平面ベクトル ★★★ 応用の問題 全8問

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 重心の位置ベクトルは $\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{3}$。$3$ 頂点の位置ベクトルの平均だ。

「重心 = 位置ベクトルの平均」という基本を、そのまま使う。あとは各頂点の座標を平均して、成分に落とすだけだと見通す。

① 位置ベクトルの平均を計算する。

$$\overrightarrow{\mathrm{OG}}=\frac{\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}}{3}=\frac{(0,0)+(4,0)+(0,3)}{3}=\frac{(4,3)}{3}=(\frac{4}{3},1)$$

② 座標を書く。 $\mathrm{G}\left(\frac{4}{3},1\right)$。

まとめ:重心はベクトルで「$3$ 頂点の平均」$\frac{\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}}{3}$。座標では $x$、$y$ それぞれ平均。$\frac{0+4+0}{3}=\frac{4}{3}$、$\frac{0+0+3}{3}=1$。位置ベクトルの言葉で重心を扱えると、$\mathrm{AG}:\mathrm{GM}=2:1$ などの性質も導ける。

発展。 重心 $\mathrm{G}$ には「$\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}}=\vec{0}$」という性質がある。$3$ 頂点から $\mathrm{G}$ を見た位置ベクトルの和が、ちょうど打ち消し合う。これが「重心 = つり合いの中心(質量中心)」の意味だ。

じっさい $\overrightarrow{\mathrm{OG}}=\frac{\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}}{3}$ を移項すれば、この和が $\vec{0}$ になることが確かめられる。平均という考え方は $3$ 点にかぎらない。$n$ 個の点の重心は $\frac{\overrightarrow{p_1}+\cdots +\overrightarrow{p_n}}{n}$ で、やはり全部の平均だ。中線を $2:1$ に内分する性質も、この平均の式から出てくる。

別解

別解:中線を $2:1$ に分ける点として求める(苦手な人向けの図形ルート)。 重心は「頂点と対辺の中点を結ぶ中線を、頂点側から $2:1$ に内分する点」。この図形の性質を使っても求められる。

まず頂点 $\mathrm{A}$ の対辺 $\mathrm{BC}$ の中点 $\mathrm{M}$ を出す。$\mathrm{M}=\left(\frac{4+0}{2},\frac{0+3}{2}\right)=\left(2,\frac{3}{2}\right)$。重心 $\mathrm{G}$ は $\mathrm{A}$ から $\mathrm{M}$ へ $2:1$ に内分する点。位置ベクトルで書くと

$$\overrightarrow{\mathrm{OG}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{2}{3}(\overrightarrow{\mathrm{OM}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}})=\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{2}{3}\overrightarrow{\mathrm{OM}}.$$

$\mathrm{A}=(0,0)$、$\mathrm{M}=\left(2,\frac{3}{2}\right)$ を入れると $\overrightarrow{\mathrm{OG}}=\frac{2}{3}\left(2,\frac{3}{2}\right)=\left(\frac{4}{3},1\right)$。$3$ 頂点を平均する本解と同じ $\mathrm{G}\left(\frac{4}{3},1\right)$。中線を $2:1$ に分ける図形の性質から出発しても、同じ重心にたどり着く。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $|\vec{a}+t\vec{b}|$ をそのまま最小化するのは難しい。

そこで $2$ 乗して、$t$ の $2$ 次関数とみる。平方完成すれば最小値がわかる。大きさの最小は $2$ 乗の最小を出してから平方根をとる。この一手を加えるだけだと見通す。

① 各量を求める。 $|\vec{b}{|}^2=1+4=5$、$\vec{a}\cdot \vec{b}=2\cdot 1+1\cdot 2=4$、$|\vec{a}{|}^2=4+1=5$。

② $t$ の $2$ 次関数にする。

$$|\vec{a}+t\vec{b}{|}^2=5t^2+2\cdot 4\cdot t+5=5t^2+8t+5$$

③ 平方完成する。

$$5t^2+8t+5=5(t+\frac{4}{5}{)}^2+5-\frac{16}{5}=5(t+\frac{4}{5}{)}^2+\frac{9}{5}$$

最小値は $t=-\frac{4}{5}$ のとき $\frac{9}{5}$。これは $|\vec{a}+t\vec{b}{|}^2$ の最小値。

④ 平方根をとる。

$$|\vec{a}+t\vec{b}{|}_{\min }=\sqrt{\frac{9}{5}}=\frac{3}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$$

まとめ:大きさの最小は「$2$ 乗の最小 → 平方根」。$|{|}^2$ が $t$ の $2$ 次関数になるので平方完成。最小値 $\frac{9}{5}$ のルート $\frac{3}{\sqrt{5}}$ を有理化して $\frac{3\sqrt{5}}{5}$。これは点から直線への最短距離にあたる。

発展。 $\vec{a}+t\vec{b}$($t$ が動く)は、$\vec{a}$ の先端を通り $\vec{b}$ 方向にのびる直線上の点。その大きさの最小は原点からこの直線までの最短距離にあたる。

最短を与えるのは、$\vec{a}+t\vec{b}$ が $\vec{b}$ に垂直になるとき。頂点の $t=-\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{b}{|}^2}$ は、$\vec{a}$ を $\vec{b}$ に射影する式そのものだ。最小値は $|\vec{a}|\sin \theta$($\theta$ は $\vec{a},\vec{b}$ のなす角)とも書ける。平方完成という代数と、垂線・射影という幾何が、同じ答えを指している。

別解

別解:最小のとき $\vec{a}+t\vec{b}$ が $\vec{b}$ に垂直(得意な人向けの視点)。 $\vec{a}+t\vec{b}$ は $\vec{b}$ 方向の直線上を動く。原点から直線への最短は垂線のときだから、最小のとき $\vec{a}+t\vec{b}$ は $\vec{b}$ に垂直になる。

垂直は内積 $0$。$(\vec{a}+t\vec{b})\cdot \vec{b}=0$ を立てる。$\vec{a}\cdot \vec{b}=4$、$|\vec{b}{|}^2=5$ より

$$\vec{a}\cdot \vec{b}+t|\vec{b}{|}^2=4+5t=0⟹t=-\frac{4}{5}.$$

このとき $\vec{b}$ の項が内積で消えるので、$|\vec{a}+t\vec{b}{|}^2$ が楽に出る。

$$|\vec{a}+t\vec{b}{|}^2=(\vec{a}+t\vec{b})\cdot (\vec{a}+t\vec{b})=(\vec{a}+t\vec{b})\cdot \vec{a}=|\vec{a}{|}^2+t(\vec{a}\cdot \vec{b})=5-\frac{4}{5}\cdot 4=\frac{9}{5}.$$

よって最小値は $\sqrt{\frac{9}{5}}=\frac{3}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$。平方完成する本解と同じ答え。「最短は垂線」と見れば、平方完成せずに最小の $t$ が出せる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) なす角は「内積 ÷(大きさの積)」で出す。ここでは $\cos \theta =\frac{(\vec{a}+\vec{b})\cdot \vec{a}}{|\vec{a}+\vec{b}||\vec{a}|}$。

成分は与えられていない。だが $|\vec{a}|,|\vec{b}|,\vec{a}\cdot \vec{b}$ の $3$ つだけで、分子も分母も作れる。内積の展開公式を使えば、成分なしでも角度が出せると見通す。

① 分子(内積)を求める。

$$(\vec{a}+\vec{b})\cdot \vec{a}=\vec{a}\cdot \vec{a}+\vec{b}\cdot \vec{a}=|\vec{a}{|}^2+\vec{a}\cdot \vec{b}=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$$

② $|\vec{a}+\vec{b}|$ を求める。

$$|\vec{a}+\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+2\vec{a}\cdot \vec{b}+|\vec{b}{|}^2=1+2\cdot \frac{1}{2}+1=3\Rightarrow |\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{3}$$

③ $\cos \theta$ を計算する。 $|\vec{a}|=1$。

$$\cos \theta =\frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{3}\times 1}=\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

④ 角を求める。 $\cos \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}$ より $\theta =30^{\circ }$。

まとめ:合成したベクトルのなす角も「内積 ÷(大きさの積)」。分子 $(\vec{a}+\vec{b})\cdot \vec{a}=|\vec{a}{|}^2+\vec{a}\cdot \vec{b}$、分母 $|\vec{a}+\vec{b}|$ を、与えられた量から展開公式で組み立てる。$\frac{3}{2\sqrt{3}}$ を有理化すると $\frac{\sqrt{3}}{2}$、$30^{\circ }$ だ。

発展。 $|\vec{a}|=|\vec{b}|=1$ だから、$\vec{a},\vec{b}$ を $2$ 辺とする平行四辺形は $4$ 辺の長さがすべて $1$ のひし形。ひし形の対角線は頂点の角を二等分する。だから $\vec{a}+\vec{b}$ は $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角をちょうど半分に分ける。

もとの角は $\vec{a}\cdot \vec{b}=\frac{1}{2}$ から $60°$。その半分の $30°$ が答えになる。図形の性質と計算が一致する。

一般に、大きさの等しい $\vec{a},\vec{b}$ では $\vec{a}+\vec{b}$ が角の二等分方向になる。大きさが違うときは、単位ベクトルの和 $\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}+\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}$ が二等分方向を与える。

別解

別解:ひし形の対角線は角を二等分する(苦手な人向けの図形ルート)。 $\vec{a}$ と $\vec{b}$ を図にかいて考える。

$|\vec{a}|=|\vec{b}|=1$ なので、$\vec{a},\vec{b}$ を $2$ 辺とする平行四辺形は、$4$ 辺の長さがすべて $1$ のひし形。その対角線が $\vec{a}+\vec{b}$ だ。ひし形の対角線は頂点の角をちょうど半分に分ける。だから $\vec{a}+\vec{b}$ は $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のあいだの角を二等分する。

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角は、$\vec{a}\cdot \vec{b}=\frac{1}{2}$ すなわち $\cos =\frac{1}{2}$ より $60°$。その半分だから、$\vec{a}+\vec{b}$ と $\vec{a}$ のなす角は $30°$。内積で計算する本解と同じ $30°$。大きさが等しいときは、和のベクトルが角の二等分線になる、と図で見える。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $\vec{c}=s\vec{a}+t\vec{b}$ の分解は、成分比較で連立方程式にする。

$s\vec{a}+t\vec{b}=(s+t,2t)$ を $\vec{c}=(5,4)$ と見くらべる。$y$ 成分の式は $2t=4$ で $1$ 文字だけ。連立は $1$ 文字だけの式から先に片づけると速い、と見通す。

① 成分で書く。

$$s(1,0)+t(1,2)=(s+t,2t)$$

② $\vec{c}=(5,4)$ と成分比較する。

$$\{\begin{array}{l}s+t=5\\ 2t=4\end{array}$$

③ 解く。 $y$ 成分 $2t=4$ から $t=2$。$s+t=5$ に代入して $s=3$。

$$\vec{c}=3\vec{a}+2\vec{b}$$

まとめ:$1$ 次結合の分解は成分比較。今回は $\vec{a}$ の $y$ 成分が $0$ なので、$y$ 成分の式 $2t=4$ からすぐに $t$ が決まり、続いて $s$ が出る。連立が解きやすい形だ。

発展。 $\vec{c}=s\vec{a}+t\vec{b}$ の $(s,t)$ は、$\vec{a},\vec{b}$ を軸にとった斜交座標での $\vec{c}$ の座標。この分解が一通りに決まるのは、$\vec{a},\vec{b}$ が平行でない($1$ 次独立)からだ。

平行かどうかは $x_a{y}_b-x_b{y}_a$ で判定できる。ここでは $1\cdot 2-1\cdot 0=2\ne 0$ なので、$\vec{a},\vec{b}$ は座標軸の役をはたす。もし $\vec{a}\parallel \vec{b}$ ならこの値が $0$ になり、分解できない、あるいは一通りに決まらない。$1$ 次独立は「座標系が組める」ための条件である。

別解

別解:片方を消すように内積をとる(得意な人向けの視点)。 $\vec{c}=s\vec{a}+t\vec{b}$ の $s$ だけを取り出したい。そこで、$\vec{b}$ に垂直なベクトルとの内積をとると、$t\vec{b}$ の項が消える。

$\vec{b}=(1,2)$ に垂直なベクトルは $(2,-1)$。両辺とこれの内積をとると、$\vec{b}\cdot (2,-1)=0$ だから

$$\vec{c}\cdot (2,-1)=s\vec{a}\cdot (2,-1).$$

左辺は $5\cdot 2+4\cdot (-1)=6$、右辺の $\vec{a}\cdot (2,-1)=1\cdot 2+0=2$。よって $2s=6$、$s=3$。同じように $\vec{a}=(1,0)$ に垂直な $(0,1)$ との内積をとると、$\vec{a}$ の項が消えて $\vec{c}\cdot (0,1)=t\vec{b}\cdot (0,1)$、つまり $4=2t$、$t=2$。

成分比較で連立する本解と同じ $\vec{c}=3\vec{a}+2\vec{b}$。「消したい成分に垂直な向きで内積をとる」と、$s,t$ を $1$ つずつ取り出せる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 三角形の面積は「$2$ 辺のベクトルのたすき掛けの半分」$\frac{1}{2}|x_1{y}_2-x_2{y}_1|$ で出せる。

ただしこの公式は、$2$ 辺が同じ点から出ているときの形。原点は頂点でないので、まず $\mathrm{A}$ を基準点にする。$\mathrm{A}$ から $\mathrm{B},\mathrm{C}$ へのベクトルを $2$ 辺として作れば、あとは公式どおりだと見通す。

① $2$ 辺のベクトルを求める。

$$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(4-1,2-1)=(3,1),\overrightarrow{\mathrm{AC}}=(2-1,5-1)=(1,4)$$

② 面積公式にあてはめる。

$$\text{面積}=\frac{1}{2}|x_1{y}_2-x_2{y}_1|=\frac{1}{2}|3\cdot 4-1\cdot 1|=\frac{1}{2}|12-1|=\frac{11}{2}$$

まとめ:座標三角形の面積はまず $1$ つの頂点($\mathrm{A}$)から $2$ 辺のベクトルを作り、$\frac{1}{2}|x_1{y}_2-x_2{y}_1|$。原点でなくても、辺のベクトルの成分を使えばよい。$\frac{11}{2}$。

発展。 $x_1{y}_2-x_2{y}_1$ は、$2$ 辺のベクトルを並べたときの符号つき面積(向きつきの平行四辺形の面積)。反時計回りに測れば正、時計回りなら負になる。その絶対値の半分が三角形の面積だ。

この量は頂点の座標を順に掛けて足し引きする「靴ひも(シューレース)公式」の一部でもある。三角形にかぎらず、多角形の面積を座標だけで計算できる。

符号まで見れば、$3$ 点が反時計回りか時計回りか、あるいは一直線上か($=0$)まで判定できる。面積 $0$ は $3$ 点が共線という意味だ。

別解

別解:囲む長方形から余分を引く(苦手な人向けの図形ルート)。 $3$ 点を囲む、辺が縦横の長方形をかいて、そこから外側の直角三角形を引く。

$x$ は $1$ から $4$、$y$ は $1$ から $5$。だから横 $3$、縦 $4$、面積 $12$ の長方形で $3$ 点を囲める。三角形の外側にできる直角三角形は $3$ つ。それぞれの面積は

$$\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 1=\frac{3}{2},\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 2=3,\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 4=2.$$

長方形からこれらを引くと

$$12-\left(\frac{3}{2}+3+2\right)=12-\frac{13}{2}=\frac{11}{2}.$$

たすき掛けの公式を使う本解と同じ $\frac{11}{2}$。公式を忘れても、長方形と直角三角形の引き算で面積が出せる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 垂線の足を求めなくても、点と直線の距離は出せる。

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ と方向ベクトル $\vec{d}$ が作る平行四辺形を考える。その面積は $|x_1{y}_2-x_2{y}_1|$。平行四辺形の面積 = 底辺 × 高さ。底辺を $|\vec{d}|$ とみれば、高さがそのまま距離になる、と見通す。

① 平行四辺形の面積を求める。 $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(3,1)$、$\vec{d}=(1,2)$。$2$ ベクトルが作る平行四辺形の面積は $|x_1{y}_2-x_2{y}_1|$。

$$|3\cdot 2-1\cdot 1|=|6-1|=5$$

② 底辺 $|\vec{d}|$ で割る。 $|\vec{d}|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。

$$\text{距離}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$$

まとめ:点と直線の距離は「$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ と方向 $\vec{d}$ が作る平行四辺形の面積 ÷ 底辺 $|\vec{d}|$」。面積 = 底辺 × 高さ だから、高さ(= 距離)= 面積 ÷ 底辺。ベクトルの外積(成分の差)で面積が出せる。

発展。 分子 $|x_1{y}_2-x_2{y}_1|$ は $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ と $\vec{d}$ が作る平行四辺形の面積、分母 $|\vec{d}|$ は底辺。だから「面積 ÷ 底辺 = 高さ」で距離が出る。

同じことは直線を方程式 $2x-y=0$ に直して、点と直線の距離公式で計算しても得られる。ベクトルの見方と座標幾何の見方は、ここで一致する。距離は $|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|\sin \theta$($\theta$ は $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ と $\vec{d}$ のなす角)とも書ける。$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ の「$\vec{d}$ に垂直な成分」の大きさ、それがそのまま距離だ。

別解

別解:垂線の足を求めて距離を出す(苦手な人向けの手順ルート)。 距離の定義どおり、$\mathrm{P}$ から直線へ下ろした垂線の足 $\mathrm{H}$ をまず求め、$\mathrm{PH}$ の長さを測る。

$\mathrm{H}$ は直線上の点なので $\overrightarrow{\mathrm{OH}}=k\vec{d}$ と書ける。$\overrightarrow{\mathrm{PH}}=\overrightarrow{\mathrm{OH}}-\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ が $\vec{d}$ に垂直、すなわち $(k\vec{d}-\overrightarrow{\mathrm{OP}})\cdot \vec{d}=0$。これは $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ を $\vec{d}$ に射影する式で

$$k=\frac{\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \vec{d}}{|\vec{d}{|}^2}=\frac{3\cdot 1+1\cdot 2}{1^2+2^2}=\frac{5}{5}=1.$$

よって $\mathrm{H}=1\cdot (1,2)=(1,2)$。距離は

$$|\overrightarrow{\mathrm{PH}}|=|(1-3,2-1)|=|(-2,1)|=\sqrt{(-2{)}^2+1^2}=\sqrt{5}.$$

面積 ÷ 底辺で出す本解と同じ $\sqrt{5}$。垂線の足 $\mathrm{H}$ を射影で求めれば、距離を直接測ることもできる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 円は「中心からの距離が半径に等しい点の集まり」。

これをベクトルで書くと $|\vec{p}-\vec{c}|=r$ になる。だから $\mathrm{P}$ が円上かどうかは、中心 $\mathrm{C}$ から $\mathrm{P}$ へのベクトル $\overrightarrow{\mathrm{CP}}$ の大きさが半径 $3$ に等しいかを見ればよい、と見通す。

① 中心から点へのベクトルを求める。

$$\overrightarrow{\mathrm{CP}}=\mathrm{P}-\mathrm{C}=(4-1,2-2)=(3,0)$$

② 大きさ(中心からの距離)を求める。

$$|\overrightarrow{\mathrm{CP}}|=\sqrt{3^2+0^2}=3$$

③ 半径とくらべる。 $|\overrightarrow{\mathrm{CP}}|=3=r$ なので、点 $\mathrm{P}$ は円上にある。

まとめ:円は「中心からの距離が半径に等しい点の集まり」。ベクトルでは $|\vec{p}-\vec{c}|=r$。$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$ の大きさが半径 $3$ に等しいので $\mathrm{P}$ は円周上。$|\overrightarrow{\mathrm{CP}}|<r$ なら内部、$>r$ なら外部だ。

発展。 ベクトル方程式 $|\vec{p}-\vec{c}|=r$ の両辺を $2$ 乗すると $(\vec{p}-\vec{c})\cdot (\vec{p}-\vec{c})=r^2$。これを成分で書けば $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=9$ という円の方程式そのものになる。

内部・円上・外部の判定は $|\overrightarrow{\mathrm{CP}}|$ と $r$ の大小、つまり $|\overrightarrow{\mathrm{CP}}{|}^2-r^2$ の符号で決まる。これは点の「方べきの値」にあたる。円は媒介変数でも書ける。中心から $r(\cos \theta ,\sin \theta )$ だけ進んだ点の集まりだ。今回の $\mathrm{P}$ は $\theta =0°$、円のいちばん右の点にあたる。

別解

別解:円を媒介変数で表して当てはめる(得意な人向けの視点)。 中心 $\mathrm{C}(1,2)$、半径 $3$ の円上の点は $\mathrm{C}$ から半径 $3$ だけ各方向へ進んだ点。すなわち $(1+3\cos \theta ,2+3\sin \theta )$ と書ける。

点 $\mathrm{P}(4,2)$ がこの形になる $\theta$ があるかを調べる。$x$ 座標から $1+3\cos \theta =4$、つまり $\cos \theta =1$。$y$ 座標から $2+3\sin \theta =2$、つまり $\sin \theta =0$。

$\cos \theta =1$ かつ $\sin \theta =0$ を満たすのは $\theta =0°$。だから $\mathrm{P}$ は円上の点(円のいちばん右)にあたる。$|\overrightarrow{\mathrm{CP}}|=r$ を確かめる本解と同じ結論。$\mathrm{P}$ は $\theta =0°$ に対応する円周上の点だと、媒介変数からもわかる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 内積は $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$。大きさ $|\vec{a}|,|\vec{b}|$ は固定されている。

すると動くのは $\cos \theta$ だけ。内積の最大・最小は $\cos \theta$ の範囲 $-1\le \cos \theta \le 1$ で決まる。向きが同じ($\cos \theta =1$)で最大、逆向き($\cos \theta =-1$)で最小になる、と見通す。

① 内積を $\cos \theta$ で表す。 大きさは固定。

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=2\times 3\times \cos \theta =6\cos \theta$$

② $\cos \theta$ の範囲で最大最小を求める。 $\cos \theta$ は $-1\leqq \cos \theta \leqq 1$。

• $\cos \theta =1$($\theta =0^{\circ }$、同じ向き):最大 $6\times 1=6$。
• $\cos \theta =-1$($\theta =180^{\circ }$、逆向き):最小 $6\times (-1)=-6$。

$$\text{最大値 }6,\text{最小値 }-6$$

まとめ:内積 $|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$ で大きさが固定なら、$\cos \theta$ の増減が全て。同じ向き($\theta =0$)で最大 $|\vec{a}||\vec{b}|$、逆向き($\theta =180^{\circ }$)で最小 $-|\vec{a}||\vec{b}|$、垂直($\theta =90^{\circ }$)で $0$。内積は向きの一致度を表す。

発展。 $\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\cos \theta$ は、$2$ つのベクトルの「向きのそろい具合」を $-1$ から $1$ で表す目盛り。$1$ で同じ向き、$0$ で垂直、$-1$ で逆向きだ。

だから大きさを固定した内積の最大・最小は、なす角という $1$ つの変数の問題になる。同じ向きで最大、逆向きで最小という自然な結論が出る。

$|\vec{a}\cdot \vec{b}|\le |\vec{a}||\vec{b}|$ という関係(コーシー・シュワルツの不等式)は、平面にかぎらず空間でも、数列や積分でも成り立つ、内積のもっとも基本的な性質だ。

別解

別解:コーシー・シュワルツの不等式で範囲を出す(得意な人向けの視点)。 どんなベクトルでも、内積の絶対値は大きさの積を超えない。これをコーシー・シュワルツの不等式という。

$$|\vec{a}\cdot \vec{b}|\le |\vec{a}||\vec{b}|=2\cdot 3=6.$$

これを開くと $-6\le \vec{a}\cdot \vec{b}\le 6$。だから内積は $6$ より大きくも、$-6$ より小さくもなれない。等号が成り立つのは $\vec{a},\vec{b}$ が平行のとき。同じ向きなら $\vec{a}\cdot \vec{b}=6$(最大)、逆向きなら $\vec{a}\cdot \vec{b}=-6$(最小)。

$\cos \theta$ の範囲で考える本解と同じ、最大 $6$・最小 $-6$。内積の絶対値は大きさの積以下、という一本の不等式からも、上限と下限が同時に読み取れる。