三角関数の最大・最小 — 合成・置き換え・2倍角の3つの道具

文: KOSNiZ·最終更新: 2026年9月6日

三角関数の最大・最小は、数学IIで最も出題頻度の高い問題の1つで、共通テストでも記述式でも定番です。使う道具は3つしかありませんが、「どれを使うか」の判断と、「置き換えたあとの範囲」の確認で失点します。この記事では、3つの道具を式の形で見分ける方法と、範囲の確認の手順を説明します。

道具1: 合成

$a sin θ + b cos θ$ の形は、 $a^{2} + b^{2} sin (θ + α)$ にまとめます(合成)。目印は、 $sin θ$ と $cos θ$ の1次式で、2乗や積がないことです。合成したあとは、 $θ + α$ の範囲を求めて、単位円かグラフで $sin$ の最大・最小を読みます。

$θ$ に範囲がついているときは、 $θ + α$ の範囲を書き直してから読みます。「 $0 \leq θ \leq π$ なら $\frac{π}{4} \leq θ + \frac{π}{4} \leq \frac{5 π}{4}$ 」というふうに、両端に $α$ を足します。この書き直しを省くと、範囲外の値で最大・最小を答えてしまいます。三角関数の標準「三角関数の合成」「合成を利用する最大・最小」、応用の範囲つきで練習してください。

道具2: 置き換え(2次関数に落とす)

$sin^{2} θ$ や $cos^{2} θ$ と $sin θ$ (または $cos θ$ )の1次が混ざっているなら、相互関係で1種類にそろえて、 $sin θ = t$ とおくと $t$ の2次関数になります。目印は、2乗と1次が混ざっていることです。 $t$ の範囲は $- 1 \leq t \leq 1$ ですが、 $θ$ に範囲があればそれに応じて狭まります。

$sin θ + cos θ$ と $sin θ cos θ$ が混ざっているなら、 $sin θ + cos θ = t$ とおくと、 $sin θ cos θ = \frac{t ^{2} - 1}{2}$ で、やはり $t$ の2次関数になります。目印は、和と積の両方があることです。 $t$ の範囲は、 $t = 2 sin (θ + \frac{π}{4})$ と合成して求めます(合成が範囲の確認に使われます)。標準のsinθ+cosθ の置換と応用の同名の問題で、範囲の求め方まで含めて固めてください。

置き換えたあとの2次関数の最大・最小は、数学Iの2次関数の「定義域があるときの最大・最小」そのものです。軸が範囲の中にあるかどうかで、最大・最小をとる位置が決まります。

道具3: 2倍角で次数をそろえる

$sin^{2} θ$ 、 $cos^{2} θ$ 、 $sin θ cos θ$ だけの式(2次の項だけ)なら、2倍角と半角の公式で $sin 2 θ$ と $cos 2 θ$ の1次式に直し、道具1(合成)に持ち込みます。目印は、すべての項が2次であることです。 $sin^{2} θ = \frac{1 - cos 2 θ}{2}$ 、 $sin θ cos θ = \frac{sin 2 θ}{2}$ で書き換えます。応用の2倍角を使う最大・最小で確認してください。

見分けの手順

式を見たら、次の順に判断します。1次の $sin$ と $cos$ だけなら合成。2次と1次が混ざっていれば $sin θ = t$ か $cos θ = t$ の置き換え。和と積が混ざっていれば $sin θ + cos θ = t$ の置き換え。2次だけなら2倍角で1次に落として合成。この4つで、高校範囲の三角関数の最大・最小はすべて処理できます。

範囲の確認が急所

3つの道具に共通する急所は、「置き換えたあとの変数の範囲」です。合成なら $θ + α$ の範囲、置き換えなら $t$ の範囲を、 $θ$ の範囲から求めます。この確認を飛ばすと、存在しない値で最大・最小を答えます。

このサイトの解説では、置き換えたあとの $t$ の放物線と範囲の両端を図にしてあります。「範囲の両端で最大になる」場合(数学IIの指数関数・対数関数の応用「両端が最大」と同型)もあるので、頂点だけでなく両端の値を必ず計算してください。