平面ベクトル ★★ 標準の問題 全12問

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) なす角は、内積の定義式を $\cos \theta$ について解いた

$$\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$$

で求める。部品は $3$ つで、内積(成分の積の和)と、$2$ つの大きさ(三平方)だ。計算すると $\cos \theta =\frac{2\sqrt{3}}{2\cdot 2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$、よって $\theta =30^{\circ }$。$\cos$ の値から角を読む最後の一歩は、有名角の表(単位円)を使う。

① 内積と大きさを求める。

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=1\cdot \sqrt{3}+\sqrt{3}\cdot 1=2\sqrt{3}$$

$$|\vec{a}|=\sqrt{1+3}=2,|\vec{b}|=\sqrt{3+1}=2$$

② $\cos \theta$ を計算する。

$$\cos \theta =\frac{2\sqrt{3}}{2\times 2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

③ 角を求める。 $\cos \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}$ より $\theta =30^{\circ }$。

まとめ:なす角は「内積 ÷(大きさの積)= $\cos \theta$」。$\frac{\sqrt{3}}{2}$ は $30^{\circ }$。成分の内積 $2\sqrt{3}$ と大きさ $2,2$ を正確に。

発展。 偏角の目で内積の公式を見直すと、$\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos (\alpha -\beta )$($\alpha ,\beta$ は各偏角)となる。つまり内積は加法定理 $\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$ を別の形で表したものだ。成分の内積 $a_1{b}_1+a_2{b}_2$ が、この右辺に対応している。ベクトルと三角関数が同じ事実を共有している好例である。

なお $\cos \theta$ が有名角の値にならない場合は、$\theta$ は「$\cos \theta =\frac{3}{5}$ を満たす角」のように値のまま答える。角そのものより $\cos$ の値を使う場面も多い。

別解

この $2$ 本は有名な向きのベクトルなので、それぞれの向き(偏角)を先に読むと、公式なしで角が出る。$\vec{a}=(1,\sqrt{3})$ は、横 $1$ に対して縦 $\sqrt{3}$ である。これは $x$ 軸から $60^{\circ }$ の向きだ($\tan 60^{\circ }=\sqrt{3}$、$30^{\circ }$–$60^{\circ }$–$90^{\circ }$ の三角形の形)。$\vec{b}=(\sqrt{3},1)$ は横 $\sqrt{3}$ に縦 $1$ で、$x$ 軸から $30^{\circ }$ の向きだ。

なす角は向きの差

$$\theta =60^{\circ }-30^{\circ }=30^{\circ }$$

内積の計算と一致する。

$2$ 本のベクトルが $y=x$ について鏡写し(成分の入れ替え)であることに気づけば、「$45^{\circ }$ の線をはさんで対称に $15^{\circ }$ ずつ」という配置まで見える。成分が有名角の形($1$ と $\sqrt{3}$、$1$ と $1$ など)のときは、偏角読みが最速で、内積公式の検算にもなる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 「$\vec{c}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の合成で表せ」とあるので、未知の係数 $s,t$ を置いて、成分を比較する。

$$s(2,1)+t(1,3)=(4,5)⟺\{\begin{array}{l}2s+t=4\\ s+3t=5\end{array}$$

$x$ 成分と $y$ 成分で式が $2$ 本、未知数も $2$ つなので、連立方程式を解くと $s=\frac{7}{5}$、$t=\frac{6}{5}$ となる。$\vec{a}$ と $\vec{b}$ が平行でない(一次独立)から、この分解は必ずただ $1$ 通りに決まる。

① 成分で書く。

$$s\vec{a}+t\vec{b}=s(2,1)+t(1,3)=(2s+t,s+3t)$$

② $\vec{c}=(4,5)$ と成分を比べる。

$$\{\begin{array}{l}2s+t=4\\ s+3t=5\end{array}$$

③ 連立方程式を解く。 上の式から $t=4-2s$。下に代入:$s+3(4-2s)=5$、$s+12-6s=5$、$-5s=-7$、$s=\frac{7}{5}$。$t=4-\frac{14}{5}=\frac{6}{5}$。

$$\vec{c}=\frac{7}{5}\vec{a}+\frac{6}{5}\vec{b}$$

まとめ:$1$ 次結合 $s\vec{a}+t\vec{b}$ で表すのは「成分を比べて連立方程式」。$x$ 成分・$y$ 成分の $2$ 式から $s,t$ を求める。$\vec{a},\vec{b}$ が平行でなければ必ず解ける。

発展。 平行でない $2$ 本があれば、平面のどんなベクトルもただ $1$ 通りに分解できる。この事実は座標の考え方そのものだ。ふだんの $(x,y)$ 座標は $\vec{a}=(1,0)$、$\vec{b}=(0,1)$ を選んだ特別な場合で、今回の問題は「基底を取り替えた座標」を計算している(斜交座標)。

分解の一意性はベクトル方程式の係数比較(「$s\vec{a}+t\vec{b}=s^{\prime }\vec{a}+t^{\prime }\vec{b}$ なら $s=s^{\prime },t=t^{\prime }$」)の根拠として、位置ベクトルの図形問題全般を支える。この単元の後半で最も頻繁に使う論法の基礎が、この計算問題である。

別解

連立を解かずに、面積(クロス積)で係数を直読みする方法がある。$2$ つのベクトル $\vec{u}=(u_1,u_2)$、$\vec{v}=(v_1,v_2)$ から作る量 $u_1{v}_2-u_2{v}_1$(クロス積)は、$2$ 本の張る平行四辺形の符号付き面積。この量は「同じベクトルどうしなら $0$」という性質を持つ。

$\vec{c}=s\vec{a}+t\vec{b}$ の両辺と $\vec{b}$ のクロス積をとると、$\vec{b}$ どうしの項が消えて

$$s=\frac{c_1{b}_2-c_2{b}_1}{a_1{b}_2-a_2{b}_1}=\frac{4\cdot 3-5\cdot 1}{2\cdot 3-1\cdot 1}=\frac{7}{5}$$

同様に $\vec{a}$ とのクロス積で

$$t=\frac{a_1{c}_2-a_2{c}_1}{a_1{b}_2-a_2{b}_1}=\frac{2\cdot 5-1\cdot 4}{5}=\frac{6}{5}$$

割り算 $2$ 回で終わり。分母が共通($\vec{a},\vec{b}$ の面積 $=5$)なのも計算を軽くする。

消したい相手とクロス積をとる。これは連立方程式の加減法を、ベクトルの言葉で1行にまとめた形だ(大学ではクラメルの公式と呼ばれる)。分母 $=0$ は $\vec{a}\parallel \vec{b}$、つまり分解できない場合で、一次独立の条件が分母の形で現れている。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 「内積の性質を用いて」とあるので、大きさの $2$ 乗を内積で開く。展開公式の練習だ。

$$|\vec{a}+\vec{b}{|}^2=(\vec{a}+\vec{b})\cdot (\vec{a}+\vec{b})=|\vec{a}{|}^2+2\vec{a}\cdot \vec{b}+|\vec{b}{|}^2$$

$(x+y{)}^2$ の展開とそっくりなのは、内積が「掛け算のように」分配できるからだ。部品を計算する。$|\vec{a}{|}^2=5$、$\vec{a}\cdot \vec{b}=11$、$|\vec{b}{|}^2=25$。代入して $5+22+25=52$。

① 各量を求める。 $|\vec{a}{|}^2=1^2+2^2=5$、$\vec{a}\cdot \vec{b}=1\cdot 3+2\cdot 4=11$、$|\vec{b}{|}^2=3^2+4^2=25$。

② 展開公式に代入する。

$$|\vec{a}+\vec{b}{|}^2=5+2\times 11+25=5+22+25=52$$

(確認:$\vec{a}+\vec{b}=(4,6)$、$|\vec{a}+\vec{b}{|}^2=16+36=52$。)

まとめ:$|\vec{a}+\vec{b}{|}^2$ は「$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$」のベクトル版。$ab$ の代わりに内積 $\vec{a}\cdot \vec{b}$ が入る。$|{|}^2$ は自分自身との内積($\vec{a}\cdot \vec{a}=|\vec{a}{|}^2$)であることを使う。

発展。 展開公式を幾何で読むと余弦定理そのものだ。$|\vec{a}-\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}$ で $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$ を入れれば、$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$ となる。数Iの定理が内積の分配法則の $1$ 行にまとまっている。

垂直($\vec{a}\cdot \vec{b}=0$)のときは中間項が消えて $|\vec{a}+\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2$ となり、これは三平方の定理だ。余弦定理も三平方も、内積の展開の特別な場合として一望できるのが、ベクトルを使う強みである。

別解

成分が分かっているのだから、先に足してから測る直行ルートでも出せる。

$$\vec{a}+\vec{b}=(1+3,2+4)=(4,6)|\vec{a}+\vec{b}{|}^2=4^2+6^2=52$$

$2$ 行で終わり、展開公式より速い。

では、なぜ問題はわざわざ「内積の性質を用いて」と言うのか。成分が与えられない問題($|\vec{a}|=2,|\vec{b}|=3,\vec{a}\cdot \vec{b}=-1$ のとき $|\vec{a}+\vec{b}|$ は?)では、展開公式しか道がないからだ。今回はその公式を、成分ルートという「答え合わせ」付きで練習できる問題になっている。

$2$ つのルートが同じ $52$ を出すこと自体が、展開公式の正しさの数値実証。両方できる問題では両方やる。公式への信頼と検算を同時に得られる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 頂点の $1$ つ($\mathrm{A}$)が原点なので、面積公式がそのまま使える配置だ。

$$S=\frac{1}{2}|x_1{y}_2-x_2{y}_1|$$

($\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(x_1,y_1)$、$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=(x_2,y_2)$。)$\mathrm{A}$ が原点なので $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(3,1)$、$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=(1,2)$ がそのまま使える。

$$S=\frac{1}{2}|3\cdot 2-1\cdot 1|=\frac{5}{2}$$

「たすき掛けの差の半分」は座標三角形の面積をいちばん速く出す公式である。

① $2$ 辺のベクトルを出す。 $\mathrm{A}$ が原点なので $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(3,1)$、$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=(1,2)$。

② 面積公式にあてはめる。

$$\text{面積}=\frac{1}{2}|x_1{y}_2-x_2{y}_1|=\frac{1}{2}|3\cdot 2-1\cdot 1|=\frac{1}{2}|6-1|=\frac{5}{2}$$

まとめ:座標が分かる三角形の面積は $\frac{1}{2}|x_1{y}_2-x_2{y}_1|$(たすきがけの差の絶対値の半分)。$2$ 辺のベクトルの成分を入れるだけ。絶対値を忘れずに(面積は正)。

発展。 $x_1{y}_2-x_2{y}_1$ という「たすき掛けの差」は、分解の問題(クラメルの分母)にも、平行判定($=0$ が平行)にも現れた。この単元で何度も使う量だ。これは「$2$ 本のベクトルが張る平行四辺形の符号付き面積」を表す。面積・平行・分解可能性がすべてこの $1$ つの量で表せる。

頂点が格子点の多角形なら、ピックの定理(面積 $=$ 内部の格子点 $+$ 辺上の格子点 $÷2-1$)という数え上げの別業もある。今回の三角形で試すと、内部 $2$ 点・辺上 $3$ 点で $2+\frac{3}{2}-1=\frac{5}{2}$ となり、三たび同じ答えになる。

別解

公式を忘れても、方眼紙の発想で面積は出せる。囲んで、引けばよい。$3$ 点を全部含む最小の長方形は、$(0,0)$ から $(3,2)$ までの長方形で、面積は $3\times 2=6$ だ。

長方形から、三角形の外側にある直角三角形 $3$ つを切り落とす。

• $\mathrm{A}(0,0)$–$\mathrm{B}(3,1)$ の下側: 底辺 $3$・高さ $1$ で面積 $\frac{3}{2}$
• $\mathrm{A}(0,0)$–$\mathrm{C}(1,2)$ の左側: 底辺 $1$・高さ $2$ で面積 $1$
• $\mathrm{B}(3,1)$–$\mathrm{C}(1,2)$ の右上: 底辺 $2$・高さ $1$ で面積 $1$

$$S=6-\frac{3}{2}-1-1=\frac{5}{2}$$

公式と一致した。実は公式 $\frac{1}{2}|x_1{y}_2-x_2{y}_1|$ は、この「長方形から直角三角形を引く」操作を文字で一般化したものにすぎない。斜めの図形の面積を、軸に平行な部品で測るという考え方だ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 内分と外分は、公式のペアで処理する。

内分($m:n$): $\frac{n\mathrm{A}+m\mathrm{B}}{m+n}$。遠い方の比が相手の点に掛かる(比 $2:1$ なら $\mathrm{B}$ 寄りで、係数は $\mathrm{A}$ に $1$、$\mathrm{B}$ に $2$)。外分($m:n$): 内分の $n$ を $-n$ に替えるだけなので、$\frac{-n\mathrm{A}+m\mathrm{B}}{m-n}$ となる。

$2:1$ で計算すると $\mathrm{P}=\frac{\mathrm{A}+2\mathrm{B}}{3}=(5,6)$、$\mathrm{Q}=\frac{-\mathrm{A}+2\mathrm{B}}{1}=(13,14)$。

① 内分点。 $m=2$、$n=1$。$\frac{1\cdot \mathrm{A}+2\cdot \mathrm{B}}{3}$。

$$\mathrm{P}=\frac{(1,2)+2(7,8)}{3}=\frac{(15,18)}{3}=(5,6)$$

② 外分点。 $\frac{-1\cdot \mathrm{A}+2\cdot \mathrm{B}}{2-1}=2\mathrm{B}-\mathrm{A}$。

$$\mathrm{Q}=2(7,8)-(1,2)=(14,16)-(1,2)=(13,14)$$

まとめ:外分は「内分の $n$ を $-n$ に変える」だけ。$2:1$ 外分は分母が $m-n=1$ になり、線分の外側($\mathrm{B}$ の先)に点がくる。内分と外分をセットで覚える。

発展。 答えの検算は比の測り直しで。$\mathrm{AP}=|(4,4)|=4\sqrt{2}$、$\mathrm{PB}=|(2,2)|=2\sqrt{2}$ で、確かに $2:1$。$\mathrm{Q}$ は $\mathrm{AQ}=12\sqrt{2}$、$\mathrm{QB}=6\sqrt{2}$ で $2:1$、かつ $\mathrm{B}$ の外側にあり、外分の名のとおりだ。

$k$ を実数全体に動かした $\mathrm{A}+k\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ は直線 $\mathrm{AB}$ そのもの(直線のベクトル方程式)。内分・外分・直線が「倍率 $k$ の値域の違い」で統一される。別解の見方は、そのまま次の話題につながっている。

別解

公式の分数を忘れても、$\mathrm{A}$ から何歩進むかで両方出せる。$\mathrm{A}$ から $\mathrm{B}$ への移動ベクトルは $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(6,6)$。これを「$1$ 歩」とする。

内分 $2:1$: $\mathrm{P}$ は $\mathrm{AB}$ 間を $2:1$ に切るから、$\mathrm{A}$ から全体の $\frac{2}{3}$ だけ進む。

$$\mathrm{P}=(1,2)+\frac{2}{3}(6,6)=(1+4,2+4)=(5,6)$$

外分 $2:1$: $\mathrm{Q}$ は $\mathrm{AQ}:\mathrm{QB}=2:(-1)$ なので、$\mathrm{B}$ を通り越して、$\mathrm{A}$ から全体の $\frac{2}{2-1}=2$ 倍進んだ点だ。

$$\mathrm{Q}=(1,2)+2(6,6)=(13,14)$$

「内分は $0$ と $1$ の間の倍率、外分は $1$ を超える(または負の)倍率」と見れば、どちらも $\mathrm{A}+k\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ という同じ形の $k$ 違いにすぎない。数直線に $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{P},\mathrm{Q}$ を並べた絵を描けば、$k=\frac{2}{3}$ と $k=2$ の位置は一目である。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $t$ が動くときの $|\vec{a}+t\vec{b}{|}^2$ は、展開すると $t$ の $2$ 次関数になる。

$$|\vec{a}+t\vec{b}{|}^2=|\vec{b}{|}^2{t}^2+2(\vec{a}\cdot \vec{b})t+|\vec{a}{|}^2=2t^2+6t+5$$

($\vec{a}\cdot \vec{b}=3$、$|\vec{b}{|}^2=2$、$|\vec{a}{|}^2=5$。)下に凸の放物線だから、頂点で最小。平方完成(または頂点の公式 $t=-\frac{b}{2a}$)で $t=-\frac{3}{2}$。「ベクトルの大きさの最小 $=$ $2$ 次関数の頂点」という、数Iへの橋渡しの型だ。

① 各量を求める。 $|\vec{b}{|}^2=1^2+1^2=2$、$\vec{a}\cdot \vec{b}=2\cdot 1+1\cdot 1=3$、$|\vec{a}{|}^2=2^2+1^2=5$。

② $t$ の $2$ 次関数にする。

$$|\vec{a}+t\vec{b}{|}^2=2t^2+2\cdot 3\cdot t+5=2t^2+6t+5$$

③ 平方完成して最小を求める。

$$2t^2+6t+5=2(t+\frac{3}{2}{)}^2+\frac{1}{2}$$

よって $t=-\frac{3}{2}$ で最小。

まとめ:$|\vec{a}+t\vec{b}{|}^2$ は展開すると $t$ の $2$ 次関数。平方完成で最小の $t$ が出る。このとき $\vec{a}+t\vec{b}$ は $\vec{b}$ に垂直になる(最短距離の垂線)というのが幾何的な意味だ。

発展。 最小を与える $-t\vec{b}=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{b}{|}^2}\vec{b}$ は、$\vec{a}$ の $\vec{b}$ 方向への正射影(影)と呼ばれる重要な量。「$\vec{a}$ を $\vec{b}$ 方向成分と垂直成分に分ける」操作で、最小値 $|\vec{a}+t\vec{b}{|}^2=\frac{1}{2}$ は垂直成分の長さの $2$ 乗にあたる。

この分解は、データの近似(最小二乗法)・物理の力の分解・大学の直交射影まで一直線につながる。「$2$ 次関数の最小」として現れたこの問題は、線形代数の中心概念の基礎になっている。

別解

この最小化には、計算より速い幾何の絵がある。$\vec{a}+t\vec{b}$ は $t$ を動かすと「点 $\vec{a}$ を通り、方向 $\vec{b}$ の直線」の上を動く点だ(直線のベクトル方程式そのもの)。$|\vec{a}+t\vec{b}|$ は原点からその点までの距離。

原点から直線への距離が最小になるのは、垂線の足である。つまり最小の瞬間、ベクトル $\vec{a}+t\vec{b}$ は直線の方向 $\vec{b}$ と垂直になっている。

$$(\vec{a}+t\vec{b})\cdot \vec{b}=0⟺\vec{a}\cdot \vec{b}+t|\vec{b}{|}^2=0⟺t=-\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{b}{|}^2}=-\frac{3}{2}$$

展開も平方完成もなしで、$1$ 次方程式 $1$ 本。$2$ 次関数の頂点(代数)と垂線の足(幾何)が同じ $t$ を指す。平方完成の頂点の式 $t=-\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{b}{|}^2}$ は、垂直条件そのものである。この垂直の目は「点と直線の距離」「正射影」へ直結する、この単元の要の視点だ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 「垂直」と「単位」の $2$ つの条件を順に満たしていく。

垂直なベクトルは成分を入れかえて片方の符号を反転すれば作れる: $(3,4)$ に対して $(4,-3)$(内積 $12-12=0$ で確認)。単位ベクトルにするには、大きさで割る。$|(4,-3)|=5$ だから $\left(\frac{4}{5},-\frac{3}{5}\right)$。

垂直な向きは反対側にもあるので、$\left(-\frac{4}{5},\frac{3}{5}\right)$ も答えになる。$2$ 本セットで答えるのを忘れない。

① 垂直なベクトルを作る。 $(3,4)$ に対して $(4,-3)$。確認:内積 $3\cdot 4+4\cdot (-3)=12-12=0$ で垂直。

② 単位ベクトルにする。 $|(4,-3)|=\sqrt{16+9}=5$ で割る。

$$\frac{(4,-3)}{5}=(\frac{4}{5},-\frac{3}{5})$$

③ 逆向きも答え。 垂直な向きは $2$ つ(反対向き)。

$$(\frac{4}{5},-\frac{3}{5}),(-\frac{4}{5},\frac{3}{5})$$

まとめ:$(a_1,a_2)$ に垂直なのは「成分を入れかえて一方にマイナス」= $(a_2,-a_1)$。内積が $0$ になるのですぐ確認できる。単位ベクトルは大きさで割る。垂直方向は反対向きも含めて $2$ つある。

発展。 単位化した $\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)$ と $\left(\frac{4}{5},-\frac{3}{5}\right)$ のペアは「互いに垂直な単位ベクトルの組」(正規直交基底)で、傾いた座標軸としてそのまま使える組だ。あらゆるベクトルがこの $2$ 本で分解でき、内積の計算が普通の座標と同じ形で通る。

$\frac{3}{5},\frac{4}{5}$ は $\cos \theta ,\sin \theta$ の有理数版($3^2+4^2=5^2$)。ピタゴラス数から作れる「きれいな角度」は、問題作成でもよく使われる。$5$–$12$–$13$ や $8$–$15$–$17$ のような組が出てきたら、同じ形を疑ってよい。

別解

「成分を入れかえて符号反転」は、$90°$ 回転のことだ。

ベクトル $(a_1,a_2)$ を原点まわりに反時計回りへ $90°$ 回すと $(-a_2,a_1)$、時計回りなら $(a_2,-a_1)$ になる。紙の上で $(1,0)\to (0,1)$、$(0,1)\to (-1,0)$ を確かめると、この置き換え規則が分かる。回転は長さを変えず角度を $90°$ 変えるから、出てくるベクトルは自動的に垂直で同じ長さだ。

$(3,4)$ を両向きに回すと $(-4,3)$ と $(4,-3)$。長さは元と同じ $5$(有名な $3$–$4$–$5$ の直角三角形)なので、$5$ で割って

$$\left(-\frac{4}{5},\frac{3}{5}\right),\left(\frac{4}{5},-\frac{3}{5}\right)$$

「垂直なベクトルは $90°$ 回転で作る」という見方は、法線ベクトル(直線 $ax+by+c=0$ の $(a,b)$ と方向 $(b,-a)$ の関係)や、複素数平面の $i$ 倍($=90°$ 回転)と同じものだ。単元をまたいで繰り返し出会う、平面の基本操作である。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 直線をベクトルで表す部品は、通る点と方向の $2$ つだ。

$$\vec{p}=\vec{a}+t\vec{d}$$

「点 $\mathrm{A}$ から出発して、方向 $\vec{d}$ に $t$ 倍だけ進む」と読む。$t$ が全実数を動けば、点 $\mathrm{P}$ は直線全体を掃く。成分で書けば $\mathrm{P}=(1+3t,2+t)$。$t=1$ なら $(4,3)$ で、出発点から方向ベクトル $1$ 本分だけ進んだ地点である。

① ベクトル方程式を書く。

$$\vec{p}=\vec{a}+t\vec{d}=(1,2)+t(3,1)=(1+3t,2+t)$$

② $t=1$ を代入する。

$$(1+3,2+1)=(4,3)$$

まとめ:直線は「通る $1$ 点 + 方向ベクトルの実数倍」で表せる。$\vec{p}=\vec{a}+t\vec{d}$。$t$ を動かすと点が直線上を動く。$t=1$ で方向に $1$ 歩進んだ点 $(4,3)$。媒介変数表示の基本だ。

発展。 消去して出た $x-3y+5=0$ の係数 $(1,-3)$ は、この直線の法線ベクトルである。方向 $\vec{d}=(3,1)$ と内積をとると $3-3=0$ で確かに垂直だ。「方程式の係数 $=$ 法線、媒介変数の係数 $=$ 方向」という対応は、$2$ つの表現の橋として覚えておく価値がある。

$t$ に時刻の意味を持たせれば、これは等速直線運動の記述そのもの($t=1$ の点は「$1$ 秒後の位置」)。空間(数C後半)でも直線はまったく同じ $\vec{a}+t\vec{d}$ で書ける。方程式による表現は次元ごとに形を変える($2$ 次元は $1$ 本、$3$ 次元は $2$ 本)が、ベクトル方程式は次元によらず同じ形で書ける。

別解

この媒介変数表示が見慣れた直線の方程式と同じものであることを、$t$ を消去して確かめよう。

$$x=1+3t,y=2+t$$

$2$ 本目から $t=y-2$。$1$ 本目に代入して

$$x=1+3(y-2)⟺x-3y+5=0$$

普通の $1$ 次方程式が出てきた。通過点 $(1,2)$ を入れると $1-6+5=0$、$t=1$ の点 $(4,3)$ も $4-9+5=0$ で、同じ直線だ。

$2$ つの表し方は役割が違う。方程式 $x-3y+5=0$ は「直線上にいるかどうかの判定器」、媒介変数 $(1+3t,2+t)$ は「直線上の点を生産する機械」($t$ に値を入れるたび点が $1$ つ出る)。軌跡や交点の計算では判定器が、動く点や時刻を追う問題では生産機が便利だ。$2$ つの表し方を行き来できるようにしておきたい。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 成分は与えられていないので、大きさの情報だけで内積を求める問題だ。使える橋は大きさの $2$ 乗の展開公式。

$$|\vec{a}-\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}+|\vec{b}{|}^2$$

左辺は $3$、右辺は $4-2\vec{a}\cdot \vec{b}+1$。方程式として解いて

$$3=5-2\vec{a}\cdot \vec{b}⟺\vec{a}\cdot \vec{b}=1$$

$|\cdot |$ は $2$ 乗して開くと内積が現れる。この型の問題ではいつもこう考える。

① 展開公式に値を代入する。 $|\vec{a}-\vec{b}{|}^2=(\sqrt{3}{)}^2=3$、$|\vec{a}{|}^2=4$、$|\vec{b}{|}^2=1$。

$$3=4-2\vec{a}\cdot \vec{b}+1$$

② $\vec{a}\cdot \vec{b}$ について解く。

$$3=5-2\vec{a}\cdot \vec{b}\Rightarrow 2\vec{a}\cdot \vec{b}=2\Rightarrow \vec{a}\cdot \vec{b}=1$$

まとめ:大きさの情報から内積を出すには、$|\vec{a}-\vec{b}{|}^2$ の展開公式を使う。$|{|}^2$ を展開すると内積 $\vec{a}\cdot \vec{b}$ が現れるので、それについて解く。数の $2$ 乗の展開と同じ形だ。

発展。 同じ部品で $|\vec{a}+\vec{b}|$ も出せる: $|\vec{a}+\vec{b}{|}^2=5+2\cdot 1=7$。$|\vec{a}+\vec{b}{|}^2+|\vec{a}-\vec{b}{|}^2=7+3=10=2(|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2)$ となり、平行四辺形の「対角線の $2$ 乗の和 $=$ 辺の $2$ 乗の和の $2$ 倍」(中線定理の親戚)が成り立っている。

この問題の型(大きさ $3$ つ → 内積 → なす角や別の大きさ)は、ベクトルの計算問題の最頻出パターン。成分が「ない」ことで、かえって内積という道具そのものの使い方が試される。成分は座標の選び方に依存するが、内積・大きさ・角は図形そのものの量だからだ。

別解

$3$ つの長さ $|\vec{a}|=2$、$|\vec{b}|=1$、$|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{3}$ を、三角形の $3$ 辺として絵に描くと、この問題の構造が分かる。$\vec{a}$ と $\vec{b}$ を同じ点から生やすと、$\vec{a}-\vec{b}$ は $2$ つの先端を結ぶ辺になる。つまり辺の長さ $2,1,\sqrt{3}$ の三角形ができる。この $3$ 辺、よく見ると

$$1^2+(\sqrt{3}{)}^2=1+3=4=2^2$$

直角三角形だ($30°$–$60°$–$90°$ の有名な形)。$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角は、斜辺 $2$ と辺 $1$ に挟まれた角で $60^{\circ }$。内積の定義から

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos 60^{\circ }=2\cdot 1\cdot \frac{1}{2}=1$$

展開公式と同じ答えだ。展開公式は余弦定理のベクトル版だから、$2$ つのルートが一致するのは当然だ。だが「$3$ つの長さが出たら三角形を描いてみる」と、角度・直角・形の情報もあわせて分かる。図が式の検算になり、式が図の裏付けになる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 平行と垂直、判定式は別物だ。

• 平行: 一方が他方の実数倍 ⟺ $a_1{b}_2-a_2{b}_1=0$(たすき掛けの差)
• 垂直: 内積 $=0$ ⟺ $a_1{b}_1+a_2{b}_2=0$

$\vec{b}=(4,-2)$: たすき掛け $2\cdot (-2)-(-1)\cdot 4=0$ なので平行($\vec{b}=2\vec{a}$ と実数倍でも見える)。$\vec{c}=(1,2)$: 内積 $2\cdot 1+(-1)\cdot 2=0$ なので垂直。積の差が平行、積の和が垂直に対応する。似た形の $2$ 式を取り違えないように注意する。

① $\vec{b}$ を調べる。 $\vec{b}=(4,-2)$。$2\vec{a}=(4,-2)=\vec{b}$ なので、$\vec{b}=2\vec{a}$。平行。

(内積 $\vec{a}\cdot \vec{b}=8+2=10\ne 0$ なので垂直ではない。)

② $\vec{c}$ を調べる。 内積 $\vec{a}\cdot \vec{c}=2\cdot 1+(-1)\cdot 2=2-2=0$。垂直。

$$\text{平行}:\vec{b},\text{垂直}:\vec{c}$$

まとめ:平行は「実数倍(たすきがけの差 $=0$)」、垂直は「内積 $=0$」。$\vec{b}=2\vec{a}$ は平行、$\vec{a}\cdot \vec{c}=0$ は垂直。$2$ つの条件をはっきり区別する。

発展。 $2$ つの判定式(内積 $a_1{b}_1+a_2{b}_2$ とクロス積 $a_1{b}_2-a_2{b}_1$)は、実は $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$、$a_1{b}_2-a_2{b}_1=|\vec{a}||\vec{b}|\sin \theta$ というペアで、$2$ つ合わせるとなす角 $\theta$ の $\cos$ と $\sin$ の両方が分かる($\tan \theta$ まで出せる)。垂直は $\cos =0$、平行は $\sin =0$ にあたり、$2$ つの式は角度の $2$ つの成分を見ていたのだ。

複素数平面を学ぶと、この $2$ つの量は積 $\bar{\alpha }\beta$ の実部と虚部として $1$ つにまとまる。ベクトル・傾き・複素数の $3$ つの表し方が、同じ幾何を表している。

別解

ベクトルを直線の傾きで表すと、数IIの知識だけで判定できる。方向 $(a_1,a_2)$ のベクトルは、傾き $\frac{a_2}{a_1}$ の直線に対応する($a_1\ne 0$ のとき)。

• $\vec{a}=(2,-1)$: 傾き $-\frac{1}{2}$
• $\vec{b}=(4,-2)$: 傾き $-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}$ で、同じ傾き ⟹ 平行
• $\vec{c}=(1,2)$: 傾き $2$。$\vec{a}$ との積は $-\frac{1}{2}\times 2=-1$ で、傾きの積 $-1$ ⟹ 垂直

図形と方程式(数II)の「平行 $=$ 傾き一致、垂直 $=$ 傾きの積 $-1$」がそのまま使えた。

実はベクトルの判定式は、この傾きの規則の分母を払った形だ。傾き一致 $\frac{a_2}{a_1}=\frac{b_2}{b_1}$ を払えば $a_1{b}_2-a_2{b}_1=0$、積 $-1$ の式を払えば $a_1{b}_1+a_2{b}_2=0$。ベクトル版の利点は、傾きが定義できない縦向き($a_1=0$)でもそのまま使えることだ。分数を使わないので、例外がない。