積分の考え ★★ 標準の問題 全12問

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 積 $(x-1)(x+2)$ のままでは、項ごとに積分する道具が使えない。

まず展開して多項式にする。それから各項を $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ の公式で積分する。「計算の前に、計算できる形へ整える」という手順は、微分のときとまったく同じだ。

① 展開する。

$$(x-1)(x+2)=x^2+x-2$$

② 原始関数を求める。

$$\int (x^2+x-2)dx=\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}-2x$$

③ 代入して引く。

$$[\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}-2x{]}_0^2=\frac{8}{3}+2-4=\frac{8}{3}-2=\frac{2}{3}$$

まとめ:積分でも「積は展開してから」が基本。$\frac{8}{3}-2=\frac{8-6}{3}=\frac{2}{3}$ のように、通分をていねいに。

発展。 「積分区間の中で符号が変わっているか」は、この先もずっと使う確認事項だ。定積分の値が欲しいだけなら符号は放っておいてよいが、面積を聞かれたら負の部分を反転して足し直す必要がある。同じ式でも、問いが「定積分」か「面積」かで処理が変わる。数IIの積分では、この区別が要になる。

なお、この後の問題で学ぶ $\frac{1}{6}$ 公式を使うと、この形($2$ 解をもつ $2$ 次式)の定積分は交点だけから素早く出せるようになる。

別解

答えの $\frac{2}{3}$ が「小さい正の数」になる理由を、グラフで見ておくと定積分の意味がつかめる。$y=(x-1)(x+2)$ は $x=1$ と $x=-2$ で $x$ 軸を横切る放物線。積分区間 $[0,2]$ の中では、$x=1$ を境に前半は $x$ 軸の下、後半は上にある。

定積分は「符号付きの面積」だから、下の部分はマイナス、上の部分はプラスで数える。実際に分けて計算すると

$${\int }_0^1(x-1)(x+2)dx=-\frac{7}{6},{\int }_1^2(x-1)(x+2)dx=\frac{11}{6}$$

和は $-\frac{7}{6}+\frac{11}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。負の部分と正の部分がほとんど打ち消し合った「差し引きの残り」が $\frac{2}{3}$ だ。定積分 $=$ 面積、と思い込んでいると $\frac{2}{3}$ の小ささに戸惑う。符号付き面積という見方を持つと、計算結果の妥当性を絵で確かめられるようになる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 絶対値は、中身の符号が分からないと外せない。$x-1$ は $x=1$ を境に符号が変わる。

だから区間 $[0,2]$ を $x=1$ で $2$ つに割る。前半は中身が負なので $-(x-1)$、後半は正なのでそのまま $x-1$。「絶対値の積分 $=$ 符号の変わる点で区間を分割」。分割してしまえば、あとはふつうの積分が $2$ 回あるだけだ。

① 符号で場合分けする。 $x-1$ は $x=1$ で符号が変わる。

$$|x-1|=\{\begin{array}{ll}1-x& (0\leqq x<1)\\ x-1& (1\leqq x\leqq 2)\end{array}$$

② 区間を分けて積分する。

$${\int }_0^1(1-x)dx=[x-\frac{x^2}{2}{]}_0^1=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$$

$${\int }_1^2(x-1)dx=[\frac{x^2}{2}-x{]}_1^2=(2-2)-(\frac{1}{2}-1)=\frac{1}{2}$$

③ 足す。

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$$

まとめ:絶対値つき積分は「符号の変わり目で区間を分ける」。各区間で絶対値を外し、符号をそろえてから積分する。グラフでは面積の足し算になっている。

発展。 ${\int }_0^2(x-1)dx=0$(絶対値なし)と ${\int }_0^2|x-1|dx=1$ を並べると、両者の違いが際立つ。前者は符号付きで打ち消し合い、後者は反転して足すから打ち消しが起きない。絶対値は「打ち消しを禁止する」記号だと読める。

中身が $2$ 次(たとえば $|x^2-1|$)になっても方針はまったく同じで、符号の変わる点で区間を割る。変わるのは分割点の見つけ方(因数分解)だけだ。標準問題の後半でその形を扱う。

別解

この積分は絵を描けば計算なしで終わる。$y=|x-1|$ のグラフは、$(1,0)$ を谷にした V 字。区間 $[0,2]$ では、左右に直角三角形が $2$ つできる。

• 左: 底辺 $1$(区間 $[0,1]$)、高さ $1$($x=0$ で $|0-1|=1$)
• 右: 底辺 $1$(区間 $[1,2]$)、高さ $1$($x=2$ で $|2-1|=1$)

$${\int }_0^2|x-1|dx=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1+\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1=1$$

グラフが $x$ 軸より上にあるから、定積分はそのまま面積。折れ線の積分は三角形・台形の面積で読むのが最速で、場合分けの計算の検算にもなる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 囲まれた部分の面積は、「上の曲線 $-$ 下の曲線」を交点から交点まで積分する。だから最初の仕事は交点探しだ。

$x^2=x+2$ を解いて $x=-1,2$。この区間では直線が上にいる。

さらに、放物線と直線の囲む面積には $\frac{1}{6}$ 公式という近道がある。交点の $x$ 座標 $\alpha ,\beta$ さえ分かれば、積分を実行せずに面積が出る。まず正直に「上 $-$ 下」で立式し、その結果として公式を確かめる、という順で身につけよう。

① なぜこの公式で面積が出るのかを確かめる。 放物線と直線で囲む面積は「(上の式)$-$(下の式)」の定積分。その差は必ず $a(x-\alpha )(x-\beta )$($\alpha ,\beta$ は交点)の形になり、これを積分すると

$${\int }_{\alpha }^{\beta }a(x-\alpha )(x-\beta )dx=-\frac{a(\beta -\alpha {)}^3}{6}$$

となる(この積分は必ずこの値。展開して計算すれば確かめられる)。面積は正の大きさなので絶対値をつけて $\frac{|a|(\beta -\alpha {)}^3}{6}$。だから交点の $x$ の差を3乗して6で割るだけで面積が出る。

② 交点を求める。 $x^2=x+2$ より $x^2-x-2=0$、$(x+1)(x-2)=0$、$x=-1,2$。

③ 公式にあてはめる。 $x^2$ の係数は $1$、$\beta -\alpha =2-(-1)=3$。

$$\text{面積}=\frac{1\times (2-(-1){)}^3}{6}=\frac{3^3}{6}=\frac{27}{6}=\frac{9}{2}$$

(ふつうに計算しても同じ:${\int }_{-1}^2(x+2-x^2)dx=\frac{9}{2}$。)

まとめ:$\frac{1}{6}$ 公式の中身は「${\int }_{\alpha }^{\beta }a(x-\alpha )(x-\beta )dx=-\frac{a(\beta -\alpha {)}^3}{6}$」という等式だ。上$-$下の差が必ず $a(x-\alpha )(x-\beta )$ になるから、交点の差 $\beta -\alpha$ さえ分かれば展開・積分を丸ごと省ける。

発展。 $\frac{1}{6}$ 公式の中身は ${\int }_{\alpha }^{\beta }-(x-\alpha )(x-\beta )dx=\frac{(\beta -\alpha {)}^3}{6}$ という恒等式だ。面積が交点の幅 $\beta -\alpha$ だけで決まることに注目する。直線の傾きを変えても、交点の幅が同じなら面積は同じになる。直感に反するが、公式からそう言える。

この「幅の $3$ 乗に比例」という構造は、放物線と接線・放物線どうし・面積の最小問題まで貫いて現れる。公式を暗記でなく「差関数の積分の閉じた形」として持っておくと、応用が全部つながる。

別解

「$2$ 本のグラフの囲み」を「$1$ 本のグラフと $x$ 軸の囲み」に言い換える見方を紹介する。上下の差を $1$ つの関数にまとめてしまう。

$$g(x)=(x+2)-x^2$$

もとの図で「直線と放物線のすき間の縦の長さ」が、新しい図では「$g(x)$ の高さ」になる。だから求める面積は、$y=g(x)$ と $x$ 軸が囲む面積と完全に同じだ。交点 $x=-1,2$ は $g(x)=0$ の解に対応する。

$g(x)=-(x+1)(x-2)$ は上に凸の放物線で、$[-1,2]$ で $x$ 軸の上。よって

$$S={\int }_{-1}^{2}g(x)dx=\frac{(2-(-1){)}^3}{6}=\frac{27}{6}=\frac{9}{2}$$

$2$ 曲線の問題はいつでも「差関数 $1$ 本」の問題にまとめられる。$\frac{1}{6}$ 公式が「放物線と直線」でも「放物線 $2$ つ」でも同じ形で使えるのは、どちらも差が $2$ 次式だからだ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 相手が水平線でも、話は変わらない。水平線 $y=4$ も直線の一種だからだ。

交点は $x^2=4$ から $x=\pm 2$。区間 $[-2,2]$ では水平線が上。道は $2$ つある。$\frac{1}{6}$ 公式($\beta -\alpha =4$)か、左右対称を使って $2{\int }_0^2$ にするか。どちらでも同じ答えになる。面積問題では解き方を複数もっておき、速い方を選ぶとよい。

① 交点を求める。 $x^2=4$ より $x=\pm 2$。

② $\frac{1}{6}$ 公式にあてはめる。 $x^2$ の係数 $1$、$\beta -\alpha =2-(-2)=4$。

$$\text{面積}=\frac{1\times 4^3}{6}=\frac{64}{6}=\frac{32}{3}$$

(対称性で $2{\int }_0^2(4-x^2)dx=2\cdot \frac{16}{3}=\frac{32}{3}$ と計算しても同じ。)

まとめ:水平線 $y=4$ でも $\frac{1}{6}$ 公式はそのまま使える。交点の差 $\beta -\alpha =4$ を $3$ 乗して $6$ で割るだけ。偶関数なら $2{\int }_0^2$ の対称計算も手軽だ。

発展。 アルキメデスはこの $\frac{2}{3}$ を「取り尽くし法」(弓形の中に三角形を無限に詰めていく方法)で証明した。三角形の面積が $\frac{1}{4}$ 倍ずつの等比数列になり、その無限和が $\frac{4}{3}$ 倍(内接最大三角形の)になる。無限等比級数(数III)と積分の原型が、紀元前の幾何にすでにあった。

偶関数の対称性 ${\int }_{-a}^a=2{\int }_0^a$ も、今回確かめた道具のひとつだ。計算量を半分にするだけでなく、奇関数なら $0$ とすぐに判断できる。こうして、定積分を「計算する前に構造で見る」習慣がつく。

別解

古代ギリシャのアルキメデスが(積分の誕生より $2000$ 年前に)見つけた定理を使うと、この面積は暗算で出る。放物線の弓形(放物線と弦で囲まれた部分)の面積は、外接する長方形のちょうど $\frac{2}{3}$。

今回の弓形を囲む長方形は、幅 $4$($x=-2$ から $2$)、高さ $4$($y=0$ から $4$)で面積 $16$。だから

$$S=\frac{2}{3}\times 16=\frac{32}{3}$$

$\frac{1}{6}$ 公式の答えと一致する。実はこの $2$ つは同じ事実の言い換えで、$\frac{(\beta -\alpha {)}^3}{6}$ に長方形の寸法(幅 $\beta -\alpha$、高さは放物線だと幅の $2$ 乗に比例)を入れると $\frac{2}{3}$ 倍の関係が出てくる。

「放物線は長方形の $3$ 分の $2$ を占める」と、グラフの膨らみ具合を数で覚えておくと、答えの検算がすぐにできる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 式の中の ${\int }_0^{1}f(t)dt$ をどう扱うか。これは $t$ について積分し切った結果だから、$x$ を含まないただの定数だ。

見た目に惑わされず、$a$ と $1$ 文字においてしまう。すると $f(x)=x+2a$ となり、$f$ は「定数 $a$ を含む $1$ 次式」だと分かる。

あとは $a$ 自身の定義 $a={\int }_0^{1}f(t)dt$ に、この $f$ を代入する。$a$ が両辺に現れる方程式ができて、$a$ が決まる。「定積分は定数とおく」ことに気づけば解ける。

① 定数部分を文字でおく。 $a={\int }_0^{1}f(t)dt$ とおくと、与式は

$$f(x)=x+2a$$

② $a$ の式を作る。 この $f$ を $a$ の定義に代入する。

$$a={\int }_0^{1}f(t)dt={\int }_0^1(t+2a)dt=[\frac{t^2}{2}+2at{]}_0^1=\frac{1}{2}+2a$$

③ $a$ を解く。

$$a=\frac{1}{2}+2a\Rightarrow -a=\frac{1}{2}\Rightarrow a=-\frac{1}{2}$$

④ $f$ を書く。 $f(x)=x+2a=x+2\left(-\frac{1}{2}\right)$。

$$f(x)=x-1$$

まとめ:上端・下端が定数の定積分はただの数。$a$ とおけば $f$ が $a$ 入りの式になり、$a$ の定義に戻して方程式を解ける。「積分の中身に未知の $a$ が入っても、計算すれば $a$ の $1$ 次式になる」のがポイント。

発展。 この問題の構造は「$f$ の定義の中に $f$ 自身が入っている」自己参照だ。それでも解けたのは、自己参照している部分が定数 $1$ 個に絞られていたからだ。未知の関数全体でなく、未知の数 $1$ つの方程式にまとまる。

積分の中身が ${\int }_0^{1}xf(t)dt$ や ${\int }_0^1(x+t)f(t)dt$ に変わると、定数のおき方が $2$ 個以上に増える(応用問題で登場する)。それでも「定積分の部分を文字でおく」方針は変わらない。定数が増えて、連立方程式になるだけだ。

別解

先に「答えの形」を読み切ってしまう見方もある。右辺は $x+(\text{定数})$ の形。だから $f$ は傾き $1$ の $1$ 次関数に決まっている。切片だけが未知だ。そこで $f(x)=x+b$ とおく。もとの式に入れると

$$x+b=x+2{\int }_0^1(t+b)dt=x+2\left(\frac{1}{2}+b\right)=x+1+2b$$

$b=1+2b$ より $b=-1$。よって $f(x)=x-1$。検算もしておこう。${\int }_0^1(t-1)dt=-\frac{1}{2}$ だから、右辺 $=x+2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=x-1$ となって左辺と一致する。自己参照の式をきちんと満たしている。

「積分の中身をおく」(本解)か「関数の形をおく」(この別解)か。どちらも未知を $1$ 文字に絞る発想で、複雑な積分方程式ほど、形を先に読んでおくことが役に立つ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 上端が $x$ の積分方程式には、使える関係が $2$ つある。

$1$ つ目は微分。${\int }_a^{x}f(t)dt$ を $x$ で微分すると $f(x)$ に戻る。右辺も微分すれば、$f$ が求まる。

$2$ つ目は代入。$x=a$ を入れると左辺は ${\int }_a^a=0$。だから右辺も $0$ になり、これが $a$ の方程式になる。

「微分して $f$、代入して $a$」の二段構え。未知が $2$ つ($f$ と $a$)だから、関係も $2$ つ使う、と覚えると忘れない。

① 両辺を $x$ で微分して $f$ を出す。 左辺は公式より $f(x)$、右辺は $(x^2+x-2{)}^{\prime }=2x+1$。

$$f(x)=2x+1$$

② $x=a$ を代入して $a$ を出す。 左辺は ${\int }_a^{a}f(t)dt=0$。

$$0=a^2+a-2=(a-1)(a+2)\Rightarrow a=1,-2$$

$$f(x)=2x+1,a=1\text{ または }-2$$

まとめ:「上端 $x$ の定積分 = 式」は $2$ つの方法で解く。微分すると被積分関数 $f$ が、下端 $x=a$ を代入すると ${\int }_a^a=0$ から $a$ の方程式が出る。この $2$ 段が基本の手順だ。

発展。 「上端 $x$ の積分を微分すると中身に戻る」は、微分積分学の基本定理と呼ばれる、微分と積分が互いに逆であることの正確な表現だ。数IIでは道具として使うが、数III・大学ではこの定理そのものを詳しく学ぶ。

もし右辺が $x^2+x+1$(実数の根なし)だったら、$F(a)=-1$ を満たす実数 $a$ がなく、問題は成立しない。「$a$ が存在するためには、右辺が実数の根をもつ必要がある」と問題の設計を逆向きに見ると、代入条件 ${\int }_a^a=0$ の意味がいっそうはっきりする。

別解

$a$ の方程式 $a^2+a-2=0$ を解く場面を、因数分解の目で先取りできる。右辺を因数分解してみると

$$x^2+x-2=(x-1)(x+2)$$

「$x=a$ で右辺が $0$」という条件は、$a$ が右辺の根であることと同じだ。因数分解した瞬間、$a=1$ と $a=-2$ が読み取れる。なぜ $2$ つとも正解なのかも、原始関数の目で見ると明快だ。$f(x)=2x+1$ の原始関数のひとつを $F(x)=x^2+x$ とすると

$${\int }_a^{x}f(t)dt=F(x)-F(a)$$

$F(a)=a^2+a$ が $2$ になりさえすれば($a=1$ でも $-2$ でも $F(a)=2$)、右辺 $x^2+x-2$ と一致する。スタート地点 $a$ は $2$ か所のどちらでもよい。積分の下端は「どこから測り始めるか」を表していて、同じ高さの地点が $2$ つあるだけだ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 放物線が上に凸($x^2$ の係数が負)に変わったが、やることは同じだ。交点を求め、$\frac{1}{6}$ 公式に入れる。

公式の一般形は $S=\frac{|a|(\beta -\alpha {)}^3}{6}$。凸の向きは係数の絶対値をとることで処理される。交点は $-x^2+4=x+2$ から $x=-2,1$。今回は放物線が上、直線が下だ。どちらが上かは、区間内の $1$ 点(たとえば $x=0$)で値を比べれば確かめられる。

① 交点を求める。 $-x^2+4=x+2$ より $x^2+x-2=0$、$(x+2)(x-1)=0$、$x=-2,1$。

② $\frac{1}{6}$ 公式にあてはめる。 $x^2$ の係数は $-1$ なので $|a|=1$、$\beta -\alpha =1-(-2)=3$。

$$\text{面積}=\frac{1\times 3^3}{6}=\frac{27}{6}=\frac{9}{2}$$

まとめ:上に凸の放物線でも $\frac{1}{6}$ 公式は使える。係数の絶対値 $|a|$ を使うのがコツ。放物線が上か下かは面積の値には影響しない($\beta -\alpha$ の差だけで決まる)。

発展。 「面積は $|a|$ と幅だけで決まる」を逆手に取ると、設計の問題が解ける。たとえば「$y=-x^2+c$ と $y=x$ の囲む面積が $36$ になる $c$」のような逆算は、公式を $(\beta -\alpha {)}^3=216$ と読み替えて、幅 $6$ を作る条件に直せばよい。

また、直線を平行移動して放物線に接する極限では幅 $\to 0$、面積 $\to 0$。$\frac{1}{6}$ 公式は接する瞬間まで連続的に正しい。「接線とのすき間の面積」を扱う応用問題は、この極限の一歩手前を見ている。

別解

この答え $\frac{9}{2}$ は下に凸の基本問題($y=x^2$ と $y=x+2$)とまったく同じ値だ。偶然だろうか。差関数を見比べると種が割れる。

• 下に凸の問題: 差 $=(x+2)-x^2=-(x^2-x-2)$、交点 $x=-1,2$、幅 $3$
• 今回: 差 $=(-x^2+4)-(x+2)=-(x^2+x-2)$、交点 $x=-2,1$、幅 $3$

$2$ 次の係数の大きさが同じ($|a|=1$)で、交点の幅も同じ($\beta -\alpha =3$)。$\frac{1}{6}$ 公式は面積を $\frac{|a|(\beta -\alpha {)}^3}{6}$ と言っているから、この $2$ つの数字が同じなら、見た目がどう違っても面積は同じになる。

$$S=\frac{1\cdot 3^3}{6}=\frac{9}{2}$$

凸の向き、頂点の位置、直線の傾きなど、図の印象を決める要素のほとんどは面積に影響しない。面積に影響するのは「差関数の曲がり具合と交点の幅」だけ。公式は面積を決める情報を $2$ つの数にまとめている。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 絶対値の中身 $x^2-1$ の符号を最初に調べる。$x^2-1=(x-1)(x+1)$ だから、区間 $[0,3]$ の中で符号が変わるのは $x=1$ だけ($x=-1$ は区間の外)。

$0\leqq x<1$ で負、$1<x\leqq 3$ で正。だから $x=1$ で区間を割り、前半は $-(x^2-1)=1-x^2$、後半はそのまま $x^2-1$ を積分する。中身が $2$ 次になっても「符号の変わる点で分割」の型は $1$ 次のときと同じだ。

① 符号で区間を分ける。 $0\leqq x\leqq 3$ では、$x^2-1$ は $0\leqq x<1$ で負、$1<x\leqq 3$ で正。

$$|x^2-1|=\{\begin{array}{ll}1-x^2& (0\leqq x<1)\\ x^2-1& (1\leqq x\leqq 3)\end{array}$$

② それぞれ積分する。

$${\int }_0^1(1-x^2)dx=[x-\frac{x^3}{3}{]}_0^1=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$$

$${\int }_1^3(x^2-1)dx=[\frac{x^3}{3}-x{]}_1^3=(9-3)-(\frac{1}{3}-1)=6+\frac{2}{3}=\frac{20}{3}$$

③ 足す。

$$\frac{2}{3}+\frac{20}{3}=\frac{22}{3}$$

まとめ:絶対値つき積分は「符号の変わり目 $x=1$ で区間を分ける」。負の区間では中身を反転($1-x^2$)してから積分する。分けさえすれば、あとはふつうの定積分だ。

発展。 ${\int }_0^3|x^2-1|dx=\frac{22}{3}$ と ${\int }_0^3(x^2-1)dx=6$ の差 $\frac{4}{3}$ は、負の部分の面積 $\frac{2}{3}$ のちょうど $2$ 倍。この関係を一般に書くと $\int |f|=\int f+2{\int }_{f<0}(-f)$ となり、絶対値の積分の仕組みを表す式になる。

グラフで言えば、$y=|x^2-1|$ は $y=x^2-1$ の $x$ 軸より下の部分を上へ折り返したもの。「$2$ 倍」は、折り返しで面積が増える分を表している。式の補正と絵の折り返しが同じことを言っている。

別解

「まずそのまま積分し、あとで直す」という補正方式もある。絶対値を無視した積分は簡単だ。

$${\int }_0^3(x^2-1)dx={\left[\frac{x^3}{3}-x\right]}_0^3=9-3=6$$

この $6$ は $[0,1)$ の負の部分を「マイナスのまま」足してしまった値。正しい絶対値の積分ではその部分をプラスで数えたい。マイナスをプラスに直すには、その部分の大きさを $2$ 倍して足し戻せばよい($-p$ を $+p$ にする差は $2p$)。

負の部分の大きさは

$${\int }_0^1(1-x^2)dx=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$$

よって

$${\int }_0^3|x^2-1|dx=6+2\times \frac{2}{3}=\frac{22}{3}$$

分割方式と同じ答え。分割数が多い問題ほど「全体をまとめて積分 $+$ 負の部分 $\times 2$」の補正方式が役に立つ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 相手が放物線 $2$ つになっても、面積の作り方は変わらない。交点を求め、「上 $-$ 下」を積分する。

$x^2=2x-x^2$ から交点は $x=0,1$。区間内では $y=2x-x^2$ が上だ。引き算した差 $(2x-x^2)-x^2=2x-2x^2$ は $2$ 次式。差が $2$ 次式なら $\frac{1}{6}$ 公式が使える。ただし $|a|$ には引き算した後の $x^2$ の係数($2$)を使う。ここが放物線どうしのときの注意点だ。

① 交点を求める。 $x^2=2x-x^2$ より $2x^2-2x=0$、$2x(x-1)=0$、$x=0,1$。

② 上下と差を出す。 $0<x<1$ で $2x-x^2>x^2$(上は $y=2x-x^2$)。差は

$$(2x-x^2)-x^2=-2x^2+2x$$

$x^2$ の係数は $-2$ なので $|a|=2$。

③ $\frac{1}{6}$ 公式にあてはめる。 $\beta -\alpha =1-0=1$。

$$\text{面積}=\frac{2\times 1^3}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$$

まとめ:$2$ 放物線で囲む面積も、引き算した $2$ 次式に $\frac{1}{6}$ 公式。係数 $|a|$ は差の $x^2$ の係数(ここでは $2$)を使う。上 − 下 で $2$ 次式が残れば公式圏内だ。

発展。 $2$ 曲線の平均が直線になったのは偶然ではない。$x^2$ の係数が $+1$ と $-1$ で、符号が逆で大きさが同じだから、平均で $2$ 次の項が消えたのだ。この条件を満たす放物線ペアの囲みは、いつも「中央の直線」で二等分される。

さらに、$2$ つの放物線は交点の中点 $\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$ について互いに点対称でもある。凸の向きが逆で形が同じ放物線は、回転させると重なる。レンズ形が釣り合って見えるのは、この対称性があるからだ。

別解

このレンズ形には、まん中に直線が隠れている。$2$ つの放物線の「平均」をとってみる。

$$\frac{x^2+(2x-x^2)}{2}=x$$

どの $x$ でも、$2$ 曲線のちょうど中間の高さは直線 $y=x$ の上にある。つまりレンズは直線 $y=x$ で上下対等に切られていて、上半分と下半分の面積が等しい。そこで半分だけ計算する。下半分は $y=x$ と $y=x^2$ の囲み(差は $x-x^2$、交点 $0,1$)で

$${\int }_0^1(x-x^2)dx=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$$

レンズ全体はその $2$ 倍で $\frac{1}{3}$。$\frac{1}{6}$ 公式の $|a|=2$ が担っていた「$2$ 倍」は、この対称性の $2$ 倍だったと分かる。図形の対称を先に見つけると、計算と意味が同時に手に入る。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 見た目は積分の問題だが、$a$ は積分の中ではただの定数。まず積分を実行してしまえば、$x$ は消えて $a$ だけの式が残る。

$${\int }_0^1(x-a{)}^{2}dx=a^2-a+\frac{1}{3}$$

つまりこれは「$a$ の $2$ 次関数の最小値」という、よく知っている問題への変装だ。平方完成すれば頂点が読める。「積分を実行して、変数を $1$ つに減らす」のが、積分と最大最小の融合問題の定跡である。

① $a$ を定数とみて積分する。 $(x-a{)}^2=x^2-2ax+a^2$。

$${\int }_0^1(x^2-2ax+a^2)dx=[\frac{x^3}{3}-a{x}^2+a^{2}x{]}_0^1=\frac{1}{3}-a+a^2$$

② $a$ の $2$ 次式を平方完成する。

$$a^2-a+\frac{1}{3}=(a-\frac{1}{2}{)}^2-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}=(a-\frac{1}{2}{)}^2+\frac{1}{12}$$

③ 最小を読む。 $a=\frac{1}{2}$ のとき最小、最小値は $\frac{1}{12}$。

$$a=\frac{1}{2},\text{最小値 }\frac{1}{12}$$

まとめ:積分の中に文字 $a$ があっても、$a$ を定数とみて積分すればよい。結果は $a$ の $2$ 次関数になるので、あとは平方完成で最小を求めるいつもの流れだ。

発展。 「距離 ${}^2$ の合計を最小にする点を探す」考え方は最小二乗法と呼ばれ、データに直線を当てはめる回帰分析・測定誤差の処理・機械学習の学習則まで、現代の応用数学で広く使われている。今回の $1$ 変数版はその最小単位だ。

$2$ 乗でなく絶対値 ${\int }_0^1|x-a|dx$ を最小にすると、答えはやはり $a=\frac{1}{2}$ だが、こちらは「中央値」の連続版。$2$ 乗で測れば平均、絶対値で測れば中央値になる。ずれの測り方によって、最適な代表点の意味が決まる。

別解

答え $a=\frac{1}{2}$ が「区間 $[0,1]$ のまん中」なのは偶然ではない。$(x-a{)}^2$ は「点 $x$ と点 $a$ の距離の $2$ 乗」。積分は区間全体でその距離 ${}^2$ をかき集めたものだから、この問題は

「区間 $[0,1]$ のすべての点から、$2$ 乗の意味でいちばん近い場所 $a$ はどこか」と読める。答えは区間の重心(平均)$a=\frac{1}{2}$ だ。端に寄ると反対側の端との距離 ${}^2$ が大きくなるので、まん中で釣り合う。

これはデータの分析で学ぶ「偏差の $2$ 乗和は平均のところで最小」とまったく同じ構造だ。あちらはとびとびのデータ、こちらは連続な区間という違いだけで、$2$ 乗のペナルティは平均が最小にする、という法則は共通している。

最小値 $\frac{1}{12}$ にも名前がある。区間 $[0,1]$ 上の一様な分布の分散は $\frac{1}{12}$ である。統計の教科書に出てくるこの定数と、いま平方完成で出した値は同じものだ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 交点を求めると $x^3=x$ から $x=-1,0,1$ の3つ。囲まれた部分は原点をはさんで左右に $2$ つできる。

ここで上下関係に注意。右側($0\leqq x\leqq 1$)では $y=x$ が上、左側($-1\leqq x\leqq 0$)では $y=x^3$ が上。区間ごとに「上 $-$ 下」が入れ替わる。

ただし $y=x^3$ も $y=x$ も原点対称(奇関数)だから、$2$ つの部分は合同で面積が等しい。片側だけ計算して $2$ 倍すれば、入れ替わりの面倒ごと自体を避けられる。

① 交点を求める。 $x^3=x$ より $x^3-x=0$、$x(x-1)(x+1)=0$、$x=0,\pm 1$。

② 対称性を使う。 $0<x<1$ では $x>x^3$(直線が上)。図形は原点対称なので、$[0,1]$ の面積を $2$ 倍すればよい。

$$\text{面積}=2{\int }_0^1(x-x^3)dx=2[\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4}{]}_0^1=2(\frac{1}{2}-\frac{1}{4})=2\times \frac{1}{4}=\frac{1}{2}$$

まとめ:交点が $3$ つある図形は、原点対称を利用して片側 × $2$ で計算する。$y=x^3$(奇関数)と $y=x$(奇関数)の差も奇関数なので、原点対称になる。

発展。 「対称だから片側 $\times 2$」と「そのまま積分すると $0$」は、同じ対称性の表と裏だ。奇関数の積分 ${\int }_{-a}^a=0$ は打ち消しの現れで、面積が欲しいときは打ち消される前に絶対値をとる(${\int }_{-1}^1|x-x^3|dx=\frac{1}{2}$)必要がある。定積分と面積の区別が試される代表例だ。

$3$ 次曲線と直線の囲みには、$\frac{1}{6}$ 公式の親戚として $\frac{1}{12}$ 公式($3$ 次と接線の囲み)や、今回のような $3$ 交点型の対称利用がある。「差の式の次数と根の配置」で使う道具が決まる、と整理しておくとよい。

別解

右側の面積 ${\int }_0^1(x-x^3)dx$ は、$2$ つの「知っている面積」の引き算として絵で読める。

• $y=x$ の下($0$ から $1$ まで): 直角三角形で $\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1=\frac{1}{2}$
• $y=x^3$ の下: ${\int }_0^1{x}^{3}dx=\frac{1}{4}$

囲まれた右側のローブは、三角形から曲線の下の部分をくり抜いた残りだから

$$\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$$

全体はその $2$ 倍で $\frac{1}{2}$。「差の積分」を機械的に実行する代わりに、面積を図形の足し引きに分解する。三角形・長方形などの基本図形が混ざる面積問題では、この読み方で計算が軽くなり、値の妥当性(三角形 $\frac{1}{2}$ より小さいはず)も確認できる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 「$x$ 軸と囲む」は「直線 $y=0$ と囲む」と読み替えられる。$x$ 軸も直線の一種だと見れば、$\frac{1}{6}$ 公式がそのまま使える。

交点は $x^2-2x=0$ から $x=0,2$。もうひとつだけ確認。区間 $[0,2]$ で放物線は $x$ 軸の下にある(下に凸で両端が根だから、間では負)。面積にするには「上($y=0$)$-$ 下(放物線)」の向きで立式する。公式なら $|a|=1$、幅 $2$ で即答できる。

① 交点を求める。 $x^2-2x=0$ より $x(x-2)=0$、$x=0,2$。

② $\frac{1}{6}$ 公式にあてはめる。 $x$ 軸を直線 $y=0$ とみる。$|a|=1$、$\beta -\alpha =2-0=2$。

$$\text{面積}=\frac{1\times 2^3}{6}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$$

③ なぜ $x$ 軸の下でも正の面積が出るのか。 この区間では放物線は $x$ 軸の下にあり、ふつうに ${\int }_0^2(x^2-2x)dx$ を計算すると $-\frac{4}{3}$ と負になる(向きの符号)。しかし $\frac{1}{6}$ 公式は係数に絶対値 $|a|$ がついているので、この符号を吸収して面積の大きさ $\frac{4}{3}$ をそのまま返す。だから上下を気にせず使える。

まとめ:「放物線と $x$ 軸」は「放物線と直線 $y=0$」と同じ。$\frac{1}{6}$ 公式は $|a|$ があるので、曲線が $x$ 軸の上でも下でも面積の大きさを正で返す。交点の差 $\beta -\alpha =2$ を3乗して6で割るだけだ。

発展。 別解の平行移動は「積分の置換」の最も簡単な形だ。図形を動かしても面積が変わらないことを、式の上では $X=x-1$ という変数の付け替えが保証している。数IIIの置換積分では、この「付け替え」が伸び縮みまで含む形に一般化される。

また、$x$ 軸との囲みは「$2$ つの根の間で符号が一定」という特別な状況でもある。根が $3$ つ以上ある高次式や、区間の途中で軸をまたぐ場合は、符号ごとに区間を割る。絶対値の積分と同じ注意が、そのまま面積問題でも必要になる。

別解

グラフを動かしてから積分する、という手もある。$y=x^2-2x=(x-1{)}^2-1$ の頂点は $(1,-1)$。グラフ全体を左へ $1$ ずらして、頂点を $y$ 軸の上に載せる($X=x-1$ とおく)。式は

$$y=X^2-1$$

$x$ 軸との交点は $X=\pm 1$。左右対称になったから、面積は

$$S={\int }_{-1}^1(1-X^2)dX=2{\int }_0^1(1-X^2)dX=2\left(1-\frac{1}{3}\right)=\frac{4}{3}$$

平行移動しても面積は変わらない。軸対称の位置へ動かしてから積分すると、偶関数の対称性($2{\int }_0^1$)が使えて計算が軽くなる。頂点の座標がきれいな放物線の面積なら、いつでも使える方法だ。