微分法の応用 ★ 基礎の問題 全12問

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 接線を求める手順は、いつも同じ $2$ 段階だ。

① 傾きを出す(傾きは微分係数に等しい)

② 傾きと通る点から、直線の式を書く

この問題では、点 $(0,1)$ での傾きが要る。

$$f(x)=e^x⟹f^{\prime }(x)=e^x$$

$$f^{\prime }(0)=e^0=1$$

傾き $1$、つまり $45^{\circ }$ の直線だ。そして、点 $(0,1)$ を通る。

$$y-1=1\cdot (x-0)⟹y=x+1$$

関数が $e^x$ に変わっても、$\log x$ でも $\sin x$ でも、接線の作り方は変わらない。数IIで身につけた「微分係数を傾きにして、点を通す」という $1$ 手が、そのまま使える。

① 傾きを求める。 $f^{\prime }(x)=e^x$ なので $f^{\prime }(0)=e^0=1$。

② 点 $(0,1)$ を通る直線を作る。

$$y-1=1\cdot (x-0)\Rightarrow y=x+1$$

まとめ:数III でも接線の作り方は同じ。「傾き $=f^{\prime }(a)$、通る点 $=(a,f(a))$」。$e^x$ の微分が $e^x$ なので、$x=0$ での傾きは $1$。$y=x+1$ は $e^x$ の原点付近での近似にもなっている。

発展。 接線は $1$ 次の近似だった。では、もっと精度を上げるには?

$2$ 次の項を足せばいい。

$$e^x\approx 1+x+\frac{x^2}{2}$$

$3$ 次なら

$$e^x\approx 1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}$$

この調子で、無限に続けると

$$\boxed{e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots }$$

マクローリン展開(テイラー展開)という。$e^x$ という超越的な関数が、$x$ のべき($1$ 次、$2$ 次、$3$ 次 $\dots$)の無限和で書けてしまった。

係数の分母は階乗だ。 なぜか。$n$ 回微分したときの値が、係数を決めるからである。

$$f(x)=\sum a_n{x}^n⟹f^{(n)}(0)=n!a_n⟹a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}$$

$e^x$ は何回微分しても $e^x$ で、$x=0$ での値は常に $1$。 だから $a_n=\frac{1}{n!}$。$x=1$ を代入すると、$e$ の値を表す式が得られる。

$$e=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}+\frac{1}{120}+\cdots =2.71828\dots$$

$e$ を計算する、いちばん実用的な方法だ。 $10$ 項も足せば、小数点以下 $7$ 桁が合う。同じことが $\sin$ と $\cos$ にもできる。

$$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots$$ $$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots$$

そして、$e^{ix}$ も同じように級数で書いてみる。

$$e^{ix}=1+ix+\frac{(ix{)}^2}{2!}+\frac{(ix{)}^3}{3!}+\cdots$$

$i^2=-1$、$i^3=-i$、$i^4=1$ を使って整理すると

$$=\underset{\cos x}{\underbrace{\left(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots \right)}}+i\underset{\sin x}{\underbrace{\left(x-\frac{x^3}{3!}+\cdots \right)}}$$

$$e^{ix}=\cos x+i\sin x$$

オイラーの公式が級数から導けた。

指数関数と三角関数は、まったく別物に見える。 だが、べき級数の形で書くと、同じ家族だったことが分かる。

そして、コンピュータが $\sin$ や $e^x$ を計算する方法も、これだ。 内部ではこの級数を有限項で打ち切って足している。「接線 $=$ $1$ 次近似」という考えを進めていくと、関数を級数で表す方法にたどり着く。

別解

接線を「最良の $1$ 次近似」として読む。

答えの $y=x+1$ が、何を意味するのかを考える別解である。

接点のごく近くでは、曲線と接線はほとんど重なっている。つまり、$x$ が $0$ に近いとき

$$e^x\approx x+1$$

この近似がどれくらい正確か。数値で見てみよう。

$$e^{0.1}=1.10517\dots \text{近似値: }1.1$$

誤差は $0.005$。

$$e^{0.01}=1.010050\dots \text{近似値: }1.01$$

誤差は $0.00005$。

$x$ を $\frac{1}{10}$ にすると、誤差は $\frac{1}{100}$ になった。

誤差が $x$ の $2$ 乗のオーダーで小さくなる。 これが「接線が最良の $1$ 次近似である」ことの意味だ。

$1$ 次近似の一般形。

$$f(x)\approx f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)(x\text{ が }a\text{ に近いとき})$$

この右辺は接線の式そのものだ。実用的な近似公式が次々に出てくる。

$$e^x\approx 1+x,\log (1+x)\approx x,\sin x\approx x,\sqrt{1+x}\approx 1+\frac{x}{2}$$

すべて、$x=0$ での接線である。

$\sqrt{1.02}$ を暗算してみよう。

$$\sqrt{1+0.02}\approx 1+\frac{0.02}{2}=1.01$$

実際は $1.00995\dots$ なので、小数第 $4$ 位まで合っている。もう $1$ つ、この接線には重要な性質がある。$e^x$ のグラフは接線 $y=x+1$ の常に上にある。

$$e^x\geqq x+1(\text{すべての実数 }x)$$

等号は $x=0$ のときだけ。

なぜか。 $e^x$ は下に凸(常に $y^{\prime \prime }=e^x>0$)だからだ。下に凸な関数はどの接線よりも上にある。

この不等式は意外なところで役に立つ。

$x=-1$ を入れると $e^{-1}\geqq 0$ となるが、これは当たり前の式だ。$x$ に $\log t$ を入れると

$$e^{\log t}\geqq \log t+1⟹t-1\geqq \log t$$

$\log$ の基本不等式が出てきた。

$1$ 本の接線から、$2$ つの重要な不等式が生まれる。接線は単に「曲線に触れる直線」ではなく、曲線を近似したり、曲線を上下から押さえたりするのにも使える道具だ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 関数が $\log x$ に変わっても、手順はまったく同じだ。

① 傾き(微分係数)を出す。

$$f(x)=\log x⟹f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$$

$$f^{\prime }(1)=\frac{1}{1}=1$$

傾きは $1$。

② 点 $(1,0)$ を通る直線を書く。

$$y-0=1\cdot (x-1)⟹y=x-1$$

接線が求まった。

ここで、$1$ つ気づいてほしい。

前問($e^x$ の接線)の答えは $y=x+1$ だった。 今回は $y=x-1$。

傾きはどちらも $1$。 定数だけが $+1$ と $-1$ で逆になっている。

これは偶然だろうか。 その答えは別解で明かされる。

① 傾きを求める。 $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$ なので $f^{\prime }(1)=1$。

② 点 $(1,0)$ を通る直線を作る。

$$y-0=1\cdot (x-1)\Rightarrow y=x-1$$

まとめ:$\log x$ の $x=1$ での傾きは $\frac{1}{1}=1$。接線 $y=x-1$ は $\log x$ の $x=1$ 付近での近似になる。$e^x$ の接線 $y=x+1$ と $y=x$ について対称なのは、両者が逆関数だからだ。

発展。 接線から得られた不等式

$$\log x\leqq x-1$$

は、見た目よりずっと多くの場面で使える。

まず、形を変えてみよう。 $x$ を $\frac{1}{x}$ に置き換える($x>0$)。

$$\log \frac{1}{x}\leqq \frac{1}{x}-1$$

$$-\log x\leqq \frac{1}{x}-1$$

$$\log x\geqq 1-\frac{1}{x}$$

下からの評価も手に入った。

$$\boxed{1-\frac{1}{x}\leqq \log x\leqq x-1}$$

$\log$ が $2$ つの簡単な式で挟まれた。この挟み込みがいろいろな極限を証明する。そして、この不等式の応用のなかで、もっとも有名なのは相加平均・相乗平均の不等式の証明だ。

$n$ 個の正の数 $a_1,\dots ,a_n$ について

$$\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}\geqq \sqrt[n]{a_1{a}_2\cdots a_n}$$

証明の流れ。 相加平均を $A$ とおき、$x=\frac{a_i}{A}$ を $\log x\leqq x-1$ に入れる。

$$\log \frac{a_i}{A}\leqq \frac{a_i}{A}-1$$

$i=1$ から $n$ まで、すべて足す。

$$\sum _{i=1}^n\log \frac{a_i}{A}\leqq \frac{\sum a_i}{A}-n=\frac{nA}{A}-n=0$$

左辺は対数の性質でまとめられる。

$$\log \frac{a_1{a}_2\cdots a_n}{A^n}\leqq 0$$

$$\frac{a_1{a}_2\cdots a_n}{A^n}\leqq 1$$

$$a_1{a}_2\cdots a_n\leqq A^n$$

両辺の $n$ 乗根をとって

$$\sqrt[n]{a_1{a}_2\cdots a_n}\leqq A■$$

証明できた。

$2$ 変数の相加相乗($a+b\geqq 2\sqrt{ab}$)は中学レベルの変形で示せるが、$n$ 変数となると、とたんに難しくなる。その難問が「$\log x\leqq x-1$」という接線の不等式 $1$ 本で片づいた。

しかも、等号成立条件まで自動的に出る。 $\log x=x-1$ の等号は $x=1$ のときだけだから、すべての $\frac{a_i}{A}=1$、つまり $a_1=a_2=\cdots =a_n$ のとき。接線という、素朴な図形的対象。

そこから引き出された不等式が、$n$ 変数の不等式を証明する。「接線は曲線を押さえる」という $1$ 行の幾何的事実を使って、代数の難しい不等式が証明できた。

別解

微分せずに、鏡に映して求める。$\log x$ と $e^x$ は互いに逆関数だ。逆関数のグラフは直線 $y=x$ に関して対称になる。

つまり、$y=\log x$ のグラフは $y=e^x$ のグラフを $y=x$ で折り返したものである。

折り返しの規則。

$$\text{点 }(a,b)⟷\text{点 }(b,a)$$

$x$ 座標と $y$ 座標を入れかえるだけ。

接点を折り返す。

$e^x$ の接点は $(0,1)$ だった。 入れかえると $(1,0)$ となり、この問題の接点と一致する。

接線も折り返す。

$e^x$ の接線は $y=x+1$ だった。 この直線上の点を、片端から入れかえてみよう。

$$(0,1)\to (1,0),(1,2)\to (2,1),(-2,-1)\to (-1,-2)$$

折り返した $3$ 点 $(1,0)$、$(2,1)$、$(-1,-2)$ は、どんな直線に乗るか。

すべて $y=x-1$ を満たす。

$$0=1-1,1=2-1,-2=-1-1$$

$3$ 点とも、確かに満たしている。微分を $1$ 回もせずに、接線 $y=x-1$ が求まった

なぜ、これでよいのか。

「折り返し」は図形をそのまま移す操作だ。 曲線と接線が触れていたなら、折り返した後も触れている。

接するという関係は鏡に映しても壊れない。傾きについても確かめておこう。

$y=x+1$ の傾きは $1$。折り返すと、傾きは逆数になる($\frac{1}{1}=1$)。たまたま $1$ だったので、変わらなかった。

もし $e^x$ の接線の傾きが $2$ なら、$\log x$ 側では $\frac{1}{2}$ になる。 これが「逆関数の微分は逆数」ということだ。この見方から分かること。

$$e^x\geqq x+1(\text{ex は接線の上})$$

を、$y=x$ で折り返すと

$$\log x\leqq x-1(\text{logx は接線の下})$$

不等号の向きがひっくり返る。上に凸(下に凸)も折り返しで入れかわるのだ。

$e^x$ は下に凸で、接線の上にある。$\log x$ は上に凸で、接線の下にある。 折り返すと、凸の向きも接線との上下も入れかわる。

$1$ つの計算で、$2$ つの関数が同時に分かる。 逆関数の対称性を使うと、それだけ手間が省ける。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 手順は変わらない。傾きを出して、点を通す。

$$f(x)=\sin x⟹f^{\prime }(x)=\cos x$$

$$f^{\prime }(0)=\cos 0=1$$

傾きは $1$。原点を通る。

$$y=x$$

答えはごく単純な形になった。

だが、この結果には見覚えがあるはずだ。

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$$

この基本極限は「原点の近くで $\sin x\approx x$」という意味だった。今、それが「原点での接線が $y=x$」という形で、幾何的に確認された。$2$ つは、同じ事実の言い換えである。

• 極限の言葉: $\frac{\sin x}{x}\to 1$
• 接線の言葉: 原点での接線は $y=x$

計算と図形が、$1$ 点でつながっている。 計算の結果と図の形が、ここで一致する。

① 傾きを求める。 $f^{\prime }(x)=\cos x$ なので $f^{\prime }(0)=\cos 0=1$。

② 原点を通る直線を作る。

$$y=1\cdot (x-0)=x$$

まとめ:$\sin x$ の原点での傾きは $\cos 0=1$。接線は $y=x$。これは基本極限 $\frac{\sin x}{x}\to 1$($x\to 0$ で $\sin x\approx x$)と同じことを言っている。原点付近で $\sin x$ と $y=x$ がほぼ重なる。

発展。 接線 $y=x$ は $\sin x$ の $1$ 次近似だった。もっと精度を上げよう。

$$\sin x\approx x-\frac{x^3}{6}$$

$3$ 次の項を足すと、精度が跳ね上がる。

$x=0.5$ で比べてみよう(真の値は $\sin 0.5=0.479426\dots$)。

• $1$ 次近似 $x=0.5$ → 誤差 $0.0206$
• $3$ 次近似 $0.5-\frac{0.125}{6}=0.479167$ → 誤差 $0.00026$

誤差が $80$ 分の $1$ に減った。さらに項を足すと

$$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots$$

奇数次の項だけが現れ、符号が交互に変わる。

なぜ奇数次だけか。

$\sin x$ は奇関数($\sin (-x)=-\sin x$)だからだ。 偶数次の項($x^2$、$x^4$)があると、対称性が壊れてしまう。$\cos x$ は偶関数なので、偶数次だけが現れる。

$$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots$$

関数の対称性がそのまま級数の形に刻まれている。この級数は実用上とても重要だ。コンピュータは $\sin$ をどう計算しているのか。

三角比の表を持っているわけではなく、この級数を必要な精度まで足し上げているのだ。$x$ が小さければ、数項で十分な精度が出る。

$x$ が大きいときは? 周期性($\sin (x+2\pi )=\sin x$)を使って、まず $x$ を $0$ の近くに引き寄せる。それから級数を使う。

「近似は、$0$ の近くでいちばん精度がよい。だから $0$ の近くに持ち込む。」これが数値計算の基本戦略である。

そして、この級数からは思わぬ結果も導ける。両辺を $x$ で割ると

$$\frac{\sin x}{x}=1-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120}-\cdots$$

$x\to 0$ とすると、右辺は $1$。

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$$

基本極限が級数からすぐに出た。

はさみうちの証明が要らない。 級数の形で書けると、このような極限は式を見るだけで分かる。「接線 = $1$ 次近似」から始まった話が、無限級数を経て、また基本極限に戻ってきた。

数学はこうして円環をなす。

別解

微分の公式を使わず、定義の極限から直接、傾きを出す。微分係数の定義に、正面から戻ってみよう。

$$f^{\prime }(0)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin h-\sin 0}{h}$$

$\sin 0=0$ だから

$$f^{\prime }(0)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin h}{h}$$

この極限は $1$ である(三角関数の基本極限)。

$$f^{\prime }(0)=1$$

傾きが $1$、原点を通るので、接線は $y=x$

$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$ という公式を、$1$ 度も使っていない。なぜ、これが意味をもつのか。そもそも、$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$ という公式は、$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin h}{h}=1$ から導かれたものだった。

つまり、順序としてはこうだ。

$$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin h}{h}=1⟹(\sin x{)}^{\prime }=\cos x⟹\text{原点での接線}=y=x$$

この別解は途中を飛ばして、いちばん根っこから直接、接線を出したことになる。そして、いま「接線が $y=x$」ということの図形的な意味を確認しよう。$\sin x$ のグラフは原点で $45^{\circ }$ の傾きをもつ。

単位円で考えると、こうだ。 角 $x$(弧度法)は弧の長さ、$\sin x$ は縦の高さ。角が小さいとき、弧はほとんど直線に見え、その高さは弧の長さとほぼ同じ。

$$\text{弧の長さ }x\approx \text{高さ }\sin x$$

$y=x$ という接線はこのことを表している。

数値で確かめよう。

$$\sin (0.1)=0.09983\dots$$

$0.1$ に対して、誤差は $0.00017$。

$$\sin (0.01)=0.00999983\dots$$

誤差は $1.7\times 10^{-7}$。

誤差は $x^3$ に比例して小さくなる(実際 $\sin x\approx x-\frac{x^3}{6}$)。

$$x-\sin x\approx \frac{x^3}{6}$$

$x=0.1$ なら $\frac{0.001}{6}=0.000167$ となり、上の誤差と一致する

この近似 $\sin x\approx x$ は物理でよく使われる。

振り子、バネ、弦の振動、光の回折などでは、どれも「角度が小さい」という仮定のもとで、$\sin \theta$ を $\theta$ に置き換えて、方程式を解いている。

この置き換えができるのは、原点での接線が $y=x$ だからだ。接線 $1$ 本が物理学の計算を可能にしている。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 極値を求める手順は、$3$ 段階だ。

① $y^{\prime }$ を計算する → ② $y^{\prime }=0$ を解く → ③ 前後の符号を調べる

この関数は積の形($x$ と $e^{-x}$)なので、積の微分を使う。

$$y^{\prime }=1\cdot e^{-x}+x\cdot (-e^{-x})=(1-x)e^{-x}$$

ここで、大事な観察がある。

$$e^{-x}>0(\text{どんな x でも})$$

指数関数は決して $0$ にも負にもならない。だから $y^{\prime }$ の符号は $(1-x)$ だけで決まる。

• $x<1$ のとき $1-x>0$ なので、$y^{\prime }>0$ で増加
• $x>1$ のとき $1-x<0$ なので、$y^{\prime }<0$ で減少

増加から減少へ切り替わる $x=1$ が極大点だ。「常に正の因数は、符号判定から外す」ことが、指数を含む関数を扱うときのいちばんのコツである。

① $y^{\prime }$ を求める。 積の微分。$(e^{-x}{)}^{\prime }=-e^{-x}$。

$$y^{\prime }=e^{-x}+x(-e^{-x})=(1-x)e^{-x}$$

② $y^{\prime }=0$ を解く。 $e^{-x}>0$ なので $1-x=0$、$x=1$。

③ 符号を調べる。 $(1-x)e^{-x}$ は $x<1$ で正、$x>1$ で負。正→負 なので $x=1$ で極大。

$$y(1)=1\cdot e^{-1}=\frac{1}{e}$$

まとめ:$e^{-x}$ はつねに正なので、$y^{\prime }$ の符号は残りの $(1-x)$ だけで決まる。$x=1$ で正→負に変わり極大。値は $\frac{1}{e}$。指数がつく関数の極値の典型だ。

発展。 $y=x{e}^{-x}$ という関数は、自然現象のなかによく現れる。

その理由は「増加と減衰の積」という構造にある。

例 $1$: 薬の血中濃度。

薬を飲むと、まず腸から吸収されて濃度が上がる。 同時に、肝臓で分解され、腎臓から排出されて濃度が下がる。吸収(増加)と代謝(減衰)の綱引き。

濃度のグラフは $x{e}^{-x}$ の形になる。 飲んでしばらくで濃度がピークを迎え、その後ゆっくり減っていく。「食後 $30$ 分で効き始め、$2$ 時間後にピーク」というときの、この曲線の頂点が極大値だ。

薬の投与間隔はこの関数から設計されている。例 $2$: 放射性物質の連鎖崩壊。親核種 $\mathrm{A}$ が崩壊して娘核種 $\mathrm{B}$ になり、$\mathrm{B}$ もまた崩壊する。

$\mathrm{B}$ の量は $\mathrm{A}$ からの供給(増加)と、自身の崩壊(減衰)のバランスで決まる。やはり $t{e}^{-\lambda t}$ の形になり、ある時刻でピークを迎える。例 $3$: 待ち行列・故障率。

製品の故障率もこの形をとることがある(初期不良で増え、その後は安定して減る)。なぜ、これほど普遍的なのか。「何かが供給され、同時に一定の割合で失われていく」という状況が、身の回りに多くあるからだ。

$$\frac{dy}{dt}=(\text{供給})-(\text{失われる分})$$

失われる分が現在量に比例する($-\lambda y$)なら、指数的減衰が生まれる。この構造は微分方程式で書ける。

$$y^{\prime }=-y+(\text{入力})$$

そして、この解に $t{e}^{-t}$ が現れる。極大値 $\frac{1}{e}\approx 0.368$ という数も、示唆的だ。$x=1$、つまり「時定数」と呼ばれる特徴的な時間で、ピークを迎える。

$\frac{1}{e}$ という数は工学のあちこちに出てくる。 「$63\%$ 充電されるまでの時間」や「信号が $37\%$ に減衰するまでの時間」は、どれも $\frac{1}{e}$ が基準になっている。$x{e}^{-x}$ の極大値を求める、という教科書の問題。

その答えの $\frac{1}{e}$ は薬の濃度の変化を表す簡単なモデルでも、濃度が最大になるときの値として現れる。

別解

この関数の「性格」を、$2$ つの力のせめぎ合いとして読む。$y=x{e}^{-x}$ は、$2$ つの部分の積だ。

• $x$:どこまでも大きくなろうとする(増加の力)
• $e^{-x}$:急速に $0$ に向かう(減衰の力)

$2$ つの力が綱引きをしている。

$x$ が小さいうちは、増加の力が勝つ。 $x$ が $0$ から $1$ に増えると、$x$ 自体は $1$ 倍から $1$ 倍へ大きくなるが、$e^{-x}$ の減り方はまだ緩やかだ。

$x$ が大きくなると、減衰の力が圧勝する。 指数関数の減り方は $1$ 次関数の増え方よりはるかに速いからだ。どこかで、力関係が逆転する。それが極大点だ。

数値で見てみよう。

$$f(0)=0,f(0.5)=0.303,f(1)=0.368,f(2)=0.271,f(5)=0.034$$

$x=1$ を頂点として、上がって、下がる。そして、$x\to \infty$ では

$$\underset{x\to \infty }{\lim }x{e}^{-x}=0$$

$0$ に収束する。指数の減衰が完全に勝つ。さて、極大点を「対数微分法」で求めてみよう。

両辺の対数をとる($x>0$ の範囲で)。

$$\log y=\log \left(x{e}^{-x}\right)=\log x+\log e^{-x}=\log x-x$$

掛け算が足し算になった。

両辺を微分する。

$$\frac{y^{\prime }}{y}=\frac{1}{x}-1$$

$y^{\prime }=0$ となるのは、$y\ne 0$ のもとで $\frac{y^{\prime }}{y}=0$ のとき。

$$\frac{1}{x}-1=0⟹x=1$$

極値の候補が、あっさり出た

極大値は

$$f(1)=1\cdot e^{-1}=\frac{1}{e}$$

本解と同じ

対数微分法の利点。

積の微分をしなくて済む。 $\log$ が掛け算を足し算に変えてくれるので、微分が単純な引き算になる。そして、$\frac{y^{\prime }}{y}$ という形が便利だ。

$y>0$ の範囲では、$y^{\prime }$ の符号は $\frac{y^{\prime }}{y}$ の符号と一致する。

$$\frac{y^{\prime }}{y}=\frac{1}{x}-1\{\begin{array}{ll}>0& (0<x<1)\\ <0& (x>1)\end{array}$$

符号の判定まで、そのままできる。「掛け算の関数は、対数をとって足し算にする」という方法は、微分でも符号判定でも役に立つ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $y=x+\frac{1}{x}$($x>0$)は、$2$ つの相反する項の和だ。

• $x$:$x$ が大きいほど大きい
• $\frac{1}{x}$:$x$ が小さいほど大きい

両方を小さくすることはできない。 $x$ を小さくすれば $\frac{1}{x}$ が暴れ、$x$ を大きくすれば $x$ 自身が暴れる。「どこかに、いちばん得なバランス点がある」と予想できる。

微分で見つけよう。

$$y^{\prime }=1-\frac{1}{x^2}$$

$$y^{\prime }=0⟹x^2=1⟹x=1(x>0)$$

$x=1$ の前後で符号を調べると、負から正へ変わるので、極小だ。

$$y=1+\frac{1}{1}=2$$

この $2$ という値には、微分を使わない別の導き方がある。 別解で見よう。

① $y^{\prime }$ を求める。

$$y^{\prime }=1-\frac{1}{x^2}$$

② $y^{\prime }=0$ を解く。 $x^2=1$、$x>0$ より $x=1$。

③ 符号を調べる。 $x<1$ で $y^{\prime }<0$、$x>1$ で $y^{\prime }>0$。負→正 なので $x=1$ で極小。

$$y(1)=1+1=2$$

まとめ:$x+\frac{1}{x}$($x>0$)は $x=1$ で極小値 $2$。相加相乗平均 $x+\frac{1}{x}\geqq 2\sqrt{x\cdot \frac{1}{x}}=2$(等号 $x=1$)からも同じ最小値が出る。微分と不等式、$2$ つの見方でつながる。

発展。 $y=x+\frac{1}{x}$ のグラフを、全体として見てみる。

$x>0$ では $x=1$ を底とする「谷」の形。 最小値は $2$。

$x<0$ では? 奇関数($f(-x)=-f(x)$)だから、原点対称の「山」になる。最大値は $-2$($x=-1$)。

そして、この関数には $2$ 本の漸近線がある。

① $x\to 0$ のとき、$\frac{1}{x}$ が暴れる → $y$ 軸($x=0$)が漸近線

② $x\to \pm \infty$ のとき、$\frac{1}{x}\to 0$ → $y=x$ に近づく

$2$ 本目に注目する。 縦でも横でもなく、斜めの漸近線だ。

$$y=x+\frac{1}{x}⟶y=x(x\to \pm \infty )$$

遠くから見ると、この曲線は直線 $y=x$ にぴったり寄り添っている。斜め漸近線を見つける手順。

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\left\{f(x)-(ax+b)\right\}=0$$

となる直線 $y=ax+b$ を探す。

$$a=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f(x)}{x},b=\underset{x\to \infty }{\lim }\{f(x)-ax\}$$

この関数なら

$$a=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x+\frac{1}{x}}{x}=\lim \left(1+\frac{1}{x^2}\right)=1$$

$$b=\underset{x\to \infty }{\lim }\left(x+\frac{1}{x}-x\right)=\lim \frac{1}{x}=0$$

斜め漸近線は $y=x$

グラフの全体像がこれで完成する。

• $x>0$: $y$ 軸に沿って上から降りてきて、$(1,2)$ で底を打ち、$y=x$ に沿って昇っていく
• $x<0$: 原点対称の形

$2$ 本の漸近線に挟まれた、$2$ つの枝。 双曲線に似た姿だ。この形は、実は双曲線そのものである。

$$y=x+\frac{1}{x}⟹xy=x^2+1⟹x^2-xy+1=0$$

$2$ 次曲線の方程式だ。 判別式($xy$ の項があるので回転している)を調べると、双曲線と分かる。「$x+\frac{1}{x}$」という素朴な式が、傾いた双曲線を描いていた。

そして、この関数は物理にも出てくる。

電気回路のインピーダンス、レンズの公式($\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{f}$)、てこの原理のように、「足すと $\frac{1}{x}$ 型が現れる」構造は、あちこちにある。

最小値 $2$ という結果は、「バランスが取れているときが最も効率がよい」ことを意味する。

極端に偏った状態より、$2$ つが釣り合った状態のほうが得である。相加相乗の不等式が表しているのは、このことだ。

別解

微分を使わずに、相加平均・相乗平均の不等式で解く。$2$ つの正の数 $a$、$b$ について、こんな不等式が成り立つ。

$$\frac{a+b}{2}\geqq \sqrt{ab}(\text{等号は }a=b\text{ のとき})$$

「足して $2$ で割った値(相加平均)は、掛けて  ​ した値(相乗平均)以上」この不等式を、$a=x$、$b=\frac{1}{x}$ に使う。($x>0$ なので、$\frac{1}{x}>0$。$2$ つとも正だから、不等式が使える。)

$$x+\frac{1}{x}\geqq 2\sqrt{x\cdot \frac{1}{x}}$$

根号の中を見てほしい。

$$x\cdot \frac{1}{x}=1$$

約分されて、$1$ になる。 ここが、この不等式が使える理由だ。

$$x+\frac{1}{x}\geqq 2\sqrt{1}=2$$

最小値は $2$ 以上と分かった。等号が成り立つのは、$a=b$ のとき、つまり

$$x=\frac{1}{x}⟹x^2=1⟹x=1$$

$x=1$ で、確かに $y=2$ になる。

最小値 $2$($x=1$) 微分を $1$ 度も使っていない。なぜ、相加相乗が使えたのか。「掛けると定数になる $2$ 数の和」だったからだ。

$$x\times \frac{1}{x}=1(\text{一定})$$

積が一定なら、和は $2\sqrt{\text{積}}$ 以上。 等号は $2$ つが等しいとき。この構造を見抜けるかどうかが、解けるかどうかの分かれ目だ。

同じ構造の問題を、いくつか見ておこう。

$$y=x+\frac{4}{x}(x>0)⟹\geqq 2\sqrt{4}=4(x=2\text{ のとき})$$

$$y=2x+\frac{8}{x}(x>0)⟹\geqq 2\sqrt{16}=8(x=2\text{ のとき})$$

「積が定数になるペア」を見つけたら、相加相乗。ただし、注意点もある。$y=x+\frac{1}{x}$ で、$x<0$ のときは?

相加相乗は正の数にしか使えない。 $x<0$ では使えない。

このとき、実は $y\leqq -2$ になる(最大値 $-2$)。符号がひっくり返る。

「$x>0$」という条件が問題文にあった理由が、これである。微分なら、条件を忘れても増減表で分かる。相加相乗は速いが、適用条件に注意が要る。

速さと安全性。 $2$ つの道具を、場面で使い分けたい。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 変曲点とは、グラフの「曲がり方」が入れ替わる点だ。

「曲がり方」とは何か。

• 下に凸(お椀の形):接線がグラフの下にある
• 上に凸(山の形):接線がグラフの上にある

この $2$ つが切り替わる境目が、変曲点である。$1$ 階と $2$ 階の導関数で、役割分担がある。

• $y^{\prime }$:増減(上がっているか、下がっているか)
• $y^{\prime \prime }$:凹凸(どちらに曲がっているか)

変曲点を探すには、$y^{\prime \prime }$ を見る。

$$y=x^3-3x⟹y^{\prime }=3x^2-3⟹y^{\prime \prime }=6x$$

$$y^{\prime \prime }=0⟹x=0$$

注意。 $y^{\prime \prime }=0$ だけでは足りない。前後で $y^{\prime \prime }$ の符号が変わることまで確かめる。

$$x<0:y^{\prime \prime }<0(\text{上に凸}),x>0:y^{\prime \prime }>0(\text{下に凸})$$

変わっている。 よって $(0,0)$ が変曲点だ。

① $y^{\prime \prime }$ を求める。 $y^{\prime }=3x^2-3$、$y^{\prime \prime }=6x$。

② $y^{\prime \prime }=0$ を解く。 $6x=0$、$x=0$。

③ 符号の変化を確認する。 $y^{\prime \prime }=6x$ は $x<0$ で負(上に凸)、$x>0$ で正(下に凸)。符号が変わるので $x=0$ は変曲点。$y(0)=0$。

$$\text{変曲点}(0,0)$$

まとめ:変曲点は「グラフの曲がり方(凹凸)が切りかわる点」。$y^{\prime \prime }$ の符号で凹凸が決まり($y^{\prime \prime }>0$ で下に凸、$y^{\prime \prime }<0$ で上に凸)、それが変わる所が変曲点。$y^{\prime \prime }=0$ だけでなく、前後で符号が変わることまで確認する。

発展。 「$y^{\prime \prime }=0$ だが、変曲点ではない」という点は存在するだろうか。

存在する。

$y=x^4$ を考えよう。

$$y^{\prime }=4x^3,y^{\prime \prime }=12x^2$$

$y^{\prime \prime }=0$ となるのは $x=0$。

だが、$y^{\prime \prime }$ の符号は?

$$x<0:y^{\prime \prime }=12x^2>0x>0:y^{\prime \prime }=12x^2>0$$

どちらも正。符号が変わらない。

つまり、$x=0$ の前後で、どちらも下に凸のまま。 曲がり方は入れ替わっていない。$x=0$ は変曲点ではない。

グラフを見れば当然だ。 $y=x^4$ は原点を底とするお椀の形。ずっと下に凸で、曲がり方が変わる場所はない。

教訓。

$$\boxed{y^{\prime \prime }=0\text{ は変曲点の必要条件だが、十分条件ではない}}$$

「$y^{\prime \prime }=0$」を解いたら、必ず前後の符号を調べる。この構造は極値の判定とまったく同じである。

$$\boxed{y^{\prime }=0\text{ は極値の必要条件だが、十分条件ではない}}$$

$y=x^3$ で確かめよう。 $y^{\prime }=3x^2$ は $x=0$ で $0$ になる。

だが $y^{\prime }$ は前後で正のまま($3x^2\geqq 0$)。増加が続いているだけで、極値ではない。

グラフは原点で1点だけ水平になるが、そのまま登り続ける。(「停留点」と呼ばれる。)$2$ つの注意点が、きれいに対応している。

$$y^{\prime }=0\text{だが極値でない}⟷y^{\prime \prime }=0\text{だが変曲点でない}$$

どちらも「$0$ になっただけでは足りない。符号が変わってこそ意味がある」という話だ。なぜ、こんなことが起こるのか。

微分から分かるのは「その瞬間」の情報だけだからだ。

$f^{\prime }(a)=0$ は「$x=a$ で瞬間的に水平」と言っているだけ。 その前後がどうなっているかは、別に調べる必要がある。「点の情報」から「区間の性質」を結論するには、必ず追加の確認が要る。

この慎重さが微分を正しく使うということである。そして、変曲点には $1$ つ、覚えておきたい性質がある。変曲点では、接線がグラフを「貫く」。

普通の点では、接線はグラフの片側(上か下)にある。 だが変曲点では、接線が曲線を横切る。

$y=x^3-3x$ の変曲点 $(0,0)$ での接線は $y=-3x$。

この直線は原点でグラフを貫通している。左では曲線の上、右では下を通る。「凹凸が入れ替わる」ことの、いちばん目に見える現れである。

別解

微分せずに、対称性から変曲点を当てる。この関数をよく見てほしい。

$$f(x)=x^3-3x$$

$x$ を $-x$ に置き換えると?

$$f(-x)=(-x{)}^3-3(-x)=-x^3+3x=-\left(x^3-3x\right)=-f(x)$$

$$f(-x)=-f(x)$$

奇関数である。

奇関数のグラフは原点に関して点対称だ。

具体的に確かめよう。

$$f(1)=1-3=-2,f(-1)=-1+3=2$$

$(1,-2)$ と $(-1,2)$ は原点をはさんでちょうど反対側にある。

$$f(2)=8-6=2,f(-2)=-8+6=-2$$

$(2,2)$ と $(-2,-2)$ も、やはり点対称の位置にある。

ここからが本題だ。

点対称なグラフでは対称の中心のまわりで、曲がり方が反転する。右側で下に凸なら、左側は($180^{\circ }$ 回すのだから)上に凸になる。だから、対称の中心がそのまま変曲点になる。

この関数の対称の中心は原点 $(0,0)$。

$$\text{変曲点}=(0,0)$$

微分せずに、答えが出た

この見方は、$3$ 次関数の一般論につながる。すべての $3$ 次関数は変曲点に関して点対称である。$y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ の変曲点は

$$y^{\prime \prime }=6ax+2b=0⟹x=-\frac{b}{3a}$$

この点を中心に、グラフは $180^{\circ }$ 回転対称になっている。

確かめてみよう。 $y=x^3-3x^2$ の変曲点は $x=1$、$y=1-3=-2$ で、$(1,-2)$。

$x=1$ から等距離の点を調べる。

$$f(1+t)=(1+t{)}^3-3(1+t{)}^2=t^3-3t-2$$ $$f(1-t)=(1-t{)}^3-3(1-t{)}^2=-t^3+3t-2$$

$2$ つを足すと

$$f(1+t)+f(1-t)=-4=2\times (-2)$$

平均が $-2$ なので、$2$ 点の中点の $y$ 座標は常に変曲点の $y$ 座標に等しい。これが「点対称」の定義そのものだ

$3$ 次関数は必ず変曲点を $1$ つもち、そこを中心に点対称。この事実を知っていると、$3$ 次関数のグラフを描くのがずっと楽になる。「極大と極小の中点が、変曲点」と分かっていれば、増減表を書く前にグラフの大まかな形がつかめる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 区間が限られている($0\leqq x\leqq 2$)。ここが最大のポイントだ。

最大値の候補は $2$ 種類ある。

• 区間の内側で、$y^{\prime }=0$ になる点(山の頂上)
• 区間の両端($x=0$ と $x=2$)

なぜ端が候補になるのか。

グラフが端で切られているからだ。 端ではそこから先へ行けない。だから、端の値が最大になることがある。

手順は $2$ 段階。

① 候補を全部出す。

$$y^{\prime }=(1-x)e^{-x}=0⟹x=1$$

$x=1$ は区間の内側にある

② 候補の値を全部計算して、比べる。

$$f(0),f(1),f(2)$$

この $3$ つを比べるだけ。

「閉区間の最大最小 $=$ 極値の候補 $+$ 端点」なので、端を忘れないこと。これが唯一にして最大の注意点である。

① 候補を出す。 $y^{\prime }=(1-x)e^{-x}=0$ より $x=1$(区間 $[0,2]$ 内)。

② 候補と両端の値を計算する。

$$y(0)=0,y(1)=\frac{1}{e}\approx 0.37,y(2)=\frac{2}{e^2}\approx 0.27$$

③ 最大を選ぶ。 いちばん大きいのは $y(1)=\frac{1}{e}$。

$$\text{最大値}\frac{1}{e}(x=1)$$

まとめ:数III でも閉区間の最大最小は「$y^{\prime }=0$ の点 + 両端」をくらべる。$\frac{1}{e}\approx 0.37$ と $\frac{2}{e^2}\approx 0.27$ の大小は、$e\approx 2.7$ で概算すると比べられる。

発展。 「閉区間なら、最大値と最小値が必ず存在する」というのは、当たり前だろうか。

当たり前ではなく、定理として保証されているのだ。最大値・最小値の定理(ワイエルシュトラスの定理)。

「有界な閉区間 $[a,b]$ で連続な関数は、必ず最大値と最小値をもつ。」この定理の $2$ つの条件を使っている。条件 $1$: 閉区間であること。

開区間だと、成り立たない。$f(x)=x$ を、開区間 $0<x<1$ で考える。

最大値はあるか? $x$ を $1$ に近づければ、$f(x)$ は $1$ に近づく。だが $x=1$ は区間に入っていない。

$0.9$? もっと大きい $0.99$ がある。$0.999$? もっと大きいのがある。

最大値は存在しない。 いくらでも $1$ に近づけるが、決して到達しない。端点が「入っている」ことが大事だ。

条件 $2$: 連続であること。不連続だと、成り立たない。

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}x& (0\leqq x<1)\\ 0& (x=1)\end{array}$$

閉区間 $[0,1]$ で定義されているが、$x=1$ で不連続。

最大値は? やはり存在しない。$1$ に近づくと値は $1$ に近づくが、$x=1$ では $0$ に落ちてしまう。

「連続」と「閉区間」の両方があって、初めて最大値が保証される。なぜ、こんな当たり前のことを定理にするのか。「存在する」ことと「求められる」ことは、別だからだ。

この定理からは、最大値がどこにあるかは何も分からない。 ただ「必ずある」と保証するだけ。その保証があるから、安心して最大値を探せる。

「候補を全部調べれば、その中に必ず答えがある」もし最大値が存在しないかもしれないなら、$f(0)$、$f(1)$、$f(2)$ を比べたところで、「これが最大とは限らない」ことになってしまう。存在定理は探索を正当化する。

この定理は経済学や物理学でも使われている。

• 経済: 効用を最大化する消費計画は「存在する」か
• 物理: 最小作用の原理によると、自然は作用を最小にする経路を選ぶ。その経路は「存在する」か
• 最適化: 機械学習の損失関数に、最小値は「存在する」か

「解が存在する」ことを証明してから、「解を求める」。数学が厳密さにこだわるのは、この順序を守るためだ。

別解

候補の値を実際の数で並べて比べる。

「端点も候補」と言われても、ピンとこないかもしれない。 数字で確かめよう。$3$ つの候補の値を、小数で出す。

$$f(0)=0\times e^0=0$$

$$f(1)=1\times e^{-1}=\frac{1}{e}\approx 0.368$$

$$f(2)=2\times e^{-2}=\frac{2}{e^2}\approx 0.271$$

並べる。

$$0<0.271<0.368$$

最大は $f(1)=\frac{1}{e}$ 最小は $f(0)=0$。確かに、極大点が最大値になっている。では、端点が最大になることは、本当にあるのか。

区間を変えてみよう。

区間 $2\leqq x\leqq 5$ で、同じ関数の最大値は?この区間には、$y^{\prime }=0$ となる点($x=1$)が含まれていない。

$$f(2)\approx 0.271,f(3)\approx 0.149,f(5)\approx 0.034$$

区間全体で、減少し続けている。最大値は左端の $f(2)\approx 0.271$。

極大点は区間の外にある。 端点が最大値になった。もう $1$ つ。区間 $0\leqq x\leqq 0.5$ なら?

$$f(0)=0,f(0.5)\approx 0.303$$

この区間ではずっと増加している。 最大値は右端の $f(0.5)$。$3$ つのパターンが出そろった。

• 区間内に頂上がある → 頂上が最大
• 頂上が区間の左外 → 左端が最大(区間内は減少)
• 頂上が区間の右外 → 右端が最大(区間内は増加)

「$y^{\prime }=0$ を解いて終わり」ではない理由が、これで分かる。その点が区間に入っているか、入っていなければ増減はどうかまで見て、初めて答えが出る。実用的な手順を、まとめておこう。

① $y^{\prime }=0$ を解く

② 解が区間内にあるか確認する(外なら候補から外す)

③ 区間内の解と、両端の値を、すべて計算する

④ 数値を並べて、いちばん大きいものを選ぶ

この $4$ ステップを機械的に踏めば、閉区間の最大最小で間違えることはない。「増減表を書いて、端の値も表に入れる」ようにする。増減表の左端と右端に、区間の端点の値を書き込む習慣をつけたい。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 凹凸を決めるのは、第 $2$ 次導関数 $y^{\prime \prime }$ の符号だ。

$$y^{\prime \prime }>0⟹\text{下に凸},y^{\prime \prime }<0⟹\text{上に凸}$$

この関数の $y^{\prime \prime }$ を計算する。

$$y=x^3⟹y^{\prime }=3x^2⟹y^{\prime \prime }=6x$$

$y^{\prime \prime }=6x$ の符号は、$x$ の符号そのものだ。

• $x>0$ → $y^{\prime \prime }>0$ → 下に凸
• $x<0$ → $y^{\prime \prime }<0$ → 上に凸

$x=0$ を境に、曲がり方が反転する。

$y=x^3$ のグラフを思い出そう。 左半分は上に膨らみ、右半分は下に膨らむ、あのS字の形。

原点で、S字がねじれている。 そこが変曲点だ。「凹凸は $y^{\prime \prime }$ の符号」で決まる。この $1$ 行を、まず確実にする。

① $y^{\prime \prime }$ を求める。 $y^{\prime }=3x^2$、$y^{\prime \prime }=6x$。

② 符号で凹凸を判定する。

• $x>0$:$y^{\prime \prime }=6x>0$ なので下に凸。
• $x<0$:$y^{\prime \prime }=6x<0$ なので上に凸。

$x=0$ で凹凸が入れかわる(変曲点)。

まとめ:凹凸は $y^{\prime \prime }$ の符号で読む。$y^{\prime \prime }>0$ なら「谷型(下に凸)」、$y^{\prime \prime }<0$ なら「山型(上に凸)」。$y=x^3$ は原点で凹凸が切りかわる、変曲点をもつ代表例だ。

発展。 凹凸は単なるグラフの形の話ではなく、「不等式を生む」という、役に立つ性質をもっている。

下に凸な関数の、$2$ つの見方。顔 $1$: 接線はグラフの下にある。顔 $2$: グラフ上の $2$ 点を結んだ線分(弦)は、グラフの上にある。

この「顔 $2$」を式で書くと、こうなる。

$$f\left(\frac{a+b}{2}\right)\leqq \frac{f(a)+f(b)}{2}$$

「中点での値」は「両端の値の平均」以下。イェンセンの不等式である。これを $f(x)=x^2$(下に凸)で試そう。

$${\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2\leqq \frac{a^2+b^2}{2}$$

整理すると

$$\frac{a^2+2ab+b^2}{4}\leqq \frac{2a^2+2b^2}{4}$$

$$2ab\leqq a^2+b^2$$

$$0\leqq (a-b{)}^2$$

当たり前の不等式に帰着した。 逆に言えば、$(a-b{)}^2\geqq 0$ という事実は、「$x^2$ が下に凸」ということを式で表したものだった。次に、$f(x)=\log x$(上に凸)で試そう。

上に凸なので、不等号が逆向きになる。

$$\log \frac{a+b}{2}\geqq \frac{\log a+\log b}{2}=\log \sqrt{ab}$$

$\log$ は単調増加だから、中身どうしを比べてよい。

$$\frac{a+b}{2}\geqq \sqrt{ab}$$

相加平均・相乗平均の不等式が出てきた。

「$\log$ が上に凸」という $1$ つの事実だけから出てくる。$n$ 個に拡張しても、同じことが言える。

$$\log \frac{a_1+\cdots +a_n}{n}\geqq \frac{\log a_1+\cdots +\log a_n}{n}=\log \sqrt[n]{a_1\cdots a_n}$$

$$\frac{a_1+\cdots +a_n}{n}\geqq \sqrt[n]{a_1\cdots a_n}$$

$n$ 変数の相加相乗が $1$ 行で証明できた。凹凸からは、不等式が次々に作れる。この視点は現代数学でも中心的な役割をもつ。

凸最適化という分野がある。「関数が凸なら、局所的な最小値は必ず大域的な最小値になる」という性質があり、これが最適化問題を大きく簡単にする。機械学習でも、損失関数が凸かどうかが大事になる。

• 凸 → 勾配を下っていけば、必ず最適解に着く
• 非凸 → 局所的な谷にはまり、抜け出せない可能性がある

深層学習の損失関数は非凸で、だからこそ学習が難しい。「$y^{\prime \prime }>0$ なら下に凸」という、教科書の $1$ 行。この考えは、不等式の理論や最適化の分野につながっている。

別解

「$y^{\prime \prime }$ の符号」を丸暗記せず、「傾きの変化」として読む。

$y^{\prime \prime }$ とは何か。 $y^{\prime }$ を微分したもの、つまり傾きの変化率だ。だから、こう言い換えられる。

$$y^{\prime \prime }>0⟺\text{傾きが増加している}$$

傾きが増えていく、とはどういうことか。

坂道を想像してほしい。

最初は緩やかな上り、だんだん急な上りになる。 傾きが $0.1\to 0.5\to 1\to 2$ と増えていく。これは、下に凸(お椀の形)だ。

逆に、傾きが $2\to 1\to 0.5\to 0.1$ と減っていくなら、上に凸(山の形)。この関数で、実際に確かめよう。

$$y^{\prime }=3x^2$$

傾きの値を、$x$ に沿って並べる。

$$x=-3:y^{\prime }=27$$ $$x=-2:y^{\prime }=12$$ $$x=-1:y^{\prime }=3$$ $$x=0:y^{\prime }=0$$ $$x=1:y^{\prime }=3$$ $$x=2:y^{\prime }=12$$ $$x=3:y^{\prime }=27$$

左半分($x<0$)では、傾きが $27\to 12\to 3\to 0$ と減っている。傾きが減少 → 上に凸

右半分($x>0$)では、傾きが $0\to 3\to 12\to 27$ と増えている。傾きが増加 → 下に凸

$y^{\prime \prime }=6x$ の符号を計算しなくても、傾きの動きを追うだけで凹凸が読めた。ここで、$1$ つ注意しておきたいことがある。

傾き $y^{\prime }=3x^2$ は、常に $0$ 以上だ。 つまり、この関数はずっと増加している($x=0$ で1点だけ水平になる)。「増加しているのに、上に凸」ということが起こりうる。

増減($y^{\prime }$)と凹凸($y^{\prime \prime }$)は、独立した情報だ。$4$ つの組み合わせがすべて存在する。

• 増加 $+$ 下に凸:加速しながら上る(指数的な成長)
• 増加 $+$ 上に凸:減速しながら上る(頭打ちに近づく)
• 減少 $+$ 下に凸:減速しながら下る(下げ止まりに近づく)
• 減少 $+$ 上に凸:加速しながら下る(暴落)

この $4$ つを区別できると、グラフの読み方が一段深くなる。

株価が「上がっているが、上に凸」なら、勢いが鈍っている。 増加の事実だけを見ていては、この兆候は読めない。「$y^{\prime }$ で向きを、$y^{\prime \prime }$ で勢いを読む」ようにすると、$2$ つの導関数からそれぞれ別の情報が得られる。