微分法の応用 ★★★★ 難関の問題 全8問

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 「原点から引いた接線」は、接点が原点ではない(曲線上のどこか)。だから接点を文字 $t$ でおくのが出発点。

接点 $(t,\log t)$ での接線を作る。$y^{\prime }=\frac{1}{x}$ で傾きが $\frac{1}{t}$ と分かるので、接線が書ける。その接線が原点 $(0,0)$ を通る、という条件で $t$ の方程式を立てる。

接点を最初から求めず、通過条件から逆算する、と見通す。

① 接線を作る。 接点を $(t,\log t)$ とする。$y^{\prime }=\frac{1}{x}$ より接点での傾きは $\frac{1}{t}$。接線は

$$y=\frac{1}{t}(x-t)+\log t$$

② 原点を通る条件。 $(x,y)=(0,0)$ を代入する。

$$0=\frac{1}{t}(0-t)+\log t=-1+\log t⟹\log t=1⟹t=e$$

③ 接線を求める。 $t=e$ を接線の式に入れると、傾き $\frac{1}{e}$、接点 $(e,\log e)=(e,1)$ を通り

$$y=\frac{1}{e}(x-e)+1=\frac{1}{e}x$$

まとめ:曲線外の点からの接線は「接点を $t$ でおく → 接線を作る → その点を通る条件で $t$」。$\log t=1$ から接点 $x=e$、接線 $y=\frac{1}{e}x$。接点を最初から求めようとせず、通過条件から逆算するのがコツ。

発展。 この接線 $y=\frac{1}{e}x$ は、$y=\log x$ を「原点から見上げたときの限界の傾き」。$\log x$ は上に凸なので、原点を通る直線 $y=ax$ は、$a$ が接線の傾き $\frac{1}{e}$ より大きいと曲線と交わらない。

言いかえると、すべての $x>0$ で $\log x\le \frac{x}{e}$ が成り立ち、等号は接点 $x=e$ だけ。接線がつねに曲線の上にある(上に凸の性質)ことの現れだ。この不等式 $e\log x\le x$、すなわち $x^e\le e^x$ は、$e^{\pi }$ と ${\pi }^e$ の大小などを調べるときのもとになる。$1$ 本の接線から、有名な不等式が導ける。

別解

別解:傾きを $2$ 通りに表して等しくおく(得意な人向けの視点)。 接線を書き下さなくても、「同じ傾き」を $2$ 通りで表せば $t$ が出る。

接点を $(t,\log t)$ とする。接線の傾きは微分から $\frac{1}{t}$。一方この直線は原点 $(0,0)$ と接点 $(t,\log t)$ を通るので、その $2$ 点から傾きは $\frac{\log t-0}{t-0}=\frac{\log t}{t}$。

同じ直線の傾きだから等しい。

$$\frac{1}{t}=\frac{\log t}{t}⟹\log t=1⟹t=e.$$

接線を作って原点代入する本解と同じ $t=e$。接点の傾き(微分)と、原点・接点を結ぶ傾き($2$ 点)が一致する、という見方は、原点(や定点)から引く接線でいつでも使える近道だ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 極値は「$f^{\prime }(x)=0$ を求め、その前後の符号で極大・極小を判定」。

$f(x)=x^2{e}^{-x}$ は積なので、積の微分で $f^{\prime }$ を計算する。$e^{-x}$ はつねに正だから、$f^{\prime }$ の符号は残りの因数だけで決まる。ここを見抜くと符号調べが楽。$f^{\prime }=0$ の $x$ を求め、増減表で極大・極小を分ける、と見通す。

① $f^{\prime }$ を求める。 積の微分で($(e^{-x}{)}^{\prime }=-e^{-x}$)

$$f^{\prime }(x)=2x{e}^{-x}+x^2(-e^{-x})=(2x-x^2)e^{-x}=x(2-x)e^{-x}$$

② $f^{\prime }=0$ を解く。 $e^{-x}>0$ なので $x(2-x)=0$、すなわち $x=0,2$。

③ 増減表で判定する。 $x(2-x)$ の符号は $x<0$ で負、$0<x<2$ で正、$x>2$ で負。よって

• $x=0$:$f^{\prime }$ が 負→正 で極小。$f(0)=0$。
• $x=2$:$f^{\prime }$ が 正→負 で極大。$f(2)=4e^{-2}=\frac{4}{e^2}$。

まとめ:極値は「$f^{\prime }=0$ + 前後の符号」。$e^{-x}>0$ を使えば符号は $x(2-x)$ だけで決まる。$x=0$ で極小 $0$、$x=2$ で極大 $\frac{4}{e^2}$。増減表を書くと判定が確実。

発展。 $x^2{e}^{-x}$ のような「べき $\times$ 指数減衰」の形は、統計や物理で頻出する山型。ピーク(極大)は $x=2$ にくる。

じつは $x^n{e}^{-x}$ の極大はいつも $x=n$。微分すると $x^{n-1}(n-x)e^{-x}$ で、正の側の零点が $x=n$ だからだ。ガンマ分布の密度がこの形で、$x=n$ が最も現れやすい値(最頻値)にあたる。

$x\to \infty$ で $f\to 0$ になるのは、指数減衰 $e^{-x}$ がべき $x^2$ に打ち勝つから。「指数関数は多項式より速く増える」がここでも使われている。

別解

別解:対数微分で極値の場所を出す(得意な人向けの視点)。 正の範囲では、$f$ の対数をとって微分すると符号調べが軽くなる。

$x>0$ で $\log f=\log (x^2{e}^{-x})=2\log x-x$。両辺を微分すると

$$\frac{f^{\prime }}{f}=\frac{2}{x}-1.$$

$f>0$($x>0$)だから、$f^{\prime }$ の符号は $\frac{2}{x}-1$ の符号と同じ。これが $0$ になるのは $x=2$。$x<2$ で正(増加)、$x>2$ で負(減少)だから、$x=2$ が極大で $f(2)=\frac{4}{e^2}$。

$x=0$ は $f=0$ で、両側とも $f\ge 0$ だから極小(最小)。積の微分で $x(2-x)e^{-x}$ を出す本解と同じ。対数微分 $\frac{f^{\prime }}{f}=\frac{2}{x}-1$ は、積・商・べきが混ざった関数の符号を、割り算・引き算に開いて見やすくする。$e^{-x}$ の符号を気にせず済むのが利点だ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 変曲点は「凹凸が変わる点」。凹凸は第 $2$ 次導関数 $y^{\prime \prime }$ の符号で決まる。

だから $y=x{e}^{-x}$ を $2$ 回微分して $y^{\prime \prime }$ を作る。$y^{\prime \prime }=0$ となる $x$ を求める。その前後で $y^{\prime \prime }$ の符号が実際に変わることを確かめる、という手順で進む。

① $y^{\prime }$、$y^{\prime \prime }$ を求める。 積の微分で

$$y^{\prime }=e^{-x}+x(-e^{-x})=(1-x)e^{-x}$$ $$y^{\prime \prime }=-e^{-x}+(1-x)(-e^{-x})=(-1-(1-x))e^{-x}=(x-2)e^{-x}$$

② $y^{\prime \prime }=0$ を解く。 $e^{-x}>0$ より $x-2=0$、$x=2$。

③ 符号を確認する。 $x-2$ の符号は $x<2$ で負($y^{\prime \prime }<0$、上に凸)、$x>2$ で正($y^{\prime \prime }>0$、下に凸)。$x=2$ で凹凸が変わるので変曲点。$y=2e^{-2}=\frac{2}{e^2}$。

よって変曲点は $\left(2,\frac{2}{e^2}\right)$。

まとめ:変曲点は「$y^{\prime \prime }=0$ + 符号変化」。$y^{\prime \prime }=(x-2)e^{-x}$ で、$x=2$ の前後で符号が負→正と変わる(上に凸→下に凸)。$y^{\prime \prime }=0$ だけでは不十分で、符号が実際に変わることの確認が要。

発展。 $y=x{e}^{-x}$ は、$x=1$ で極大(山のてっぺん)、$x=2$ で変曲点。ピークの少し先に凹凸の変わり目がくる。

じつは $x{e}^{-x}$ の第 $n$ 次導関数は $(-1{)}^n(x-n)e^{-x}$ と書ける。$n=1$ なら零点 $x=1$(極大)、$n=2$ なら零点 $x=2$(変曲点)、というように、$n$ 回微分の零点がちょうど $x=n$ に並ぶ。

「何回微分したか」と「零点の位置」が、そろって進むという規則だ。極値も変曲点もこの一つの式から読み取れる。

別解

別解:導関数の一般式から $y^{\prime \prime }$ を出す(得意な人向けの視点)。 $2$ 回積の微分をするかわりに、$x{e}^{-x}$ の $n$ 次導関数の規則を知っていれば $y^{\prime \prime }$ が即座に書ける。

$1,2$ 回微分すると

$$y^{\prime }=(1-x)e^{-x},y^{\prime \prime }=(x-2)e^{-x}.$$

規則は $y^{(n)}=(-1{)}^n(x-n)e^{-x}$。$n=2$ を入れれば $y^{\prime \prime }=(-1{)}^2(x-2)e^{-x}=(x-2)e^{-x}$ とすぐ出る。$e^{-x}>0$ だから $y^{\prime \prime }=0$ は $x=2$。$x<2$ で $y^{\prime \prime }<0$(上に凸)、$x>2$ で $y^{\prime \prime }>0$(下に凸)と符号が変わるので変曲点。$y=2e^{-2}=\frac{2}{e^2}$。

地道に $2$ 回微分する本解と同じ。$(x-n)e^{-x}$ という一般式を持っておくと、何階でも符号の変わり目($x=n$)がすぐ分かり、変曲点探しが速くなる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 最大値は「$f^{\prime }=0$ を求め、増減で最大を確認」。

$f(x)=\frac{\log x}{x}$ は商なので商の微分。分母 $x^2$ はつねに正だから、$f^{\prime }$ の符号は分子だけで決まる。ここを見抜くと符号調べが楽。$f^{\prime }=0$ の $x$ を求め、その前後で増加→減少なら極大かつ最大、と見通す。

① $f^{\prime }$ を求める。 $f=\frac{\log x}{x}$ で $(\log x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$、$(x{)}^{\prime }=1$ より

$$f^{\prime }(x)=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\log x\cdot 1}{x^2}=\frac{1-\log x}{x^2}$$

② $f^{\prime }=0$ と符号。 $x^2>0$ なので符号は $1-\log x$。$f^{\prime }=0$ は $\log x=1$、$x=e$。$x<e$ で $\log x<1$ より $f^{\prime }>0$(増加)、$x>e$ で $f^{\prime }<0$(減少)。

③ 最大値。 $x=e$ で増加から減少に変わるので、そこが最大。

$$f(e)=\frac{\log e}{e}=\frac{1}{e}$$

まとめ:$\frac{\log x}{x}$ の最大は「商の微分 → 分子 $1-\log x$ の符号」。$x=e$ で増加から減少に転じ、最大値 $\frac{1}{e}$。分母 $x^2>0$ を使って符号判定を分子だけにするのがコツ。この $\frac{1}{e}$ は $e^{\pi }$ と ${\pi }^e$ の大小などにも応用される有名な最大値。

発展。 この最大値 $\frac{1}{e}$ から、すべての $x>0$ で $\frac{\log x}{x}\le \frac{1}{e}$ が言える。両辺に $x$ を掛けて整理すると $e\log x\le x$、すなわち $x^e\le e^x$。

ここに $x=\pi$ を入れると ${\pi }^e\le e^{\pi }$。等号は $x=e$ のときだけなので $\pi \ne e$ より ${\pi }^e<e^{\pi }$。「$e^{\pi }$ と ${\pi }^e$ はどちらが大きいか」という有名問題が、この最大値ひとつで片づく。

$1$ つの関数の最大値から、無限個の不等式($x^e\le e^x$)がまとめて出てくる。最大・最小の計算は不等式を作る道具としても役に立つ。

別解

別解:$x^{1/x}$ の最大に読みかえる(得意な人向けの視点)。 $\frac{\log x}{x}$ は、じつは $x^{1/x}$ の対数。

$$\frac{\log x}{x}=\frac{1}{x}\log x=\log \left(x^{1/x}\right).$$

対数は増加関数だから、$\frac{\log x}{x}$ が最大になるのと、$x^{1/x}$ が最大になるのは同じ $x$。「どの数の $1$ 乗根が最大か」を問うている、と読みかえられる。$x^{1/x}$(たとえば $\sqrt[2]{2},\sqrt[3]{3},\dots$ の連続版)は $x=e$ で最大値 $e^{1/e}$。その対数が $\frac{1}{e}$ だから、$\frac{\log x}{x}$ の最大も $\frac{1}{e}$。

商の微分で $\frac{1-\log x}{x^2}$ を調べる本解と同じ。$\frac{\log x}{x}=\log (x^{1/x})$ という読みかえは、$\sqrt[3]{3}$ と $\sqrt[2]{2}$ の大小といった問題にも直結する。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 「解の個数」は「曲線 $y=\frac{\log x}{x}$ と横線 $y=a$ の交点の数」に言い換える(定数分離)。

だから曲線の形をつかむ。最大値 $\frac{1}{e}$($x=e$)、$x\to 0^{+}$ で $-\infty$、$x\to \infty$ で $0$ に上から近づく。この山型に横線 $y=a$ を当てる。

高さ $a$ を動かして交点数を数え、$a$ で場合分けする、と見通す。

① 曲線の様子。 $f(x)=\frac{\log x}{x}$ は $x=e$ で最大値 $\frac{1}{e}$。$x\to 0^{+}$ で $f\to -\infty$(増加)、$x=e$ まで増えて、$x\to \infty$ で $0$ に上から近づく(減少して正のまま $0$ へ)。

② 横線 $y=a$ との交点を数える。

• $a\le 0$:$x=1$ 付近まで($f<0$ の増加部分)で $1$ 個(横線は左側の枝だけと交わる)。
• $0<a<\frac{1}{e}$:増加部分と減少部分で $1$ つずつ、$2$ 個。
• $a=\frac{1}{e}$:最大点でちょうど接し、$1$ 個。
• $a>\frac{1}{e}$:最大値を超えるので $0$ 個。

まとめ:解の個数は「曲線と横線の交点」。$f=\frac{\log x}{x}$ は最大 $\frac{1}{e}$ の山型で、右側は $0$ に上から漸近。横線 $y=a$ の高さで $1\to 2\to 1\to 0$ 個と変わる。$a=\frac{1}{e}$(接する)と $a=0$(境目)が場合分けの境界。

発展。 境目の高さ $a=\frac{1}{e}$ は、じつは「原点から $\log x$ に引いた接線の傾き」でもある。$\frac{\log x}{x}=a$ を $\log x=ax$ と見れば、上に凸な曲線 $y=\log x$ と原点を通る直線 $y=ax$ の交点を数える問題になるからだ。

原点からの接線の傾きがちょうど $\frac{1}{e}$。だから $a>\frac{1}{e}$ では線が急すぎて曲線に届かず $0$ 個、$a=\frac{1}{e}$ で接して $1$ 個、$0<a<\frac{1}{e}$ で $2$ 個、$a\le 0$ では線が右下がり(または水平)で曲線を $1$ 回だけ横切る。

「曲線 $\times$ 横線」と「凹凸曲線 $\times$ 原点からの直線」、$2$ つの見方が同じ答えを出す。接線の傾きが場合分けの境界を決めている。

別解

別解:原点を通る直線との交点で数える(得意な人向けの視点)。 $\frac{\log x}{x}=a$ の両辺に $x$ を掛けると $\log x=ax$。これは「曲線 $y=\log x$ と原点を通る直線 $y=ax$ の交点の数」を数える問題に変わる。

$y=\log x$ は上に凸。原点から引いた接線の傾きは $\frac{1}{e}$(接点 $(e,1)$)。この接線が交点数の境目になる。

• $a>\frac{1}{e}$:直線が接線より急で、曲線に届かず交点 $0$ 個。
• $a=\frac{1}{e}$:接して $1$ 個。
• $0<a<\frac{1}{e}$:接線より緩やかで、曲線を $2$ 回横切り $2$ 個。
• $a\le 0$:直線が水平か右下がりで、$\log x$ を $1$ 回だけ横切り $1$ 個。

曲線を山型に描いて横線を当てる本解と同じ結果。「横線 $\times$ 山型曲線」と「原点からの直線 $\times$ 対数曲線」は、同じ方程式の見方を変えただけ。前者は最大値、後者は接線から境界が分かる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 不等式 $A\ge B$ は「$g(x)=A-B$ とおいて $g(x)\ge 0$ を示す」。

まず $g(0)=0$ を確認する。起点で等号が成り立つなら、あとは $x\ge 0$ で $g$ が増加していけばよい。$g$ の増加は $g^{\prime }\ge 0$ で言える。$g^{\prime }$ の符号がすぐ分からなければ、$g^{\prime }$ をさらに微分して調べる。

「$g^{\prime \prime }\ge 0$ なら $g^{\prime }$ 増加、$g^{\prime }(0)=0$ なら $g^{\prime }\ge 0$」と、微分を重ねて押し上げる、と見通す。

① 差をおく。 $g(x)=e^x-1-x-\frac{x^2}{2}$ とおく。$g(0)=1-1-0-0=0$。

② $g^{\prime }$ を調べる。

$$g^{\prime }(x)=e^x-1-x$$

$g^{\prime }(0)=1-1-0=0$。$g^{\prime }$ の符号を見るため、さらに微分すると $g^{\prime \prime }(x)=e^x-1$。$x\ge 0$ で $e^x\ge 1$ より $g^{\prime \prime }(x)\ge 0$、すなわち $g^{\prime }$ は増加。$g^{\prime }(0)=0$ だから $x\ge 0$ で $g^{\prime }(x)\ge 0$。

③ $g$ の増加。 $x\ge 0$ で $g^{\prime }(x)\ge 0$ より $g$ は増加。$g(0)=0$ だから $x\ge 0$ で

$$g(x)\ge g(0)=0$$

すなわち $e^x-1-x-\frac{x^2}{2}\ge 0$、よって $e^x\ge 1+x+\frac{x^2}{2}$。(証明終)

まとめ:不等式は「差 $g=A-B$ の最小値 $\ge 0$」。$g^{\prime }$ の符号が不明なら $g^{\prime \prime }$ まで下りる。$g^{\prime \prime }\ge 0\Rightarrow g^{\prime }$ 増加、$g^{\prime }(0)=0\Rightarrow g^{\prime }\ge 0\Rightarrow g$ 増加、$g(0)=0\Rightarrow g\ge 0$、と階段状に押し上げる。

発展。 この不等式 $e^x\ge 1+x+\frac{x^2}{2}$ は、$e^x$ のテイラー展開 $1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\cdots$ の途中まで(第 $2$ 次まで)を取り出したもの。$x\ge 0$では捨てた残りがすべて正なので、途中で切った式は下からの評価になる。

同じ理屈で、$e^x\ge 1+x+\frac{x^2}{2}+\cdots +\frac{x^n}{n!}$ が $x\ge 0$ でつねに成り立つ。次数を上げるほど、下からの近似が精しくなる。証明も「積分で $1$ 段ずつ持ち上げる」やり方でつながる。$e^t\ge 1$ を積分すると $e^x\ge 1+x$、それをまた積分すると $2$ 次まで、と階段を上れる。テイラー展開はこの積み上げの極限だ。

別解

別解:簡単な不等式を積分して持ち上げる(得意な人向けの視点)。 より基本の不等式 $e^t\ge 1+t$($t\ge 0$)から出発し、積分で目標へ引き上げる。

$e^t\ge 1+t$ は、差を微分すればすぐ示せる基本の不等式。両辺を $0$ から $x$ まで積分する($x\ge 0$)。左辺は ${\int }_0^x{e}^{t}dt=e^x-1$、右辺は ${\int }_0^x(1+t)dt=x+\frac{x^2}{2}$。積分は不等号の向きを保つので

$$e^x-1\ge x+\frac{x^2}{2},\text{すなわち}{e}^x\ge 1+x+\frac{x^2}{2}.$$

差 $g=e^x-1-x-\frac{x^2}{2}$ の増減で示す本解と同じ。「弱い不等式を積分して強い不等式に育てる」この手は、$1$ 段上げるごとに次数が $1$ つ上がる。$e^x\ge 1$ から始めれば、$1$ 次・$2$ 次・$3$ 次…と好きなだけ精度を上げられる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 平均値の定理は「区間の平均変化率に等しい接線の傾き $f^{\prime }(c)$ が、区間内のどこかにある」という主張。

だから、まず平均変化率 $\frac{f(2)-f(1)}{2-1}$ を計算する。それを $f^{\prime }(c)=3c^2$ と等しいとおいて、$c$ の方程式を解く。出た解のうち、$1<c<2$ の範囲にあるものを選ぶ、と見通す。

① 平均変化率。 $f(x)=x^3$ で $f(1)=1$、$f(2)=8$。

$$\frac{f(2)-f(1)}{2-1}=\frac{8-1}{1}=7$$

② $f^{\prime }(c)$ と等しいとおく。 $f^{\prime }(x)=3x^2$ より $f^{\prime }(c)=3c^2$。平均値の定理から

$$3c^2=7⟹c^2=\frac{7}{3}⟹c=\pm \sqrt{\frac{7}{3}}$$

③ 範囲で選ぶ。 $1<c<2$ を満たすのは $c=\sqrt{\frac{7}{3}}$($\approx 1.53$)。

まとめ:平均値の定理は「平均変化率 $=f^{\prime }(c)$」。左辺 $\frac{8-1}{1}=7$ を $3c^2$ と等しいとおき、$c=\sqrt{7/3}$。負の解は範囲 $1<c<2$ 外で除く。$c$ は「その区間で接線が弦と平行になる点」の $x$ 座標。

発展。 $c$ は「弦 AB に平行な接線をもつ点」の $x$ 座標。$f=x^3$ で区間 $[a,b]$ なら、割線の傾きは $\frac{b^3-a^3}{b-a}=a^2+ab+b^2$。これを $3c^2$ と等しくおくと、一般に $c=\sqrt{\frac{a^2+ab+b^2}{3}}$。

区間 $[1,2]$ ではこれが $\sqrt{\frac{7}{3}}\approx 1.53$。中点 $1.5$ より少し右にずれる。曲線が上に反っている(下に凸)ぶん、平行になる点が中点より右へ寄る。

区間を狭めていくと、$a\to b$ で $c\to a$、つまり中点に近づく。小さい区間では「平均変化率 $\approx$ 中点での傾き」が成り立つ。平均値の定理は微分を使った近似の基礎になっている。

別解

別解:一般の区間 $[a,b]$ で公式化してから代入する(得意な人向けの視点)。 数値を先に入れず、$f=x^3$ の平均値の定理を文字のまま解いておく。

区間 $[a,b]$ の割線の傾きは、$3$ 次式の差の因数分解から

$$\frac{b^3-a^3}{b-a}=b^2+ab+a^2.$$

平均値の定理より $3c^2=a^2+ab+b^2$、すなわち

$$c=\sqrt{\frac{a^2+ab+b^2}{3}}.$$

ここに $a=1$、$b=2$ を入れると $c=\sqrt{\frac{1+2+4}{3}}=\sqrt{\frac{7}{3}}$。$1<c<2$ を満たすのでこれが答え(負号は範囲外)。具体値で $3c^2=7$ を解く本解と同じ。文字で解いておくと、区間を変えても代入するだけ。$c=\sqrt{\frac{a^2+ab+b^2}{3}}$ が中点 $\frac{a+b}{2}$ より右にくるのは、$3$ 次関数が下に凸だからだと見て取れる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 直線運動では、速度は「座標を時刻 $t$ で微分」、加速度は「速度を $t$ で微分」。

だから $x=t^3-3t$ を順に微分して $v$、$\alpha$ を出す。速度が $0$ になる時刻は、$v=0$ の方程式を解く。位置 → 速度 → 加速度が微分でつながっている、という関係が基本、と見通す。

① 速度。 $x=t^3-3t$ を $t$ で微分して

$$v=\frac{dx}{dt}=3t^2-3$$

② 加速度。 $v$ をさらに微分して

$$\alpha =\frac{dv}{dt}=6t$$

③ 速度が $0$ の時刻。 $v=3t^2-3=3(t^2-1)=3(t-1)(t+1)=0$ より

$$t=1,-1$$

まとめ:直線運動は「位置 $\stackrel{\text{微分}}{\to }$ 速度 $\stackrel{\text{微分}}{\to }$ 加速度」。$x=t^3-3t$ から $v=3t^2-3$、$\alpha =6t$。速度 $0$ は $v=0$ を解いて $t=\pm 1$(このとき点は運動の向きを変える)。

発展。 速度が $0$ で加速度が $0$ でない時刻は、点が一瞬止まって向きを変える「折り返し点」。$t=\pm 1$ がそれで、$v$ の符号がそこで入れかわる。

もし $v=0$ かつ $\alpha =0$ なら、止まっても向きを変えずに進み続ける(停留の変曲)こともある。$v=0$ だけでは「向きが変わる」とは断定できない、という点が要注意。

加速度の符号は位置の凹凸(=位置の極大・極小)を教える。$t=-1$ で $\alpha <0$ だから位置は極大($x=2$)、$t=1$ で $\alpha >0$ だから位置は極小($x=-2$)。位置・速度・加速度はこのように微分で結ばれている。

別解

別解:折り返し点として運動を読む(得意な人向けの視点)。 $v=0$ の時刻を、ただ求めるだけでなく、加速度の符号で「どちらの折り返しか」まで見分けられる。

速度 $v=3t^2-3=3(t-1)(t+1)$ が $0$ になるのは $t=\pm 1$。この $2$ 点で点 P は運動の向きを変える。そこでの加速度 $\alpha =6t$ を見る。

• $t=-1$:$\alpha =-6<0$。位置は極大で $x(-1)=-1+3=2$(いちばん右)。
• $t=1$:$\alpha =6>0$。位置は極小で $x(1)=1-3=-2$(いちばん左)。

つまり P は右へ進んで $t=-1$ に $x=2$ で折り返し、左へ動いて $t=1$ に $x=-2$ で折り返し、また右へ。

微分して $v,\alpha$ を出す本解に、「運動の様子」の読み取りを重ねた形。$v=0$ が折り返し、$\alpha$ の符号がその折り返しの向き(右端か左端か)を教える。数式が運動の絵に変わる。