ、この $3$ つがセットなのか。円錐を平面で切ってみよう。切り方によって、断面の形が変わる。

• 軸に垂直に切る → 円
• 少し傾けて切る → 楕円
• 母線に平行に切る → 放物線
• もっと急に(軸に平行に近く)切る → 双曲線

$1$ つの円錐から、$4$ 種類の曲線がすべて出てくる。だから、円錐曲線と呼ばれる。($2000$ 年前、アポロニウスが体系的に研究した。)

そして、この $3$ つは、統一的な定義でも書ける。

「$1$ 点(焦点 $\mathrm{F}$)と $1$ 直線(準線 $\ell$)からの距離の比が一定」

$$\frac{(\text{焦点までの距離})}{(\text{準線までの距離})}=e(\text{離心率})$$

この $e$ の値で、曲線の種類が決まる。

• $e=0$ → 円
• $0<e<1$ → 楕円
• $e=1$ → 放物線(距離が等しい場合で、この問題の定義にあたる)
• $e>1$ → 双曲線

放物線は楕円と双曲線の「境界」にいる。$e$ を $0$ から少しずつ大きくしていくと、円 → 楕円 → (だんだん細長く)→ 放物線 → 双曲線 と、連続的に変化していく。そして、この $e$ という数は天体の軌道を決める。

ケプラーの法則(惑星の軌道は楕円)を、ニュートンは万有引力から導いた。その計算によれば、天体の軌道は $2$ 次曲線になる。

• $e<1$(楕円): 惑星、彗星(太陽のまわりを周回する)
• $e=1$(放物線): ぎりぎり戻ってこない(速さが脱出速度ちょうど)
• $e>1$(双曲線): 恒星間天体(太陽系を通り過ぎて、二度と戻らない)

$2017$ 年、太陽系外から来た初の天体「オウムアムア」が発見された。

その軌道の離心率は $e=1.2$ で、双曲線軌道だ。太陽の重力に捕まらず、通り過ぎて去っていった。$y^2=4x$ の焦点は $(1,0)$

この、教科書どおりの計算。焦点という概念はパラボラアンテナの設計や、惑星・彗星の軌道の計算に使われている。

別解

放物線の「定義」に戻って、焦点と準線を検証する。

放物線とは何か。

「$1$ 点(焦点)と $1$ 直線(準線)から、等距離にある点の集合」

これが定義だ。

この定義が本当に成り立っているか、実際の点で確かめよう。曲線 $y^2=4x$ 上の点を、$1$ つ取る。

$$\text{点 }(1,2)(2^2=4\times 1)$$

この点から、焦点 $(1,0)$ までの距離は?

$$\sqrt{(1-1{)}^2+(2-0{)}^2}=\sqrt{0+4}=2$$

次に、準線 $x=-1$ までの距離は?準線は縦線なので、$x$ 座標の差だけを見ればよい。

$$|1-(-1)|=2$$

どちらも $2$ で、等しい

別の点でも確かめよう。

$$\text{点 }(4,4)(4^2=16=4\times 4)$$

焦点までの距離:

$$\sqrt{(4-1{)}^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$

準線までの距離:

$$|4-(-1)|=5$$

やはり等しい

($3$–$4$–$5$ の直角三角形が出てくるので、計算が楽になる。)さらに、頂点 $(0,0)$ でも。焦点まで $1$、準線まで $1$

すべての点で、「焦点までの距離 $=$ 準線までの距離」が成り立っている。放物線とはこの性質をもつ点の集まりのことだ。この定義から、方程式を導いてみよう。

点 $(x,y)$ が焦点 $(p,0)$ と準線 $x=-p$ から等距離にある。

$$\sqrt{(x-p{)}^2+y^2}=|x+p|$$

両辺を $2$ 乗する。

$$(x-p{)}^2+y^2=(x+p{)}^2$$

$$x^2-2px+p^2+y^2=x^2+2px+p^2$$

$x^2$ と $p^2$ が消える。

$$y^2=4px$$

標準形が導けた。

公式を暗記していた $y^2=4px$ は、「焦点と準線から等距離」という定義を、そのまま式にしたものである。この定義を使うと、放物線の応用も理解できる。

パラボラアンテナ。

軸に平行に入ってきた電波は、放物面で反射すると、必ず焦点に集まる。

なぜか。 放物線の反射の性質による。逆に、焦点から出た光は反射して軸に平行な平行光線になる。

これが、車のヘッドライトや懐中電灯の原理だ。焦点に電球を置けば、光がまっすぐ前に飛ぶ。

「焦点」という名前の由来が、これである。 光が焦げるほど集まる点、という意味だ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 前問は $y^2=4x$(横向き)。今度は $x^2=8y$(縦向き)だ。

$x$ と $y$ の役割が入れかわっている。

標準形。

$$x^2=4py$$

• 焦点: $(0,p)$ で、$y$ 軸上にある
• 準線: $y=-p$ で、横線になる

与式と見比べる。

$$x^2=8y⟺x^2=4\times 2\times y$$

$4p=8$、つまり $p=2$。

$$\text{焦点}(0,2),\text{準線}y=-2$$

焦点が上($y=2$)、準線が下($y=-2$)。放物線は上に開いている。「$x^2=$ の形なら縦向き、$y^2=$ の形なら横向き」

$2$ 乗されているほうの文字から、対称軸が分かる。 $x^2$ なら $y$ 軸対称(縦向き)だ。

① $p$ を求める。 $x^2=8y$ を $x^2=4py$ と比べて $4p=8$、$p=2$。

② 焦点と準線を書く。

$$\text{焦点}(0,2),\text{準線}y=-2$$

まとめ:$x^2=4py$ は上下に開く放物線(頂点原点)。焦点は $y$ 軸上 $(0,p)$、準線は横線 $y=-p$。$y^2=4px$(左右に開く)と向きが $90^{\circ }$ ちがう。$x^2$ か $y^2$ かで軸の向きが決まる。

発展。 「軸に平行な光線が、焦点に集まる」

この反射性を証明してみよう。放物線 $x^2=4py$ 上の点 $\mathrm{P}(x_0,y_0)$ を考える。この点での接線の傾きは、微分して

$$2x=4p{y}^{\prime }⟹y^{\prime }=\frac{x_0}{2p}$$

ここで、$2$ つの角度を比べる。

① 入射光(軸に平行な、真上から来る光線)と、接線のなす角

② 反射光($\mathrm{P}$ から焦点 $\mathrm{F}(0,p)$ へ向かう線)と、接線のなす角

この $2$ つが等しければ、「入射角 $=$ 反射角」となり、光は焦点へ向かうことになる。焦点への方向ベクトルは

$$\overrightarrow{\mathrm{PF}}=(0-x_0,p-y_0)$$

$y_0=\frac{x_0^2}{4p}$ を代入して整理すると、$\overrightarrow{\mathrm{PF}}$ と接線のなす角の $\tan$ が、入射光と接線のなす角の $\tan$ と等しくなる。(計算は少し煩雑だが、必ず一致する。)この性質は、放物線だけのものではない。

楕円の反射性。

「一方の焦点から出た光は、楕円で反射して、必ずもう一方の焦点に集まる。」この性質を使った建築が、ささやきの回廊だ。楕円形の部屋の、一方の焦点でささやくと、反対側の焦点にいる人には、はっきり聞こえる。

間の人には、何も聞こえない。ワシントンの国会議事堂には、実際にこの現象が起きる部屋がある。そして、この性質は医療にも使われている。

結石破砕装置(体外衝撃波結石破砕術)。楕円面の一方の焦点で衝撃波を発生させ、もう一方の焦点に、患者の腎臓結石を置く。衝撃波がすべて結石に集中し、手術せずに結石を砕く。

双曲線の反射性。

「一方の焦点へ向かう光線は、双曲線で反射して、もう一方の焦点から出たように進む。」この性質は、カセグレン式望遠鏡で使われている。主鏡(放物面)で集めた光を、副鏡(双曲面)で反射させ、望遠鏡の後ろへ導く。

ハッブル宇宙望遠鏡も、この方式を改良した形(主鏡も双曲面)を使っている。$3$ つの $2$ 次曲線がそれぞれ違う反射性をもち、それぞれ違う技術で使われている。

$x^2=8y$ の焦点 $(0,2)$

この $1$ 点に、平行に入ってきた電波や光が集まる。

幾何学の定理がそのまま技術になる。 $2000$ 年前にアポロニウスが研究した曲線が、今は望遠鏡や医療機器に使われている。

別解

縦向きの放物線は横向きを $y=x$ で折り返したもの。$2$ つの標準形を、並べてみよう。

$$y^2=4px(\text{横向き})$$ $$x^2=4py(\text{縦向き})$$

$x$ と $y$ を入れかえただけだ。そして、$x$ と $y$ を入れかえるとは直線 $y=x$ で折り返すこと。だから、焦点や準線も、そのまま入れかわる。

$$\text{横向きの焦点}(p,0)⟷\text{縦向きの焦点}(0,p)$$

$$\text{横向きの準線}x=-p⟷\text{縦向きの準線}y=-p$$

公式を $2$ つ覚える必要はない。 $1$ つ覚えて、入れかえればいい。

定義でも確かめよう。

曲線 $x^2=8y$ 上の点 $(4,2)$ を取る。

$$4^2=16=8\times 2$$

焦点 $(0,2)$ までの距離。

$$\sqrt{(4-0{)}^2+(2-2{)}^2}=4$$

準線 $y=-2$ までの距離。

$$|2-(-2)|=4$$

等しい 放物線の定義を満たしている。さて、縦向きの放物線には、身近な応用がある。

パラボラアンテナ。

衛星から来る電波は遠くから来るので、ほぼ平行に入ってくる。

この平行な電波が放物面で反射すると、すべて焦点に集まる。

なぜか。放物線の反射性という性質がある。「軸に平行な光線は、反射後、必ず焦点を通る」

だから、焦点に受信機を置けば、弱い電波を強く集められる。

逆向きにも使える。

焦点に光源を置くと、反射光は軸に平行な平行光線になる。

• 車のヘッドライト: 電球を焦点に置き、光をまっすぐ前へ
• 懐中電灯: 同じ原理
• 太陽炉: 太陽光を焦点に集めて、$3000$ 度の高温を作る

アルキメデスが放物面の鏡でローマの軍船を焼いた、という伝説もある(真偽は不明だが)。そして、この「焦点に集まる」という性質は、望遠鏡にも使われている。反射望遠鏡(ニュートン式)は放物面鏡で星の光を焦点に集める。

レンズより大きく作れるので、現代の巨大望遠鏡はすべて反射式だ。大型の反射望遠鏡の主鏡は放物面か、それに近い曲面でできている。遠くの銀河からのかすかな光を、この曲面の鏡が1点に集めている。

$x^2=8y$ の焦点は $(0,2)$

この計算は「受信機をどこに置けばよいか」を決める計算でもある。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 楕円の標準形。

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

与式と見比べる。

$$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1⟹a^2=25,b^2=16$$

$$a=5,b=4$$

$a>b$ なので、$x$ 方向に長い(横長)。

長軸は $x$ 方向で、長さ $2a=10$。 短軸は $y$ 方向で、長さ $2b=8$。

焦点は長軸の上にある。 位置は

$$c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$$

$$\text{焦点}(\pm 3,0)$$

$c=\sqrt{a^2-b^2}$ で、引き算になっている。(双曲線では足し算になる。混同しないこと。)$3$–$4$–$5$ の直角三角形が、ここにも現れている。

① $a,b$ を読む。 $a^2=25$、$b^2=16$ より $a=5$、$b=4$。

② 長軸・短軸。 長軸 $2a=10$、短軸 $2b=8$。

③ 焦点。 $c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{25-16}=3$。焦点 $(\pm 3,0)$。

まとめ:楕円は「$2$ 焦点からの距離の和が一定($=2a$)」の曲線。$a>b$($x$ 側が大)なら横長で焦点は $x$ 軸上。$c=\sqrt{a^2-b^2}$($a^2$ から $b^2$ を引く)がポイント。

発展。 楕円の面積はいくらだろうか。

円($半径r$)の面積は $\pi r^2$。

楕円は円を「横に $a$ 倍、縦に $b$ 倍」引き伸ばしたものだ。単位円 $x^2+y^2=1$ を、$x$ 方向に $a$ 倍、$y$ 方向に $b$ 倍する。

$$X=ax,Y=by$$

すると

$${\left(\frac{X}{a}\right)}^2+{\left(\frac{Y}{b}\right)}^2=1⟹\frac{X^2}{a^2}+\frac{Y^2}{b^2}=1$$

楕円の方程式になった。

面積はどうなるか。横に $a$ 倍すれば、面積は $a$ 倍。縦に $b$ 倍すれば、さらに $b$ 倍。

$$S=\pi \times 1^2\times a\times b=\pi ab$$

$$\boxed{\text{楕円の面積}=\pi ab}$$

この問題の楕円なら

$$S=\pi \times 5\times 4=20\pi$$

円の面積($\pi r^2$)で、$a=b=r$ とすれば $\pi r^2$ になり、つじつまが合う

では、楕円の周の長さは?

円周は $2\pi r$。楕円の周は $2\pi \sqrt{ab}$ とか、$\pi (a+b)$ になりそうな気がする。

ならない。

楕円の周の長さは初等関数では書けない。

$$L=4a{\int }_0^{\pi /2}\sqrt{1-e^2{\sin }^2\theta }d\theta$$

この積分は楕円積分と呼ばれ、初等関数では計算できないことが証明されている。面積は $\pi ab$ という簡単な式で書けるのに、周の長さは書けない。面積と周の長さで、扱いやすさがこれほど違う。

そして、この「計算できない積分」が、$19$ 世紀の数学を大きく前進させた。楕円積分の研究から、楕円関数という新しい関数が生まれた。その理論はやがて「楕円曲線」という代数幾何の対象へと発展する。

そして $1995$ 年に、ワイルズがフェルマーの最終定理を証明した。その証明の中心にあったのが、楕円曲線の理論だった。($3$ 世紀半、誰も解けなかった問題が、楕円曲線とモジュラー形式の対応を使って解かれた。)

さらに、楕円曲線は現代の暗号技術にも使われている。

楕円曲線暗号(ECC)。

ビットコインの署名も、スマホの通信の暗号化も、この技術で守られている。「楕円の周の長さが計算できない」という、$1$ つの不都合。その研究から新しい関数や幾何が生まれ、$350$ 年解けなかった難問の解決や、通信の暗号にもつながった。

解けない問題の研究から、新しい分野が生まれた例である。$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ という、ただの楕円。その周の長さを求める研究が、思いがけない分野につながった。

別解

楕円の定義を「糸と $2$ 本の画鋲」で確かめる。楕円はこうやって描ける。

紙に画鋲を $2$ 本刺す。 その $2$ 点に、糸の両端を結ぶ($2$ 点間の距離より長い糸)。鉛筆で糸をぴんと張りながら、$1$ 周させる。

描かれる曲線が楕円だ。

このとき、鉛筆から $2$ 本の画鋲までの距離の和は、常に糸の長さ(一定)である。

$$\boxed{\text{楕円}=\text{2 定点(焦点)からの距離の和が一定な点の集合}}$$

その「一定の和」が長軸の長さ $2a$ になる。

確かめよう。

焦点は $(\pm 3,0)$、$2a=10$。楕円上の点で、実際に距離の和を計算する。

点 $(5,0)$(右端の頂点)。

$$\text{右の焦点まで}:|5-3|=2$$ $$\text{左の焦点まで}:|5-(-3)|=8$$ $$\text{和}:2+8=10$$

点 $(0,4)$(上端の頂点)。

$$\text{右の焦点まで}:\sqrt{3^2+4^2}=5$$ $$\text{左の焦点まで}:\sqrt{3^2+4^2}=5$$ $$\text{和}:5+5=10$$

別の点でも試そう。点 $\left(4,\frac{12}{5}\right)$。

$$\frac{16}{25}+\frac{144/25}{16}=\frac{16}{25}+\frac{9}{25}=1(\text{楕円上})$$

距離の和を計算すると、やはり $10$ になる。すべての点で、和は $10$ で一定

「距離の和 $=$ $2a$($=$ 長軸の長さ)」という定義が、確認できた。ここで、点 $(0,4)$ での計算に注目してほしい。

$$\sqrt{3^2+4^2}=5$$

$c=3$、$b=4$、$a=5$ の直角三角形だ。

$$a^2=b^2+c^2⟹c^2=a^2-b^2$$

焦点の公式 $c=\sqrt{a^2-b^2}$ が、この三角形から出てくる。丸暗記していた公式が幾何的な意味をもった。短軸の端点($0,b$)から $2$ つの焦点までの距離は、どちらも $a$。

「$b$、$c$、$a$ が直角三角形をなす」この図を頭に描いておけば、焦点の公式で迷うことはない。この定義を使うと、楕円の応用も理解できる。

惑星の軌道は楕円で、太陽は $1$ つの焦点にある(ケプラーの第 $1$ 法則)。

地球から太陽までの距離は一定ではない。 近日点と遠日点がある。だが、「$2$ つの焦点までの距離の和」は、常に一定である。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 前問と、$25$ と $9$ の位置が入れかわっている。

$$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1$$

分母を見比べる。

$$x\text{ の分母}:9,y\text{ の分母}:25$$

$y$ の分母のほうが大きい。

これは、$y$ 方向に長い。つまり縦長の楕円だ。

そして、大事な原則がある。

$$\boxed{\text{焦点は、長いほうの軸(長軸)の上にある}}$$

縦長なら、焦点は $y$ 軸上。$a$ を長いほう($a=5$)、$b$ を短いほう($b=3$)とすると

$$c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$$

焦点は $y$ 軸上の $(0,\pm 4)$。

「分母の大きいほうの軸に、焦点がある」この判定を最初にやることで、焦点を $x$ 軸に置いてしまうミスが防げる。

① 長軸の向きを見る。 $y^2$ の分母 $25$ が $x^2$ の分母 $9$ より大きい。よって縦長で、焦点は $y$ 軸上。

② 焦点を求める。 $c=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$。

$$\text{焦点}(0,\pm 4)$$

まとめ:楕円の焦点は「長軸(分母が大きい軸)の上」にある。ここは $y$ の分母が大きいので $y$ 軸上 $(0,\pm 4)$。$c=\sqrt{(\text{大きい分母})-(\text{小さい分母})}$。どちらが長軸かを最初に見極めるのが大事だ。

発展。 楕円が「どれくらい細長いか」を測る数がある。

離心率 $e$。

$$e=\frac{c}{a}(0\leqq e<1)$$

この問題の楕円なら

$$e=\frac{4}{5}=0.8$$

かなり細長い楕円だ。

$e$ の意味を、極端な場合で考えよう。

$e=0$ のとき。

$c=0$、つまり $2$ つの焦点が重なる。

$$c^2=a^2-b^2=0⟹a=b$$

円だ。 円は離心率 $0$ の楕円である。

$e\to 1$ のとき。

$c\to a$、つまり焦点が長軸の端に近づく。

$$b^2=a^2-c^2\to 0$$

楕円はぺしゃんこの線分に近づく。「$e$ が $0$ に近いほど丸く、$1$ に近いほど細長い」天文学では、軌道の形をこの $e$ で表す。

惑星の軌道の離心率。

• 金星: $e=0.007$ で、ほぼ完全な円
• 地球: $e=0.017$ で、ほぼ円(だから、季節は距離のせいではない)
• 火星: $e=0.093$ で、やや楕円
• 水星: $e=0.206$ で、かなり楕円
• 冥王星: $e=0.249$ で、楕円(海王星の軌道と交差する)

「地球の軌道はほぼ円」 という事実は重要だ。

「夏は太陽に近いから暑い」というのは、誤りである。

実際、地球が太陽にいちばん近づくのは $1$ 月(北半球の冬)。

季節は地軸の傾き($23.4^{\circ }$)で決まる。 距離ではない。では、彗星は?

ハレー彗星の離心率は $e=0.967$ で、極端に細長い楕円だ。太陽の近くを高速で通過し、遠く海王星の外側まで飛んでいく。

周期は $76$ 年。

そして、$e=1$ を超えると、楕円ではなくなる。

放物線($e=1$)、双曲線($e>1$) はもう戻ってこない軌道だ。離心率 $1$ が「太陽に永遠に縛られるか、自由になるか」の境界線である。この境界を超える速さを、脱出速度という。

地球からの脱出速度は秒速 $11.2$ km。この速度を超えれば、ロケットは地球の重力を振り切って、二度と戻らない。$e=\frac{4}{5}$ という、$1$ つの数。

離心率は楕円の「細長さ」を表し、天体の軌道の形を決める。

別解

「なぜ、焦点は長軸の上にあるのか」を、定義から考える。楕円の定義は「$2$ 焦点からの距離の和が一定」だった。その和は $2a$(長軸の長さ)。

ここで、短軸の端点を考えてみよう。縦長の楕円なら、短軸の端点は $(\pm 3,0)$。もし焦点が $x$ 軸上(短軸上)にあったとしたら?

距離の和は短軸の長さ($2b=6$)にしかならない。だが、実際の和は $2a=10$ でなければいけない。

矛盾する。

だから、焦点は長軸の上にあるしかない。

もう $1$ つの見方。

焦点どうしの距離($2c$)は長軸の長さ($2a$)より短くなければならない。($2$ 定点からの距離の和が $2a$ で、$2$ 点間の距離が $2c$。三角不等式より $2a>2c$。)幾何的に、焦点は長軸上でなければならないのだ。

実際に、定義を確かめよう。焦点 $(0,\pm 4)$、和は $2a=10$ のはず。

楕円上の点 $(3,0)$(短軸の端)で計算する。

$$\text{上の焦点 }(0,4)\text{ まで}:\sqrt{3^2+4^2}=5$$ $$\text{下の焦点 }(0,-4)\text{ まで}:\sqrt{3^2+4^2}=5$$ $$\text{和}:5+5=10$$

点 $(0,5)$(長軸の端)でも。

$$|5-4|=1,|5-(-4)|=9$$ $$\text{和}:1+9=10$$

すべて $10$ で一定

そして、点 $(3,0)$ での計算に、また直角三角形が現れた。

$$3^2+4^2=5^2$$

$b=3$、$c=4$、$a=5$。

$$a^2=b^2+c^2$$

「短軸の端から焦点までの距離は、$a$(長半径)に等しい」この事実から、$c=\sqrt{a^2-b^2}$ という公式が出てくる。横長でも縦長でも、この直角三角形は変わらない。

変わるのは、「どの軸が長いか」だけ。$a$、$b$、$c$ の関係を、$1$ つの直角三角形として覚えておけば、横長・縦長で混乱することはない。そして、$a$ は必ず「長いほう」だと決めておく。

この約束を守れば、公式は $1$ つで済む。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 双曲線の標準形。

$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$

楕円との違いはマイナスだ。

$$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1⟹a=3,b=4$$

焦点の公式は、楕円と符号が逆になる。

$$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$

足し算だ。(楕円は引き算だった。)

$$\text{焦点}(\pm 5,0)$$

そして、双曲線には楕円にないものがある。それは漸近線だ。

$$y=\pm \frac{b}{a}x=\pm \frac{4}{3}x$$

遠くへ行くと、双曲線はこの $2$ 直線に限りなく近づく。「楕円は引き算、双曲線は足し算」

この違いを、確実に。 ここが最大の混同ポイントである。

① $a,b$ を読む。 $a^2=9$、$b^2=16$ より $a=3$、$b=4$。

② 焦点。 $c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{9+16}=5$(双曲線は足す)。焦点 $(\pm 5,0)$。

③ 漸近線。

$$y=\pm \frac{b}{a}x=\pm \frac{4}{3}x$$

まとめ:双曲線 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ は左右に開く $2$ 本の枝。焦点は $c=\sqrt{a^2+b^2}$(楕円は引く、双曲線は足すの違いに注意)。漸近線 $y=\pm \frac{b}{a}x$ に近づいていく。

発展。 双曲線の定義は楕円と「$1$ 文字違い」だ。

楕円: $2$ 焦点からの距離の和が一定

双曲線: $2$ 焦点からの距離の差(の絶対値)が一定

「和」が「差」になっただけ。その一定値は $2a$ である。

確かめよう。 焦点 $(\pm 5,0)$、$2a=6$。

双曲線上の点 $(3,0)$(右の頂点)。

$$\text{右の焦点まで}:|3-5|=2$$ $$\text{左の焦点まで}:|3-(-5)|=8$$ $$\text{差}:|2-8|=6$$

点 $\left(5,\frac{16}{3}\right)$ でも。

$$\frac{25}{9}-\frac{256/9}{16}=\frac{25}{9}-\frac{16}{9}=1(\text{双曲線上})$$

距離の差を計算すると、やはり $6$ になる

「和が一定 → 閉じた曲線(楕円)」 「差が一定 → 開いた曲線(双曲線)」

この対比が $2$ つの曲線の性格を決めている。そして、この「距離の差」という定義が、実用技術になっている。

双曲線航法(ロラン)。

$2$ つの送信局から、同時に電波を出す。

船が受信すると、$2$ つの電波には到達時間の差がある。(距離が違うから。)

時間差 $\times$ 光速 $=$ 距離の差。

「$2$ 局からの距離の差が一定」 の点の集まりは、双曲線だ。船はその双曲線のどこかにいる。もう $1$ 組の送信局を使えば、別の双曲線が得られる。

$2$ つの双曲線の交点が船の現在位置である。GPS が普及する前、この方式が船舶や航空機の航法に使われていた。($1940$ 年代に開発され、$2010$ 年頃まで現役だった。)

そして、GPS も、原理は同じだ。GPS は「距離」を測るが、時計の誤差を消すために「距離の差」を使う方式(相対測位)もある。双曲線の幾何から、位置が分かる。

さらに、双曲線は「反比例」としても現れる。

$$y=\frac{1}{x}⟺xy=1$$

これは、双曲線を $45^{\circ }$ 回転させたものだ。漸近線は $x$ 軸と $y$ 軸。中学で習った反比例のグラフが、実は双曲線だった。

そして、ボイルの法則($PV=$ 一定)も双曲線を描く。気体の圧力と体積の関係も、双曲線になる。$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ という、教科書の双曲線。

その定義(距離の差が一定)が、船の位置を教え、その形(反比例)が、気体の振る舞いを記述している。

別解

漸近線が「なぜ $y=\pm \frac{b}{a}x$ なのか」を、極限で確かめる。双曲線の式を $y$ について解く。

$$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1⟹y^2=16\left(\frac{x^2}{9}-1\right)$$

$$y=\pm \frac{4}{3}\sqrt{x^2-9}$$

この式を、$x$ が大きいときに近似する。

$$\sqrt{x^2-9}\approx \sqrt{x^2}=x(x\text{ が大きいとき})$$

なぜなら、$x=1000$ なら $x^2=1000000$ に対し、$9$ は誤差にもならないからだ。

$$y\approx \pm \frac{4}{3}x$$

漸近線が出てきた

数値で確かめよう。

$$x=10:y=\frac{4}{3}\sqrt{91}=12.72\text{漸近線}:\frac{4}{3}\times 10=13.33$$

差は $0.61$。まだ離れている。

$$x=100:y=\frac{4}{3}\sqrt{9991}=133.27\text{漸近線}:133.33$$

差は $0.06$。ぐっと近づいた。

$$x=1000:\text{差は }0.006$$

どんどん漸近線に近づいていく

だが、決して交わらない。

$$\sqrt{x^2-9}<x(\text{常に})$$

双曲線は常に漸近線の「内側」にいる。

「近づくが、届かない」 というのが、漸近線の定義だ。漸近線を求める、もっと簡単な方法がある。方程式の右辺を $0$ とおく。

$$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=0$$

因数分解する。

$$\left(\frac{x}{3}-\frac{y}{4}\right)\left(\frac{x}{3}+\frac{y}{4}\right)=0$$

$$y=\frac{4}{3}x\text{または}y=-\frac{4}{3}x$$

これで漸近線がすぐに出た。なぜ、$=0$ とおくと漸近線になるのか。$x$、$y$ が非常に大きいとき、右辺の $1$ は「誤差」でしかない。

$$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\approx 0(x,y\text{ が巨大なとき})$$

数が非常に大きいときは、$1$ は $0$ と変わらない。この「割り切り」が漸近線を生む。

この方法は暗算でできる。 双曲線を見たら、$=0$ とおいて因数分解する。それだけで、漸近線が求まる。

楕円で同じことをすると?

$$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=0$$

これを満たすのは、原点 $(0,0)$ だけ。 直線にはならない。「楕円に漸近線がない」理由が、これだ。

プラスの和が $0$ になるには、両方 $0$ しかない。マイナスがあるからこそ、因数分解でき、漸近線が生まれる。符号 $1$ つの違いで、曲線の遠くでの形がまるごと変わる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 漸近線の公式。

$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1⟹\text{漸近線}y=\pm \frac{b}{a}x$$

与式から、$a$ と $b$ を読む。

$$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1⟹a=4,b=3$$

($\sqrt{16}=4$、$\sqrt{9}=3$。分母の平方根であることに注意。)

$$y=\pm \frac{3}{4}x$$

傾きは $\pm \frac{3}{4}$。

$\frac{b}{a}$ であって、$\frac{a}{b}$ ではない。この分数の「向き」がいちばん間違えやすい。覚え方: 「$y$ の分母の  ​ ÷ $x$ の分母の  ​」

分子には $y$ 側($b=3$)、分母には $x$ 側($a=4$)が来る。

丸暗記が不安なら、別解の「$=0$ とおく」方法を使えばよい。 そちらなら、迷いようがない。

$a^2=16$、$b^2=9$ より $a=4$、$b=3$。

$$y=\pm \frac{b}{a}x=\pm \frac{3}{4}x$$

まとめ:双曲線の漸近線は $y=\pm \frac{b}{a}x$($x^2$ の分母のルートが分母、$y^2$ の分母のルートが分子)。曲線は遠くでこの $2$ 直線に限りなく近づく。$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0$ とおくと漸近線の式が出る、と覚えてもよい。

発展。 双曲線は $3$ 次元では双曲面になる。

そして、この形は意外な場所で使われている。

原子力発電所の冷却塔。

あの、くびれた独特の形。 あれは一葉双曲面という曲面だ。

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$$

双曲線を $z$ 軸のまわりに回転させた形である。なぜ、この形なのか。理由 $1$: 上昇気流を効率よく作れる。

下が広く、真ん中がくびれ、上が広がる。 この形が空気の流れを加速し、自然対流を生む。煙突効果を大きくする形である。

理由 $2$: 直線で作れる。

これが、双曲面の特徴的な性質だ。

双曲面は曲面なのに、まっすぐな直線だけで作れる。

線織面という。

確かめてみよう。 双曲面の方程式を変形する。

$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1-\frac{y^2}{a^2}$$

$$\left(\frac{x}{a}+\frac{z}{c}\right)\left(\frac{x}{a}-\frac{z}{c}\right)=\left(1+\frac{y}{a}\right)\left(1-\frac{y}{a}\right)$$

この式はこんな $2$ 本の直線の族で満たされる。

$$\{\begin{array}{l}\frac{x}{a}+\frac{z}{c}=t\left(1+\frac{y}{a}\right)\\ t\left(\frac{x}{a}-\frac{z}{c}\right)=1-\frac{y}{a}\end{array}$$

$t$ を動かすと、直線が動いて、双曲面全体を覆う。曲がった面が、まっすぐな棒の集まりでできている。この性質は建築で使われている。

まっすぐな鉄骨だけで、優雅な曲面が作れる。曲げた鉄骨より、はるかに安く、強い。

冷却塔、電波塔、東京の一部の建築物は、すべて、この原理で建っている。

ロシアの技術者シューホフが $1896$ 年に初めてこの構造を実用化した。そして、双曲面のもう $1$ つの応用。

歯車。

軸が交わらず、平行でもない $2$ 本の回転軸を、なめらかに噛み合わせたい。その解が双曲面歯車(ハイポイドギア)だ。車のデファレンシャルギア(左右の車輪の回転差を吸収する装置)に使われている。

自動車の歯車にも、双曲面が使われている。$y=\pm \frac{3}{4}x$ という、$2$ 本の漸近線。その双曲線を回転させた曲面は、発電所の冷却塔や電波塔、自動車の歯車に使われている。

「曲がった面が、まっすぐな線でできる」という意外な事実も、$2$ 次曲線の性質の1つである。

別解

公式を忘れても、「右辺を $0$ とおいて、因数分解する」方法で求められる。漸近線の求め方で、いちばん確実な方法だ。双曲線の式で、右辺の $1$ を $0$ に変える。

$$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=0$$

この式を因数分解する。

$A^2-B^2=(A+B)(A-B)$ の形だ。

$${\left(\frac{x}{4}\right)}^2-{\left(\frac{y}{3}\right)}^2=0$$

$$\left(\frac{x}{4}+\frac{y}{3}\right)\left(\frac{x}{4}-\frac{y}{3}\right)=0$$

それぞれを $0$ とおく。

$$\frac{x}{4}+\frac{y}{3}=0⟹y=-\frac{3}{4}x$$

$$\frac{x}{4}-\frac{y}{3}=0⟹y=\frac{3}{4}x$$

$$y=\pm \frac{3}{4}x$$

本解と同じ 公式を $1$ 度も使っていない。なぜ、この方法でよいのか。$x$、$y$ が非常に大きい場合を考えてほしい。

$$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$$

$x=10000$ なら、左辺の各項は $600$ 万を超える。そのとき、右辺の $1$ はあってもなくても同じだ。

$$\text{(巨大な数)}-\text{(巨大な数)}=1\approx 0$$

「無限遠では、$1$ は $0$ と区別がつかない」この割り切りが、漸近線を生む。そして、この方法の利点。

① 公式を覚えなくていい。

$\frac{b}{a}$ か $\frac{a}{b}$ かで迷わない。 因数分解すれば、自動的に正しい傾きが出る。

② 一般の双曲線でも使える。

$$\frac{(x-1{)}^2}{16}-\frac{(y-2{)}^2}{9}=1$$

平行移動した双曲線の漸近線は?

$=0$ とおいて因数分解する。

$$\frac{x-1}{4}=\pm \frac{y-2}{3}$$

$$y-2=\pm \frac{3}{4}(x-1)$$

中心 $(1,2)$ を通る、傾き $\pm \frac{3}{4}$ の直線

公式を覚えていたら、平行移動のぶんを足すのを忘れがちだ。この方法なら、自動的に処理される。

③ $y$ 軸方向の双曲線でも使える。

$$\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{16}=1(\text{上下に開く双曲線})$$

$=0$ とおくと、同じ因数分解になる。

$$y=\pm \frac{3}{4}x$$

漸近線は横向きの双曲線とまったく同じだ。

($2$ つの双曲線は、同じ漸近線を共有する。共役双曲線という。)この事実も、$=0$ の方法ならすぐに分かる。

「公式を覚える」より、「原理を使う」ほうが、応用が利く。そして、間違えない。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 媒介変数 $t$ で書かれた曲線。「$t$ を消す」のが基本方針だ。

$$x=2\cos t,y=2\sin t$$

$t$ が消えれば、$x$ と $y$ だけの関係式(曲線の方程式)が得られる。

どうやって消すか。

三角関数の最重要公式を使う。

$${\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t=1$$

この形を作りたい。

$x$ と $y$ の式を、$\cos t$ と $\sin t$ について解く。

$$\cos t=\frac{x}{2},\sin t=\frac{y}{2}$$

$2$ 乗して足す。

$${\left(\frac{x}{2}\right)}^2+{\left(\frac{y}{2}\right)}^2={\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t=1$$

$$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{4}=1⟹x^2+y^2=4$$

原点中心、半径 $2$ の円だ。

「${\sin }^2+{\cos }^2=1$ で $t$ を消す」 という手順で、三角関数の媒介変数表示は片づく。

① $x^2+y^2$ を計算する。

$$x^2+y^2=(2\cos t{)}^2+(2\sin t{)}^2=4{\cos }^{2}t+4{\sin }^{2}t=4({\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t)=4$$

② 図形を読む。 $x^2+y^2=4$ は原点中心・半径 $2$ の円。

まとめ:$(2\cos t,2\sin t)$ は半径 $2$ の円。媒介変数から図形を知るには「$t$ を消す」。${\cos }^2+{\sin }^2=1$ を使うのが基本だ。$t$ は円周上の点の角度(回転角)を表している。

発展。 媒介変数表示が役に立つのは、「方程式で書けない曲線」を描けるからだ。

サイクロイド。

円を、直線の上で滑らずに転がす。 円周上の $1$ 点が描く軌跡。

$$x=a(t-\sin t),y=a(1-\cos t)$$

この曲線を $x$ と $y$ の方程式で書けるだろうか。

書けない。 $t$ を消去できないのだ($t-\sin t$ から $t$ を取り出せない)。媒介変数でしか書けない曲線がある。

そして、このサイクロイドには、次の性質がある。

最速降下曲線。

「$2$ 点 $\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$ を結ぶ坂を作る。ボールが最も速く $\mathrm{A}$ から $\mathrm{B}$ へ転がり落ちる形は?」

直線ではない。

答えはサイクロイド(を逆さにした形)だ。

$1696$ 年、ヨハン・ベルヌーイがこの問題を出題した。ニュートン、ライプニッツ、ロピタルら、当時の一流数学者が挑み、全員が正解にたどり着いた。(ニュートンは、$1$ 晩で解いたという。)

なぜ、曲がった道のほうが速いのか。

最初に急降下することで、速度を稼ぐ。 その分、後半で距離を取り戻せる。「急がば回れ」を、数学が証明した形だ。

さらに、サイクロイドには等時性という性質もある。

「サイクロイドの坂では、どの高さから落としても、底に着くまでの時間が同じ。」ホイヘンスは、この性質を使って、正確な振り子時計を作ろうとした($1673$ 年)。普通の振り子は、振れ幅が大きいと周期がずれる。

だがサイクロイド振り子なら、振れ幅によらず周期が一定になる。媒介変数表示を使うと、こうした複雑な曲線も式で扱える。他にもたくさんある。

• カージオイド(心臓形): $r=a(1+\cos \theta )$(マイクの指向性パターン)
• アステロイド(星芒形): $x=a{\cos }^{3}t$、$y=a{\sin }^{3}t$
• リサージュ曲線: $x=\sin (at)$、$y=\sin (bt+\delta )$(オシロスコープの画面)

そして、$3$ 次元では、螺旋(らせん)。

$$x=\cos t,y=\sin t,z=t$$

円運動しながら、まっすぐ上昇する。DNA の二重らせんもこの形だ。「$x=2\cos t$、$y=2\sin t$」という、いちばん簡単な媒介変数表示。

この表し方を広げると、運動や時間を含む曲線や、方程式では書けない曲線も扱える。

別解

媒介変数を「時間」と読んで、点の動きを追いかける。方程式に直すだけでは、「消えてしまう情報」がある。それは、「点がどう動くか」だ。

$t$ を時刻だと思って、点の位置を追ってみよう。

$$t=0:(2\cos 0,2\sin 0)=(2,0)$$

右端からスタート。

$$t=\frac{\pi }{2}:(0,2)$$

上へ。

$$t=\pi :(-2,0)$$

左へ。

$$t=\frac{3\pi }{2}:(0,-2)$$

下へ。

$$t=2\pi :(2,0)$$

右端に戻った。$1$ 周した。

点は半径 $2$ の円周上を、反時計回りに動いている。

そして、$t$ が $2\pi$ 進むごとに、$1$ 周する。これは、等速円運動だ。「方程式 $x^2+y^2=4$」では分からないこと。

• どちら回りか(反時計回り)
• どこから始まるか($t=0$ で $(2,0)$)
• どれくらいの速さか(周期 $2\pi$)

媒介変数表示はこの「運動の情報」を保持している。方程式から分かるのは、点の軌跡(通った跡)だけだ。「軌跡」と「運動」は、違う。

同じ円を描くのでも、こんな媒介変数表示もある。

$$x=2\cos (-t),y=2\sin (-t)(\text{時計回り})$$

$$x=2\cos 2t,y=2\sin 2t(\text{2 倍の速さ})$$

すべて、方程式は $x^2+y^2=4$ で同じ。だが、動きはまったく違う。この違いが、物理では大事になる。

速度を計算してみよう。

$$\frac{dx}{dt}=-2\sin t,\frac{dy}{dt}=2\cos t$$

速さ(速度の大きさ)は

$$\sqrt{(-2\sin t{)}^2+(2\cos t{)}^2}=\sqrt{4({\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t)}=2$$

常に $2$ で一定だ。 等速である。そして、位置ベクトル $(x,y)$ と速度ベクトル $\left(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt}\right)$ の内積は

$$2\cos t\times (-2\sin t)+2\sin t\times 2\cos t=0$$

内積が $0$ なので、垂直だ。

「速度は、常に半径に垂直」円運動の基本性質が、計算から出てきた。さらに、加速度は

$$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-2\cos t,\frac{d^{2}y}{d{t}^2}=-2\sin t$$

$$\vec{a}=-(x,y)$$

「加速度は、常に中心を向いている」

これが向心加速度だ。

円運動を続けるには、常に中心向きの力(向心力)が必要である。物理で習うこの事実が媒介変数表示を微分するだけで導ける。媒介変数は単なる計算の道具ではない。

「時間とともに動く点」を表す方法である。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 前問と同じ手順だ。${\sin }^2+{\cos }^2=1$ で、$t$ を消す。

まず、$\cos t$ と $\sin t$ について解く。

$$x=3\cos t⟹\cos t=\frac{x}{3}$$

$$y=2\sin t⟹\sin t=\frac{y}{2}$$

係数が違う($3$ と $2$)ことに注意。

$2$ 乗して足す。

$${\left(\frac{x}{3}\right)}^2+{\left(\frac{y}{2}\right)}^2={\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t=1$$

$$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$$

楕円の標準形だ。

$a=3$(横方向)、$b=2$(縦方向)の、横長の楕円。円のときは、$x$ と $y$ の係数が同じ($2$ と $2$)だった。係数が違うと、円がつぶれて楕円になる。

「$(\cos t,\sin t)$ の係数が、そのまま楕円の $a$、$b$ になる」

この対応を掴んでおこう。

① $\cos t$、$\sin t$ を $x,y$ で表す。 $\cos t=\frac{x}{3}$、$\sin t=\frac{y}{2}$。

② 相互関係に代入する。

$${\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t=(\frac{x}{3}{)}^2+(\frac{y}{2}{)}^2=\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$$

まとめ:$(3\cos t,2\sin t)$ は楕円 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$。$\cos t,\sin t$ を $x,y$ で表してから ${\cos }^2+{\sin }^2=1$ に代入するのが手順。$x,y$ の係数が $a,b$(半軸の長さ)になる。

発展。 「円を引き伸ばすと楕円になる」

この変換を $1$ 次変換(線形変換)という。

行列で書ける。

$$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}X\\ Y\end{array}\right)$$

この行列は「横に $3$ 倍、縦に $2$ 倍」を意味する。そして、行列式は

$$\det \left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 2\end{array}\right)=3\times 2-0=6$$

この $6$ が「面積が $6$ 倍になる」ことを表している。

$$\boxed{\text{行列式}=\text{面積の拡大率}}$$

これは、空間ベクトルで学んだ「行列式 $=$ 平行四辺形の面積」と、同じ原理だ。

単位正方形($1\times 1$)が変換後に $3\times 2$ の長方形になる。 面積は $6$ 倍。そして、どんな図形でも、面積は $6$ 倍される。

円($\pi$)→ 楕円($6\pi$)

この「行列式 $=$ 面積の拡大率」という事実は、積分の変数変換で使われる。

$$\iint f(x,y)dxdy=\iint f\left|\det J\right|dudv$$

($J$ はヤコビ行列。多変数の置換積分で、この行列式が「補正係数」になる。)極座標変換なら

$$dxdy=rdrd\theta$$

この $r$ が行列式から出てくる。さて、$1$ 次変換で「保たれるもの」と「保たれないもの」を、もう一度整理しよう。

保たれる(不変量)。

• 面積の比
• 中点、内分比
• 平行性
• 直線は直線のまま

保たれない。

• 長さ、角度
• 円が楕円になる

「直線が直線のまま」という性質が大事だ。だから、$1$ 次変換は「線形」変換と呼ばれる。そして、この性質がコンピュータグラフィックスの基礎になっている。

$3$ D モデルは三角形(ポリゴン)の集まりだ。回転、拡大、平行移動は、すべて $1$ 次変換(と平行移動)で表せる。

三角形の $3$ 頂点だけを変換すれば、辺は自動的に正しい位置に来る。(直線が直線に写るから)もし変換が線形でなければ、辺が曲がってしまい、計算がとても複雑になる。

「線形性」という制約が、$3$ D グラフィックスを実用的な速度で計算可能にしている。$x=3\cos t$、$y=2\sin t$

円を引き伸ばして楕円にする、という素朴な操作。その先に、行列式と面積の関係があり、線形代数があり、$3$ D の画像を描く技術がある。

別解

楕円は「円を引き伸ばしたもの」である。単位円の媒介変数表示を、思い出そう。

$$X=\cos t,Y=\sin t$$

この円を $x$ 方向に $3$ 倍、$y$ 方向に $2$ 倍に引き伸ばす。

$$x=3X=3\cos t,y=2Y=2\sin t$$

これは、この問題の式そのものだ。

つまり、この楕円は「単位円を、横に $3$ 倍、縦に $2$ 倍したもの」である。

この見方の御利益。

① 楕円の面積がすぐに出る。

単位円の面積は $\pi$。

横に $3$ 倍すれば面積は $3$ 倍、縦に $2$ 倍すればさらに $2$ 倍。

$$S=\pi \times 3\times 2=6\pi$$

公式 $\pi ab$ の意味がこれで分かる。

② 楕円の性質を、円の性質から導ける。

円で成り立つ性質を、引き伸ばしても保たれるものと、保たれないものに分ける。保たれるもの($1$ 次変換で不変)。

• 中点は中点のまま
• 面積の「比」は変わらない
• 平行な線は平行のまま
• 接するものは接したまま

保たれないもの。

• 長さ(方向によって伸び方が違う)
• 角度(直角が直角でなくなる)
• 円は円でなくなる(楕円になる)

「面積比が保たれる」という性質は、役に立つ。例: 楕円に内接する最大の長方形の面積は?

円で考える。 単位円に内接する最大の長方形は、正方形。面積は $2$。

引き伸ばすと、面積は $3\times 2=6$ 倍。

$$2\times 6=12$$

楕円に内接する最大の長方形の面積は $12$。楕円で直接考えると面倒な問題が、円に戻せばすぐに解ける。この「$1$ 次変換で円に戻す」という手法は、入試の難問でも使われる。

③ 媒介変数の $t$ は角度ではない。

ここが重要な注意点だ。

円では、$t$ は点の偏角(中心から見た角度)だった。

楕円では?

点 $(3\cos t,2\sin t)$ の偏角は

$$\tan \theta =\frac{2\sin t}{3\cos t}=\frac{2}{3}\tan t$$

$\theta \ne t$ である。

$t=45^{\circ }$ のとき、点の偏角は $\arctan \left(\frac{2}{3}\right)\approx 33.7^{\circ }$。$t$ は「離心角」と呼ばれ、円に戻したときの角度を表す。楕円上の点の「本当の角度」ではない。

この違いを混同すると、極方程式などで間違える。「媒介変数は、ただのパラメータ。幾何的な意味は、$1$ つ $1$ つ確認する。」