平面ベクトル ★★★★ 難関の問題 全8問

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 交点 $\mathrm{P}$ は「線分 $\mathrm{AN}$ 上」と「線分 $\mathrm{BM}$ 上」の両方にある。

だから $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ を $2$ 通りの媒介変数($s,u$)で表す。$\vec{a},\vec{b}$ は $1$ 次独立なので、$2$ つの表現の係数を比較して連立方程式を作る。これが交点を求める基本の方法だ。まず $\mathrm{M},\mathrm{N}$ を $\vec{a},\vec{b}$ で表しておく、と見通す。

① $\mathrm{M},\mathrm{N}$ を表す。 $\mathrm{M}$ は $\mathrm{OA}$ を $2:1$ に内分するから $\overrightarrow{\mathrm{OM}}=\frac{2}{3}\vec{a}$。$\mathrm{N}$ は $\mathrm{OB}$ を $1:2$ に内分するから $\overrightarrow{\mathrm{ON}}=\frac{1}{3}\vec{b}$。

② $\mathrm{P}$ を $2$ 通りに表す。 線分 $\mathrm{AN}$ 上($\mathrm{A}$ から $\mathrm{N}$ へ $s$)は

$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(1-s)\vec{a}+s\cdot \frac{1}{3}\vec{b}=(1-s)\vec{a}+\frac{s}{3}\vec{b}$$

線分 $\mathrm{BM}$ 上($\mathrm{B}$ から $\mathrm{M}$ へ $u$)は

$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{2u}{3}\vec{a}+(1-u)\vec{b}$$

③ 係数比較で連立。 $\vec{a}$:$1-s=\frac{2u}{3}$、$\vec{b}$:$\frac{s}{3}=1-u$。第 $2$ 式より $u=1-\frac{s}{3}$。第 $1$ 式に代入して整理すると $\frac{7s}{9}=\frac{1}{3}$、$s=\frac{3}{7}$。

④ $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ を求める。 $s=\frac{3}{7}$ を代入して

$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\left(1-\frac{3}{7}\right)\vec{a}+\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{7}\vec{b}=\frac{4}{7}\vec{a}+\frac{1}{7}\vec{b}$$

まとめ:交点は「$2$ 直線上の点として $2$ 通りに表し、$1$ 次独立から係数比較」。$\mathrm{AN}$ 上と $\mathrm{BM}$ 上の表現の $\vec{a},\vec{b}$ の係数をそれぞれ等しいとおいて連立。$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{4}{7}\vec{a}+\frac{1}{7}\vec{b}$。

発展。 $1$ 次独立な $\vec{a},\vec{b}$ を「座標軸」とみると、$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\vec{a}+t\vec{b}$ の $(s,t)$ は $\mathrm{P}$ の斜交座標。ふつうの $xy$ 座標と同じように、点を数の組で扱える。

$1$ 次独立が決め手になるのは「表し方が一意」だから。だからこそ係数比較(片方の座標どうしを等しいとおく)が成り立つ。もし $\vec{a},\vec{b}$ が平行(従属)なら、この一意性が崩れる。

交点を「$2$ 直線上の点として $2$ 通りに表す」のは、連立方程式で交点を出す座標幾何と同じ考え。ベクトルは基準を自由に選べる座標系だ。

別解

別解:$\vec{a},\vec{b}$ を座標軸とみて交点を出す(得意な人向けの視点)。 $\vec{a},\vec{b}$ を斜交座標の軸とみなすと、$\mathrm{A}=(1,0)$、$\mathrm{B}=(0,1)$、$\mathrm{M}=\left(\frac{2}{3},0\right)$、$\mathrm{N}=\left(0,\frac{1}{3}\right)$ と、ふつうの座標の要領で書ける。

直線 $\mathrm{AN}$ は $\mathrm{A}(1,0)$ と $\mathrm{N}\left(0,\frac{1}{3}\right)$ を通るので、切片形で $x+3y=1$。直線 $\mathrm{BM}$ は $\mathrm{B}(0,1)$ と $\mathrm{M}\left(\frac{2}{3},0\right)$ を通るので $\frac{3}{2}x+y=1$、すなわち $3x+2y=2$。この $2$ 直線を連立する。$x=1-3y$ を $3x+2y=2$ に入れて $3(1-3y)+2y=2$、$-7y=-1$、$y=\frac{1}{7}$、$x=\frac{4}{7}$。

$(s,t)=\left(\frac{4}{7},\frac{1}{7}\right)$ が $\mathrm{P}$ の斜交座標だから

$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{4}{7}\vec{a}+\frac{1}{7}\vec{b}.$$

媒介変数で係数比較する本解と同じ。$\vec{a},\vec{b}$ を座標軸に選べば、交点は連立 $1$ 次方程式(直線の交点)そのもの。座標幾何の道具がそのまま使える。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 内積を求めたいが、直接は与えられていない。

ここで $|\vec{a}-\vec{b}|$ という「差の大きさ」に注目する。その $2$ 乗を展開すると、内積 $\vec{a}\cdot \vec{b}$ が現れる。$|\vec{a}-\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}+|\vec{b}{|}^2$ に既知の値を入れて $\vec{a}\cdot \vec{b}$ を出す。

なす角はそのあと $\cos \theta$ の公式で求める、と見通す。

① 内積を求める。 $|\vec{a}-\vec{b}{|}^2=(\sqrt{7}{)}^2=7$。展開して

$$7=|\vec{a}{|}^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}+|\vec{b}{|}^2=9-2\vec{a}\cdot \vec{b}+4$$

より $2\vec{a}\cdot \vec{b}=13-7=6$、$\vec{a}\cdot \vec{b}=3$。

② なす角。

$$\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{3}{3\cdot 2}=\frac{1}{2}$$

$0°\le \theta \le 180°$ より $\theta =60°$。

まとめ:大きさから内積は「$|\vec{a}-\vec{b}{|}^2$(または $|\vec{a}+\vec{b}{|}^2$)を展開」。$|\vec{a}-\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}+|\vec{b}{|}^2$ に代入して $\vec{a}\cdot \vec{b}=3$。なす角は $\cos \theta =\frac{1}{2}$ で $60°$。

発展。 $|\vec{a}-\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}$ は、じつは余弦定理そのもの。$\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$ を入れると $|\vec{a}-\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2-2|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$ となる。

ベクトルの内積は代数(成分計算)と幾何(長さと角)を橋渡しする。$\vec{a},\vec{b},\vec{a}-\vec{b}$ が作る三角形で、この式が三辺と角の関係を表している。$|\vec{a}+\vec{b}{|}^2$ を展開すれば、平行四辺形のもう $1$ 本の対角線が出る。差は $-2\vec{a}\cdot \vec{b}$、和は $+2\vec{a}\cdot \vec{b}$。符号の違いが、$2$ 本の対角線の長さの違いを生む。

別解

別解:余弦定理で角を先に出す(得意な人向けの視点)。 $\vec{a},\vec{b}$ を $2$ 辺、$\vec{a}-\vec{b}$ を対辺とする三角形とみれば、余弦定理がそのまま使える。

三辺は $|\vec{a}|=3$、$|\vec{b}|=2$、$|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{7}$。$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ について、余弦定理は

$$|\vec{a}-\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2-2|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta .$$

数値を入れると $7=9+4-2\cdot 3\cdot 2\cos \theta =13-12\cos \theta$。よって $\cos \theta =\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$、$\theta =60°$。内積は定義から $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta =3\cdot 2\cdot \frac{1}{2}=3$。

$|\vec{a}-\vec{b}{|}^2$ を展開して内積を出す本解と同じ。じつは両者は同じ式で、内積を挟むかどうかの違いだけ。三角形の三辺が見えれば、余弦定理で角を先に求める道も自然だ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 垂直の条件は「内積が $0$」。

$(\vec{a}+t\vec{b})\cdot (\vec{a}-t\vec{b})$ を展開する。これは「和と差の積」の形なので、内積でも $|\vec{a}{|}^2-t^2|\vec{b}{|}^2$ ときれいに整理される(交差項が消える)。$|\vec{a}{|}^2,|\vec{b}{|}^2$ を成分から計算する。

$=0$ を解いて $t$ を求める、と見通す。

① 大きさの $2$ 乗。 $|\vec{a}{|}^2=1^2+2^2=5$、$|\vec{b}{|}^2=3^2+(-1{)}^2=10$。

② 内積 $=0$ とおく。 和と差の積より

$$(\vec{a}+t\vec{b})\cdot (\vec{a}-t\vec{b})=|\vec{a}{|}^2-t^2|\vec{b}{|}^2=5-10t^2=0$$

③ 解く。 $t^2=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$、$t=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$。

まとめ:垂直は「内積 $=0$」。$(\vec{a}+t\vec{b})\cdot (\vec{a}-t\vec{b})$ は和と差の積で $|\vec{a}{|}^2-t^2|\vec{b}{|}^2$ となり、交差項が消える。$5-10t^2=0$ から $t=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$。$\vec{a},\vec{b}$ の大きさだけで決まる。

発展。 $\vec{a}+t\vec{b}$ と $\vec{a}-t\vec{b}$ は $\vec{a}$ と $t\vec{b}$ を $2$ 辺とする平行四辺形の対角線。この $2$ 本の対角線が垂直になるのは、平行四辺形がひし形のとき、つまり隣り合う辺の長さが等しい($|\vec{a}|=|t\vec{b}|$)ときだ。

だから条件は $|\vec{a}|=|t||\vec{b}|$、$2$ 乗して $|\vec{a}{|}^2=t^2|\vec{b}{|}^2$、これは $|\vec{a}{|}^2-t^2|\vec{b}{|}^2=0$ と同じ。内積の計算と、ひし形の幾何が一致する。「対角線が直交 $\iff$ ひし形」という初等幾何の定理が、内積 $0$ の式にそのまま現れている。図で見ると、なぜ交差項が消えるのかも腑に落ちる。

別解

別解:「対角線が直交するひし形」で考える(得意な人向けの視点)。 $\vec{a}+t\vec{b}$ と $\vec{a}-t\vec{b}$ は $\vec{a}$ と $t\vec{b}$ を辺にもつ平行四辺形の $2$ 本の対角線。

平行四辺形の対角線が垂直になるのは、その平行四辺形がひし形のとき。ひし形とは「隣り合う $4$ 辺の長さがすべて等しい」ことで、ここでは $|\vec{a}|=|t\vec{b}|$。$2$ 乗して $|\vec{a}{|}^2=t^2|\vec{b}{|}^2$。成分から $|\vec{a}{|}^2=1^2+2^2=5$、$|\vec{b}{|}^2=3^2+(-1{)}^2=10$ だから

$$5=10t^2⟹t^2=\frac{1}{2}⟹t=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}.$$

内積 $(\vec{a}+t\vec{b})\cdot (\vec{a}-t\vec{b})=0$ を展開する本解と同じ $t=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$。「対角線が直交 $\iff$ ひし形($=$ 辺が等しい)」と読みかえると、内積を展開せずに図形の条件だけで立式できる。交差項が消えるのも、この対称性があるからだ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ で、$s+t$ が固定値 $k$、$s,t\ge 0$ のとき、$\mathrm{P}$ の動きを考える。

このとき $\mathrm{P}$ は「線分 $\mathrm{AB}$ を原点から $k$ 倍に相似拡大した線分」の上を動く($k=1$ で線分 $\mathrm{AB}$ そのもの)。$k$ が $1$ から $2$ まで動くと、これらの線分が帯状に掃いて台形になる。まず $s+t=1$ の場合(線分 $\mathrm{AB}$)を押さえる、と見通す。

① $s+t=1$ のとき。 $s+t=1$、$s,t\ge 0$ なら $\mathrm{P}$ は線分 $\mathrm{AB}$ 上(内分点)。

② $s+t=k$ のとき。 $s^{\prime }=\frac{s}{k},t^{\prime }=\frac{t}{k}$ とおくと $s^{\prime }+t^{\prime }=1$ で、$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=k(s^{\prime }\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t^{\prime }\overrightarrow{\mathrm{OB}})$。これは線分 $\mathrm{AB}$ 上の点を原点から $k$ 倍した点。$k=2$ のとき、$2\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}^{\prime }}$、$2\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{B}}^{\prime }}$ を結ぶ線分 ${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }$。

③ 範囲を掃く。 $k$ を $1$ から $2$ まで動かすと、線分 $\mathrm{AB}$ から線分 ${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }$ まで平行移動しながら広がる。よって存在範囲は線分 $\mathrm{AB}$ と線分 ${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }$(${\mathrm{A}}^{\prime }=2\mathrm{A},{\mathrm{B}}^{\prime }=2\mathrm{B}$)にはさまれた台形の周と内部。

まとめ:$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ の存在範囲は「$s+t$ の値で線分の位置が決まる」。$s+t=1$ で線分 $\mathrm{AB}$、$s+t=k$ でその $k$ 倍拡大。$1\le s+t\le 2$ は $\mathrm{AB}$ と ${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }$ の間の台形。$s,t\ge 0$ が三角形側(第 $1$ 象限的)に限る。

発展。 $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ の $(s,t)$ を、$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ を軸とする斜交座標とみると、条件 $1\le s+t\le 2$、$s\ge 0$、$t\ge 0$ は $(s,t)$ 平面での台形。

$1$ 次変換(アフィン写像)は直線を直線に、線分の比を比のまま移す。だから $(s,t)$ 平面の台形は実際の平面でも台形に写る。頂点や辺の位置だけ計算すれば、形は保たれる。

不等式で表された条件を座標平面の領域で表し、それを図形として写す。これは線形計画法の実行可能領域とも同じ考え方だ。ベクトルの係数はそのまま図形の座標になる。

別解

別解:$(s,t)$ 平面で領域を描いてから写す(得意な人向けの視点)。 $\overrightarrow{\mathrm{OA}},\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ を座標軸にとると、$\mathrm{P}$ の位置は $(s,t)$ そのもの。まず $(s,t)$ 平面で条件を図示する。

$s\ge 0$、$t\ge 0$、$1\le s+t\le 2$ は、$(s,t)$ 平面で $2$ 直線 $s+t=1$ と $s+t=2$ にはさまれた、第 $1$ 象限の台形。頂点は

$$(1,0),(2,0),(0,2),(0,1).$$

これを $\overrightarrow{\mathrm{OA}},\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ の平面に写す。$(1,0)\to \mathrm{A}$、$(0,1)\to \mathrm{B}$、$(2,0)\to {\mathrm{A}}^{\prime }(=2\mathrm{A})$、$(0,2)\to {\mathrm{B}}^{\prime }(=2\mathrm{B})$。アフィン写像は直線と比を保つので、台形は台形のまま。よって存在範囲は線分 $\mathrm{AB}$ と線分 ${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }$ にはさまれた台形の周と内部。

$k$ 倍拡大の線分を掃く本解と同じ。$(s,t)$ を座標とみて先に領域を描くと、$s+t$ の範囲や $s,t\ge 0$ の意味が、ただの座標平面の不等式として見える。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $2$ つのベクトルの成分が分かっているので、三角形の面積は成分公式 $\frac{1}{2}|x_1{y}_2-x_2{y}_1|$ に代入するだけ。

この公式は「$2$ ベクトルが作る平行四辺形の面積の半分」。内積となす角を経由するより速い。$x_1{y}_2-x_2{y}_1$(たすき掛けの差)の計算を正確に、と見通す。

① 公式に代入する。 $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=(3,1)$、$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=(1,4)$ より

$$x_1{y}_2-x_2{y}_1=3\cdot 4-1\cdot 1=12-1=11$$

② 面積を求める。

$$S=\frac{1}{2}|11|=\frac{11}{2}$$

まとめ:成分が分かる三角形の面積は「$\frac{1}{2}|x_1{y}_2-x_2{y}_1|$」。$x_1{y}_2$ と $x_2{y}_1$ の差の絶対値の半分。$\frac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}{|}^2|\vec{b}{|}^2-(\vec{a}\cdot \vec{b}{)}^2}$ でも同じ値になるが、成分ならこの公式が最短。

発展。 $x_1{y}_2-x_2{y}_1$ は、$2$ ベクトルを並べた行列の行列式で、符号つきの平行四辺形の面積。その絶対値の半分が三角形の面積になる。符号は $\vec{a}$ から $\vec{b}$ への回り方(反時計回りが正)を表す。

じつはこの面積は $\frac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}{|}^2|\vec{b}{|}^2-(\vec{a}\cdot \vec{b}{)}^2}$ とも書ける。成分でもこの根号でも同じ値になるのは、ラグランジュの恒等式 $(x_1{y}_2-x_2{y}_1{)}^2=|\vec{a}{|}^2|\vec{b}{|}^2-(\vec{a}\cdot \vec{b}{)}^2$ が成り立つから。「行列式(成分)」と「大きさと内積(長さと角)」によって、同じ面積を代数と幾何の両側から書ける。ベクトルはその $2$ つを結ぶ。

別解

別解:大きさと内積の公式で確かめる(得意な人向けの視点)。 成分の公式とは別に、$\frac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}{|}^2|\vec{b}{|}^2-(\vec{a}\cdot \vec{b}{)}^2}$ でも同じ面積が出る。両方で計算すれば検算になる。

成分から大きさと内積を出す。$|\vec{a}{|}^2=3^2+1^2=10$、$|\vec{b}{|}^2=1^2+4^2=17$、$\vec{a}\cdot \vec{b}=3\cdot 1+1\cdot 4=7$。面積の公式に入れると

$$S=\frac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}{|}^2|\vec{b}{|}^2-(\vec{a}\cdot \vec{b}{)}^2}=\frac{1}{2}\sqrt{10\cdot 17-7^2}=\frac{1}{2}\sqrt{170-49}=\frac{1}{2}\sqrt{121}=\frac{11}{2}.$$

たすき掛けの $\frac{1}{2}|x_1{y}_2-x_2{y}_1|=\frac{1}{2}|3\cdot 4-1\cdot 1|=\frac{11}{2}$ と一致する。成分公式を使う本解と同じ $\frac{11}{2}$。根号の中がちょうど平方数 $121$ になるのは、ラグランジュの恒等式で $\sqrt{|\vec{a}{|}^2|\vec{b}{|}^2-(\vec{a}\cdot \vec{b}{)}^2}=|x_1{y}_2-x_2{y}_1|=11$ が保証されているから。$2$ 通りで一致すれば安心だ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 三角形の面積 $\frac{1}{2}|\vec{a}||\vec{b}|\sin \theta$ を使いたいが、与えられているのは内積(=$\cos$ 側の情報)。

そこで面積の公式を $\frac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}{|}^2|\vec{b}{|}^2-(\vec{a}\cdot \vec{b}{)}^2}$ の形に変形しておく。これなら大きさと内積だけで面積が出る($\sin$ を経由しなくてよい)。この公式は ${\sin }^2\theta =1-{\cos }^2\theta$ から導かれる、と見通す。

① 公式に代入する。 $|\vec{a}|=3$、$|\vec{b}|=5$、$\vec{a}\cdot \vec{b}=6$ より

$$S=\frac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}{|}^2|\vec{b}{|}^2-(\vec{a}\cdot \vec{b}{)}^2}=\frac{1}{2}\sqrt{9\cdot 25-6^2}=\frac{1}{2}\sqrt{225-36}=\frac{1}{2}\sqrt{189}$$

② 根号を整理する。 $189=9\cdot 21$ だから $\sqrt{189}=3\sqrt{21}$。

$$S=\frac{1}{2}\cdot 3\sqrt{21}=\frac{3\sqrt{21}}{2}$$

まとめ:内積が分かる三角形の面積は「$\frac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}{|}^2|\vec{b}{|}^2-(\vec{a}\cdot \vec{b}{)}^2}$」。$\sin$ を求めずに大きさと内積だけで出る。$\sqrt{225-36}=\sqrt{189}=3\sqrt{21}$ と根号を簡単にして $\frac{3\sqrt{21}}{2}$。

発展。 面積公式 $\frac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}{|}^2|\vec{b}{|}^2-(\vec{a}\cdot \vec{b}{)}^2}$ は、$\frac{1}{2}|\vec{a}||\vec{b}|\sin \theta$ から $\sin \theta =\sqrt{1-{\cos }^2\theta }$ を代入し、$\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$ を入れて整理したもの。$\sin$ を表に出さずに済む。

根号の中 $|\vec{a}{|}^2|\vec{b}{|}^2-(\vec{a}\cdot \vec{b}{)}^2$ は、成分で書くと $(x_1{y}_2-x_2{y}_1{)}^2$(ラグランジュの恒等式)。だから成分の面積公式と、この内積の面積公式は、じつは同じもの。内積(平行 $=$ そろい具合)と面積(垂直 $=$ 開き具合)は、$\cos$ と $\sin$ の関係で裏表。片方が分かればもう片方も決まる。

別解

別解:$\cos \theta$ から $\sin \theta$ を出して面積公式へ(苦手な人向けの手順ルート)。 公式 $\frac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}{|}^2|\vec{b}{|}^2-(\vec{a}\cdot \vec{b}{)}^2}$ を覚えていなくても、$\sin \theta$ を求めれば基本の面積公式 $\frac{1}{2}|\vec{a}||\vec{b}|\sin \theta$ で計算できる。

まず内積からなす角の $\cos$ を出す。

$$\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{6}{3\cdot 5}=\frac{2}{5}.$$

$0°<\theta <180°$ なので $\sin \theta >0$。相互関係から

$$\sin \theta =\sqrt{1-{\cos }^2\theta }=\sqrt{1-\frac{4}{25}}=\sqrt{\frac{21}{25}}=\frac{\sqrt{21}}{5}.$$

面積の基本公式に入れて

$$S=\frac{1}{2}|\vec{a}||\vec{b}|\sin \theta =\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 5\cdot \frac{\sqrt{21}}{5}=\frac{3\sqrt{21}}{2}.$$

$\sqrt{|\vec{a}{|}^2|\vec{b}{|}^2-(\vec{a}\cdot \vec{b}{)}^2}$ に直接代入する本解と同じ $\frac{3\sqrt{21}}{2}$。$\cos \to \sin \to$ 面積、と $1$ 段ずつ進めば、公式を丸暗記していなくてもたどり着ける。$\sin \theta$ を出すとき符号を正にとるのだけ注意。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 「$\mathrm{AB}$ を直径とする円」は、円周上の点 $\mathrm{P}$ から見て $\mathrm{AB}$ が直角に見える(直径に対する円周角は $90°$、タレスの定理)。

これをベクトルで書くと $\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BP}}=0$、すなわち $(\vec{p}-\vec{a})\cdot (\vec{p}-\vec{b})=0$。中心は直径の中点、半径は直径の半分。これで中心と半径が即座に分かる、と見通す。

① ベクトル方程式の意味。 円周上の点 $\mathrm{P}(\vec{p})$ は $\angle \mathrm{APB}=90°$、すなわち

$$(\vec{p}-\vec{a})\cdot (\vec{p}-\vec{b})=0$$

② 中心。 直径 $\mathrm{AB}$ の中点だから

$$\left(\frac{1+5}{2},\frac{2+4}{2}\right)=(3,3)$$

③ 半径。 $|\mathrm{AB}|=\sqrt{(5-1{)}^2+(4-2{)}^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$ だから、半径は

$$\frac{1}{2}|\mathrm{AB}|=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{5}=\sqrt{5}$$

まとめ:直径を与えた円は「$(\vec{p}-\vec{a})\cdot (\vec{p}-\vec{b})=0$」(タレスの定理のベクトル版)。中心は直径 $\mathrm{AB}$ の中点 $(3,3)$、半径は $\frac{1}{2}|\mathrm{AB}|=\sqrt{5}$。中心と半径がひと目で出るのがこの表し方の利点。

発展。 ベクトル方程式 $(\vec{p}-\vec{a})\cdot (\vec{p}-\vec{b})=0$ を成分で展開すると、そのまま円の方程式になる。$\vec{p}=(x,y)$ とすれば $(x-1)(x-5)+(y-2)(y-4)=0$。

これを整理すると $(x-3{)}^2+(y-3{)}^2=5$。中心 $(3,3)$、半径 $\sqrt{5}$ が内積の式から自動的に出てくる。これが円の方程式の「直径形」だ。

背景はタレスの定理(直径に対する円周角は直角)。内積 $0$ という $1$ 行の式が円という図形をまるごと表している。ベクトルを使うと、幾何の定理を計算できる式で表せる。

別解

別解:ベクトル方程式を展開して標準形にする(得意な人向けの視点)。 タレスの定理を使わず、$(\vec{p}-\vec{a})\cdot (\vec{p}-\vec{b})=0$ を成分で展開しても、中心と半径が出る。

$\vec{p}=(x,y)$、$\mathrm{A}(1,2)$、$\mathrm{B}(5,4)$ を代入する。

$$(x-1)(x-5)+(y-2)(y-4)=0.$$

展開すると $x^2-6x+5+y^2-6y+8=0$、すなわち $x^2+y^2-6x-6y+13=0$。$x,y$ それぞれ平方完成して

$$(x-3{)}^2+(y-3{)}^2=9+9-13=5.$$

これは中心 $(3,3)$、半径 $\sqrt{5}$ の円。中点と $\frac{1}{2}|\mathrm{AB}|$ から出す本解と同じ。展開すると、内積 $0$ の式が円の標準形になるのが目に見える。中点 $(3,3)$ が平方完成の中心に、$\frac{1}{2}|\mathrm{AB}|=\sqrt{5}$ が半径に、確かに現れる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 大きさの最小は「$2$ 乗して $t$ の $2$ 次関数にし、平方完成」。

$|\vec{a}+t\vec{b}{|}^2$ を展開すると、内積 $\vec{a}\cdot \vec{b}$ と大きさが係数に現れる $t$ の $2$ 次式になる。平方完成で、最小の $t$ と最小値が出る。さらに、最小のときの $\vec{a}+t\vec{b}$ と $\vec{b}$ の内積を調べると $0$(垂直)になる。これは「点と直線の距離は垂線で最短」という幾何の反映、と見通す。

① $2$ 乗して展開する。

$$|\vec{a}+t\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+2t(\vec{a}\cdot \vec{b})+t^2|\vec{b}{|}^2=4+2t+t^2$$

② 平方完成する。

$$t^2+2t+4=(t+1{)}^2+3$$

最小は $t=-1$ のときで、$|\vec{a}+t\vec{b}{|}^2=3$、よって $|\vec{a}+t\vec{b}|=\sqrt{3}$。

③ 垂直の確認。 $t=-1$ のとき

$$(\vec{a}+t\vec{b})\cdot \vec{b}=\vec{a}\cdot \vec{b}+t|\vec{b}{|}^2=1+(-1)\cdot 1=0$$

よって $\vec{a}+t\vec{b}$ は $\vec{b}$ に垂直。

まとめ:$|\vec{a}+t\vec{b}|$ の最小は「$2$ 乗して $t$ の $2$ 次関数 → 平方完成」。$(t+1{)}^2+3$ より最小 $\sqrt{3}$($t=-1$)。最小のとき $\vec{a}+t\vec{b}\perp \vec{b}$ になるのは、$\vec{b}$ 方向の直線への垂線が最短距離を与える、という幾何的意味の表れ。

発展。 $\vec{a}+t\vec{b}$($t$ が動く)は、点 $\vec{a}$ の先端から $\vec{b}$ 方向に伸びる直線上の点。原点からその直線までの最短距離が $|\vec{a}+t\vec{b}|$ の最小値だ。最短は垂線のときだから、最小で $\vec{a}+t\vec{b}\perp \vec{b}$ になる。

このとき $\vec{a}+t\vec{b}$ は $\vec{a}$ から「$\vec{b}$ 方向の成分」を取り除いた残り(=$\vec{b}$ に垂直な成分)。平方完成の頂点 $t=-\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{b}{|}^2}$ は、$\vec{a}$ を $\vec{b}$ に射影する式そのもの。最小値 $\sqrt{3}$ は $|\vec{a}|\sin \theta =2\sin 60°=\sqrt{3}$(なす角 $\theta =60°$)とも一致する。平方完成という代数と、垂線・射影という幾何が、ぴたりと重なる。

別解

別解:垂線の足(射影)として最短を出す(得意な人向けの視点)。 平方完成のかわりに、幾何の「最短は垂線」を使えば、最小値がほぼ暗算で出る。

$\vec{a}+t\vec{b}$ は点 $\vec{a}$ を通り $\vec{b}$ 方向に伸びる直線上の点。原点からこの直線への最短距離が $|\vec{a}+t\vec{b}|$ の最小値。最短は垂線のときで、その長さは $\vec{a}$ の「$\vec{b}$ に垂直な成分」の大きさ、すなわち $|\vec{a}|\sin \theta$。

なす角 $\theta$ は $\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{1}{2\cdot 1}=\frac{1}{2}$ より $\theta =60°$。だから

$$\text{最小値}=|\vec{a}|\sin \theta =2\sin 60°=2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}.$$

最小を与える $t$ は $\vec{a}$ を $\vec{b}$ に射影する式から $t=-\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{b}{|}^2}=-\frac{1}{1}=-1$。このとき $\vec{a}+t\vec{b}\perp \vec{b}$。$2$ 乗して平方完成する本解と同じ $\sqrt{3}$($t=-1$)。「原点から直線への最短は垂線」と見れば、最小値が $|\vec{a}|\sin \theta$ という直角三角形の高さになる。代数の平方完成と、幾何の垂線は同じことを言っている。