平面ベクトル 最難関編の問題 全8問

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) (1)のヒント $|\vec{a}-t\vec{b}{|}^2\ge 0$ が全てだ。左辺を展開すると $t$ の2次式になる。

どんな $t$ でも0以上の2次式は、判別式が0以下。その判別式こそ、示したい不等式(コーシー・シュワルツ)の姿をしている。

(2)は面積公式 $S=\frac{1}{2}|\vec{a}||\vec{b}|\sin \theta$ から。${\sin }^2\theta =1-{\cos }^2\theta$ に内積の定義を入れると、根号の中身に(1)の左辺の形がそのまま現れる。あとは成分で展開すれば、行列式の形に畳まれる。

① (1) 判別式で示す。 展開すると

$$|\vec{a}-t\vec{b}{|}^2=|\vec{b}{|}^2{t}^2-2(\vec{a}\cdot \vec{b})t+|\vec{a}{|}^2$$

$|\vec{b}{|}^2>0$ の2次式がすべての実数 $t$ で0以上だから、判別式は0以下:

$$\frac{D}{4}=(\vec{a}\cdot \vec{b}{)}^2-|\vec{a}{|}^2|\vec{b}{|}^2\le 0⟺(\vec{a}\cdot \vec{b}{)}^2\le |\vec{a}{|}^2|\vec{b}{|}^2$$

② (2) 面積公式。 なす角を $\theta$($0<\theta <\pi$)とすると $S=\frac{1}{2}|\vec{a}||\vec{b}|\sin \theta$。$\sin \theta >0$ だから

$$S=\frac{1}{2}|\vec{a}||\vec{b}|\sqrt{1-{\cos }^2\theta }=\frac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}{|}^2|\vec{b}{|}^2-{\left(|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta \right)}^2}=\frac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}{|}^2|\vec{b}{|}^2-(\vec{a}\cdot \vec{b}{)}^2}$$

((1)より根号の中は0以上なので、不等式がこの公式を使ってよい根拠になっている。)

③ 成分で畳む。 $|\vec{a}{|}^2|\vec{b}{|}^2-(\vec{a}\cdot \vec{b}{)}^2$ に成分を入れて展開すると

$$(x_1^2+y_1^2)(x_2^2+y_2^2)-(x_1{x}_2+y_1{y}_2{)}^2=x_1^2{y}_2^2-2x_1{y}_2{x}_2{y}_1+x_2^2{y}_1^2=(x_1{y}_2-x_2{y}_1{)}^2$$

(交差しない項 $x_1^2{x}_2^2,y_1^2{y}_2^2$ が相殺して、完全平方だけが残る。)よって

$$S=\frac{1}{2}\sqrt{(x_1{y}_2-x_2{y}_1{)}^2}=\frac{1}{2}|x_1{y}_2-x_2{y}_1|$$

まとめ: 「長さの平方 ≥ 0 → 判別式」がコーシー・シュワルツの最短証明で、その差 $|\vec{a}{|}^2|\vec{b}{|}^2-(\vec{a}\cdot \vec{b}{)}^2$ は(面積の2倍)の平方になっている。不等式と面積公式が同じ1つの式の裏表であることを、この2問構成が示している。

発展。 3役を演じた量 $a_1{b}_2-a_2{b}_1$ は、行列式(2次)であり、3次元では外積の第3成分になる。符号まで見ると「$\vec{a}$ から $\vec{b}$ へ反時計回りなら正」という向きの情報を持っていて、面積に符号をつけた「符号つき面積」は多角形の面積公式(靴ひも公式)へ一直線につながる。

別解

成分の恒等式で1行で示す(ラグランジュの恒等式)。 $\vec{a}=(a_1,a_2)$、$\vec{b}=(b_1,b_2)$ とおいて、示したい差を直接展開してしまう。

$$|\vec{a}{|}^2|\vec{b}{|}^2-(\vec{a}\cdot \vec{b}{)}^2=(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)-(a_1{b}_1+a_2{b}_2{)}^2=(a_1{b}_2-a_2{b}_1{)}^2$$

(展開すると $a_1^2{b}_1^2$ と $a_2^2{b}_2^2$ が消え、残りが完全平方にまとまる。)右辺は平方だから $\ge 0$ となり、これで(1)が出た。等号は $a_1{b}_2-a_2{b}_1=0$、すなわち平行のとき。

しかも(2)の面積公式はこの恒等式の右辺そのもの:

$$S=\frac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}{|}^2|\vec{b}{|}^2-(\vec{a}\cdot \vec{b}{)}^2}=\frac{1}{2}|a_1{b}_2-a_2{b}_1|$$

$t$ の2次式(本解)からは「不等式の構造」が、成分の恒等式(本ルート)からは「差は平方だった」という理由が分かる。$a_1{b}_2-a_2{b}_1$ という量が、不等式・面積・平行判定の3役を1人で演じている。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 外心の定義は「3頂点から等距離」。だが $|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|$ を2乗して展開するより、幾何で一段よい言い換えがある。

外心は辺 OA の垂直二等分線の上にある。これは「$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ の $\vec{a}$ 方向への正射影が、ちょうど $\vec{a}$ の半分」ということ。式にすると

$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \vec{a}=\frac{|\vec{a}{|}^2}{2}$$

辺 OB についても同様で、条件が内積の1次方程式2本に言い換えられる。$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\vec{a}+t\vec{b}$ を入れれば、$s,t$ の連立になる。

① 条件を導く。 $|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|$ の両辺を2乗:

$$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}{|}^2=|\overrightarrow{\mathrm{OP}}-\vec{a}{|}^2=|\overrightarrow{\mathrm{OP}}{|}^2-2\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \vec{a}+|\vec{a}{|}^2$$

より $\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \vec{a}=\frac{|\vec{a}{|}^2}{2}=2$。同様に $\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \vec{b}=\frac{9}{2}$。

② 連立を立てる。 $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\vec{a}+t\vec{b}$ を代入し、$|\vec{a}{|}^2=4,|\vec{b}{|}^2=9,\vec{a}\cdot \vec{b}=3$ を使うと

$$s|\vec{a}{|}^2+t\vec{a}\cdot \vec{b}=2⟺4s+3t=2$$

$$s\vec{a}\cdot \vec{b}+t|\vec{b}{|}^2=\frac{9}{2}⟺3s+9t=\frac{9}{2}⟺s+3t=\frac{3}{2}$$

③ 解く。 2式の差: $3s=\frac{1}{2}$ より $s=\frac{1}{6}$。代入して $3t=\frac{3}{2}-\frac{1}{6}=\frac{4}{3}$、$t=\frac{4}{9}$。

$$s=\frac{1}{6},t=\frac{4}{9}$$

まとめ: 五心のベクトル表示では定義(等距離)をそのまま使うより「垂直二等分線 ⟺ 正射影が半分 ⟺ 内積 $=\frac{|\vec{a}{|}^2}{2}$」と1次の条件に言い換えれば解ける。重心(平均)・内心(辺の重み)と並べて、外心は「内積の連立」で求まる。求め方の型として整理しておきたい。

発展。 射影条件 $\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \vec{a}=\frac{|\vec{a}{|}^2}{2}$、$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \vec{b}=\frac{|\vec{b}{|}^2}{2}$ は、どんな三角形でも通用する外心の連立の型だ。同じ流儀で、垂心は $\overrightarrow{\mathrm{OH}}\cdot (\vec{a}-\vec{b})=0$ 型、内心は角の二等分の重みつき平均で表せる。五心がすべて「内積・1次結合の方程式」で表せる。ベクトルを使うと、五心をすべて同じ方法で扱える。

別解

座標に落とす(機械で確実に)。 $\vec{a}=(2,0)$ と置いてよい。$\vec{b}=(b_1,b_2)$ は $\vec{a}\cdot \vec{b}=2b_1=3$ と $|\vec{b}|=3$ から

$$\vec{b}=\left(\frac{3}{2},\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)$$

外心は垂直二等分線の交点。辺 OA の垂直二等分線は $x=1$。辺 OB については $|\overrightarrow{\mathrm{OP}}{|}^2=|\overrightarrow{\mathrm{OP}}-\vec{b}{|}^2$ を展開して $2\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \vec{b}=|\vec{b}{|}^2$、成分で $3x+3\sqrt{3}y=9$。$x=1$ を入れて $y=\frac{2\sqrt{3}}{3}$、つまり $\mathrm{P}\left(1,\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)$。

最後に $\mathrm{P}=s\vec{a}+t\vec{b}$ を成分で解く: 第2成分から $t\cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$ で $t=\frac{4}{9}$、第1成分から $2s+\frac{3}{2}\cdot \frac{4}{9}=1$ で $s=\frac{1}{6}$。内積の連立(本解)は座標を選ばない普遍の道、座標化は「具体的な数で手を動かしたい」ときの確実な道。座標を $\vec{a}$ に合わせて張る自由は、いつでも使ってよい。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 3つの量が等しい、という条件は差をとると使いやすい。第1の等号から

$$\overrightarrow{\mathrm{PB}}\cdot (\overrightarrow{\mathrm{PA}}-\overrightarrow{\mathrm{PC}})=\overrightarrow{\mathrm{PB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CA}}=0$$

つまり「$\mathrm{PB}\perp \mathrm{CA}$」であり、等式の差がそのまま垂直を言っている。残りの等号からもう1組の垂直が出て、P は2本の高さの交点、すなわち垂心だ。(2)は具体的な座標で、垂心を高さの交点として計算すればよい。

① (1) を示す。 第1の等号から

$$\overrightarrow{\mathrm{PB}}\cdot (\overrightarrow{\mathrm{PA}}-\overrightarrow{\mathrm{PC}})=\overrightarrow{\mathrm{PB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CA}}=0⟹\mathrm{PB}\perp \mathrm{CA}$$

第2の等号から同様に

$$\overrightarrow{\mathrm{PC}}\cdot (\overrightarrow{\mathrm{PB}}-\overrightarrow{\mathrm{PA}})=\overrightarrow{\mathrm{PC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0⟹\mathrm{PC}\perp \mathrm{AB}$$

$\mathrm{P}$ は「$\mathrm{B}$ を通る $\mathrm{CA}$ への垂線」と「$\mathrm{C}$ を通る $\mathrm{AB}$ への垂線」の交点、すなわち垂心である(第3の等号は残りの垂直 $\mathrm{PA}\perp \mathrm{BC}$ を与え、整合する)。

② (2) 座標で求める。 $\mathrm{BC}$ は $x$ 軸上にあるから、$\mathrm{A}$ を通る高さは直線 $x=0$。$\mathrm{B}(-1,0)$ を通り $\mathrm{AC}$ に垂直な高さ: $\overrightarrow{\mathrm{AC}}=(2,-3)$ だから方向 $(3,2)$ の直線 $(x,y)=(-1+3t,2t)$。$x=0$ より $t=\frac{1}{3}$、$y=\frac{2}{3}$。

$$\mathrm{P}\left(0,\frac{2}{3}\right)$$

③ 検算。 $\overrightarrow{\mathrm{PA}}=\left(0,\frac{7}{3}\right),\overrightarrow{\mathrm{PB}}=\left(-1,-\frac{2}{3}\right),\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\left(2,-\frac{2}{3}\right)$:

$$\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}=-\frac{14}{9},\overrightarrow{\mathrm{PB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PC}}=-2+\frac{4}{9}=-\frac{14}{9},\overrightarrow{\mathrm{PC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PA}}=-\frac{14}{9}$$

たしかに3つとも等しい。

まとめ: 「等しい」は「差が0」と読む。内積の差をくくると垂直が現れる、という変形1つで、見慣れない条件が垂心を表していると分かる。逆に垂心ならこの3内積が等しいことも同じ計算で出る(同値な特徴づけ)。

発展。 3つの内積の共通の値 $k$ 自体にも意味がある。$k=\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}$ は(2)の垂心で計算でき、鋭角三角形なら負になる(垂心から見て各頂点対が鈍角に見える)。また、この等式条件は「P を原点にとると $\vec{A}\cdot \vec{B}=\vec{B}\cdot \vec{C}=\vec{C}\cdot \vec{A}$」とも読める。垂心を原点に選ぶと計算が対称になるので、垂心を基準にした座標の取り方にもつながる。

別解

(2)を定理なしで解く(差の方程式は1次になる)。 (1)の「垂心」に気づかなくても、(2)は条件式をそのまま連立すれば解ける。$\mathrm{P}(x,y)$ とおくと、3つの内積はどれも $x,y$ の2次式だ。

だが等式の差をとると、共通の $x^2+y^2$ の項が相殺して1次方程式に落ちる:

• $\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}=\overrightarrow{\mathrm{PB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PC}}$ から $2x-3y=-2$、
• $\overrightarrow{\mathrm{PB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{PC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PA}}$ から $x+3y=2$ が出る。

2本の1次方程式の連立で $\mathrm{P}\left(0,\frac{2}{3}\right)$ となり、本解と同じ答えに着く。

「2次の条件の差は1次(円の根軸と同じ現象)」という構造は、この形の連立でいつも使える省力化だ。もっとも、(1)を経由して「A からの高さは $x=0$」と読む本解のほうが計算は軽い。定理は近道、連立は保険として、両方持っておきたい。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $(x,y)$ 平面では、$|x|+|y|\le 1$ は頂点 $(\pm 1,0),(0,\pm 1)$ のひし形(面積2)だ。

対応 $\mathrm{P}=x\vec{a}+y\vec{b}$ は、$(1,0)\mapsto \vec{a}$、$(0,1)\mapsto \vec{b}$ という1次変換。直線は直線に、ひし形はひし形の像(平行四辺形)に移る。1次変換は面積を一律に $|\det |$ 倍する。基本の正方形が $\vec{a},\vec{b}$ の張る平行四辺形(面積 $|2\cdot 3-1\cdot 1|=5$)に移るから、答えは $2\times 5=10$。「形は変わるが、面積の倍率は一定」が決め手だ。

① もとの領域。 $|x|+|y|\le 1$ は4直線 $\pm x\pm y=1$ で囲まれた正方形(ひし形)で、面積は対角線 $2\times 2$ から $\frac{2\cdot 2}{2}=2$。

② 像の形。 1次の対応だから、頂点 $(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)$ はそれぞれ $\vec{a},\vec{b},-\vec{a},-\vec{b}$、すなわち $(2,1),(1,3),(-2,-1),(-1,-3)$ に移り、辺は辺に移る。したがって像はこの4点を頂点とする平行四辺形である。

③ 面積。 倍率は $|x_1{y}_2-x_2{y}_1|=|2\cdot 3-1\cdot 1|=5$。よって

$$S=2\times 5=10$$

(検算: 頂点 $(2,1),(1,3),(-2,-1),(-1,-3)$ の平行四辺形の面積を対角線や成分で直接計算しても10になる。)

まとめ: $x\vec{a}+y\vec{b}$ は「$\vec{a},\vec{b}$ を目盛りにした斜交座標」である。領域の形は $(x,y)$ 平面で読み、面積は倍率 $|x_1{y}_2-x_2{y}_1|$ で運ぶ、と役割を分けて考える。1次変換の面積比の考え方を、ベクトルの言葉だけで先取りする問題だ。

発展。 「1次変換は面積を $|\det |$ 倍する」は、円を楕円に移して面積 $\pi ab$ を出す(数C・曲線)、積分の置換(ヤコビアン)など、これから何度も再会する原理だ。$\det =0$ のとき(像がつぶれるとき)面積が0になることも、平行判定 $a_1{b}_2-a_2{b}_1=0$ と同じ式で説明がつく。

別解

像の対角線で直接測る(変換の一般論を使わない)。 ひし形の頂点 $(\pm 1,0),(0,\pm 1)$ の行き先は $\pm \vec{a},\pm \vec{b}$。1次の対応は直線を直線に移すから、P の動く領域は4点 $\vec{a},\vec{b},-\vec{a},-\vec{b}$ を順に結んだ四角形だ。

この四角形は、対角線が $2\vec{a}$($-\vec{a}$ から $\vec{a}$ まで)と $2\vec{b}$ で、どちらも中点 O で交わる。対角線が互いに他を二等分する四角形は平行四辺形だ。対角線 ${\vec{d}}_1,{\vec{d}}_2$ の四角形の面積は $\frac{1}{2}|d_{1x}{d}_{2y}-d_{1y}{d}_{2x}|$ で

$$S=\frac{1}{2}\left|4\cdot (2\cdot 3-1\cdot 1)\right|=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 5=10$$

「1次変換は面積を $|\det |$ 倍する」(本解)を天下りに使わず、像の四角形を特定して対角線公式で測った。答えの $10=2\times 5$ の「$2$=ひし形の面積、$5$=単位正方形の像の面積」という分解も、この絵で腑に落ちる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 2定点 A, B が対等に現れる式は、中点 M を間に入れると、対称性を最大限に使える。

$\overrightarrow{\mathrm{PA}}=\overrightarrow{\mathrm{PM}}+\overrightarrow{\mathrm{MA}}$、$\overrightarrow{\mathrm{PB}}=\overrightarrow{\mathrm{PM}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}$ で、$\overrightarrow{\mathrm{MB}}=-\overrightarrow{\mathrm{MA}}$。積は「和と差の積」にまとまって

$$\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}=|\overrightarrow{\mathrm{PM}}{|}^2-|\overrightarrow{\mathrm{MA}}{|}^2$$

内積が一定 ⟺ 中点からの距離が一定 ⟺ 円。式を見た瞬間に、答えの形(中点中心の円)まで見通せる。

① 中点を仲介する。 $\mathrm{AB}$ の中点は原点 $\mathrm{O}$。$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=-\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ だから

$$\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}=(\overrightarrow{\mathrm{PO}}+\overrightarrow{\mathrm{OA}})\cdot (\overrightarrow{\mathrm{PO}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}})=|\overrightarrow{\mathrm{PO}}{|}^2-|\overrightarrow{\mathrm{OA}}{|}^2=|\overrightarrow{\mathrm{OP}}{|}^2-4$$

② 条件を書き直す。

$$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}{|}^2-4=5⟺|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=3$$

③ 軌跡。 原点(= $\mathrm{AB}$ の中点)を中心とする半径3の円

$$x^2+y^2=9$$

まとめ: 「2定点向きの内積は中点で開く」。$k=0$ のときが直径 $\mathrm{AB}$ の円(直角=タレスの円)で、本問はその一般化($k>0$ で半径が $\sqrt{k+|\mathrm{MA}{|}^2}$ に膨らむ)である。値の符号と $-|\mathrm{MA}{|}^2$ の下限($k>-4$ で円が存在)まで見えれば完全だ。

発展。 一般に $\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}=k$ の軌跡は、中点 M 中心・半径 $\sqrt{k+{\mathrm{MA}}^2}$ の円($k>-{\mathrm{MA}}^2$ のとき)。特に $k=0$ は直径 AB の円(タレスの円)で、図形と方程式で学んだ「直角に見込む点の軌跡」がこの式の特別な場合だったと分かる。

別解

座標で2行(苦手な人の最短路)。 $\mathrm{P}(x,y)$ とおいて成分計算してしまえば、置き換えの工夫は要らない。

$$\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}=(-2-x)(2-x)+(-y)(-y)=x^2-4+y^2$$

条件 $=5$ より

$$x^2+y^2=9$$

中心が原点(= AB の中点)、半径3の円。2行で終わる。

本解の中点分解 $|\overrightarrow{\mathrm{PM}}{|}^2-|\overrightarrow{\mathrm{MA}}{|}^2$ は、この計算がなぜこんなに軽いのかの理由でもある($x^2+y^2$ が $|\overrightarrow{\mathrm{PM}}{|}^2$、$4$ が $|\overrightarrow{\mathrm{MA}}{|}^2$)。座標で答えを出し、ベクトルで構造を説明する。2つの表し方を往復すると、どんな配置(A,B が斜めでも)に対しても手が動くようになる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $|\vec{a}+\vec{b}|$ と $|\vec{a}-\vec{b}|$ の情報は、2乗して初めて使える形になる。どちらも展開すれば

$$|\vec{a}{|}^2\pm 2\vec{a}\cdot \vec{b}+|\vec{b}{|}^2$$

差をとれば $\vec{a}\cdot \vec{b}$ が、和をとれば $|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2$ が単独で取り出せる(平行四辺形の法則)。(2)は $p=|\vec{a}||\vec{b}|$ に2つの制約が両側からかかる。コーシー・シュワルツ $|\vec{a}\cdot \vec{b}|\le p$ が下から、相加相乗 $2p\le |\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2$ が上から。両端が実現することの確認までがワンセットだ。

① (1) 足し引きで取り出す。 $9=|\vec{a}{|}^2+2\vec{a}\cdot \vec{b}+|\vec{b}{|}^2$、$1=|\vec{a}{|}^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}+|\vec{b}{|}^2$。差の $\frac{1}{4}$ で

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=\frac{9-1}{4}=2$$

和の $\frac{1}{2}$ で

$$|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2=\frac{9+1}{2}=5$$

② (2) 両側から挟む。 $p=|\vec{a}||\vec{b}|$ とおく。コーシー・シュワルツより $p\ge |\vec{a}\cdot \vec{b}|=2$。相加相乗($|\vec{a}{|}^2,|\vec{b}{|}^2$ に適用)より $2p\le |\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2=5$、すなわち $p\le \frac{5}{2}$。

③ 端の実現を確かめる。 $p=2$: 等号は $\vec{a}\parallel \vec{b}$(同じ向き)のときで、$\vec{a}=(2,0),\vec{b}=(1,0)$ とすると $|\vec{a}+\vec{b}|=3,|\vec{a}-\vec{b}|=1$、$p=2$。$p=\frac{5}{2}$: 等号は $|\vec{a}|=|\vec{b}|=\sqrt{\frac{5}{2}}$ のときで、このとき $\cos \theta =\frac{2}{5/2}=\frac{4}{5}$ で実現できる(なす角が実在する)。よって

$$2\le |\vec{a}||\vec{b}|\le \frac{5}{2}$$

まとめ: 和と差の大きさは、内積と平方和を別の形で書いたものだ。足し引きでほどくのが第一手。範囲問題では、上限と下限が別々の不等式から来ることを見抜き、端の実現(等号条件が両立するか)まで確かめて初めて範囲と言い切れる。

発展。 (1)の2式を足した $|\vec{a}+\vec{b}{|}^2+|\vec{a}-\vec{b}{|}^2=2(|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2)$ は中線定理そのもの(平行四辺形の対角線の平方和=4辺の平方和)。ベクトルの展開1行が幾何の定理と同じ内容になっている。「2乗して展開」からは中線定理も余弦定理も出てくる。

別解

和と積の2数として見る(解と係数の関係)。 $x=|\vec{a}{|}^2,y=|\vec{b}{|}^2$ とおくと、(1)から

$$x+y=5,xy=p^2(p=|\vec{a}||\vec{b}|)$$

つまり $x,y$ は2次方程式 $u^2-5u+p^2=0$ の2つの実数解(しかも正)だ。実数解の条件は判別式

$$25-4p^2\ge 0⟺p\le \frac{5}{2}$$

これが上限。下限はコーシー・シュワルツ $p\ge |\vec{a}\cdot \vec{b}|=2$(本解と同じ)。このルートの御利益は、両端の実現例が判別式から自動で出ること。$p=\frac{5}{2}$ は重解 $x=y=\frac{5}{2}$、つまり $|\vec{a}|=|\vec{b}|=\sqrt{5/2}$ のとき。$p=2$ は $xy=4,x+y=5$ から $\{x,y\}=\{1,4\}$、つまり $|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=2$ で $\vec{a}\parallel \vec{b}$(たとえば $\vec{a}=(1,0),\vec{b}=(2,0)$ が実際に $|\vec{a}+\vec{b}|=3,|\vec{a}-\vec{b}|=1$ を満たす)。

大きさの2乗たちを和と積で管理する。対称式の目で見ると、範囲と実現例が同じ計算から出てくる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 和の条件は、1本を孤立させると使える形になる: $\overrightarrow{\mathrm{OC}}=-(\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}})$。

両辺の大きさを2乗すると、$|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=1$ と $|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=1$ から $\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=-\frac{1}{2}$ が出る。対称性から、どの2本の内積も $-\frac{1}{2}$。すると辺の長さはすべて $|\overrightarrow{\mathrm{AB}}{|}^2=2-2\left(-\frac{1}{2}\right)=3$ で等しく、正三角形だ。

① 内積を求める。 $\overrightarrow{\mathrm{OC}}=-(\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}})$ の両辺の大きさを2乗:

$$1=|\overrightarrow{\mathrm{OA}}{|}^2+2\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}+|\overrightarrow{\mathrm{OB}}{|}^2=2+2\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$$

$$⟹\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=-\frac{1}{2}$$

② 対称性で3組とも。 条件は $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}$ について対称だから、同じ計算で

$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=-\frac{1}{2}$$

③ 辺の長さを計算する。

$$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}{|}^2=|\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}{|}^2=1+1-2\left(-\frac{1}{2}\right)=3$$

他の2辺も同様に $|\overrightarrow{\mathrm{BC}}{|}^2=|\overrightarrow{\mathrm{CA}}{|}^2=3$。3辺がすべて $\sqrt{3}$ で等しいから、三角形 $\mathrm{ABC}$ は正三角形である(なす角はどの2本も $\cos \theta =-\frac{1}{2}$ で $120^{\circ }$ なので、3本が円を三等分している)。

まとめ: 「和が $\vec{0}$」は移項して2乗で内積の式に直す。対称な条件は1回計算すれば全組に写る。この事実は「重心が外心に一致する三角形は正三角形」の言い換えでもあり、円に内接する正三角形の対称性そのものだ。

発展。 単位円上の $n$ 点で和が $\vec{0}$ になる配置は、$n=3$ では正三角形に限るが、$n=4$ では正方形以外にも無数にある(向かい合う2組の直径など)。「和が0=重心が中心」は必要条件としては常に働くが、正多角形になると決まるのは $n=3$ のときだけだ。3点の配置は自由度が少ないことが、この問題の背景にある。

別解

重心と外心が一致する、と読む(計算のない証明)。 条件 $\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\vec{0}$ は、割る3をすれば「三角形 ABC の重心が O」と言っている。一方、O は円の中心だから、3頂点から等距離にある。つまり O は外心でもある。

重心と外心が一致したとする。頂点 A から重心への中線はBC の中点 M を通る。外心から BC の中点への線分は BC と垂直(垂直二等分線)。両者が同じ直線なのだから、中線 AM が BC の垂直二等分線になる。よって $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$。同様に他の辺についても等しく、3辺がすべて等しい正三角形になる。

内積の計算(本解)は値($-\frac{1}{2}$、辺 $\sqrt{3}$)まで出せる定量の道、五心の一致(本ルート)は「なぜ正三角形しかありえないか」を一言で言い切る定性の道。「重心=外心 ⟺ 正三角形」は覚えておく価値のある特徴づけだ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) ${\mathrm{PA}}^2+{\mathrm{PB}}^2$ という対称な量は、中点 M を仲介すると構造が見える。中線定理で

$${\mathrm{PA}}^2+{\mathrm{PB}}^2=2{\mathrm{PM}}^2+\frac{{\mathrm{AB}}^2}{2}$$

$\frac{{\mathrm{AB}}^2}{2}$ は定数。だから最小化の相手は $\mathrm{PM}$ だけ、つまり「$x$ 軸上の点 P と定点 M の距離の最小化」に置き換わる。答えは M から $x$ 軸に下ろした垂線の足。2点への距離の平方和が1点への距離で表せる。この言いかえが決め手だ。

① 中線定理で束ねる。 $\mathrm{M}$ は $\mathrm{AB}$ の中点 $\mathrm{M}(2,3)$、${\mathrm{AB}}^2=(4-0{)}^2+(4-2{)}^2=20$。よって

$${\mathrm{PA}}^2+{\mathrm{PB}}^2=2{\mathrm{PM}}^2+10$$

② $\mathrm{PM}$ を最小化する。 $\mathrm{P}$ は $x$ 軸上を動くから、$\mathrm{PM}$ が最小になるのは $\mathrm{M}(2,3)$ から $x$ 軸へ下ろした垂線の足 $\mathrm{P}(2,0)$ のとき。最小値は $\mathrm{PM}=3$。

③ 最小値。

$$2\cdot 3^2+10=28$$

(検算: $\mathrm{P}(2,0)$ で直接計算すると ${\mathrm{PA}}^2=4+4=8$、${\mathrm{PB}}^2=4+16=20$、和は $28$。座標のまま平方完成しても $x=2$ で最小 $28$ になる。)

まとめ: 「平方和は中点で束ねる」。中線定理を計算道具として使うと、2点への最小化が1点への最小化(=垂線の足)に帰着する。恒等式は証明のためだけでなく、問題を別の形に移す道具として使える。

発展。 点の数を増やしても同じ構造が働く。$n$ 点 ${\mathrm{A}}_1,\dots ,{\mathrm{A}}_n$ への距離の平方和は、重心 G を使って $\sum {\mathrm{PA}}_i^2=n{\mathrm{PG}}^2+\sum {\mathrm{GA}}_i^2$ と分解でき、直線上での最小化は「重心の射影」で決まる。本問の M は2点の重心にほかならない。統計の「偏差平方和は平均のまわりで最小」と同じ式が、幾何では重心の言葉で現れる。

別解

座標で平方完成(構造を知らなくても届く)。 $\mathrm{P}(t,0)$ とおいて直接計算する。

$${\mathrm{PA}}^2+{\mathrm{PB}}^2=(t^2+4)+\left\{(t-4{)}^2+16\right\}=2t^2-8t+36=2(t-2{)}^2+28$$

$t=2$ で最小値 $28$。$\mathrm{P}(2,0)$。3行で終わる。

中線定理(本解)からは、この平方完成の「$2(t-2{)}^2$」が $2{\mathrm{PM}}^2$ の変動部分であり、「$28$」の内訳が $2\times 9+10$($\mathrm{M}(2,3)$ までの最短距離の2乗の2倍+$\frac{{\mathrm{AB}}^2}{2}$)であることが分かる。

最小点 $t=2$ がA, B の中点 $\mathrm{M}(2,3)$ の真下(=$x$ 軸への正射影)である、という図形の答えを先に予想してから計算で確かめる、という順番でも戦える。