積分の考え ★ 基礎の問題 全12問

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 積分は、微分の逆である。

$$\int f(x)dx=F(x)+C⟺F^{\prime }(x)=f(x)$$

「微分すると $f(x)$ になる関数は何か?」。これを探すのが積分だ。

公式は微分の公式を逆に読む。

$$\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$

「指数を $1$ 増やして、その数で割る」。微分($n$ を前に出して、$1$ 減らす)の、ちょうど逆だ。

項ごとに計算する。

$$\int 3x^{2}dx=3\cdot \frac{x^3}{3}=x^3$$

$$\int (-2x)dx=-2\cdot \frac{x^2}{2}=-x^2$$

$$\int 1dx=x$$

$$\int (3x^2-2x+1)dx=x^3-x^2+x+C$$

積分定数 $C$ を忘れない。 これを書かないと、減点される。

各項を積分する。

$$\int 3x^{2}dx=x^3,\int (-2x)dx=-x^2,\int 1dx=x$$

まとめて、積分定数 $C$ を付ける。

$$\int (3x^2-2x+1)dx=x^3-x^2+x+C$$

まとめ:積分は微分の逆。指数を $1$ 上げてその数で割る。$+C$ を付けるのが不定積分の約束だ。微分して元に戻るか確かめると安心。

発展。 微分と積分は「逆の操作」だが、難しさが対称ではない。

微分は機械的にできる。

$$\text{どんな初等関数も、必ず微分できる}$$

$x^3\sin x\cdot e^{x^2}$ のような複雑な関数でも、積の微分・合成関数の微分を組み合わせれば、必ず答えが出る。

積分は、そうはいかない。

$$\int e^{-x^2}dx=?$$

この積分は初等関数では表せない。($\sin$、$\cos$、$\log$、多項式、指数関数などをいくら組み合わせても書けないことが、証明されている。)

ガウス積分と呼ばれるこの関数は、統計学の正規分布そのものだ。答えが「書けない」のに、面積は計算できる(定積分なら ${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$ という値になる)。

微分は「必ずできる」、積分は「できないことがある」。この違いには理由がある。理由を直感的に言えばこうだ。

微分は「分解」である。 関数を細かく見て、局所的な傾きを取り出すので、常に可能。

積分は「合成」である。 バラバラの情報を積み上げて全体を復元するので、うまく組み上がるとは限らない。

同じ非対称性は他の場面にもある。

• 掛け算は簡単、素因数分解は難しい($\to$ RSA暗号)
• 料理は作れる、味から材料を逆算するのは難しい
• 微分方程式を「作る」のは易しいが、「解く」のは難しい

「順方向は易しく、逆方向は難しい」。この非対称性が暗号に利用され、科学の難問のもとにもなっている。

そして、だからこそ積分の技術(置換積分、部分積分)が、数IIIで丁寧に教えられる。 「解ける形に持ち込む」ための工夫が、必要だからだ。

$\int (3x^2-2x+1)dx$ が簡単に解けるのは、多項式という「素直な」関数だからである。 数IIの積分は多項式だけを扱うので、どれもこのように計算できる。

別解

積分は「微分して確かめられる」。これほど確実な検算方法は他にない。そして「なぜ $C$ が必要なのか」を、はっきりさせよう。

検算: 微分して戻す。

$$F(x)=x^3-x^2+x+C$$

微分する。

$$F^{\prime }(x)=3x^2-2x+1+0=3x^2-2x+1$$

元の被積分関数に戻ったので、積分は正しい。

この検算はすぐにできて、$100\%$ 確実だ。

積分の答えを書いたら、必ず微分して戻す。 係数を間違えていれば、必ずここで気づく。

たとえば、$\int 3x^{2}dx=x^2$ と間違えたとしよう。 微分すると $2x$ になり、元の $3x^2$ に戻らない。 すぐにミスが分かる。

さて、積分定数 $C$ の意味。「微分して $3x^2-2x+1$ になる関数」は、$1$ つではない。

$$x^3-x^2+x,x^3-x^2+x+5,x^3-x^2+x-100$$

どれを微分しても、同じ $3x^2-2x+1$ になる(定数の微分は $0$ だから)。

つまり、答えは無数にある。 そのすべてをまとめて表すのが

$$x^3-x^2+x+C(C\text{は任意の定数})$$

$C$ は「どれか $1$ つに決められない」という事実の表明である。グラフで見ると、意味がはっきりする。$C$ を変えると、グラフは縦に平行移動する。

$$C=0:y=x^3-x^2+x$$ $$C=5:y=x^3-x^2+x+5(\text{5 だけ上へ})$$

平行移動しても、各点での「傾き」は変わらない。だから微分すると同じになる。

$$\boxed{\text{積分は、"傾きの情報"から"高さ"を復元する。しかし"基準の高さ"は決まらない}}$$

山の斜面の傾きだけを知っていても、山の「標高」は分からない。 海抜 $0$ m から測るのか、地面から測るのかによって変わる。基準を決めなければ、高さは決まらない。

その「基準の任意性」が $C$ である。そして、基準を決めるのが「初期条件」だ。

「$F(1)=3$」のような条件が $1$ つあれば、$C$ が決まる(次の問題でやる)。物理では、この $C$ が「初期位置」や「初期速度」に対応する。

「加速度が分かっても、初速と初期位置を知らなければ、物体がどこにいるかは分からない」。当たり前だが、大事な事実だ。積分定数は単なる形式ではなく、「条件が足りない」ことを表している。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $2$ 段階で考える。

手順1: とりあえず積分する。 積分定数 $C$ をつけて。

$$F^{\prime }(x)=2x⟹F(x)=\int 2xdx=x^2+C$$

この時点では、$C$ が決まっていない。 答えの候補が無数にある。

手順2: 条件 $F(1)=3$ を使って、$C$ を決める。

$$F(1)=1^2+C=1+C$$

これが $3$ に等しい。

$$1+C=3⟹C=2$$

$$F(x)=x^2+2$$

「積分して、条件で $C$ を決める」。この $2$ 段階が初期条件つき積分の型だ。

検算: $F^{\prime }(x)=2x$、$F(1)=1+2=3$ のように、$2$ つとも確かめる。

① 積分して一般形を出す。

$$F(x)=\int 2xdx=x^2+C$$

② 条件で $C$ を決める。 $F(1)=3$ を代入。

$$1+C=3\Rightarrow C=2$$

よって

$$F(x)=x^2+2$$

まとめ:「導関数と $1$ 点の値」が分かれば関数が決まる。積分で $C$ 付きの形を出し、点の条件で $C$ を確定する $2$ 段構えだ。

発展。 「導関数と初期条件から、もとの関数を復元する」ことは、微分方程式の最も簡単な例である。

$$F^{\prime }(x)=2x,F(1)=3$$

この形の問題を「初期値問題」という。微分方程式は科学で自然の法則を表すのに使われる。物理:

$$m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=F(\text{ニュートンの運動方程式})$$

「力が分かれば、加速度が分かる。$2$ 回積分すれば、位置が分かる。」

初期条件(初期位置と初速度)を与えれば、$\text{未来の位置が完全に決まる}$。これが古典力学の決定論だ。ラプラスはこう言った($1814$ 年)。

「宇宙のすべての原子の位置と速度を知る知性があれば、その知性にとって未来は過去と同じように明らかであろう。」

「ラプラスの悪魔」 と呼ばれるこの思想は、微分方程式と初期条件が未来を決定する、という信念に基づいていた。しかし、$20$ 世紀にこの信念は $2$ 度、揺らいだ。

$1$ 度目: 量子力学($1920$ 年代)。 粒子の位置と速度を、同時に正確には決められない(不確定性原理)。初期条件が原理的に確定できない。

$2$ 度目: カオス理論($1960$ 年代)。 初期条件のごくわずかな違いが、時間とともに指数的に拡大する。「北京で蝶が羽ばたくと、ニューヨークで嵐が起きる」(バタフライ効果)。天気予報が $2$ 週間先までしかできないのは、このためだ。

微分方程式は決定論的なのに、実際には予測できない。 これは矛盾ではない。「決定されている」ことと「予測できる」ことは、別物だ。

$F^{\prime }=2x$、$F(1)=3$ という素朴な初期値問題。 同じ考え方が $200$ 年にわたって議論されてきた「未来は予測できるか」という問題の出発点になっている。

別解

この問題をグラフで見よう。 「無数の候補から、$1$ つを選ぶ」という構造が、目に見える形になる。$F(x)=x^2+C$ が表すのは、$1$ 本の曲線ではない。

放物線の「群れ」だ。

$$C=0:y=x^2$$ $$C=1:y=x^2+1$$ $$C=2:y=x^2+2$$ $$C=-3:y=x^2-3$$

同じ形の放物線が縦にずらりと並んでいる(縦に平行移動しただけ)。この「曲線の族」を、曲線族という。どの放物線も同じ性質を持っている。

• $x=1$ での傾きはどれも $2$($F^{\prime }(1)=2$)
• $x=3$ での傾きはどれも $6$

傾きの情報($F^{\prime }=2x$)だけでは、どの放物線かを特定できない。どれも条件を満たすからだ。

そこで、条件 $F(1)=3$ を使う。「点 $(1,3)$ を通る」という条件だ。無数の放物線のうち、点 $(1,3)$ を通るものはただ $1$ 本。

$$1+C=3⟹C=2$$

$$y=x^2+2(\text{確かに }(1,3)\text{を通る})$$

「曲線の群れから、$1$ 本を選び出す」。それが初期条件の役割である。この構造は物理でそのまま現れる。

「速度が $v(t)=2t$ の物体の、位置 $x(t)$ は?」

$$x(t)=t^2+C$$

$C$ は「初期位置」だ。 どこから出発したかによって、位置は変わる。「時刻 $t=1$ で、位置 $3$ にいた」という情報があれば、$C=2$ と決まる。

$$x(t)=t^2+2$$

「速度だけでは、位置は決まらない。出発点が要る。」。当たり前だが、これが積分定数の物理的な意味だ。

さらに $2$ 階微分になると、条件が $2$ つ必要になる。「加速度が $a(t)=-9.8$(重力)の物体の運動は?」

$$v(t)=-9.8t+C_1(C_1=\text{初速度})$$ $$x(t)=-4.9t^2+C_{1}t+C_2(C_2=\text{初期位置})$$

積分定数が $2$ つ現れる。だから初速度と初期位置の $2$ つを知らないと、ボールがどこに落ちるか計算できない。

「$n$ 回積分すれば、$n$ 個の定数が現れる」。そして、それを決めるには $n$ 個の条件が必要だ。

微分方程式を解くとはこの構造を扱うことである。 数IIIで、その本格的な理論が始まる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 定積分は、$2$ 段階で計算する。

手順1: 不定積分(原始関数)を求める。

$$\int 3x^{2}dx=x^3$$

($C$ は、この後で消えるので書かなくてよい。)

手順2: 上端と下端を代入して、引く。

$${\int }_0^{2}3x^{2}dx=[x^3{]}_0^2=2^3-0^3=8$$

$\left[\right]$ は「代入して引く」という記号。

$$[F(x){]}_a^b=F(b)-F(a)$$

必ず「上端 $-$ 下端」の順。 逆にすると符号が反対になる。なぜ積分定数 $C$ が要らないのか。

$$(F(b)+C)-(F(a)+C)=F(b)-F(a)$$

$C$ が引き算で消える。だから定積分では書かなくてよい。

① 原始関数を求める。 $\int 3x^{2}dx=x^3$。

② 上端・下端を代入して引く。

$${\int }_0^{2}3x^{2}dx=[x^3{]}_0^2=2^3-0^3=8$$

まとめ:定積分は「原始関数に上端を入れた値 $-$ 下端を入れた値」。$C$ は引き算で消えるので書かなくてよい。

発展。 「無限に細い長方形を、無限個足す」という操作が、なぜ有限の値になるのか。

素朴に考えると、危うい。

$$(\text{無限に小さい})\times (\text{無限個})=?$$

$0\times \infty$ という、不定形だ。 何にでもなりうる。しかし、掛け算の「バランス」が取れていれば、有限の値に収束する。

• 長方形の幅: $\frac{2}{n}$($n\to \infty$ で $0$ へ)
• 長方形の個数: $n$($\infty$ へ)
• 幅 $\times$ 個数: $\frac{2}{n}\times n=2$(一定)

「$0$ に近づく速さ」と「$\infty$ に発散する速さ」が、ちょうど釣り合っている。 だから積は有限に収まる。この「釣り合い」の感覚が極限を扱ううえで大事だ。

微分でも、同じ構造があった。

$$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\left(\frac{0}{0}\text{の形}\right)$$

分子も分母も $0$ に近づくが、「同じ速さ」で近づくので、比は有限。

微分は $\frac{0}{0}$、積分は $0\times \infty$ で、どちらも不定形を極限で扱う方法だ。そして、両者が逆演算であることは、決して自明ではない。

$$\underset{\text{局所的}}{\underbrace{\text{接線の傾き}}}\text{と}\underset{\text{大域的}}{\underbrace{\text{面積}}}$$

「傾き」と「面積」は、一見、何の関係もない $2$ つの概念だ。それが、微積分学の基本定理によって結ばれる。

$$\frac{d}{dx}{\int }_a^{x}f(t)dt=f(x)$$

「面積を、上端で微分すると、もとの関数に戻る」(問題 $11$ で扱う)。

局所と大域が、$1$ 本の式で結びつく。これが微積分の基本定理の内容である。

「なぜ面積を求めるのに、微分の逆をすればよいのか」。この問いの答えが微積分学の基本定理である。

別解

定積分の値 $8$ は何を意味するのか。 それは面積である。そして、その面積を「長方形で近似して」求める方法を体験しよう。積分の原点がそこにある。

面積として読む。

$${\int }_0^{2}3x^{2}dx=(\text{曲線 }y=3x^2\text{ と }x\text{ 軸、x=0、x=2 で囲まれた面積})$$

この面積が $8$ である。

では、公式を使わずに、面積を「測って」みよう。方法: 長方形で埋める(区分求積法)。

区間 $[0,2]$ を、$4$ 等分する(幅 $0.5$ の区間が $4$ つ)。各区間の「右端」の高さを使って、長方形を作る。

$11.25$。 真の値 $8$ より、かなり大きい。

なぜか。 曲線は右上がりなので、右端の高さを使うと、長方形が曲線からはみ出す(過大評価)。

では、$8$ 等分してみよう(幅 $0.25$)。

同じ計算をすると、合計は約 $9.56$。 真の値 $8$ に近づいた。

$100$ 等分すると? 約 $8.12$ になる。

$10000$ 等分すると? 約 $8.0012$ になる。

$$\boxed{\text{分割を細かくすると、長方形の和は真の面積 8 に収束する}}$$

これが「区分求積法」であり、積分の定義そのものである。

$${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^{n}f(x_k)\cdot \Delta x$$

「無限に細い長方形を、無限個足し合わせる」。それが積分だ。

記号 $\int$ はSum(和)の $\mathrm{S}$ を引き伸ばしたもの。 $dx$ は「無限に小さい幅」を表す。

$${\int }_0^{2}3x^{2}dx=\text{「3x2 という高さに、dx という幅を掛けて、0 から 2 まで足す」}$$

この定義はアルキメデスの時代(紀元前 $3$ 世紀)から知られていた。 彼は「取り尽くし法」で、放物線の面積を求めていた。

しかし、それは「職人芸」だった。 図形ごとに、特別な工夫が必要だった。ニュートンとライプニッツが見つけたのは、「積分は微分の逆である」という関係だった。

$${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)(F^{\prime }=f)$$

微積分学の基本定理。

無限個の長方形を足す作業が、「原始関数を求めて、$2$ 点で代入して引く」だけになった。

$2000$ 年かかった面積計算が、$3$ 行で終わるようになった。これは数学の歴史の中でも大きな発見である。

${\int }_0^{2}3x^{2}dx=[x^3{]}_0^2=8$ という $1$ 行。 その裏に、無限個の長方形と、$2000$ 年の歴史がある。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 手順は前問と同じ。原始関数を求めて、代入して引く。

原始関数。

$$\int (2x-1)dx=x^2-x$$

代入して引く。

$${\int }_1^3(2x-1)dx=[x^2-x{]}_1^3$$

上端 $x=3$: $9-3=6$

下端 $x=1$: $1-1=0$

引く。

$$6-0=6$$

下端の値が $0$ になったので、簡単だった。

しかし油断は禁物。 下端の代入を忘れると、たまたま答えが合ってしまうことがある。「$0$ だから引かなくていい」ではなく、「計算したら $0$ だった」という手順を踏む。

この積分は $1$ 次関数の下の面積、つまり台形の面積である(別解で見る)。

① 原始関数を求める。 $\int (2x-1)dx=x^2-x$。

② 代入して引く。

$${\int }_1^3(2x-1)dx=[x^2-x{]}_1^3=(9-3)-(1-1)=6-0=6$$

まとめ:下端の代入 $(1-1)=0$ もきちんと引く。「$F(b)-F(a)$」の引き算を省かないのがミス防止のコツだ。

発展。 「積分は面積」だが、負の値になることもある。そこが、素朴な「面積」との違いだ。

$${\int }_0^1(x-1)dx={\left[\frac{x^2}{2}-x\right]}_0^1=\left(\frac{1}{2}-1\right)-0=-\frac{1}{2}$$

負の値になった。 面積が負になるはずはない。

なぜか。 区間 $[0,1]$ で、$y=x-1$ は負の値をとる($x$ 軸の下にある)。

$$\boxed{\text{x 軸の下の部分は、積分では"負の面積"として計算される}}$$

定積分が表しているのは「符号つき面積」だ。この性質は便利だが、間違いのもとにもなる。便利な例: 打ち消し合い。

$${\int }_{-1}^{1}xdx={\left[\frac{x^2}{2}\right]}_{-1}^1=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$$

左半分の負の面積と、右半分の正の面積が、ちょうど打ち消し合う。これが、奇関数の積分が $0$ になる理由だ(問題 $8$)。間違いやすい例として、「面積を求めよ」と言われた場合を考える。

$$y=x^2-4\text{と x 軸で囲まれた"面積"は?}$$

素直に積分すると

$${\int }_{-2}^2(x^2-4)dx=-\frac{32}{3}(\text{負!})$$

面積が負になるはずがない。 $x$ 軸の下にあるからだ。「面積」を求めたいなら、絶対値をとるか、符号を反転させる。

$$(\text{面積})=\left|-\frac{32}{3}\right|=\frac{32}{3}$$

または、${\int }_{-2}^2\{0-(x^2-4)\}dx={\int }_{-2}^2(4-x^2)dx=\frac{32}{3}$(上 $-$ 下の順で引く)。問題 $12$ で、これを扱う。物理では、この「符号つき」がむしろ大事になる。

速度 $v(t)$ を積分すると、$\text{変位}$(位置の変化)になる。

$${\int }_0^{T}v(t)dt=(\text{変位})$$

行きと帰りで往復すれば、変位は $0$(元の位置に戻る)。負の速度が正の速度を打ち消す。

一方、$\text{道のり}$(走った距離)は

$${\int }_0^T|v(t)|dt$$

絶対値をつけるので、こちらは決して負にならない。「変位」と「道のり」の違いが、「符号つき面積」と「面積」の違いに、そのまま対応している。定積分は単なる面積ではなく、「向き」を持った量である。

別解

この積分は積分を使わずに求められる。 小学校で習った「台形の面積」で。

図で考える。

直線 $y=2x-1$ と、$x$ 軸、$x=1$、$x=3$ で囲まれた図形は?

$4$ つの頂点を確認する。

• $(1,0)$、$(3,0)$($x$ 軸の上)
• $(1,1)$($x=1$ での直線の高さ: $2\times 1-1=1$)
• $(3,5)$($x=3$ での高さ: $2\times 3-1=5$)

これは台形だ。

• 上底(左の縦の辺): $1$
• 下底(右の縦の辺): $5$
• 高さ(横の長さ): $3-1=2$

台形の面積公式。

$$\frac{(\text{上底}+\text{下底})\times \text{高さ}}{2}=\frac{(1+5)\times 2}{2}=\frac{12}{2}=6$$

積分の答えと、ぴったり一致した

小学校の公式で、定積分が計算できた。この一致は何を意味するか。

$$\boxed{\text{定積分は、面積そのものである}}$$

($1$ 次関数なら台形、$2$ 次関数なら曲線の下の面積になる。図形の種類が変わっても、積分は同じ手順で計算できる。)そして、この一致は「検算」に使える。

$1$ 次関数の定積分なら、必ず台形(または三角形)の面積になる。 積分の答えが台形の面積と合わなければ、どこかで計算ミスをしている。

もう $1$ つの見方: 平均の高さ。台形の面積 $=$ (平均の高さ)$\times$(幅)

$$\frac{1+5}{2}\times 2=3\times 2=6$$

「平均の高さ $3$ で、幅 $2$ の長方形」と同じ面積。この 「平均の高さ」 は区間の中点 $x=2$ での値と一致する。

$$f(2)=2\times 2-1=3$$

$1$ 次関数では、「中点での値」が「平均の高さ」になる。直線だから、真ん中がちょうど平均だ。この考え方を一般化すると、「関数の平均値」という概念になる。

$$(\text{f の [a,b] での平均値})=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx$$

今回なら $\frac{1}{2}\times 6=3$ で、平均の高さは $3$

「積分して、区間の幅で割る」= 平均である。データの平均($\text{合計}÷\text{個数}$)と、まったく同じ構造だ。離散(データ)では和を個数で割り、連続(関数)では積分を幅で割る。

積分は「連続的な和」である。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 「曲線と $x$ 軸で囲まれた面積」は、定積分そのものである。

ただし、$1$ つ確認すること。

区間 $0\leqq x\leqq 3$ で、$y=x^2\geqq 0$($x$ 軸の上にある)。上にあるなら、定積分がそのまま面積になる。

$$S={\int }_0^3{x}^{2}dx={\left[\frac{x^3}{3}\right]}_0^3=\frac{27}{3}-0=9$$

面積は $9$。

もし曲線が $x$ 軸の下にあれば、定積分は負になり、面積とは符号が違ってしまう。だから、上にあるか下にあるかを必ず確認する。

面積の問題は $3$ 段階。 ①グラフを描く → ②上下を確認する → ③積分する。グラフを描かずに積分すると、必ず間違える。

① 位置関係を確かめる。 $0\leqq x\leqq 3$ で $y=x^2\geqq 0$。曲線は $x$ 軸の上にある。

② 面積を定積分で計算する。

$$\text{面積}={\int }_0^3{x}^{2}dx=[\frac{x^3}{3}{]}_0^3=\frac{27}{3}-0=9$$

まとめ:面積を積分で出すときは、まず「曲線が $x$ 軸の上か下か」を確認する。上にあるなら面積 = 定積分そのもの。下にある場合は $3$ 番以降で扱う。

発展。 アルキメデスが「取り尽くし法」で放物線の面積を求めたのは、紀元前 $3$ 世紀。微積分の発明($17$ 世紀)の、$1900$ 年前である。

彼の方法はどんなものだったか。放物線と弦で囲まれた図形に、三角形を敷き詰めていく。

1. まず、大きな三角形を $1$ つ入れる(面積 $T$ とする)
2. 残った隙間に、小さな三角形を $2$ つ入れる(合計 $\frac{T}{4}$)
3. さらに残った隙間に、$4$ つ入れる(合計 $\frac{T}{16}$)
4. これを無限に繰り返す

面積の合計は

$$T+\frac{T}{4}+\frac{T}{16}+\frac{T}{64}+\cdots =T\times \frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4}{3}T$$

無限等比級数になる。

アルキメデスは無限級数の和を(極限の概念なしに)厳密に扱い、正しい答えを得た。

彼の議論は今の基準で見ても正しい。 ただし、彼は「無限」という言葉を注意深く避け、「どんなに小さな差も、有限回の操作で下回れる」という形で論じた(取り尽くし法)。

なぜ、そこまで慎重だったのか。 当時のギリシャ数学は「無限」を扱う論理を持っていなかったからだ。ゼノンのパラドックス(アキレスと亀)が、無限の危険性を突きつけていた。

アルキメデスはあと一歩で微積分に到達していた。

しかし、彼には「一般的な手続き」がなかった。 放物線の面積は求められたが、それは放物線専用の職人芸だった。別の曲線には、別の工夫が必要だった。

ニュートンとライプニッツが与えたのは、「どんな曲線にも通用する、機械的な手続き」である。

$${\int }_0^3{x}^{2}dx={\left[\frac{x^3}{3}\right]}_0^3=9$$

アルキメデスが何ページも費やした計算が、$1$ 行になった。

一部の人にしかできなかった計算を、誰でも使える道具に変える。数学はこうして進歩してきた。

そしてアルキメデスは自分の墓碑に「球と円柱」の図を刻むよう遺言した。 球の体積が外接する円柱の $\frac{2}{3}$ であることを発見したことを記念したものだ。

$\frac{1}{3}$ の法則も、$\frac{2}{3}$ の法則も、アルキメデスが見つけたものだ。 積分を使えば、どちらも $1$ 行で計算できる。

別解

この面積 $9$ には、図形的な意味がある。$2200$ 年前、アルキメデスが発見した「$\frac{1}{3}$ の法則」だ。

囲む長方形と比べる。

区間 $[0,3]$ で、$y=x^2$ の下の面積を求めた。 この放物線を長方形で囲んでみよう。

• 横: $3$($x=0$ から $3$ まで)
• 縦: $9$($x=3$ での高さ $3^2=9$)

長方形の面積は $3\times 9=27$。

放物線の下の面積は $9$。

$$\frac{9}{27}=\frac{1}{3}$$

$$\boxed{\text{放物線の下の面積は、囲む長方形の}\frac{1}{3}}$$

簡単な比になった。

これは偶然ではない。一般に

$${\int }_0^a{x}^{2}dx=\frac{a^3}{3}=\frac{1}{3}\times a\times a^2=\frac{1}{3}\times (\text{横})\times (\text{縦})$$

放物線の下は必ず長方形の $\frac{1}{3}$。

アルキメデスはこの事実を微積分なしで証明した(取り尽くし法という、極限の先駆的な方法で)。紀元前 $3$ 世紀のことである。

さらに一般化すると

$${\int }_0^a{x}^{n}dx=\frac{a^{n+1}}{n+1}=\frac{1}{n+1}\times (\text{横})\times (\text{縦})$$

$n$ が大きいほど、曲線は「床に張りついて」から急上昇するので、下の面積は小さくなる。表と一致する。

$y=x$ で $\frac{1}{2}$ になるのは、三角形の面積公式そのもの。小学校の知識と、積分がつながった。

この「$\frac{1}{n+1}$ の法則」を知っていると、検算がすぐにできる。

$${\int }_0^3{x}^{2}dx\stackrel{?}{=}9$$

長方形($3\times 9=27$)の $\frac{1}{3}$ は $9$。合っている。

逆に、答えが $27$ や $3$ になったら、明らかにおかしい。図形的な感覚で、計算ミスに気づける。

「答えの大きさが、図と合っているか」。積分の計算では、この確認がとても大事だ。

放物線の下は長方形の $\frac{1}{3}$。 この事実を体に染み込ませておけば、面積の問題で大きく外すことはない。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 項ごとに積分する。次数が上がっても、手順は同じだ。

原始関数を求める。

$$\int 4x^{3}dx=4\times \frac{x^4}{4}=x^4$$

$$\int 2xdx=2\times \frac{x^2}{2}=x^2$$

係数がきれいに約分される。この問題はそうなるように作られている。

$$\int (4x^3+2x)dx=x^4+x^2$$

代入して引く。

$${\int }_0^1(4x^3+2x)dx=[x^4+x^2{]}_0^1=(1+1)-(0+0)=2$$

答えは $2$。

検算: 微分して戻す。 $(x^4+x^2{)}^{\prime }=4x^3+2x$。元に戻った。

① 原始関数を求める。

$$\int (4x^3+2x)dx=x^4+x^2$$

② 代入して引く。

$${\int }_0^1(4x^3+2x)dx=[x^4+x^2{]}_0^1=(1+1)-0=2$$

まとめ:$3$ 次でも手順は同じ。$4x^3\to x^4$(係数 $4$ が $\frac{4}{4}=1$ になる)のように、係数の変化も確かめると計算ミスが減る。

発展。 「積の積分は、積分の積ではない」。では、積の積分はどう計算するのか。

数IIIで学ぶ「部分積分」が、その答えだ。

積の微分公式

$$(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$$

を、両辺積分する。

$$fg=\int f^{\prime }gdx+\int f{g}^{\prime }dx$$

移項すると

$$\boxed{\int f{g}^{\prime }dx=fg-\int f^{\prime }gdx}$$

部分積分の公式。 「積の積分を、別の積の積分に置きかえる」ことで、計算しやすい形へ持ち込む技術だ。例: $\int x{e}^{x}dx$

$f=x$、$g^{\prime }=e^x$ とすると

$$\int x{e}^{x}dx=x{e}^x-\int 1\cdot e^{x}dx=x{e}^x-e^x+C$$

積の形が積分できた。

「微分公式を積分すると、積分公式が生まれる」。積分の技術はどれもこの関係から作られている。

積分の方法はどれも微分公式の「裏返し」だ。

そして、それでも積分できない関数がある。$e^{-x^2}$ や $\frac{\sin x}{x}$ がその例だ。

微分は必ずできるが、積分はできないことがある。 この非対称性が積分を「技術」たらしめている。

数IIの積分($x^n$ だけ)はその最初の段階にすぎない。 数IIIでは置換積分・部分積分という道具を使って、より多くの関数を積分する。数IIでは「バラして積分できる」ので、項ごとの計算で答えが出る。

別解

「項ごとにバラして積分してよい」。この性質(線形性)は当たり前に見えて、実は積分でいちばんよく使う性質である。それを確かめよう。

線形性を分けて計算して確認する。

$${\int }_0^{1}4x^{3}dx=[x^4{]}_0^1=1$$

$${\int }_0^{1}2xdx=[x^2{]}_0^1=1$$

足す。

$$1+1=2$$

まとめて積分しても、バラして積分してから足しても、同じ答え。

$$\boxed{\int \{f(x)+g(x)\}dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx}$$

$$\boxed{\int kf(x)dx=k\int f(x)dx(k\text{は定数})}$$

これを「積分の線形性」という。

面積で考えれば、当たり前だ。 「高さが $f+g$ の図形の面積」は、「高さ $f$ の面積」と「高さ $g$ の面積」の和なので、積み重ねればよい。

しかし、当たり前でないことも押さえておこう。

$$\int f(x)g(x)dx\ne \int f(x)dx\times \int g(x)dx$$

積の積分は積分の積ではない。

確かめる。 $f(x)=g(x)=x$ として、区間 $[0,1]$ で。

左辺: ${\int }_0^{1}x\cdot xdx={\int }_0^1{x}^{2}dx=\frac{1}{3}$

右辺: ${\left({\int }_0^{1}xdx\right)}^2={\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$

$$\frac{1}{3}\ne \frac{1}{4}\text{一致しない!}$$

同じことが微分でも言える。

$$(fg{)}^{\prime }\ne f^{\prime }\cdot g^{\prime }$$

正しくは、積の微分公式

$$(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$$

微分でも積分でも、「和と定数倍」は素直に分けられるが、「積と商」は分けられない。この「素直に分けられる」性質を、数学では線形性という。線形性を持つ操作は扱いやすい。

• 微分・積分(和と定数倍について)
• 行列の掛け算
• 期待値($E(X+Y)=E(X)+E(Y)$)
• 極限

逆に、線形でない操作は途端に難しくなる。

$$\sqrt{a+b}\ne \sqrt{a}+\sqrt{b},\log (a+b)\ne \log a+\log b,(a+b{)}^2\ne a^2+b^2$$

「バラして計算できる」という、この当たり前の性質。 それがどれほど貴重かは、バラせない場面に出会って、はじめて分かる。

線形性は計算を大きく楽にする性質だ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $2$ 曲線で囲まれた面積は、「上 $-$ 下」を積分する。

$$S={\int }_a^b\{(\text{上の関数})-(\text{下の関数})\}dx$$

$2$ 段階で準備する。

手順1: 交点を求める(積分区間が決まる)。

$$x^2=x⟹x^2-x=0⟹x(x-1)=0⟹x=0,1$$

積分区間は $0\leqq x\leqq 1$。

手順2: どちらが上かを確認する。

$x=0.5$ で比べる。

$$y=x=0.5,y=x^2=0.25$$

直線 $y=x$ のほうが上だ。

$$S={\int }_0^1(x-x^2)dx={\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]}_0^1=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$$

「上 $-$ 下」の順序を間違えると、符号が逆になる。 必ず確認する。

① 交点を求める。 $x^2=x$ より $x^2-x=0$、$x(x-1)=0$、$x=0,1$。積分区間は $[0,1]$。

② 上下を決める。 $0<x<1$ では $x>x^2$(例:$x=\frac{1}{2}$ で $\frac{1}{2}>\frac{1}{4}$)。直線 $y=x$ が上、放物線 $y=x^2$ が下。

③ 「上 − 下」を積分する。

$$\text{面積}={\int }_0^1(x-x^2)dx=[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}{]}_0^1=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$$

まとめ:$2$ 曲線の面積は「交点で区間を決める → どちらが上か確かめる → 上 − 下 を積分」。上下を逆にすると符号が変わるので、代表点で必ず確認する。

発展。 「上 $-$ 下」を積分する、という考え方は、$x$ 軸の位置に依存しないという点で優れている。

なぜか。 $2$ 曲線の「差」だけを見ているので、グラフ全体を上下に平行移動しても、面積は変わらない。

$${\int }_a^b\{(f(x)+k)-(g(x)+k)\}dx={\int }_a^b\{f(x)-g(x)\}dx$$

$k$ が消える。当然だ。$2$ つの曲線を同じだけ上げても、間の面積は変わらない。

この性質があるので、「曲線が $x$ 軸の下にあるかどうか」を気にしなくてよい。例: $y=x^2-10$ と $y=x-10$(どちらも $x$ 軸の下)で囲まれた面積は?そのまま「上 $-$ 下」を積分すればよい。

$$(x-10)-(x^2-10)=x-x^2$$

$-10$ が消えた。この問題の面積は元の問題($y=x^2$ と $y=x$)と同じ $\frac{1}{6}$ である。

$x$ 軸の下にあっても、面積の計算は変わらない。これに対し、「$x$ 軸との面積」を求めるときは、$x$ 軸の上下を必ず確認する必要があった。

$$\boxed{\text{2 曲線間の面積 → 上下だけ気にすればよい(位置は無関係)}}$$ $$\boxed{\text{x 軸との面積 → x 軸の上か下かを、必ず確認}}$$

「$x$ 軸との面積」も、実は「$2$ 曲線間の面積」の特別な場合だ。

$$(\text{x 軸})=(\text{直線 }y=0)$$

だから「上 $-$ 下」の考え方に統一できる。曲線が $x$ 軸の下にあるなら

$$S={\int }_a^b\{0-f(x)\}dx=-{\int }_a^{b}f(x)dx$$

「$x$ 軸(上)$-$ 曲線(下)」。この形で書けば、符号で悩まない。

すべての面積問題を、「上 $-$ 下」に統一する。 そうすれば、場合分けが減り、ミスが減る。そして、この考え方は $3$ 次元へ拡張される。

体積を求めるときは、「断面積」を積分する。

$$V={\int }_a^{b}S(x)dx$$

「面積を積分すると、体積になる」。次元が $1$ つ上がるだけで、構造はまったく同じだ。

「積分とは、$1$ つ低い次元の量を足し合わせて、$1$ つ高い次元の量を作ること」。この見方は数IIIの回転体や、大学の重積分でも使う。

別解

この答え $\frac{1}{6}$ には、有名な公式がある。「$\frac{1}{6}$ 公式」だ。 知っていれば、すぐに答えが出る。

$\frac{1}{6}$ 公式。

$$\boxed{{\int }_{\alpha }^{\beta }(x-\alpha )(\beta -x)dx=\frac{(\beta -\alpha {)}^3}{6}}$$

または、放物線と直線で囲まれた面積として

$$S=\frac{|a|}{6}(\beta -\alpha {)}^3$$

($a$ は $2$ 次の係数、$\alpha$、$\beta$ は $2$ 交点の $x$ 座標。)

この問題に当てはめる。

「上 $-$ 下」の差の関数を作る。

$$x-x^2=-x^2+x=-x(x-1)=-1\cdot (x-0)(x-1)$$

$2$ 次の係数は $a=-1$、交点は $\alpha =0$、$\beta =1$。

$$S=\frac{|-1|}{6}(1-0{)}^3=\frac{1}{6}$$

積分を $1$ 度もせずに、答えが出た。

この公式の何が便利か。

交点の $x$ 座標さえ分かれば、面積が「引き算と $3$ 乗」だけで出る。例: $y=x^2-3x+1$ と $y=x-2$ で囲まれた面積は?

交点を求める。

$$x^2-3x+1=x-2⟹x^2-4x+3=0⟹(x-1)(x-3)=0$$

$$\alpha =1,\beta =3$$

$\frac{1}{6}$ 公式を使う。($2$ 次の係数は $1$。)

$$S=\frac{1}{6}(3-1{)}^3=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$$

積分計算なしで、面積が出た。 素直に積分すると、$3$ 次式の展開と代入で $5$ 分はかかる。なぜこの公式が成り立つのか。

差の関数は必ず $a(x-\alpha )(x-\beta )$ の形になる(交点で $0$ になる $2$ 次式だから)。

これを積分すると、常に $\frac{(\beta -\alpha {)}^3}{6}$ という形に収まる。計算してみれば確かめられる。

「交点の間隔の $3$ 乗を、$6$ で割る」。覚えやすい形だ。そして、この公式は入試で頻出する。

放物線と直線、放物線と放物線のように、$2$ 次曲線どうしで囲まれた面積は、すべてこの公式ですぐに求められる。ただし、条件を確認すること。

• $2$ 次関数と $1$ 次関数(または $2$ 次関数どうし)であること
• 交点が $2$ つあること
• その $2$ 交点のあいだの面積であること

この $3$ 条件が揃えば、$\frac{1}{6}$ 公式が使える。

「公式を知っていること」は、試験時間の中で大きな差になる。 しかし、なぜ成り立つのかを理解していないと、条件を外れた問題で誤用する。

公式はなぜ成り立つかを理解したうえで使う。それが正しい使い方だ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 計算する前に、答えが分かる。

$$f(x)=x^3$$

これは奇関数である。

$$f(-x)=(-x{)}^3=-x^3=-f(x)$$

奇関数を原点対称な区間 $[-a,a]$ で積分すると、必ず $0$ になる。

$$\boxed{{\int }_{-a}^a(\text{奇関数})dx=0}$$

$${\int }_{-2}^2{x}^{3}dx=0$$

理由は「打ち消し合い」だ。 $x^3$ のグラフは原点対称なので、

• 右半分($0\leqq x\leqq 2$)は $x$ 軸の上 → 正の面積
• 左半分($-2\leqq x\leqq 0$)は $x$ 軸の下 → 負の面積(同じ大きさ)

足すと、ちょうど $0$。もちろん、まともに計算しても $0$ になる。

$${\left[\frac{x^4}{4}\right]}_{-2}^2=\frac{16}{4}-\frac{16}{4}=0$$

しかし、対称性に気づけば、計算せずに済む。

① 奇関数だと見抜く。 $f(x)=x^3$ は $f(-x)=-x^3=-f(x)$ なので奇関数。グラフは原点対称。

② 対称区間なので $0$。 $[-2,2]$ で正の部分と負の部分がちょうど打ち消す。

$${\int }_{-2}^2{x}^{3}dx=0$$

(計算で確かめると $[\frac{x^4}{4}{]}_{-2}^2=\frac{16}{4}-\frac{16}{4}=0$。)

まとめ:奇関数 × 対称区間 は即 $0$。$x^{\text{奇数乗}}$ を見たら、まず対称性を疑うと計算がすぐに終わる。

発展。 「対称性を使って計算を省く」考え方は、数学だけでなく、物理学の根本原理にもなっている。

物理では、対称性が「保存則」を生む。ネーターの定理($1918$ 年、エミー・ネーター)

$$\boxed{\text{ある対称性があれば、対応する保存量が存在する}}$$

「物理法則が、いつでも・どこでも・どの向きでも同じ」という当たり前の事実から、エネルギー・運動量・角運動量の保存則が導かれる。これは $20$ 世紀物理学の最も重要な定理の一つと言われる。そして、その証明の中で「対称な積分」が使われる。

素粒子物理でも、対称性が中心的な役割を果たす。

• 粒子と反粒子の対称性(C対称性)
• 鏡映対称性(P対称性)
• 時間反転対称性(T対称性)

そして、これらの対称性が「わずかに破れている」ことが、宇宙に物質が存在する理由だと考えられている(CP対称性の破れ、小林・益川理論でノーベル賞)。

完全に対称なら、物質と反物質は同量作られ、すべて対消滅して、宇宙には何も残らなかったはずだ。わずかな非対称があったから、物質が残ったと考えられている。

「対称なら $0$ になる」という、この積分の事実。 物理でも「対称なら打ち消し合う」という考え方がよく使われる。${\int }_{-2}^2{x}^{3}dx=0$ という $1$ 行に、そんな含意が隠れている。

別解

「なぜ $0$ になるのか」を、面積の絵で完全に理解しよう。 そして、この技がどれほど計算を省くかを見る。左右を別々に計算する。

右半分($0$ から $2$)。

$${\int }_0^2{x}^{3}dx={\left[\frac{x^4}{4}\right]}_0^2=\frac{16}{4}-0=4$$

正の値。 $x$ 軸の上にある面積だ。

左半分($-2$ から $0$)。

$${\int }_{-2}^0{x}^{3}dx={\left[\frac{x^4}{4}\right]}_{-2}^0=0-\frac{16}{4}=-4$$

負の値になる。 $x$ 軸の下にあるからだ。

足す。

$$4+(-4)=0$$

「正の面積 $4$」と「負の面積 $-4$」が、ぴったり打ち消し合った。これが $0$ になる理由である。大事な注意: 「面積が $0$」ではない。

もし「$y=x^3$ と $x$ 軸で囲まれた『面積』は?」と聞かれたら、答えは $0$ ではない。

$$(\text{面積})=|-4|+4=8$$

符号を無視して、絶対値で足す。

$$\boxed{\text{定積分の値}=0\ne \text{面積}=8}$$

「定積分」と「面積」は別物である。この区別を必ず覚えておくこと。さて、この対称性の技がどれほど有効かを見よう。

問題: ${\int }_{-3}^3(x^5-4x^3+2x)dx$ を求めよ。

まともに計算すると、$6$ 次式の原始関数を求めて、$\pm 3$ を代入して引くことになり、かなりの手間だ。しかし、被積分関数を見てほしい。

$$x^5(\text{奇}),-4x^3(\text{奇}),2x(\text{奇})$$

すべて奇関数だ。 奇関数の和はまた奇関数である。

$${\int }_{-3}^3(\text{奇関数})dx=0$$

計算せずに、答えは $0$。

すぐに終わった。

この技が使える条件を、確認しておこう。

• 被積分関数が奇関数($x$ の奇数乗だけからなる)
• 積分区間が原点対称($[-a,a]$ の形)

$2$ つとも揃って、はじめて $0$ になる。区間が $[0,3]$ や $[-1,3]$ なら、対称でないので $0$ にならない。

「積分の前に、対称性を確認する」。この習慣で、計算量が大きく減る。

数IIIの積分では、この技が生死を分ける。 ${\int }_{-\pi }^{\pi }x\sin xdx$ のような問題で、$x\sin x$ は偶関数だから $2{\int }_0^{\pi }$ でよい。そう見抜けるかどうかで、時間が半分になる。

対称性を使うと、計算を大きく省ける。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 今度は偶関数だ。

$$f(x)=3x^2⟹f(-x)=3(-x{)}^2=3x^2=f(x)$$

偶関数のグラフは $y$ 軸対称。原点対称な区間で積分すると、左右の面積が「等しい」(打ち消し合わない)。

$$\boxed{{\int }_{-a}^a(\text{偶関数})dx=2{\int }_0^a(\text{偶関数})dx}$$

半分だけ計算して、$2$ 倍すればよい。

$${\int }_{-1}^{1}3x^{2}dx=2{\int }_0^{1}3x^{2}dx=2[x^3{]}_0^1=2\times 1=2$$

まともに計算しても、同じ。

$$[x^3{]}_{-1}^1=1-(-1)=2$$

偶関数は $2$ 倍、奇関数は $0$。対称性から得られる $2$ つの方法だ。

① 偶関数だと見抜く。 $f(x)=3x^2$ は $f(-x)=3x^2=f(x)$ なので偶関数。$y$ 軸対称。

② $2$ 倍公式を使う。

$${\int }_{-1}^{1}3x^{2}dx=2{\int }_0^{1}3x^{2}dx=2[x^3{]}_0^1=2\times 1=2$$

まとめ:偶関数 × 対称区間 は「片側の $2$ 倍」。下端が $0$ になるぶん代入がやさしくなる。$x^{\text{偶数乗}}$ は偶関数だ。

発展。 どんな関数も偶関数と奇関数の和に分解できる。

$$f(x)=\underset{\text{偶関数部分}}{\underbrace{\frac{f(x)+f(-x)}{2}}}+\underset{\text{奇関数部分}}{\underbrace{\frac{f(x)-f(-x)}{2}}}$$

確かめよう。 第 $1$ 項を $g(x)$、第 $2$ 項を $h(x)$ とすると

$$g(-x)=\frac{f(-x)+f(x)}{2}=g(x)(\text{偶関数})$$

$$h(-x)=\frac{f(-x)-f(x)}{2}=-h(x)(\text{奇関数})$$

そして $g(x)+h(x)=f(x)$

例: $f(x)=x^2+x$ を分解する。

$$g(x)=\frac{(x^2+x)+(x^2-x)}{2}=x^2(\text{偶})$$

$$h(x)=\frac{(x^2+x)-(x^2-x)}{2}=x(\text{奇})$$

$x^2+x=x^2+x$ となる。当たり前だが、多項式では「偶数乗と奇数乗に分ける」だけである。この分解が積分で役に立つ。

$${\int }_{-1}^1(x^2+x)dx=\underset{\text{偶: }2{\int }_0^1}{\underbrace{{\int }_{-1}^1{x}^{2}dx}}+\underset{\text{奇: }0}{\underbrace{{\int }_{-1}^{1}xdx}}=\frac{2}{3}+0=\frac{2}{3}$$

次の問題の答えがもう出てしまった。そして、この「偶奇分解」の考え方は、はるかに広い場面で使われる。

関数を「性質のよい部品」に分解する。これが解析学の中心的な方法だ。

• 偶関数 $+$ 奇関数(対称性による分解)
• フーリエ級数($\sin$ と $\cos$ への分解)
• テイラー展開(多項式への分解)
• 固有関数展開(量子力学)

「複雑なものを、扱いやすい部品の和に分ける」

そして、部品ごとに計算して、最後に足し合わせる。線形性があるからこそ、この方法が使える。偶関数と奇関数への分解は、その最も簡単な例だ。

$1$ つの関数を、$2$ つの対称性に分ける。 そこから、解析学の大きな流れが始まっている。

別解

偶関数と奇関数を、完全に整理しておこう。 この $2$ つを見分けられれば、積分の計算量が大きく減る。定義と、見分け方。

見分け方のコツ: $x$ の「次数」を見る。

• 偶数乗だけ($x^2$、$x^4$、定数 $=x^0$)→ 偶関数
• 奇数乗だけ($x$、$x^3$、$x^5$)→ 奇関数
• 混じっている($x^2+x$)→ どちらでもない

「偶数乗 → 偶関数、奇数乗 → 奇関数」。名前の由来そのままだ。

面積で確認する。

右半分($0$ から $1$)。

$${\int }_0^{1}3x^{2}dx=[x^3{]}_0^1=1$$

左半分($-1$ から $0$)。

$${\int }_{-1}^{0}3x^{2}dx=[x^3{]}_{-1}^0=0-(-1)=1$$

両方とも $1$ で、等しい。

$$1+1=2$$

偶関数では、左右の面積が同じ(打ち消さない)。だから $2$ 倍でよい。奇関数との違いを、絵で見よう。

奇関数($y=x^3$): 左半分が $x$ 軸の下(負)、右半分が上(正)→ 打ち消し合って $0$

偶関数($y=3x^2$): 左右とも $x$ 軸の上(正)→ 足し合わさって $2$ 倍

「対称の仕方」が違うので、結果が正反対になる。そして、この $2$ つの技を組み合わせると、複雑な積分がすぐに解ける。例: ${\int }_{-2}^2(3x^4-5x^3+2x^2-7x+1)dx$

項ごとに、偶奇を判定する。

奇数乗の項($-5x^3$ と $-7x$)は計算するまでもなく $0$ になる。

残った偶数乗の項だけを、半分の区間で計算して $2$ 倍する。

$$=2{\int }_0^2(3x^4+2x^2+1)dx=2{\left[\frac{3x^5}{5}+\frac{2x^3}{3}+x\right]}_0^2=2\left(\frac{96}{5}+\frac{16}{3}+2\right)$$

計算量が大幅に減った。

「奇数乗は捨てる、偶数乗は半分にして $2$ 倍」。原点対称な区間の積分では、この $2$ 行が最初の一手になる。次の問題(問題 $10$)で、この技を使う。