数列 ★ 基礎の問題 全12問

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 等差数列は「同じ数を足し続ける」数列だ。

$$3,7,11,15,19,\dots (\text{4 ずつ増える})$$

第 $n$ 項を求めるには、「初項から何回足したか」を数える。

• 第 $1$ 項: $3$($0$ 回足す)
• 第 $2$ 項: $3+4$($1$ 回)
• 第 $3$ 項: $3+4+4$($2$ 回)
• 第 $n$ 項: $3+4\times \boxed{(n-1)}$ 回

$$a_n=3+4(n-1)=4n-1$$

注意するのは $(n-1)$ だ。 第 $n$ 項までに足す回数は、$n$ 回ではなく $n-1$ 回だ。

第 $10$ 項。

$$a_{10}=4\times 10-1=39$$

覚えるのは 「初項 $+$ 公差 $\times$($n-1$)」 の $1$ 本だ。

① 公式に代入する。 $a_1=3$、$d=4$。

$$a_n=3+(n-1)\times 4$$

② 展開して整理する。

$$a_n=3+4n-4=4n-1$$

③ 第 $10$ 項を求める。 $n=10$ を代入。

$$a_{10}=4\times 10-1=39$$

まとめ:等差数列は「初項 + 公差 ×(何個進んだか)」。$(n-1)$ が「初項から $n-1$ 歩進む」を表す。$n=1$ で $a_1$ に戻るか確かめると安心だ。

発展。 数列を「関数」として見ると、ほかの単元とのつながりが分かる。

数列 $\{a_n\}$ とは「自然数 $n$ に、数 $a_n$ を対応させる関数」である。

$$a:\mathbb{N}\to \mathbb{R}$$

数列とは、定義域が「自然数だけ」の関数のことだ。

この見方の帰結。

$1$: 数列も、グラフが描ける。 ただし、点が飛び飛びに並ぶ(連続な曲線にはならない)。$2$: 数列にも「極限」がある。

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$$

関数の ${\lim }_{x\to \infty }f(x)$ と、まったく同じ発想だ(数IIIで学ぶ)。$3$: 数列の「差」は関数の「微分」に対応する。

$$\Delta a_n=a_{n+1}-a_n⟷f^{\prime }(x)$$

等差数列は、差が一定 → 微分すると定数($1$ 次関数)$4$: 数列の「和」は、関数の「積分」に対応する。

$$\sum _{k=1}^n{a}_k⟷{\int }_0^{x}f(t)dt$$

この対応は「離散」と「連続」の対応であり、差分学という分野を作っている。

漸化式は微分方程式の「離散版」である。

そして、コンピュータで微分方程式を解くとき、実際には「漸化式に直して」計算する(数値計算法)。

連続を離散で近似するのである。スーパーコンピュータの気象予報もこの方法で動いている。「数列は、関数の飛び飛び版」と考えれば、数列と微積分が別々の単元ではなくなる。

別解

等差数列の一般項 $a_n=4n-1$ は、$n$ の $1$ 次式だ。 この事実に気づくと、数列を「直線」として見ることができる。表を書いて、確かめる。

$a_{10}=39$。公式と一致した。この点 $(n,a_n)$ を、座標平面にプロットしてみよう。

$$(1,3),(2,7),(3,11),(4,15),\dots$$

すべて、$1$ 本の直線の上に並ぶ。

$$y=4x-1$$

$$\boxed{\text{等差数列 }=\text{直線上の、等間隔の点}}$$

「公差」は「傾き」だ。

$$(\text{公差})=4=(\text{直線の傾き})$$

この見方をすると、公式が「当たり前」になる。傾き $4$ で、$x=1$ のとき $y=3$ を通る直線は?

$$y-3=4(x-1)⟹y=4x-1$$

数IIで習った「$1$ 点と傾きの直線」の公式は、等差数列の一般項の公式そのものだった。

$$a_n=a_1+d(n-1)⟺y-y_1=m(x-x_1)$$

完全に同じ形。

「$(n-1)$ って何?」という疑問も、これで解ける。 直線の式で $(x-1)$ と書くのと同じで、基準点($n=1$)からのズレを測っているのだ。

この視点の便利さ。

「等差数列で、第 $3$ 項が $11$、第 $7$ 項が $27$。一般項は?」

直線として考える。 $2$ 点 $(3,11)$、$(7,27)$ を通る直線だ。傾き(公差)は

$$d=\frac{27-11}{7-3}=\frac{16}{4}=4$$

「$2$ 点間の傾き」の公式そのものだ。

$$a_n=11+4(n-3)=4n-1$$

公式を暗記していなくても、直線の知識で解けた。数列を「点の列」として見ると、多くのことが分かる。

• 等差数列 → 直線($1$ 次関数)
• 等比数列 → 指数関数の点列(次の問題)
• 階差数列が等差 → $2$ 次関数

「数列は、飛び飛びの関数である」と見ると、数列と関数を結びつけて考えられる。

そして、この橋は数IIIの極限へ続く。 $n\to \infty$ での数列の振る舞いは、関数の $x\to \infty$ での振る舞いと、同じように考えられるのだ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 等差数列の和には、便利な公式がある。

$$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{(\text{項数})\times (\text{初項}+\text{末項})}{2}$$

必要なのは「項数」「初項」「末項」の $3$ つ。末項(第 $10$ 項)は前問で求めた。

$$a_{10}=4\times 10-1=39$$

代入する。

$$S_{10}=\frac{10\times (3+39)}{2}=\frac{10\times 42}{2}=210$$

この公式、どこかで見た形ではないだろうか。

$$\frac{(\text{上底}+\text{下底})\times \text{高さ}}{2}$$

台形の面積公式とそっくりだ。偶然ではない(別解で説明する)。やることは「初項と末項を足して、項数を掛けて、$2$ で割る」だけである。

① 末項を求める。 $a_{10}=4\times 10-1=39$。

② 和の公式に代入する。 初項 $3$、末項 $39$、項数 $10$。

$$S_{10}=\frac{10}{2}(3+39)=5\times 42=210$$

まとめ:等差数列の和は「(初項 + 末項)÷ 2 × 項数」= 平均 × 個数。末項が分からないときは $\frac{n}{2}\{2a_1+(n-1)d\}$ の形を使う。

発展。 等差数列の和 $S_n$ を、$n$ の式で書くとどうなるか。

$$S_n=\frac{n\{2a_1+(n-1)d\}}{2}=\frac{d}{2}{n}^2+\left(a_1-\frac{d}{2}\right)n$$

$n$ の $2$ 次式になる。(定数項がないのが特徴だ。)この問題なら

$$S_n=\frac{4}{2}{n}^2+\left(3-2\right)n=2n^2+n$$

確かめる: $S_{10}=2\times 100+10=210$

「等差数列($1$ 次式)の和は、$2$ 次式になる」これは、積分と同じ構造だ。

$$\int (\text{1 次式})dx=(\text{2 次式})$$

和をとると、次数が $1$ 上がる。積分と同じだ

一般に

この対応が $\Sigma$ の公式の背景にある。

$$\sum _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}(\text{1 次の和 → 2 次})$$

$$\sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}(\text{2 次の和 → 3 次})$$

そして、この逆も使える。

「$S_n$ から $a_n$ を求める」 ときは、差をとる。

$$a_n=S_n-S_{n-1}(n\geqq 2)$$

微分と同じだ。

$$\frac{d}{dx}{\int }_0^{x}f(t)dt=f(x)⟷S_n-S_{n-1}=a_n$$

「和の階差は、元の数列に戻る」というのは、微積分学の基本定理の離散版である。

ただし、$n=1$ のときは別扱い($S_0$ が定義されないので)。この例外処理が数列の問題でよくある間違いの原因になる。

$S_n$ と $a_n$ の関係は積分と微分の関係そのもの。 数列と微積分は、同じ構造を共有している。

別解

この公式は、$9$ 歳のガウスが発見した(という伝説がある)。 その方法を追体験しよう。

ガウスの逸話。

$1780$ 年代、小学校の教師が「$1$ から $100$ まで足しなさい」と課題を出した(時間稼ぎのつもりだった)。$9$ 歳のガウスは数秒で答えを出した。$5050$ である。

彼の方法。

和を $2$ 回書く。$1$ 回目は普通に、$2$ 回目は逆順に。

$$S=1+2+3+\cdots +98+99+100$$ $$S=100+99+98+\cdots +3+2+1$$

縦に足す。

$$2S=\underset{100\text{個}}{\underbrace{101+101+101+\cdots +101}}$$

どのペアも、和が $101$ になる。

$$2S=101\times 100=10100⟹S=5050$$

この問題でも、同じことをやってみよう。

$$S_{10}=3+7+11+15+19+23+27+31+35+39$$ $$S_{10}=39+35+31+27+23+19+15+11+7+3$$

縦に足すと

$$2S_{10}=\underset{10\text{個}}{\underbrace{42+42+\cdots +42}}=42\times 10=420$$

$$S_{10}=210$$

公式と同じ答え。

なぜ、どのペアも同じ和になるのか。

片方は $4$ ずつ増え、もう片方は $4$ ずつ減る。つまり増減が打ち消し合うからだ。

$$(3+39),(7+35),(11+31),\dots \text{すべて }42$$

これが公式の証明である。

$$2S_n=n\times (a_1+a_n)⟹S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$$

そして、台形との関係。

数列を棒グラフで描いてみよう。 高さ $3,7,11,\dots ,39$ の棒が、$10$ 本並ぶ。

棒の先端は直線上に並んでいる(等差数列だから)。この棒グラフの「面積」(全部の棒の高さの和)が、$S_{10}$ だ。そして、棒の集まりはほぼ台形の形をしている。

• 上底: 最初の棒の高さ $3$
• 下底: 最後の棒の高さ $39$
• 高さ(横幅): 棒の本数 $10$

$$\frac{(3+39)\times 10}{2}=210$$

台形の面積公式

「等差数列の和 $=$ 台形の面積」であり、図形と数列が $1$ つの公式で結ばれている。

ガウスの発想は「対称性を使う」ことだった。 逆順に並べて足すというわずか $1$ 行の工夫で、$100$ 個の足し算が $1$ 回の掛け算になった。

「うまい見方を $1$ つ見つければ、計算は消える」ことが、この例から分かる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 等比数列は「同じ数を掛け続ける」数列だ。

$$2,6,18,54,162,\dots (\text{3 倍ずつ})$$

等差が「足す」なら、等比は「掛ける」。第 $n$ 項までに、何回掛けるか。

• 第 $1$ 項: $2$($0$ 回)
• 第 $2$ 項: $2\times 3$($1$ 回)
• 第 $3$ 項: $2\times 3^2$($2$ 回)
• 第 $n$ 項: $2\times 3^{\boxed{n-1}}$

$$a_n=2\cdot 3^{n-1}$$

ここでも $(n-1)$。 等差のときと同じ理屈だ($n$ 回ではなく $n-1$ 回)。

第 $5$ 項。

$$a_5=2\times 3^4=2\times 81=162$$

「初項 $\times$ 公比の $(n-1)$ 乗」という形は、等差の公式と構造がそっくりである。

① 公式に代入する。 $a_1=2$、$r=3$。

$$a_n=2\cdot 3^{n-1}$$

② 第 $5$ 項を求める。 $n=5$、指数は $n-1=4$。

$$a_5=2\cdot 3^4=2\times 81=162$$

まとめ:等比数列は「初項 × 公比の $(n-1)$ 乗」。指数が $n$ ではなく $n-1$ なのに注意($n=1$ で $r^0=1$ となり初項に戻る)。

発展。 等比数列の「増え方」は人間の直感を軽々と超える。

有名な「米粒の逸話」。

チェス盤の $1$ マス目に米 $1$ 粒、$2$ マス目に $2$ 粒、$3$ マス目に $4$ 粒 $\dots$ と、倍々にしていく。$64$ マス目には何粒か?

$$a_{64}=2^{63}\approx 9.2\times 10^{18}$$

約 $920$ 京粒。 全部足すと $2^{64}-1\approx 1.8\times 10^{19}$ 粒になり、世界の米の年間生産量の、数百年分にあたる。

倍々に増やすと、$64$ 回でこれほど大きな数になる。

「複利は人類最大の発明である」(アインシュタインの言葉とされる)。年利 $5\%$ で $100$ 万円を運用すると:

• $10$ 年後: $163$ 万円
• $30$ 年後: $432$ 万円
• $50$ 年後: $1147$ 万円

$50$ 年で $11$ 倍以上。 元本の $5\%$($5$ 万円)ずつ足していく単利なら $350$ 万円なので、等比と等差の差は、時間とともに開く一方だ。

「$72$ の法則」 という便利な目安がある。

$$(\text{2 倍になる年数})\approx \frac{72}{(\text{年利}\%)}$$

年利 $6\%$ なら、$72÷6=12$ 年で $2$ 倍。

なぜ $72$ か。 対数で計算すると

$$1.06^n=2⟹n=\frac{\log 2}{\log 1.06}\approx \frac{0.693}{0.0583}\approx 11.9$$

約 $12$ 年 となる。$\log 2\approx 0.693$ と、小さい $x$ での $\log (1+x)\approx x$ という近似から、$\frac{69.3}{\%}$ が出る。$72$ は割り切れやすいので、実務で使われている。

逆に、注意すべき面もある。

インフレ率 $3\%$ が続くと、$24$ 年でお金の価値は半分になる($72÷3=24$)。

細菌が $20$ 分で $2$ 倍に増えるなら、$1$ 日($72$ 回分裂)で $2^{72}\approx 4.7\times 10^{21}$ 個になり、地球を覆い尽くす計算になる(実際には栄養が尽きて止まる)。

等比数列の増加は指数関数的である。 そして指数関数はどんな多項式よりも速く増える。

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^{100}}{2^n}=0$$

$n^{100}$ でさえ、$2^n$ よりは小さくなる。「倍々」の力を、決して侮ってはいけない。

別解

等差と等比を、徹底的に対比しよう。 $2$ つは「足し算」と「掛け算」を入れかえた関係にある。

対比表。

「足す」と「掛ける」を入れかえると、等差が等比に変わる。そして、この $2$ つは「対数」で結ばれている。等比数列 $2,6,18,54,162$ の、各項の対数をとってみよう。

$${\log }_{3}2,{\log }_{3}6,{\log }_{3}18,{\log }_{3}54,{\log }_{3}162$$

計算すると

$${\log }_{3}2\approx 0.63,{\log }_{3}6\approx 1.63,{\log }_{3}18\approx 2.63,{\log }_{3}54\approx 3.63,{\log }_{3}162\approx 4.63$$

$1$ ずつ増えている。 つまり等差数列になった。

$$\boxed{\text{等比数列の対数をとると、等差数列になる}}$$

なぜか。

$$\log (a_1{r}^{n-1})=\log a_1+(n-1)\log r$$

$\log r$ を公差とする、等差数列の一般項の形

「掛け算を足し算に変える」という対数の性質が、ここでも働いている。

この事実の実用性。

等比数列の問題を、対数をとって等差数列の問題に変えることができる。例: 「初項 $2$、公比 $3$ の等比数列で、$10000$ を超えるのは第何項か?」

$$2\cdot 3^{n-1}>10000⟹3^{n-1}>5000$$

両辺の常用対数をとる。

$$(n-1){\log }_{10}3>{\log }_{10}5000$$

$$(n-1)\times 0.4771>3.699$$

$$n-1>7.75⟹n\geqq 9$$

第 $9$ 項で $10000$ を超える。

確かめる: $a_9=2\times 3^8=2\times 6561=13122>10000$、$a_8=4374<10000$

指数の問題が対数で $1$ 次不等式になった。

「等差」と「等比」を行き来する道具が、対数である。 数IIの指数対数と、数Bの数列が、ここでつながる。そして、この関係は現実にも現れる。

• 音階: 振動数は等比数列($\times 2^{1/12}$)だが、人間には等差(半音ずつ)に聞こえる。耳が対数をとっているのである。
• 地震のマグニチュード: エネルギーは等比、$\mathrm{M}$ は等差
• 株価: 「$10\%$ 上昇」は等比、対数グラフで見ると等差(直線)

対数をとると、掛け算が足し算に変わる。 対数はその架け橋である。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 等比数列の和には、専用の公式がある。

$$S_n=\frac{a_1(r^n-1)}{r-1}(r\ne 1)$$

代入する。 初項 $a_1=2$、公比 $r=3$、項数 $n=5$。

$$S_5=\frac{2(3^5-1)}{3-1}=\frac{2(243-1)}{2}=\frac{2\times 242}{2}=242$$

指数は項数 $n$ そのもの($n-1$ ではない)。一般項では $r^{n-1}$ だったが、和の公式では $r^n$ になる。ここが紛らわしい。

検算しよう。実際に $5$ 項を足してみる。

$$2+6+18+54+162=242$$

公式と一致した。

$r=1$ のときは、この公式が使えない(分母が $0$ になる)。そのときは、全部同じ数なので $S_n=n{a}_1$ である。

① 公式に代入する。 $a_1=2$、$r=3$、$n=5$。

$$S_5=\frac{2(3^5-1)}{3-1}$$

② 計算する。 $3^5=243$。

$$=\frac{2(243-1)}{2}=\frac{2\times 242}{2}=242$$

まとめ:等比数列の和は $\frac{a_1(r^n-1)}{r-1}$。$r>1$ ならこの形、$r<1$ なら $\frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$ と符号をそろえると計算しやすい。$r=1$ のときは別扱い(和 $=n{a}_1$)。

発展。 等比数列の和で、項数を無限にすると、どうなるか。

$$S_{\infty }=a+ar+a{r}^2+a{r}^3+\cdots$$

公比 $r$ の大きさによって、振る舞いが分かれる。

$|r|\geqq 1$ のとき(この問題の $r=3$ など): 無限大に発散する。 和は存在しない。

$|r|<1$ のとき: 有限の値に収束する。

$$S_{\infty }=\frac{a}{1-r}$$

無限個の数を足したのに、答えが有限。例: $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots$

$$S_{\infty }=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}=1$$

無限個の分数を足すと、ちょうど $1$。この事実がゼノンのパラドックスを解決する。

「アキレスと亀」($2500$ 年前、ゼノンの提出した難問)アキレス(俊足)が、$10$ m 先の亀を追いかける。アキレスが $10$ m 進むと、亀は $1$ m 進んでいる。アキレスがその $1$ m を進むと、亀は $0.1$ m 進んでいる $\dots$

「追いつくには無限回の『追いかけ』が必要だから、永遠に追いつけない」しかし、実際には追いつく。なぜか。

各段階の「時間」を足してみよう(アキレスの速さを $10$ m/秒、亀を $1$ m/秒とする)。

$$1+0.1+0.01+0.001+\cdots (\text{秒})$$

これは公比 $0.1$ の無限等比級数だ。

$$S_{\infty }=\frac{1}{1-0.1}=\frac{1}{0.9}=\frac{10}{9}\approx 1.11\text{秒}$$

無限回の「追いかけ」の合計時間は $1.11$ 秒にすぎない。

「無限回の操作」が「無限の時間」を意味するわけではない。 これがパラドックスの解決だ。無限個の数を足しても、有限になることがある。

この事実が厳密に説明されるまでに、$2000$ 年以上かかった。 極限の概念が確立したのは $19$ 世紀である。$\frac{a}{1-r}$ という公式を使えば、$2500$ 年前からの哲学の難問が $1$ 行の計算で解ける。

別解

この公式は「ずらして引く」というトリックで導かれる。 等差数列で「逆順に足した」のと、対をなす発想だ。公式の導出: $S$ と $rS$ を引き算する。

$S$ を書く。

$$S=2+6+18+54+162$$

$3$ 倍する($=rS$)。

$$3S=6+18+54+162+486$$

縦にそろえて、引き算する。

$$\begin{array}{rcccccc}3S& =& & 6+18+54+162+486& & & \\ -S& =& -(2+6+18+54+162)& & & & \\ 2S& =& -2& & & & +486\end{array}$$

真ん中の項がまとめて消えた。

$$2S=486-2=484$$

$$S=242$$

等比数列の和の公式が出るのは、「ずらして引くと、中身が打ち消し合う」からだ。一般に

$$S_n=a+ar+a{r}^2+\cdots +a{r}^{n-1}$$ $$r{S}_n=ar+a{r}^2+\cdots +a{r}^{n-1}+a{r}^n$$

引くと

$$r{S}_n-S_n=a{r}^n-a$$

$$S_n(r-1)=a(r^n-1)$$

$$S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}$$

公式が導けた。

この「ずらして引く」技は、望遠鏡のように途中が畳まれるので、望遠鏡和とも呼ばれる。等差と等比の、和の導出を比べてみよう。

どちらも「$1$ つの工夫で、$n$ 個の足し算が消える」。そして、この「ずらして引く」技は、応用範囲が広い。

(等差)$\times$(等比)の形の和

$$T=1\cdot 2+2\cdot 2^2+3\cdot 2^3+\cdots +n\cdot 2^n$$

この和も $2T$ を作ってずらして引けば求まる(数Bの標準問題)。

$\frac{1}{k(k+1)}$ の和

$$\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$$

部分分数に分けると、隣どうしが打ち消し合う。これも望遠鏡和だ。「打ち消し合う形を作る」のは、数列の和を求めるときの最も有効な方法である。

公式を暗記するより、この「導出の技」を身につけるほうが、はるかに応用が利く。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $\sum _{k=1}^{10}k$ は、「$k$ に $1$ から $10$ を順に入れて、全部足す」という意味。

$$1+2+3+\cdots +10$$

公式がある。

$$\sum _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$$

$$\sum _{k=1}^{10}k=\frac{10\times 11}{2}=55$$

この公式は等差数列の和の公式そのものである(初項 $1$、末項 $n$、項数 $n$)。

$$\frac{n(1+n)}{2}$$

$\Sigma$ 記号におびえないこと。 意味は「$k$ に順に数を入れて足す」だけだ。

$\Sigma$ の下が $k=1$、上が $10$ なので、$k$ を $1$ から $10$ まで動かす、という指示である。

$n=10$ を代入する。

$$\sum _{k=1}^{10}k=\frac{10\times 11}{2}=55$$

これは $1+2+\cdots +10$ を等差数列の和とみても同じ(初項 $1$、末項 $10$、項数 $10$ で $\frac{10}{2}(1+10)=55$)。

まとめ:$\Sigma k$ は「$1$ から $n$ までの合計」。公式 $\frac{n(n+1)}{2}$ は等差数列の和そのもの。数え上げの基本になる。

発展。 三角数($1,3,6,10,15,\dots$)には、次のような性質がある。

性質1: 連続する $2$ つの三角数を足すと、平方数になる。

$$1+3=4=2^2$$ $$3+6=9=3^2$$ $$6+10=16=4^2$$ $$10+15=25=5^2$$

図で見れば当たり前だ。 $2$ つの三角形を組み合わせると、正方形になる(片方は $n$ 段、もう片方は $n-1$ 段)。

$$\frac{n(n+1)}{2}+\frac{(n-1)n}{2}=\frac{n(n+1+n-1)}{2}=\frac{n\cdot 2n}{2}=n^2$$

性質2: フェルマーの多角数定理。「どんな自然数も、$3$ 個以下の三角数の和で表せる。」

$$5=1+1+3,12=6+6,20=10+10,100=91+6+3$$

この定理を、ガウスは $19$ 歳のときに証明した。 彼の日記($1796$ 年 $7$ 月 $10$ 日)には、こう記されている。

$$\text{EYPHKA! num}=\Delta +\Delta +\Delta$$

「わかった!(エウレカ!)すべての数は、$3$ つの三角数の和である。」

アルキメデスの「エウレカ」を、ギリシャ文字でそのまま書いている。書いた本人はこのとき $19$ 歳で、この記録は $200$ 年以上たった今も残っている。性質3: 三角数と組合せ。

$$\frac{n(n+1)}{2}={}_{n+1}{\mathrm{C}}_2$$

「$n+1$ 個から $2$ 個を選ぶ選び方」 と同じ数だ。

なぜか。 $n+1$ 個の点から $2$ 個を選んで線で結ぶと、線の本数は $\frac{(n+1)n}{2}$ 本になる。これは握手の回数と同じである。

「$11$ 人が全員と握手すると、何回の握手が起こるか?」の答えは $55$ 回。この問題の答えと同じだ。

$1+2+\cdots +10={}_{11}{\mathrm{C}}_2=55$

足し算の問題と、組合せの問題が、同じ答えを持つ。

同じ数が別々の問題の答えとして現れることがある。三角形の点の数、握手の回数、$\Sigma$ の値は、すべて $55$ という $1$ つの数になる。

別解

この和 $55$ には、$2$ つの「顔」がある。三角形と、ガウスの工夫だ。顔1: 三角数(点を三角形に並べる)。

点をこう並べてみよう。

$$\begin{array}{c}\bullet \\ \bullet \bullet \\ \bullet \bullet \bullet \\ \bullet \bullet \bullet \bullet \end{array}$$

$1$ 段目に $1$ 個、$2$ 段目に $2$ 個、$3$ 段目に $3$ 個 $\dots$ $n$ 段目に $n$ 個。

全部で何個か? その個数が $\sum _{k=1}^{n}k$ だ。この三角形の形から、公式が「見える」。

同じ三角形を、もう $1$ つ用意して、逆さまにしてくっつける。

$$\begin{array}{c}\bullet \circ \circ \circ \circ \\ \bullet \bullet \circ \circ \circ \\ \bullet \bullet \bullet \circ \circ \\ \bullet \bullet \bullet \bullet \circ \end{array}$$

長方形になった。

• 縦: $n$ 段($=4$)
• 横: $n+1$ 個($=5$)

長方形の点の総数は $n(n+1)$。 その半分が三角形の点の数だ。

$$\sum _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$$

図形が公式を証明した。

この数を「三角数」という。 $1,3,6,10,15,21,\dots$ と続く。ボウリングのピン($10$ 本 $=$ 第 $4$ 三角数)や、ビリヤードのラック($15$ 個 $=$ 第 $5$ 三角数)も三角数だ。

顔2: ガウスの工夫(逆順に足す)。

$$S=1+2+3+\cdots +10$$ $$S=10+9+8+\cdots +1$$

縦に足すと、すべて $11$。

$$2S=11\times 10=110⟹S=55$$

$2$ つの形は同じことを表している。 「逆順に足す」は「三角形を逆さまにくっつける」の代数版だ。そして、$\Sigma$ の性質を押さえておこう。

$$\sum _{k=1}^n(a_k+b_k)=\sum a_k+\sum b_k(\text{バラせる})$$

$$\sum _{k=1}^{n}c{a}_k=c\sum a_k(\text{定数は外に出せる})$$

$$\sum _{k=1}^{n}c=cn(\text{定数の和は、個数倍})$$

最後の式に注意。 $\sum _{k=1}^{n}3=3n$ であって、$3$ ではない。$k$ が式に現れなくても、$n$ 回足すのだ。

「$\Sigma$ は線形」であり、積分や微分と同じ性質を持っている。バラして計算できるのは、この線形性があるからだ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $\sum _{k=1}^{10}{k}^2$ は、平方数の和だ。

$$1^2+2^2+3^2+\cdots +10^2=1+4+9+\cdots +100$$

公式を使う。

$$\sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

代入する。

$$\sum _{k=1}^{10}{k}^2=\frac{10\times 11\times 21}{6}$$

計算のコツ: 先に約分する。

$$\frac{10\times 11\times 21}{6}=\frac{10\times 11\times 21}{6}$$

$21÷3=7$、$6÷3=2$、そして $10÷2=5$。

$$=5\times 11\times 7=385$$

分母 $6$ を忘れない。 そして $(2n+1)$ の部分($n$ に $10$ を入れて $21$)を、$(n+1)$ と間違えないこと。$3$ つの因数 $n$、$n+1$、$2n+1$ を、順に書き出してから掛ける。

$n=10$ を代入する。$2n+1=21$。

$$\sum _{k=1}^{10}{k}^2=\frac{10\times 11\times 21}{6}=\frac{2310}{6}=385$$

まとめ:$\Sigma k^2$ の公式は $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$。分子を $10\times 11\times 21=2310$ とかけてから $6$ で割る。$3$ つの因数の並びを覚えておく。

発展。 $\Sigma$ の公式を、次数ごとに並べてみよう。

$$\sum _{k=1}^n{k}^0=n$$ $$\sum _{k=1}^n{k}^1=\frac{n^2+n}{2}$$ $$\sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{2n^3+3n^2+n}{6}$$ $$\sum _{k=1}^n{k}^3=\frac{n^4+2n^3+n^2}{4}$$

規則性が見える。

$$\boxed{\sum _{k=1}^n{k}^p\text{は、n の (p+1) 次式}}$$

そして、最高次の項は必ず $\frac{n^{p+1}}{p+1}$ である。

$$\sum k^2\approx \frac{n^3}{3},\sum k^3\approx \frac{n^4}{4}$$

これは、積分の公式とそっくりだ。

$${\int }_0^n{x}^{p}dx=\frac{n^{p+1}}{p+1}$$

まったく同じ形だ。

偶然ではない。 $\sum _{k=1}^n{k}^p$ は、$y=x^p$ の下の面積を、幅 $1$ の長方形で近似したものだ。$n$ が大きければ、積分に近づく。

$$\sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{n^3}{3}+\frac{n^2}{2}+\frac{n}{6}$$

主要項は $\frac{n^3}{3}$。積分と一致する。

残りの項($\frac{n^2}{2}$ など)は長方形と曲線の「ズレ」を補正している。この補正項には、名前がついている。

$$\sum _{k=1}^n{k}^p=\frac{n^{p+1}}{p+1}+\frac{n^p}{2}+\frac{p}{12}{n}^{p-1}-\cdots$$

係数に現れる $\frac{1}{2}$、$\frac{1}{12}$、$0$、$-\frac{1}{720}$ $\dots$ を、ベルヌーイ数という。この数列は整数論の最深部に現れる。

• リーマンゼータ関数の特殊値: $\zeta (2)=\frac{{\pi }^2}{6}$、$\zeta (4)=\frac{{\pi }^4}{90}$ などがベルヌーイ数で書ける
• フェルマーの最終定理の研究(クンマーの理論)
• オイラー・マクローリンの公式(和と積分を結ぶ)

$\sum k^2=385$ という素朴な計算。 その公式の係数には、$\pi$ や整数論の難しい問題と関係する数が現れる。そして、世界初のコンピュータ・プログラム($1843$ 年、エイダ・ラブレスが書いた)は、「ベルヌーイ数を計算する」ものだった。

$\Sigma$ の公式は計算機科学の出発点でもあったのだ。

別解

この公式はどうやって作られたのか。 「望遠鏡和」という方法で導いてみよう。公式を忘れても、その場で作り直せるようになる。

導出: $(k+1{)}^3-k^3$ を考える。

展開すると

$$(k+1{)}^3-k^3=(k^3+3k^2+3k+1)-k^3=3k^2+3k+1$$

この式の、両辺を $k=1$ から $n$ まで足す。

左辺(望遠鏡和)。

$$\sum _{k=1}^n\{(k+1{)}^3-k^3\}=(2^3-1^3)+(3^3-2^3)+\cdots +\{(n+1{)}^3-n^3\}$$

次々に打ち消し合う。

$$=(n+1{)}^3-1^3=(n+1{)}^3-1$$

残るのは、最初と最後だけになる。これが望遠鏡和だ。

右辺。

$$\sum _{k=1}^n(3k^2+3k+1)=3\sum k^2+3\sum k+\sum 1=3\sum k^2+3\cdot \frac{n(n+1)}{2}+n$$

左辺 $=$ 右辺 とおいて、$\sum k^2$ について解く。

$$(n+1{)}^3-1=3\sum k^2+\frac{3n(n+1)}{2}+n$$

$$3\sum k^2=(n+1{)}^3-1-\frac{3n(n+1)}{2}-n$$

整理すると(計算は少し骨が折れるが)

$$\sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

公式が導けた。

$n=10$ で確かめる。

左辺(望遠鏡和): $11^3-1=1331-1=1330$

右辺: $3\times 385+3\times 55+10=1155+165+10=1330$

ぴったり一致した。

この導出法の何が便利か。

$\sum k^3$ の公式も同じ方法で作れる。 $(k+1{)}^4-k^4$ を使えばよい。

$$\sum k^3={\left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}}^2$$

$\sum k^4$ も、$\sum k^5$ も、同じ手順で導ける。何乗の和でも、同じように続けられる。

「$1$ つ上の次数の差を作って、望遠鏡和にする」という方法で、すべての $\Sigma$ 公式が作れる。そして、これは積分と同じ構造をしている。

$${\int }_a^b{f}^{\prime }(x)dx=f(b)-f(a)(\text{微積分学の基本定理})$$

$$\sum _{k=1}^n\{g(k+1)-g(k)\}=g(n+1)-g(1)(\text{望遠鏡和})$$

「差の和は、両端だけになる」ことの連続版が積分の基本定理、離散版が望遠鏡和である。同じ原理が連続と離散の $2$ つの場面に現れている。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $\Sigma$ はバラせる(線形性)。

$$\sum _{k=1}^n(2k+1)=\sum _{k=1}^{n}2k+\sum _{k=1}^{n}1=2\sum _{k=1}^{n}k+\sum _{k=1}^{n}1$$

$2$ つの部品に分けた。

部品1: $\sum _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$

部品2: $\sum _{k=1}^{n}1=n$

ここで間違えやすい。 $\sum _{k=1}^{n}1$ は $1$ ではなく $n$($1$ を $n$ 回足すから)。

組み立てる。

$$2\times \frac{n(n+1)}{2}+n=n(n+1)+n=n^2+n+n=n^2+2n$$

$\Sigma$ 計算は「バラして、公式を当てて、組み立てる」の $3$ 段階だ。

① 項ごとに分ける。

$$\sum _{k=1}^n(2k+1)=2\sum _{k=1}^{n}k+\sum _{k=1}^{n}1$$

② 各公式を使う。 $\sum k=\frac{n(n+1)}{2}$、$\sum _{k=1}^{n}1=n$。

$$=2\cdot \frac{n(n+1)}{2}+n=n(n+1)+n=n^2+n+n=n^2+2n$$

まとめ:$\Sigma$ の中が和や差なら項ごとに分けて別々に公式を使う。定数 $1$ の和は ${\Sigma }_{k=1}^{n}1=n$(「$1$ を $n$ 回足す」)。ここを $1$ と間違えやすい。

発展。 $\sum _{k=1}^n(2k+1)=n^2+2n$ という結果を、少し違う角度から見てみる。

$2k+1$ は $3$ から始まる奇数だった。もし $2k-1$($1$ から始まる奇数)なら?

$$\sum _{k=1}^n(2k-1)=2\cdot \frac{n(n+1)}{2}-n=n^2+n-n={\mathbf{n}}^2$$

ちょうど $n^2$ になる。

$$\boxed{1+3+5+\cdots +(2n-1)=n^2}$$

「最初の $n$ 個の奇数を足すと、平方数になる」ことは、問題 $10$ で扱う有名な事実だ。そして、今回の $\sum (2k+1)=n^2+2n$ との関係は?

$$\sum _{k=1}^n(2k+1)=\sum _{k=1}^n(2k-1)+\sum _{k=1}^{n}2=n^2+2n$$

各項を $2$ ずつ増やしたので、合計は $2n$ 増えたわけで、筋が通っている。別の見方: $n^2+2n=(n+1{)}^2-1$

$$3+5+7+\cdots +(2n+1)=(n+1{)}^2-1$$

「$1$ を除いた、最初の $n+1$ 個の奇数の和」 と読める

$$\underset{(n+1{)}^2}{\underbrace{1+3+5+\cdots +(2n+1)}}-1=n^2+2n$$

同じ答えに、$3$ つの道から到達した。

$1$ つの式を、いろいろな形に書き直すと、式の意味がよく分かる。

$$n^2+2n=n(n+2)=(n+1{)}^2-1$$

どれも同じ数だが、それぞれ違うことを表している。

• $n^2+2n$: $\Sigma$ の計算結果($2$ 次式)
• $n(n+2)$: 因数分解された形($2$ つの整数の積)
• $(n+1{)}^2-1$: 平方数から $1$ 引いた形

$n(n+2)=(n+1{)}^2-1$ という恒等式は、差が $2$ の $2$ 数の積が、その中間の数の $2$ 乗より $1$ 小さい、ということを言っている。

$$8\times 10=80=9^2-1$$ $$19\times 21=399=20^2-1$$

この事実は暗算の技として使える。 $19\times 21$ を計算するとき、$20^2-1=399$ と即答できる。数式の別の読み方を知っていると、思わぬところで役に立つ。

別解

$\Sigma$ を使わず、「等差数列の和」として解ける。 $2k+1$ という式が、実は等差数列だからだ。

$2k+1$ の中身を見る。

$3,5,7,9,\dots$ は、公差 $2$ の等差数列だ。(奇数が並んでいる。)等差数列の和の公式を使う。

$$S=\frac{(\text{項数})\times (\text{初項}+\text{末項})}{2}$$

• 項数: $n$
• 初項: $3$($k=1$ のとき)
• 末項: $2n+1$($k=n$ のとき)

$$S=\frac{n(3+2n+1)}{2}=\frac{n(2n+4)}{2}=n(n+2)=n^2+2n$$

$\Sigma$ の公式を使わずに、同じ答えが出た。

この見方の意味。

$$\boxed{\text{k の 1 次式の Σ }=\text{等差数列の和}}$$

$ak+b$ という形は必ず等差数列(公差 $a$)になる。だから、$1$ 次式の $\Sigma$ はどちらの方法でも解ける。検算しよう。$n=3$ で確かめる。

直接足す: $3+5+7=15$

公式: $3^2+2\times 3=9+6=15$

$n$ の式で答えが出たら、必ず小さい $n$ で検算する。 $n=1$、$n=2$、$n=3$ あたりで試せば、すぐに正誤が分かる。

$n=1$: 直接 $=3$、公式 $=1+2=3$

この検算は $\Sigma$ の計算では必須だ。 公式の適用ミス($n$ と $n+1$ の取り違え、係数忘れ)は、必ず小さい $n$ で露見する。

そして、もう $1$ つの見方。$n^2+2n=n(n+2)$ という答えの「形」に注目してほしい。

$n$ が $1$ 次式の和だから、答えは $2$ 次式 で、前の問題(発展)で見た「和をとると次数が $1$ 上がる」という法則と一致する。

答えの次数が合っているかを見るのも、有力な検算になる。

• $1$ 次式の $\Sigma$ → $2$ 次式
• $2$ 次式の $\Sigma$ → $3$ 次式

もし $1$ 次式の $\Sigma$ を計算して $1$ 次式が出てきたら、確実にどこかで間違えている。計算の最後には必ず「答えの形が、期待される形か」を確認したい。