積分の考え 実戦編の問題 全8問

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 積分区間が $\alpha$ から $\beta$ とバラバラで扱いにくい。まず区間を $0$ から始まる形にそろえるのが基本だ。

$t=x-\alpha$ と置換すると、区間は $[0,\beta -\alpha ]$ に移る。長さを $L=\beta -\alpha$ と名づけておく。被積分関数は $t(t-L)=t^2-Lt$ という素直な多項式。あとは積分して整理するだけで、$-\frac{L^3}{6}$ が出る。

① 置換。 $t=x-\alpha$($dx=dt$)、$x=\alpha \to t=0$、$x=\beta \to t=L(L=\beta -\alpha )$。また $x-\beta =t-L$。 $${\int }_{\alpha }^{\beta }(x-\alpha )(x-\beta )dx={\int }_0^{L}t(t-L)dt.$$ ② 積分。 $${\int }_0^L(t^2-Lt)dt={\left[\frac{t^3}{3}-\frac{L{t}^2}{2}\right]}_0^L=\frac{L^3}{3}-\frac{L^3}{2}=\frac{2L^3-3L^3}{6}=-\frac{L^3}{6}.$$ $L=\beta -\alpha$ を戻して $${\int }_{\alpha }^{\beta }(x-\alpha )(x-\beta )dx=-\frac{(\beta -\alpha {)}^3}{6}.$$

まとめ $t=x-\alpha$ で ${\int }_0^L(t^2-Lt)dt=-\frac{L^3}{6}$。積分(定積分)と式変形(置換)の融合。区間を $[0,L]$ にそろえるのが要。

発展。 同じ置換で「べきを上げた」公式が芋づる式に出る。${\int }_{\alpha }^{\beta }(x-\alpha {)}^2(x-\beta )dx=-\frac{(\beta -\alpha {)}^4}{12}$(3次と接線の面積)、${\int }_{\alpha }^{\beta }(x-\alpha {)}^2(x-\beta {)}^{2}dx=\frac{(\beta -\alpha {)}^5}{30}$。分母 $6,12,30$ はベータ関数 $B(m+1,n+1)$ の値で、面積公式の一族はこの関数でまとめて表せる。

別解

別解:中点を原点に移し、対称性を使う(苦手な人向け)。 区間の真ん中 $c=\frac{\alpha +\beta }{2}$ を原点に移す。$L=\beta -\alpha$ として $x=c+s$ とおくと、$x-\alpha =s+\frac{L}{2}$、$x-\beta =s-\frac{L}{2}$ だから

$$(x-\alpha )(x-\beta )=\left(s+\frac{L}{2}\right)\left(s-\frac{L}{2}\right)=s^2-\frac{L^2}{4}.$$

積分区間は $s\in \left[-\frac{L}{2},\frac{L}{2}\right]$ と原点対称。偶関数なので

$${\int }_{-L/2}^{L/2}\left(s^2-\frac{L^2}{4}\right)ds=2{\int }_0^{L/2}\left(s^2-\frac{L^2}{4}\right)ds=2\left(\frac{L^3}{24}-\frac{L^3}{8}\right)=-\frac{L^3}{6}.$$

放物線 $(x-\alpha )(x-\beta )$ が2解の中点について左右対称、という図形的事実を計算に持ち込むと、被積分関数が偶関数になって半分で済む。1/6公式の「なぜ $(\beta -\alpha {)}^3$ だけで決まるか」も、この対称化で腑に落ちる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 面積を求める前に、2本の接線と放物線の位置関係を式にする。接線 $y=2ax-a^2$ と放物線の差を作ると $x^2-2ax+a^2=(x-a{)}^2$ となり、完全平方になる。

これは接線が接点 $x=a$ で放物線に接する(重解)ことの現れだ。もう1本も $(x-b{)}^2$。2接線の交点は $x=\frac{a+b}{2}$。ここで区間を2つに割り、それぞれで「放物線 $-$ 接線 $=$ 完全平方」を積分すればよい。平方の積分だから計算はやさしい。

① 接線と交点。 接線は $y=2ax-a^2,y=2bx-b^2$。$2ax-a^2=2bx-b^2\Rightarrow 2x(a-b)=a^2-b^2\Rightarrow x=\frac{a+b}{2}=:c$。

② 面積。 $[a,c]$ では放物線と第 $1$ 接線の差 $(x-a{)}^2$、$[c,b]$ では $(x-b{)}^2$。 $$S={\int }_a^c(x-a{)}^{2}dx+{\int }_c^b(x-b{)}^{2}dx={\left[\frac{(x-a{)}^3}{3}\right]}_a^c+{\left[\frac{(x-b{)}^3}{3}\right]}_c^b.$$ $c-a=\frac{b-a}{2}$、$c-b=-\frac{b-a}{2}$ より $$S=\frac{1}{3}{\left(\frac{b-a}{2}\right)}^3+\frac{1}{3}\left\{0-{\left(-\frac{b-a}{2}\right)}^3\right\}=\frac{2}{3}\cdot \frac{(b-a{)}^3}{8}=\frac{(b-a{)}^3}{12}.$$

まとめ放物線と接線の差 $(x-a{)}^2,(x-b{)}^2$ を交点 $\frac{a+b}{2}$ で分けて積分し、面積 $\frac{(b-a{)}^3}{12}$。面積(積分)と接線(微分)の融合。

発展。 放物線がらみの面積は、みな「三角形の $\frac{4}{3}$ 倍」というアルキメデスの定理に還元できる。弦で囲む弓形は内接三角形の $\frac{4}{3}$ 倍、2接線で囲む部分はその半分。積分が生まれる約2000年前に、アルキメデスは取り尽くし法でこれらを求めていた。

別解

別解:アルキメデスの「放物線と弦」の結果を使って読む(得意な人向けの高い視点)。 2つの接点を結ぶ弦を引くと、大きな三角形ができる。頂点は $(a,a^2)$、$(b,b^2)$、そして2接線の交点 $\left(\frac{a+b}{2},ab\right)$。この三角形の面積は $T=\frac{(b-a{)}^3}{4}$。

放物線の弧はこの三角形を2つに割る。弦と放物線で囲む部分(アルキメデスの定理で $\frac{(b-a{)}^3}{6}$)と、求める「2接線と放物線」の部分だ。

$$(\text{求める面積})=T-(\text{弦と放物線})=\frac{(b-a{)}^3}{4}-\frac{(b-a{)}^3}{6}=\frac{(b-a{)}^3}{12}.$$

比で言えば、放物線は三角形 $T$ を弦側 $2$:接線側 $1$ に分ける。積分を1本も計算せず、面積の引き算だけで $\frac{(b-a{)}^3}{12}$ に着いた。放物線の面積公式たち($\frac{1}{6},\frac{1}{12}$)が、1つの三角形の $2:1$ 分割で結ばれている。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 積分の中に $x$ がいるが、これは積分変数 $t$ とは無関係の定数だ。だから $x$ は積分の外に出せる。

すると ${\int }_0^{1}f(t)dt$ は $x$ を含まない、ただの定数。これを $a$ とおくと $f(x)=x^2+ax$ という具体形が見える。あとは自己整合だ。この $f$ を $a={\int }_0^{1}f(t)dt$ に代入すれば、$a$ の1次方程式になる。「$a$ とおいて、$a$ の式を作って解く」のが、定積分で表された関数の基本の解き方である。

① 定数とおく。 $a={\int }_0^{1}f(t)dt$ とおくと $$f(x)=x^2+x{\int }_0^{1}f(t)dt=x^2+ax.$$ ② $a$ の方程式。 $f(t)=t^2+at$ を $a$ の定義に代入して $$a={\int }_0^1(t^2+at)dt={\left[\frac{t^3}{3}+\frac{a{t}^2}{2}\right]}_0^1=\frac{1}{3}+\frac{a}{2}.$$ ③ 解く。 $a-\frac{a}{2}=\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{a}{2}=\frac{1}{3}\Rightarrow a=\frac{2}{3}$。よって $$f(x)=x^2+\frac{2}{3}x.$$

まとめ $a={\int }_0^{1}f(t)dt$ とおくと $f(x)=x^2+ax$、代入して $a=\frac{2}{3}$、$f(x)=x^2+\frac{2}{3}x$。積分(定積分で表された関数)と方程式の融合。

発展。 もし式が $f(x)=x^2+2x{\int }_0^{1}f(t)dt$(係数 $2$)なら、$a=\frac{1}{3}+a$ となり解が存在しない。更新式の比が $1$ で不動点をもたないからだ。「定積分で表された関数」に解があるかどうかは、この「比」が $1$ かどうかで決まる。判定には縮小写像の考え方が使える。

別解

別解:「未知の定数を推測して直す」反復で求める(得意な人向けの直感ルート)。 $a={\int }_0^{1}f(t)dt$ を、いきなり方程式にせず「更新式」として見る。$f(x)=x^2+ax$ を代入すると

$$a={\int }_0^1(t^2+at)dt=\frac{1}{3}+\frac{a}{2}.$$

これを「今の $a$ から次の $a$ を作る」漸化式 $a_{\text{new}}=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}{a}_{\text{old}}$ と読む。適当に $a_0=0$ から始めると $\frac{1}{3},\frac{1}{2},\frac{7}{12},\dots$ と、掛かる比 $\frac{1}{2}$ で $\frac{2}{3}$ に吸い寄せられていく。不動点(動かなくなる値)が $a=\frac{1}{3}+\frac{a}{2}$ の解 $a=\frac{2}{3}$、すなわち答え。$f(x)=x^2+\frac{2}{3}x$。

もちろん試験では方程式を直接解けばよい。だが「代入して自分自身に戻る」構造が縮小写像になっているので、必ず1つの答えに収束する。この見方は、係数が変わったときに解が存在するかどうかの判断にも使える。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 上端に $x$ がいる積分は、微分積分学の基本定理を使う。両辺を $x$ で微分すると、左辺は被積分関数そのもの $f(x)$ に戻る。

右辺の微分は $2x-1$。これで $f(x)=2x-1$ が即座に決まる。$a$ はまだ残っている。ここで「積分区間の幅が $0$ なら積分は $0$」を使う。$x=a$ を代入すると左辺は ${\int }_a^a=0$、右辺は $a^2-a$。この方程式から $a$ が出る。

① $f$ を求める。 両辺を $x$ で微分すると $$f(x)=\frac{d}{dx}(x^2-x)=2x-1.$$ ② $a$ を求める。 元の式で $x=a$ とすると左辺は ${\int }_a^{a}f(t)dt=0$。よって $$0=a^2-a=a(a-1)⟹a=0\text{または}a=1.$$

よって $f(x)=2x-1$、$a=0$ または $a=1$。

まとめ上端 $x$ で微分して $f(x)=2x-1$、$x=a$ の代入で $a^2-a=0$ から $a=0,1$。積分(基本定理)と微分の融合。

発展。 $a$ が2つ出るのは、原始関数 $t^2-t$ が $t=0$ と $t=1$ で同じ値 $0$ をとるからだ。一般に ${\int }_a^{x}f=g(x)$ の下端 $a$ は「$g$ と同じ値を原始関数がとる点」で、$f$ の原始関数のグラフが水平線と何回交わるかだけ存在する。基本定理は積分の下端の自由度を原始関数の言葉で説明している。

別解

別解:右辺を積分で書き直して、被積分関数を読みとる(苦手な人向け)。 微分を使わず、右辺 $x^2-x$ を「$a$ からの積分」の形に無理やり書いてみる。

$$x^2-x=[t^2-t{]}_a^x={\int }_a^x(2t-1)dt.$$

($t^2-t$ の微分が $2t-1$ だから、原始関数として使えた。)与式 ${\int }_a^{x}f(t)dt={\int }_a^x(2t-1)dt$ が任意の $x$ で成り立つには、被積分関数が一致して $f(t)=2t-1$。

さらに左端が合う条件 $[t^2-t]$ の下端で $a^2-a=0$、すなわち $a=0,1$。実際 $a=0$ でも $a=1$ でも、$t^2-t$ は同じ値 $0$ をとる(放物線 $t^2-t$ が $0,1$ で $x$ 軸を切る)から、どちらでも成立する。

基本定理(本解)を「微分の逆」として使うこのルートは、なぜ $a$ が2つ出るのかを原始関数のグラフで見せてくれる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 面積 $S(m)$ をまともに積分してから $m$ で微分するのは重い。1/6公式を使えば、面積は交点の $x$ 座標の差だけで書ける。

交点は $x^2-mx-1=0$ の2解。差 $\beta -\alpha$ は判別式から $\sqrt{m^2+4}$。すると $S=\frac{(\beta -\alpha {)}^3}{6}=\frac{(m^2+4{)}^{3/2}}{6}$。あとは中身 $m^2+4$ が最小になる $m=0$ を選ぶだけ。積分計算はほぼ消える。

① 交点の差。 交点は $x^2=mx+1\Rightarrow x^2-mx-1=0$。解と係数より $\alpha +\beta =m,\alpha \beta =-1$。 $$\beta -\alpha =\sqrt{(\alpha +\beta {)}^2-4\alpha \beta }=\sqrt{m^2+4}.$$ ② 面積。 $1/6$ 公式で $$S(m)=\frac{(\beta -\alpha {)}^3}{6}=\frac{(m^2+4{)}^{3/2}}{6}.$$ ③ 最小。 $m^2+4$ は $m=0$ で最小値 $4$。$S$ は増加関数を通すので $m=0$ で最小 $$S(0)=\frac{4^{3/2}}{6}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}.$$

まとめ $\beta -\alpha =\sqrt{m^2+4}$、$S=\frac{(m^2+4{)}^{3/2}}{6}$、$m=0$ で最小 $\frac{4}{3}$。面積($1/6$ 公式)と最大最小の融合。

発展。 定点 $(0,1)$ を通る直線の族で面積最小が「水平」なのは、放物線の軸に垂直な弦が最短になるからだ。もし定点を放物線の内側の別の点に変えても、最小を与えるのはやはり軸に垂直な弦。せん断で面積が不変(判別式が不変)という見方が、この一般化を一言で片づける。

別解

別解:平行四辺形のせん断を使うと「面積は放物線と弦の距離だけで決まる」と分かる(得意な人向けの高い視点)。 座標を $y\to y-mx$ とずらす(水平方向のせん断)。図形を横に滑らせる変換で、面積は変わらない。

このずらしで、放物線 $y=x^2$ は $y=x^2-mx$ に、直線 $y=mx+1$ は $y=1$(水平線)に写る。つまりどんな $m$ でも、囲む面積は「ある放物線と水平線 $y=1$ の間」の面積に等しい。

放物線 $y=x^2-mx$ と $y=1$ の交点差は $\sqrt{m^2+4}$ で、1/6公式から面積は $\frac{(m^2+4{)}^{3/2}}{6}$。せん断しても $m^2+4$(判別式)は変わらないから、これは本解と同じ式だ。

面積が最小なのは、放物線の谷と水平線の「へだたり」が最も小さいとき=直線が放物線の軸に垂直、つまり $m=0$。最小値 $\frac{4^{3/2}}{6}=\frac{4}{3}$。「傾けても面積は同じで、面積を決めるのは判別式」という不変量の見方である。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 絶対値のついた積分は、中身の符号で区間を割るのが原則だ。$x^2-1$ は $x=1$ で符号が変わる。

$0\le x\le 1$ では $x^2-1\le 0$ だから $|x^2-1|=1-x^2$、$1\le x\le 2$ では $|x^2-1|=x^2-1$。2つの区間で符号を正しく直してから積分し、足し合わせる。絶対値は「場合分けして外す」が基本だ。

① 区間を分ける。 $x^2-1\le 0⟺-1\le x\le 1$。区間 $[0,2]$ を $[0,1]$ と $[1,2]$ に分ける。

② それぞれ積分。 $${\int }_0^1(1-x^2)dx={\left[x-\frac{x^3}{3}\right]}_0^1=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3},$$ $${\int }_1^2(x^2-1)dx={\left[\frac{x^3}{3}-x\right]}_1^2=\left(\frac{8}{3}-2\right)-\left(\frac{1}{3}-1\right)=\frac{2}{3}+\frac{2}{3}=\frac{4}{3}.$$ ③ 合計。 $${\int }_0^2|x^2-1|dx=\frac{2}{3}+\frac{4}{3}=2.$$

まとめ $x=1$ で分け、${\int }_0^1(1-x^2)+{\int }_1^2(x^2-1)=\frac{2}{3}+\frac{4}{3}=2$。積分(絶対値)と場合分けの融合。符号の変わり目で区間を割る。

発展。 「全体の積分 $-2\times$(負の部分)」は、$\int |f|=\int f-2{\int }_{f<0}f$ と書ける一般公式。符号の変わる点が複数あっても、負の区間ごとにこの補正を足すだけでよい。絶対値のグラフを $x$ 軸で折り返す操作を、積分の言葉で書いたものである。

別解

別解:「符号なし積分」から負の分を2回引く(得意な人向けの高い視点)。 絶対値なしの積分をまず出す。

$${\int }_0^2(x^2-1)dx={\left[\frac{x^3}{3}-x\right]}_0^2=\frac{8}{3}-2=\frac{2}{3}.$$

このうち、$x^2-1$ が負になる区間 $[0,1]$ の寄与は ${\int }_0^1(x^2-1)dx=\frac{1}{3}-1=-\frac{2}{3}$。絶対値をつけると、この負の分は符号を反転して足し直す=もとの積分から「負の分の $2$ 倍」を引けばよい。

$${\int }_0^2|x^2-1|dx=\frac{2}{3}-2\times \left(-\frac{2}{3}\right)=\frac{2}{3}+\frac{4}{3}=2.$$

「全体の積分 $-2\times$(負の部分)」は、絶対値積分の便利な公式だ。符号が変わる点を1つずつ場合分けする(本解)のと同じ答えに、少ない計算で着ける。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 積分区間が $[-2,2]$ と原点対称。この形を見たら、被積分関数を偶関数と奇関数に仕分ける。

奇関数($x^5,-3x^3,-x$)は、対称区間で積分すると左右が打ち消し合って $0$。計算する前に消せる。残るのは偶関数($2x^2,5$)だけ。偶関数は ${\int }_{-2}^2=2{\int }_0^2$ と半分にできる。計算量が大きく減る。

① 偶奇で分ける。 奇関数の項:$x^5,-3x^3,-x$。偶関数の項:$2x^2,5$(定数は偶関数)。対称区間で奇関数の積分は $0$。

② 偶関数だけ積分。 $${\int }_{-2}^2(2x^2+5)dx=2{\int }_0^2(2x^2+5)dx=2{\left[\frac{2x^3}{3}+5x\right]}_0^2=2\left(\frac{16}{3}+10\right)=2\cdot \frac{46}{3}=\frac{92}{3}.$$

まとめ奇数乗の項は対称区間で $0$、偶数乗と定数だけ残して $2{\int }_0^2(2x^2+5)dx=\frac{92}{3}$。積分(偶奇の対称性)と式の分類の融合。

発展。 原始関数の偶奇は必ず交替する: 偶関数の積分は奇関数、奇関数の積分は偶関数。だから対称区間 $[-c,c]$ の積分は、奇関数なら必ず $0$、偶関数なら $2F(c)$($F$ は奇の原始関数)。この交替則はフーリエ級数で「偶関数は余弦だけ・奇関数は正弦だけ」に展開される事実の基礎でもある。

別解

別解:原始関数の偶奇を使って端点の計算を消す(得意な人向けの高い視点)。 奇関数の項を積分すると、原始関数は偶関数になる($x^5\to \frac{x^6}{6}$、$-3x^3\to -\frac{3}{4}{x}^4$、$-x\to -\frac{x^2}{2}$、すべて偶数次)。

偶関数 $F$ は $F(2)=F(-2)$ だから、$[F{]}_{-2}^2=F(2)-F(-2)=0$。奇関数の項は、原始関数の段階で端点の差が消える。これが「奇関数の対称区間積分は $0$」になる仕組みだ。

残る偶関数の項 $2x^2+5$ は、原始関数 $\frac{2}{3}{x}^3+5x$ が奇関数。$[{]}_{-2}^2=2\times (\text{上端の値})$ で

$$2\left(\frac{2}{3}\cdot 8+5\cdot 2\right)=2\left(\frac{16}{3}+10\right)=\frac{92}{3}.$$

「奇関数は積分すると偶関数、偶関数は積分すると奇関数」という原始関数の偶奇の交替を知っていると、対称区間の積分は端点を1つ計算するだけで済む。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) まず接線を求める。$(1,-2)$ での傾きは $y^{\prime }=3x^2-3$ に $x=1$ を入れて $0$。接線は水平線 $y=-2$ だ。

面積の計算では、曲線と接線の差 $x^3-3x+2$ の因数分解が大事だ。接点では重解になるはずで、実際 $(x-1{)}^2(x+2)$。これで交点が $x=1$(重解)と $x=-2$ と分かる。$-2$ から $1$ まで、差の符号を確かめて積分すればよい。

① 接線。 $y^{\prime }=3x^2-3$、$(1,-2)$ での傾きは $3-3=0$。接線は $\ell :y=-2$。

② 交点と差。 $x^3-3x=-2\Rightarrow x^3-3x+2=0$。$x=1$ が重解で $$x^3-3x+2=(x-1{)}^2(x+2),$$ 交点は $x=1$(接点),$x=-2$。$-2\le x\le 1$ で $(x-1{)}^2(x+2)\ge 0$(曲線が接線の上)。

③ 面積。 $$S={\int }_{-2}^1(x-1{)}^2(x+2)dx.$$ 展開 $(x-1{)}^2(x+2)=x^3-3x+2$ で $$S={\int }_{-2}^1(x^3-3x+2)dx={\left[\frac{x^4}{4}-\frac{3x^2}{2}+2x\right]}_{-2}^1=\left(\frac{1}{4}-\frac{3}{2}+2\right)-\left(4-6-4\right)=\frac{3}{4}-(-6)=\frac{27}{4}.$$

まとめ接線 $y=-2$、差 $(x-1{)}^2(x+2)$ を $[-2,1]$ で積分し面積 $\frac{27}{4}$。面積(積分)と接線・重解(微分)の融合。

発展。 接点を一般の $t$ にすると、$y=x^3-3x$ の接線と曲線は $x=-2t$ で再び交わり、囲む面積は $\frac{(3t{)}^4}{12}=\frac{27t^4}{4}$。接点が原点から離れるほど、面積は4乗で急激に増える。1/12公式の「間隔の4乗」がここで数として現れている。

別解

別解:1/12公式を使ってすぐに出す(得意な人向けの時短ルート)。 曲線と接線の差が $(x-1{)}^2(x+2)$ の形、つまり「(接点での2乗)$\times$(残りの1次)」になっている。この形の積分には専用公式がある。

$${\int }_s^t(x-t{)}^2(x-s)dx=\frac{(t-s{)}^4}{12}.$$

本問は接点 $t=1$、再交点 $s=-2$ で、囲む部分の面積はこの積分の絶対値。

$$S=\frac{(1-(-2){)}^4}{12}=\frac{3^4}{12}=\frac{81}{12}=\frac{27}{4}.$$

「3次曲線と接線で囲む面積 $=\frac{(\text{接点と再交点の間隔}{)}^4}{12}$」。放物線の $\frac{1}{6}$ 公式の3次版で、接線がからむ面積を1行で出せる。もちろん展開して積分しても同じ $\frac{27}{4}$ に着く。