積分の考え ★★★★ 難関の問題 全8問

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 曲線と直線で囲む面積。まず「どこからどこまで」を決める。$2$ 曲線の交点を求める。

$x^2-2x=x$ から $x^2-3x=0$、交点は $x=0,3$。面積は(上の関数)$-$(下の関数)の積分。この区間では直線 $y=x$ が上、放物線が下。放物線と直線で囲む面積には $\frac{1}{6}$ 公式が使える。$\frac{1}{6}|a|(\beta -\alpha {)}^3$($a$ は $x^2$ の係数、$\alpha ,\beta$ は交点)でまとめて出せる。

① 交点を求める。 $x^2-2x=x$ より $x^2-3x=0$、$x(x-3)=0$、$x=0,3$。区間 $[0,3]$ で直線 $y=x$ が放物線より上(例:$x=1$ で直線 $1$、放物線 $-1$)。

② 面積を $1/6$ 公式で。 上 $-$ 下 $=x-(x^2-2x)=-x^2+3x=-(x-0)(x-3)$。よって

$$S={\int }_0^3\{x-(x^2-2x)\}dx=\frac{|-1|}{6}(3-0{)}^3=\frac{27}{6}=\frac{9}{2}$$

まとめ:放物線と直線で囲む面積は「交点を出して $1/6$ 公式」。被積分関数が $-(x-\alpha )(x-\beta )$ になり、$\frac{|a|}{6}(\beta -\alpha {)}^3$ で計算不要。$x^2$ の係数の絶対値 $|a|=1$、区間幅 $\beta -\alpha =3$ で $\frac{27}{6}=\frac{9}{2}$。

発展。 $\frac{1}{6}$ 公式 ${\int }_{\alpha }^{\beta }(x-\alpha )(\beta -x)dx=\frac{(\beta -\alpha {)}^3}{6}$ は、放物線と直線で囲む面積が「交点の間隔の $3$ 乗」だけで決まることを表す。$2$ 次係数が $a$ なら $\frac{|a|}{6}(\beta -\alpha {)}^3$。同じ精神で $3$ 次と接線は $4$ 乗$÷12$、と次数が上がるほど指数も上がる面積公式の系列がある。

別解

別解:$\frac{1}{6}$ 公式を使わずに、そのまま積分する(苦手な人向けの基本ルート)。 $\frac{1}{6}$ 公式を覚えていなくても、面積の定義どおり(上)$-$(下)を積分すれば出る。

区間 $0\le x\le 3$ で上は直線 $y=x$、下は放物線 $y=x^2-2x$。差は

$$x-(x^2-2x)=3x-x^2.$$

これを $0$ から $3$ まで積分する。

$${\int }_0^3(3x-x^2)dx={\left[\frac{3}{2}{x}^2-\frac{1}{3}{x}^3\right]}_0^3=\frac{27}{2}-9=\frac{9}{2}.$$

$\frac{1}{6}$ 公式で出す本解と同じ $\frac{9}{2}$ になる。じつは $\frac{1}{6}$ 公式は、この ${\int }_{\alpha }^{\beta }(3x-x^2)dx={\int }_{\alpha }^{\beta }\{-(x-\alpha )(x-\beta )\}dx$ を一般に計算した結果。公式が不安なら、素直な積分に戻れば必ず確かめられる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 積分の中に未知関数 $f$ がある等式。$f$ を取り出す手は「両辺を $x$ で微分」。

積分と微分は逆の操作。$\frac{d}{dx}{\int }_a^{x}f(t)dt=f(x)$ となる。右辺 $x^2-3x+2$ を微分すれば $f(x)$ が決まる。

$a$ はまだ残る。そこで $x=a$ を代入する。左辺は ${\int }_a^{a}fdt=0$。右辺も $0$ になる条件から $a$ が求まる。

① $f(x)$ を求める。 両辺を $x$ で微分する。左辺は $f(x)$、右辺は $(x^2-3x+2{)}^{\prime }=2x-3$。よって

$$f(x)=2x-3$$

② $a$ を求める。 $x=a$ を代入すると左辺は ${\int }_a^{a}f(t)dt=0$。右辺は $a^2-3a+2$。よって

$$a^2-3a+2=0⟹(a-1)(a-2)=0⟹a=1,2$$

よって $f(x)=2x-3$、$a=1$ または $a=2$。

まとめ:定積分で表された関数は「微分して $f$、下端代入で定数」。$\frac{d}{dx}{\int }_a^{x}f=f(x)$ と ${\int }_a^{a}f=0$ の $2$ つを使い分ける。$a$ が $2$ つ出るのは、右辺 $=0$ の解が $2$ つあるから。

発展。 $\frac{d}{dx}{\int }_a^{x}f(t)dt=f(x)$ は微分積分学の基本定理。「積分してから微分すると元に戻る」。定積分で表された関数の問題は、この定理で微分して $f$ を、端点代入で定数を決めるのが基本だ。上端が $x$ の関数(例 $x^2$)なら合成関数の微分も要る。

別解

別解:$f$ を代入して積分し、定数項から $a$ を出す(組み立てるルート)。 右辺が $2$ 次式だから $f$ は $1$ 次と見当がつく。$f(x)=2x-3$ を代入して、左辺の積分を実際に計算する。

$${\int }_a^x(2t-3)dt={\left[t^2-3t\right]}_a^x=(x^2-3x)-(a^2-3a).$$

これが $x^2-3x+2$ に等しい。$x$ の項は自動で一致し、残る定数部分を比べると

$$-(a^2-3a)=2⟹a^2-3a+2=0⟹a=1,2.$$

微分して $f$ を出し、$x=a$ を代入する本解と同じ結果。微分を使わずに「積分してから係数比較」でも、$f$ と $a$ の両方が同時に決まる。定数項が $a$ を握っているのが見える。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 絶対値つきの定積分。絶対値は「中身の符号で $2$ 通り」なので、まず符号を調べる。

$x^2-2x=x(x-2)$。$0\le x\le 2$ では $x(x-2)\le 0$(負)、$2\le x\le 3$ では正。だから区間を $x=2$ で分ける。$[0,2]$ では $|x^2-2x|=-(x^2-2x)=2x-x^2$、$[2,3]$ ではそのまま。

$2$ つの積分を別々に計算して足す。符号を無視してまとめて積分すると間違える。

① 符号を調べる。 $x^2-2x=x(x-2)$。$0\le x\le 2$ で $\le 0$、$2\le x\le 3$ で $\ge 0$。

$$|x^2-2x|=\{\begin{array}{ll}-(x^2-2x)=2x-x^2& (0\le x\le 2)\\ x^2-2x& (2\le x\le 3)\end{array}$$

② 区間ごとに積分する。

$${\int }_0^2(2x-x^2)dx={\left[x^2-\frac{x^3}{3}\right]}_0^2=4-\frac{8}{3}=\frac{4}{3}$$ $${\int }_2^3(x^2-2x)dx={\left[\frac{x^3}{3}-x^2\right]}_2^3=(9-9)-\left(\frac{8}{3}-4\right)=\frac{4}{3}$$

③ 足す。

$${\int }_0^3|x^2-2x|dx=\frac{4}{3}+\frac{4}{3}=\frac{8}{3}$$

まとめ:絶対値の定積分は「符号で区間分け → 各区間で外して積分 → 足す」。負の区間 $[0,2]$ では $-(x^2-2x)=2x-x^2$ と反転するのがポイント。区間の境目 $x=2$ で漏れなく分ける。

発展。 絶対値つき積分は「符号の変わる点で区間を割る」が原則だ。被積分関数のグラフを描き、$x$ 軸の下の面積を正に読み替える。$\int |f|$ は $f$ のグラフと $x$ 軸で囲む総面積で、$\int f$(符号つき)とは別物。物理では「移動距離」と「変位」の違いに対応する。

別解

別解:$[0,2]$ の部分は $\frac{1}{6}$ 公式で計算する(得意な人向けの視点)。 $[0,2]$ の部分は、放物線 $y=x^2-2x$ が根 $0$ と $2$ の間で $x$ 軸の下に作る面積そのもの。これは $\frac{1}{6}$ 公式が使える形だ。

$${\int }_0^2\{-(x^2-2x)\}dx=\frac{1}{6}|1|(2-0{)}^3=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}.$$

$[2,3]$ の部分は根の間ではないので、素直に積分する。

$${\int }_2^3(x^2-2x)dx={\left[\frac{x^3}{3}-x^2\right]}_2^3=(9-9)-\left(\frac{8}{3}-4\right)=\frac{4}{3}.$$

合わせて $\frac{4}{3}+\frac{4}{3}=\frac{8}{3}$。区間を分けて両方を素直に積分する本解と同じ。「根から根まで」の片は $\frac{1}{6}$ 公式が使える、と見分けられると計算が軽くなる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 曲線と接線で囲む面積。まず接線を作り、曲線との交点を求める。

点 $(1,1)$ での接線は $y=3x-2$。曲線との交点は $x^3=3x-2$、すなわち $x^3-3x+2=0$ の解。接点では曲線と接線が接する。だから $x=1$ は重解。$x^3-3x+2$ は $(x-1{)}^2$ を因数にもつ。

割ると $(x-1{)}^2(x+2)$。もう $1$ つの交点は $x=-2$。この区間で(曲線)$-$(接線)を積分する。

① 接線を求める。 $y^{\prime }=3x^2$ より $(1,1)$ での傾きは $3$。接線は $y=3(x-1)+1=3x-2$。

② 交点を求める。 $x^3=3x-2$、すなわち $x^3-3x+2=0$。接点 $x=1$ は重解だから $(x-1{)}^2$ でくくれ

$$x^3-3x+2=(x-1{)}^2(x+2)=0⟹x=1(\text{重解}),-2$$

もう $1$ つの交点は $x=-2$。

③ 面積を積分する。 $-2\le x\le 1$ で、曲線 $x^3$ と接線 $3x-2$ の上下を確認する($x=0$ で曲線 $0$、接線 $-2$ → 曲線が上)。

$$S={\int }_{-2}^1\{x^3-(3x-2)\}dx={\int }_{-2}^1(x^3-3x+2)dx={\left[\frac{x^4}{4}-\frac{3x^2}{2}+2x\right]}_{-2}^1$$

$x=1$ で $\frac{1}{4}-\frac{3}{2}+2=\frac{3}{4}$、$x=-2$ で $4-6-4=-6$。よって

$$S=\frac{3}{4}-(-6)=\frac{27}{4}$$

まとめ:$3$ 次曲線と接線の面積は「接点は重解 → $(x-\text{接点}{)}^2$ で因数分解 → もう $1$ 交点まで積分」。差 $x^3-3x+2=(x-1{)}^2(x+2)$ から交点 $x=-2$ が出る。上下の確認を忘れずに。

発展。 $3$ 次曲線とその接線が囲む面積は $\frac{|a|}{12}(p-q{)}^4$($a$ は $3$ 次係数、$p$ は接点、$q$ はもう $1$ つの交点)。放物線の $\frac{1}{6}(\beta -\alpha {)}^3$ の次数を $1$ つ上げた形だ。これらは $\int (x-\alpha {)}^m(x-\beta {)}^{n}dx$ がベータ関数で閉じた形になる、という一般論の特別な場合。

別解

別解:「接線と曲線の面積」の公式を使う(得意な人向けの視点)。 曲線と接線の差は $(x-1{)}^2(x+2)$。接点 $x=1$(重解)ともう $1$ つの交点 $x=-2$ ではさまれる。

この形の積分には一般公式がある。接点を $p$、もう $1$ つの交点を $q$ とすると

$${\int }_q^p(x-p{)}^2(x-q)dx=\frac{(p-q{)}^4}{12}.$$

本問は $p=1$、$q=-2$ だから $p-q=3$。

$$\text{面積}=\frac{3^4}{12}=\frac{81}{12}=\frac{27}{4}.$$

$(x-1{)}^2(x+2)$ を展開して積分する本解と同じ。$3$ 次曲線と接線が囲む面積は「接点ともう $1$ つの交点の距離の $4$ 乗 $÷12$」。$\frac{1}{6}$ 公式(放物線)の $3$ 次版と思えばよい。置換 $u=x-1$ で重解を原点に運んで ${\int }_{-3}^0{u}^2(u+3)du$ としても同じ $\frac{27}{4}$ が出る。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 「面積を $2$ 等分する水平線 $y=k$」。まず全体の面積を出し、その半分を作る $k$ を探す。

全体は放物線 $y=x^2$ と直線 $y=4$ で囲む部分。上下に分ける水平線が入るので、$y$ 方向に積分すると見通しがよい。高さ $y$ での横幅は $x^2=y$ から $x=\pm \sqrt{y}$、幅 $2\sqrt{y}$。

上側(直線 $y=k$ と $y=4$ の間)の面積を $y$ で積分し、それが全体の半分になる条件から $k$ を求める。

① 全体の面積。 $y=x^2$ と $y=4$ の交点は $x=\pm 2$。

$$S={\int }_{-2}^2(4-x^2)dx={\left[4x-\frac{x^3}{3}\right]}_{-2}^2=\left(8-\frac{8}{3}\right)-\left(-8+\frac{8}{3}\right)=16-\frac{16}{3}=\frac{32}{3}$$

② 上側の帯の面積($y$ 積分)。 $k\le y\le 4$ で、幅は $2\sqrt{y}$ だから

$$S_{\text{上}}={\int }_k^{4}2\sqrt{y}dy={\left[\frac{4}{3}{y}^{3/2}\right]}_k^4=\frac{4}{3}\left(8-k^{3/2}\right)$$

③ 半分になる条件。 $S_{\text{上}}=\frac{1}{2}S=\frac{16}{3}$:

$$\frac{4}{3}(8-k^{3/2})=\frac{16}{3}⟹8-k^{3/2}=4⟹k^{3/2}=4$$

$k^{3/2}=4$ の両辺を $\frac{2}{3}$ 乗して $k=4^{2/3}=(2^2{)}^{2/3}=2^{4/3}=\sqrt[3]{16}$。

まとめ:水平線での $2$ 等分は「$y$ 方向に積分」。放物線の幅 $2\sqrt{y}$ を $y$ で積分し、上側が全体の半分になる $k$ を求める。$k^{3/2}=4$ から $k=\sqrt[3]{16}$。縦($x$)でなく横($y$)に切るのが発想の転換。

発展。 面積を $y$ で切るか $x$ で切るかは自由。水平線で $2$ 等分するなら $y$ 積分、鉛直線なら $x$ 積分が素直。同じ図形でも「どの向きに薄切りにするか」で計算量が変わる。回転体の体積(バウムクーヘン分割 vs 円盤分割)でも同じ選択が現れる。切る向きを選ぶ目を養うと積分が軽くなる。

別解

別解:下側を $x$ 方向に積分し、$\frac{1}{6}$ 公式を使う(別ルート)。 $2$ 等分は「下側 $=$ 全体の半分」でも「上側 $=$ 半分」でも同じこと。ここでは下側(放物線 $y=x^2$ と直線 $y=k$ の間)を $x$ で積分する。

下側は放物線と水平線 $y=k$ で囲む部分。交点は $x^2=k$ から $x=\pm \sqrt{k}$。放物線と直線で囲む面積だから $\frac{1}{6}$ 公式が使える。

$$\text{下側}={\int }_{-\sqrt{k}}^{\sqrt{k}}(k-x^2)dx=\frac{1}{6}(\sqrt{k}-(-\sqrt{k}){)}^3=\frac{1}{6}(2\sqrt{k}{)}^3=\frac{4}{3}{k}^{3/2}.$$

全体は $\frac{32}{3}$ なので、下側 $=$ 半分 $=\frac{16}{3}$。

$$\frac{4}{3}{k}^{3/2}=\frac{16}{3}⟹k^{3/2}=4⟹k=4^{2/3}=\sqrt[3]{16}.$$

上側を $y$ で積分する本解と同じ $k=\sqrt[3]{16}=2\sqrt[3]{2}$。下側なら $x$ 方向で $\frac{1}{6}$ 公式がそのまま使えるので、$y$ 積分の $\sqrt{y}$ を避けられる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) ${\int }_0^1(x-a{)}^{2}dx$ を最小にする $a$。積分の中に $a$ がいるが、$a$ は定数。

だから先に $x$ で積分してしまえば、結果は $a$ の式になる。$(x-a{)}^2=x^2-2ax+a^2$ を項ごとに積分すると、$a$ の $2$ 次関数が出る。$2$ 次関数の最小は平方完成。$a$ について平方完成して、最小を与える $a$ と最小値を読む。

① 展開して積分する。

$${\int }_0^1(x-a{)}^{2}dx={\int }_0^1(x^2-2ax+a^2)dx={\left[\frac{x^3}{3}-a{x}^2+a^{2}x\right]}_0^1=\frac{1}{3}-a+a^2$$

② $a$ の $2$ 次関数を最小化する。 $F(a)=a^2-a+\frac{1}{3}$ を平方完成する。

$$F(a)={\left(a-\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}={\left(a-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{1}{12}$$

③ 最小。 $a=\frac{1}{2}$ のとき最小値 $\frac{1}{12}$。

まとめ:定積分の最小は「先に積分して $a$ の関数 → 平方完成」。$a$ は $x$ とは別の定数として積分の外に出す。$F(a)=a^2-a+\frac{1}{3}$ の頂点 $a=\frac{1}{2}$ で最小 $\frac{1}{12}$。$a=\frac{1}{2}$ は区間 $[0,1]$ の中点で、最小二乗の意味では平均にあたる。

発展。 「$(x-a{)}^2$ の積分(あるいは総和)を最小にする $a$ は平均、最小値は分散」は最小二乗法の基本だ。データに直線や曲線を当てはめる回帰分析、測定値の最適推定、機械学習の損失関数まで、この一言が基礎になっている。積分を確率(一様分布の期待値)と読み替えると、統計とつながる。

別解

別解:「最小二乗 $=$ 平均・最小値 $=$ 分散」と読みかえる(得意な人向けの高い視点)。 ${\int }_0^1(x-a{)}^{2}dx$ は、区間 $[0,1]$ 上で「$x$ と定数 $a$ のズレの $2$ 乗の平均」(いわゆる最小二乗)。統計の言葉で言い換えられる。

「ズレの $2$ 乗の平均」を最小にする $a$ は、$x$ の平均。$[0,1]$ 上の $x$ の平均は

$$a={\int }_0^{1}xdx=\frac{1}{2}.$$

そのときの最小値は $x$ の分散(平均まわりのばらつき)。

$$\text{最小値}={\int }_0^1{x}^{2}dx-{\left({\int }_0^{1}xdx\right)}^2=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}.$$

展開して平方完成する本解と同じ $a=\frac{1}{2}$、最小 $\frac{1}{12}$。「$(x-a{)}^2$ の積分を最小にする $a$ は平均、最小値は分散」は、データ解析・回帰分析の出発点そのものだ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 積分区間が $-2$ から $2$。原点対称の区間だ。ここに気づけば解ける。

奇関数(原点対称、$f(-x)=-f(x)$)を対称区間で積分すると $0$。左右で打ち消し合うからだ。$3x^3$ と $-5x$ は奇関数。この $2$ 項の積分は $0$。計算する必要すらない。

残る偶関数 $2x^2+1$ は $0$ から $2$ の積分の $2$ 倍で済む。区間の対称性を使うと計算が半分以下になる。

① 奇関数の項を落とす。 $3x^3$ と $-5x$ は奇関数だから ${\int }_{-2}^2$ で $0$。残るのは偶関数の $2x^2+1$。

$${\int }_{-2}^2(3x^3+2x^2-5x+1)dx={\int }_{-2}^2(2x^2+1)dx$$

② 偶関数は $2$ 倍で。

$$=2{\int }_0^2(2x^2+1)dx=2{\left[\frac{2x^3}{3}+x\right]}_0^2=2\left(\frac{16}{3}+2\right)=2\cdot \frac{22}{3}=\frac{44}{3}$$

まとめ:原点対称区間の定積分は「奇関数は $0$、偶関数は $2$ 倍」。奇数次の項を消してから偶数次だけ計算するので、手間が大幅に減る。$3x^3,-5x$ を消し、$2x^2+1$ を $0$〜$2$ で積分して $2$ 倍。

発展。 対称区間 $[-c,c]$ では、奇関数の積分は $0$、偶関数は $2{\int }_0^c$。関数を偶部分 $\frac{f(x)+f(-x)}{2}$ と奇部分 $\frac{f(x)-f(-x)}{2}$ に分けると、積分に残るのは偶部分だけ。この「偶奇分解」はフーリエ級数(cos は偶・sin は奇)の考え方に直結する。

別解

別解:原始関数を使って正面から計算し、確かめる(苦手な人向けの確認ルート)。 奇関数が消える性質を信じきれないときは、全部の原始関数を作って端点を入れれば必ず答え合わせができる。

$$F(x)=\frac{3}{4}{x}^4+\frac{2}{3}{x}^3-\frac{5}{2}{x}^2+x.$$

$x=2$:$F(2)=12+\frac{16}{3}-10+2=4+\frac{16}{3}=\frac{28}{3}$。$x=-2$:$F(-2)=12-\frac{16}{3}-10-2=-\frac{16}{3}$。差をとると

$$F(2)-F(-2)=\frac{28}{3}-\left(-\frac{16}{3}\right)=\frac{44}{3}.$$

奇関数の項を落とす本解と同じ $\frac{44}{3}$。ここで偶数乗の項 $x^4,x^2$ は $F(2),F(-2)$ で同じ値になり、差で消える。$x^3,x$ の奇数乗の項だけが $2$ 倍で残る。「奇関数だけ残る」の仕組みが原始関数の計算からも見て取れる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 面積が与えられて、係数 $a$ を逆算する問題。面積を $a$ の式で表すのが先。

放物線 $y=x^2+ax$ と $x$ 軸の交点は、$y=0$ すなわち $x(x+a)=0$ から $x=0,-a$。$a>0$ なので、$-a<x<0$ で放物線は $x$ 軸の下(負)。囲む面積はこの区間の $|y|$ の積分。放物線と $x$ 軸で囲む面積は $\frac{1}{6}$ 公式で $\frac{1}{6}{a}^3$。これが $\frac{9}{2}$ になる $a$ を解く。

① 交点を求める。 $x^2+ax=x(x+a)=0$ より $x=0,-a$。$a>0$ だから交点は $-a<0$ と $0$。

② 面積を $1/6$ 公式で。 $x^2$ の係数は $1$、交点の間隔は $0-(-a)=a$。よって面積は

$$S=\frac{1}{6}\cdot 1\cdot a^3=\frac{a^3}{6}$$

③ $a$ を求める。 $\frac{a^3}{6}=\frac{9}{2}$ より

$$a^3=27⟹a=3$$

($a>0$ より $a=3$。)

まとめ:面積からの逆算は「面積を $a$ の式($1/6$ 公式で $\frac{a^3}{6}$)にして方程式」。交点間隔 $a$ の $3$ 乗に比例するので、$\frac{a^3}{6}=\frac{9}{2}$ から $a^3=27$、$a=3$。$1/6$ 公式を使えば積分せずに面積が $a$ で書ける。

発展。 面積という積分の値から係数を逆算するのは、条件から関数を復元する「逆問題」の一種。$\frac{1}{6}$ 公式のように面積が係数の簡単な式($\frac{a^3}{6}$)で書けると、逆算が方程式を解くだけになる。面積・体積・重心などの積分量から形を決める発想は、設計や最適化で広く使われる。

別解

別解:$\frac{1}{6}$ 公式を使わずに、そのまま積分する(苦手な人向けの基本ルート)。 $\frac{1}{6}$ 公式を使わなくても、面積の定義に戻れば出る。$a>0$ のとき $-a<x<0$ で放物線は $x$ 軸の下(負)だから、面積は $-y$ の積分。

$$\text{面積}={\int }_{-a}^0\{-(x^2+ax)\}dx=-{\left[\frac{x^3}{3}+\frac{a}{2}{x}^2\right]}_{-a}^0.$$

下端 $x=-a$ を入れると $\frac{(-a{)}^3}{3}+\frac{a}{2}{a}^2=-\frac{a^3}{3}+\frac{a^3}{2}=\frac{a^3}{6}$。よって面積 $=\frac{a^3}{6}$。これが $\frac{9}{2}$ だから

$$\frac{a^3}{6}=\frac{9}{2}⟹a^3=27⟹a=3.$$

$\frac{1}{6}$ 公式で $\frac{1}{6}{a}^3$ とする本解と同じ $a=3$。素直に積分しても $\frac{a^3}{6}$ が出るので、$\frac{1}{6}$ 公式はこの計算の結果を覚えているだけだと分かる。