積分の考え 最難関編の問題 全8問

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 放物線と直線が囲む面積には、専用の近道がある。交点の $x$ 座標を $\alpha ,\beta$ とすると、面積は $\frac{1}{6}(\beta -\alpha {)}^3$。図形の情報が交点の幅 $\beta -\alpha$ だけにまとまる。

だから積分を実行する必要はない。$\beta -\alpha$ を $m$ の式で表して、それを最小化すればよい。$\beta -\alpha$ は解と係数の関係から $\sqrt{(\alpha +\beta {)}^2-4\alpha \beta }$ で出せる。

① 交点と面積。 $x^2=mx+1$、すなわち $x^2-mx-1=0$。解 $\alpha ,\beta$ は解と係数の関係で $\alpha +\beta =m,\alpha \beta =-1$。

$$\beta -\alpha =\sqrt{(\alpha +\beta {)}^2-4\alpha \beta }=\sqrt{m^2+4}$$

よって $S(m)=\frac{1}{6}(m^2+4{)}^{3/2}$。

② 最小化。 $(m^2+4{)}^{3/2}$ は $m^2$ の増加関数だから、$m^2=0$、すなわち $m=0$ で最小。

$$S(0)=\frac{1}{6}\cdot 4^{3/2}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$$

まとめ:$\frac{1}{6}$ 公式で面積を $(\beta -\alpha {)}^3$ に置き換え、$\beta -\alpha =\sqrt{m^2+4}$ を最小化。判別式(=$\beta -\alpha$ の中身)が最小になる $m=0$ が答え。積分を実行せずに済むところが要点だ。

発展。 直線の族 $y=mx+1$ は、$m$ によらず定点 $(0,1)$ を通る(定点を軸に回る弦)。最小の $m=0$ のとき、弦の両端は $(\pm 1,1)$ で、定点がちょうど弦の中点になっている。実は一般に、放物線 $y=x^2$ を点 $(c,d)$ を通る弦で切るとき、$(\beta -\alpha {)}^2=m^2-4mc+4d$ は $m=2c$ で最小になり、そのとき弦の中点の $x$ 座標 $\frac{\alpha +\beta }{2}=\frac{m}{2}=c$ が定点と一致する。「面積最小の弦は、定点を中点にもつ」と覚えておくと、初手が速くなる。

別解

対称性で先に当てる(計算前の1秒)。 放物線 $y=x^2$ は $y$ 軸対称で、直線の族 $y=mx+1$ は $m$ と $-m$ が鏡映のペアになっている。だから囲む面積も

$$S(m)=S(-m)$$

つまり $S$ は $m$ の偶関数だ。最小は対称の中心 $m=0$ で起きるのがもっとも自然、と計算の前に見当がつく。あとは $S$ が $|m|$ とともに増えることを確かめれば確定する。実際 $S(m)=\frac{1}{6}(m^2+4{)}^{3/2}$ は $m^2$ の増加関数だから、$m=0$ で最小 $\frac{4}{3}$。

「パラメータを取り替えても問題が変わらないなら、答えは対称の中心にある」。この目付けは最大最小の問題全般で最初の1秒に使える。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 絶対値つきの積分は、中身の符号が変わる場所で区間を割る。$x^2-ax=x(x-a)$ の符号は $x=a$ で変わる。$0\le a\le 2$ だから、その折れ目はちょうど積分区間の内側にある。

$[0,a]$ では中身が負なのでマイナスを付けてはずし、$[a,2]$ では正のままはずす。積分を実行すると、値は $a$ の3次式 $F(a)$ になる。あとは $F(a)$ を微分して、$0\le a\le 2$ での最小を探すだけだ。

① 絶対値をはずす。 $\int (x^2-ax)dx=\frac{x^3}{3}-\frac{a{x}^2}{2}$ を使う。

$${\int }_0^2|x^2-ax|dx=-{\int }_0^a(x^2-ax)dx+{\int }_a^2(x^2-ax)dx$$

$-{\int }_0^a(x^2-ax)dx=\frac{a^3}{6}$、${\int }_a^2(x^2-ax)dx=\left(\frac{8}{3}-2a\right)-\left(\frac{a^3}{3}-\frac{a^3}{2}\right)=\frac{8}{3}-2a+\frac{a^3}{6}$。

② $a$ の関数にまとめる。

$$F(a)=\frac{a^3}{6}+\frac{8}{3}-2a+\frac{a^3}{6}=\frac{a^3}{3}-2a+\frac{8}{3}$$

③ 微分して最小。 $F^{\prime }(a)=a^2-2=0⟺a=\sqrt{2}$($0\le a\le 2$ に適する)。$F^{\prime }$ は $a=\sqrt{2}$ の前後で負→正だから、$a=\sqrt{2}$ で最小。

まとめ:絶対値は $x=a$ で符号が変わるので $[0,a]$ と $[a,2]$ に分けてはずす。積分結果 $F(a)=\frac{a^3}{3}-2a+\frac{8}{3}$ を微分して $a=\sqrt{2}$。定積分(絶対値)と最大最小(微分)の融合。

発展。 最小の条件 $F^{\prime }(a)=a^2-2=0$ は、${\int }_0^{a}xdx={\int }_a^{2}xdx$(左は $\frac{a^2}{2}$、右は $2-\frac{a^2}{2}$)と書き直せる。$a$ をわずかに動かすと左の区間の面積が増え、右の区間の面積が減る。その増減の「重み」がつり合う点が最小、という釣り合いの構造だ。$a=\sqrt{2}$ は重み $x$ で測ったときに区間 $[0,2]$ をちょうど半分に割る点になっている。

別解

符号つき積分+へこみの2倍(場合分けを1回に圧縮)。 絶対値の積分は次の帳簿の付け方で「ふつうの積分」に直せる:

$${\int }_0^2|g(x)|dx={\int }_0^{2}g(x)dx+2{\int }_{(g<0\text{ の区間})}(-g(x))dx$$

(負の部分は、符号つき積分ではマイナス、絶対値ではプラスに数えられる。その差はちょうど2倍。)本問で $g(x)=x^2-ax$ が負なのは $[0,a]$ だけ。符号つき積分は場合分け不要で

$${\int }_0^2(x^2-ax)dx=\frac{8}{3}-2a$$

へこみの分は ${\int }_0^a(ax-x^2)dx=\frac{a^3}{6}$。合わせて

$$F(a)=\frac{8}{3}-2a+2\cdot \frac{a^3}{6}=\frac{a^3}{3}-2a+\frac{8}{3}$$

本解と同じ式に、2つの積分だけで着いた。「絶対値=符号つき+へこみの2倍」は、と考えると、場合分けの数を確実に減らせる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 積分の中に $x$ が混ざっていて怖く見える。だが $x$ は、積分変数 $t$ から見ればただの定数だ。外に出せる。

${\int }_0^1(x+t)f(t)dt=x{\int }_0^{1}f(t)dt+{\int }_0^{1}tf(t)dt$。そして定積分はただの数。$A={\int }_0^{1}f,B={\int }_0^{1}tf$ と名前を付ければ、与式は $f(x)=(1+A)x+B$ となり、$f$ が1次式だと判明する。

あとは、この $f$ を $A,B$ の定義に戻して代入すれば、$A,B$ の連立方程式になる。

① 定数でおく。 $A={\int }_0^{1}f(t)dt,B={\int }_0^{1}tf(t)dt$ とおくと

$$f(x)=x+xA+B=(1+A)x+B$$

$f$ は $1$ 次式。

② $A,B$ の連立を作る。 $f(t)=(1+A)t+B$ を代入する。

$$A={\int }_0^1\{(1+A)t+B\}dt=\frac{1+A}{2}+B$$ $$B={\int }_0^{1}t\{(1+A)t+B\}dt=\frac{1+A}{3}+\frac{B}{2}$$

③ 解く。 上の式より $\frac{A}{2}=\frac{1}{2}+B$、$A=1+2B$。下の式より $\frac{B}{2}=\frac{1+A}{3}$、$3B=2(1+A)=2(2+2B)=4+4B$、$-B=4$、$B=-4$。よって $A=1-8=-7$。

$$f(x)=(1-7)x-4=-6x-4$$

まとめ:定積分は定数だから $A=\int f,B=\int tf$ とおけば解ける。すると $f$ が $1$ 次式に決まり、$A,B$ の定義に戻して連立を解く。

発展。 この形の等式は「積分方程式」と呼ばれる。中身の $(x+t)$ のような部品(核という)が $x$ の多項式なら、解 $f$ も同じ次数までの多項式になる。核の形が解の形を決めるのだ。核が $xt$ なら $f$ は「$x$ の1次+元の $x$」、核が $(x+t{)}^2$ なら $f$ は2次式、という具合に、まず「形を見抜く」ところから始まる。

別解

関数の形から先におく(形が見えれば怖くない)。 与式の右辺をよく見ると、$x$ の入り方は「$x$ の1次」と「定数」だけ。だから最初から $f(x)=px+q$ とおいてしまう手もある。

2つの積分を $p,q$ で直接計算すると

$${\int }_0^{1}f(t)dt=\frac{p}{2}+q,{\int }_0^{1}tf(t)dt=\frac{p}{3}+\frac{q}{2}$$

与式に代入して

$$px+q=x+x\left(\frac{p}{2}+q\right)+\frac{p}{3}+\frac{q}{2}$$

$x$ の係数と定数項をそれぞれ比較すると

$$p=1+\frac{p}{2}+q,q=\frac{p}{3}+\frac{q}{2}$$

解いて $p=-6,q=-4$、つまり $f(x)=-6x-4$。積分に名前を付ける(本解の $A,B$)か、関数の形に名前を付ける($p,q$)か。同じ連立に着くが、「形から入る」ほうが手が動く人も多い。仕上げに検算:$x+{\int }_0^1(x+t)(-6t-4)dt=x+(-7x-4)=-6x-4$ で、確かに元の式を満たす。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 「2等分」の問題は、(全体の面積)と(片方の面積)の2つを式にして、半分の関係でつなぐ。

全体は放物線と $x$ 軸の囲む $\frac{4}{3}$。直線 $y=mx$ が切り取る上側(放物線と直線のあいだ)は、交点が $x=0$ と $2-m$ だから、$\frac{1}{6}$ 公式で $\frac{1}{6}(2-m{)}^3$ と書ける。これが全体の半分 $\frac{2}{3}$ に等しい、という方程式を解けば $m$ が出る。

① 全体の面積。 ${\int }_0^2(2x-x^2)dx=4-\frac{8}{3}=\frac{4}{3}$。

② 直線が切り取る面積。 $2x-x^2=mx$、すなわち $x^2-(2-m)x=0$ より交点は $x=0,2-m$。囲む部分の面積は($\frac{1}{6}$ 公式、上=放物線・下=直線)

$${\int }_0^{2-m}\{(2x-x^2)-mx\}dx=\frac{1}{6}(2-m{)}^3$$

③ 半分とおく。 これが全体 $\frac{4}{3}$ の半分 $\frac{2}{3}$ に等しい:

$$\frac{1}{6}(2-m{)}^3=\frac{2}{3}⟺(2-m{)}^3=4⟺2-m=\sqrt[3]{4}$$

よって $m=2-\sqrt[3]{4}$($0<m<2$ に適する)。

まとめ:$\frac{1}{6}$ 公式で「直線が切り取る側」の面積を $(2-m{)}^3$ に落とし、全体 $\frac{4}{3}$ の半分 $\frac{2}{3}$ とおく。$(2-m{)}^3=4$ から $m=2-\sqrt[3]{4}$。立方根が出るのが特徴。

発展。 切り取る側と全体の面積比は ${\left(\frac{2-m}{2}\right)}^3$、つまり交点の幅の比の3乗。面積を半分にしたければ幅の比を ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{1/3}$ にすればよく、$2-m=2\cdot 2^{-1/3}=\sqrt[3]{4}$ が即座に出る。放物線と直線の囲む面積が幅の3乗で伸び縮みする、という3乗則が、$\frac{1}{6}$ 公式のもとになっている。

別解

公式を使わず、原始関数で押し切る(公式を忘れても死なない)。 $\frac{1}{6}$ 公式を忘れても、切り取る側の面積は素直に積分できる。

$${\int }_0^{2-m}\{(2x-x^2)-mx\}dx={\int }_0^{2-m}\{(2-m)x-x^2\}dx={\left[\frac{(2-m)x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]}_0^{2-m}$$

幅を $w=2-m$ とおくと、値は $\frac{w^3}{2}-\frac{w^3}{3}=\frac{w^3}{6}$。$\frac{1}{6}$ 公式がその場で再現された。あとは本解と同じく $\frac{w^3}{6}=\frac{2}{3}$ から $w^3=4$、$m=2-\sqrt[3]{4}$。

検算も添える。$m\to 0$ なら $w=2$ で切り取る側は $\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$(全体と一致)。$m\to 2$ なら $w\to 0$ で $0$。式が両端で正しく振る舞うことまで見ておくと、答案の信頼度が上がる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 和の各項に付く $\frac{1}{k+1}$ という因子が扱いにくい。ここで ${\int }_0^1{x}^{k}dx=\frac{1}{k+1}$ を思い出せるかが、すべてだ。

分数を積分に置き換えると、和は $\sum \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right){\int }_0^1{x}^{k}dx$。有限個の和だから積分と順序を入れ替えてよく、${\int }_0^1(\sum (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\left)x^k\right)dx$ になる。中身の和は二項定理そのもので $(1+x{)}^n$。ばらばらだった $n+1$ 個の分数が1本の積分に束ねられた。

① 積分に置き換える。

$$\sum _{k=0}^n\frac{1}{k+1}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)=\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right){\int }_0^1{x}^{k}dx={\int }_0^1\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)x^{k}dx={\int }_0^1(1+x{)}^{n}dx$$

② 積分を計算する。

$${\int }_0^1(1+x{)}^{n}dx={\left[\frac{(1+x{)}^{n+1}}{n+1}\right]}_0^1=\frac{2^{n+1}-1}{n+1}$$

まとめ:$\frac{1}{k+1}={\int }_0^1{x}^{k}dx$ に気づくと、和が二項定理で ${\int }_0^1(1+x{)}^{n}dx$ に一本化される。定積分と二項定理の融合。

発展。 同じ手を符号交互の和に使うと $\sum _{k=0}^n\frac{(-1{)}^k}{k+1}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)={\int }_0^1(1-x{)}^{n}dx=\frac{1}{n+1}$。符号を変えただけで、答えはずっと単純になる。$\frac{1}{k+1}$ の付いた二項係数の和を見たら、「積分で束ねる」か「添字をずらして1段上の二項係数にする」かを考える。この2つの方法でほとんどが解ける。

別解

二項係数の恒等式で(積分を使わない)。 $\frac{1}{k+1}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$ という組は、二項係数だけを使って書き換えられる:

$$\frac{1}{k+1}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)=\frac{1}{n+1}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k+1}\right)$$

(理由:$(k+1)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k+1}\right)=(n+1)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$。パスカルの三角形の1段上との関係だ。)これで和は

$$\sum _{k=0}^n\frac{1}{k+1}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)=\frac{1}{n+1}\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k+1}\right)=\frac{1}{n+1}\left\{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{1}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{2}\right)+\cdots +\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{n+1}\right)\right\}$$

かっこの中は $n+1$ 段目の二項係数の総和 $2^{n+1}$ から先頭の $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{0}\right)=1$ を除いたもの。よって

$$\sum _{k=0}^n\frac{1}{k+1}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)=\frac{2^{n+1}-1}{n+1}$$

積分ルート(本解)は $\frac{1}{k+1}$ を「積分の値」と読み、恒等式ルートは「1段上の二項係数」と読む。同じ分数を、2通りに読んでいることになる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 面積の問題は、交点 → 対称性 → 絶対値の処理、の順で段取りする。

交点は $|x^2-1|=3$ から $x=\pm 2$。曲線 $y=|x^2-1|$ は偶関数だから、図形は $y$ 軸対称。右半分だけ計算して2倍すればよい。

右半分では、絶対値が $x=1$ で折れる。$[0,1]$ では $1-x^2$、$[1,2]$ では $x^2-1$ とはずして、上の直線 $y=3$ との差を積分する。

① 交点と対称性。 $|x^2-1|=3⟺x^2-1=\pm 3⟺x^2=4$(他は不適)、$x=\pm 2$。$y=|x^2-1|$ は偶関数だから面積は $x\ge 0$ の $2$ 倍。

② 絶対値をはずして積分する。 $[0,1]$ で $|x^2-1|=1-x^2$、$[1,2]$ で $|x^2-1|=x^2-1$。

$${\int }_0^2\{3-|x^2-1|\}dx={\int }_0^1\{3-(1-x^2)\}dx+{\int }_1^2\{3-(x^2-1)\}dx$$

$$={\int }_0^1(2+x^2)dx+{\int }_1^2(4-x^2)dx=\left(2+\frac{1}{3}\right)+\left(4-\frac{7}{3}\right)=\frac{7}{3}+\frac{5}{3}=4$$

③ 対称性で2倍。 面積 $=2\times 4=8$。

まとめ:交点 $x=\pm 2$、偶関数の対称性で半分を $2$ 倍、折れ点 $x=1$ で絶対値を場合分け。$3-|x^2-1|$ を $2$ 区間で積分して $8$。

発展。 直線の高さを一般の $c$($c>1$)にすると、交点は $x=\pm \sqrt{c+1}$、面積は $S(c)=\frac{4}{3}\left\{(c+1{)}^{3/2}-2\right\}$ になる($c=3$ で $\frac{4}{3}(8-2)=8$)。ここにも $(c+1{)}^{3/2}$ という「幅の3乗」の形が現れる。放物線がからむ面積は、いつも交点の幅の3乗で表される。

別解

外側の長方形から引く(くり抜きルート)。 「上の関数と下の関数の差を積分」で混乱しそうなら、外側を囲む長方形から不要部分を引けばよい。

囲まれる図形は長方形 $-2\le x\le 2,0\le y\le 3$(面積 $4\times 3=12$)から、曲線 $y=|x^2-1|$ の下側を除いたもの。曲線の下の面積は、偶関数の対称性と折れ点 $x=1$ の分割で

$${\int }_{-2}^2|x^2-1|dx=2\left\{{\int }_0^1(1-x^2)dx+{\int }_1^2(x^2-1)dx\right\}=2\left(\frac{2}{3}+\frac{4}{3}\right)=4$$

よって面積は

$$12-4=8$$

上下の差の積分(本解)と、箱から引く(本ルート)。「箱 $12$ から $4$ を引く」という数の見え方は検算に強く、差の式を立て間違えたときの保険になる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 2つの面積をそれぞれ積分して比べるのが素朴な道。だが計算の前に、図形の対称性を疑ってみる。

曲線と直線の差 $g(x)=(x^3-3x)-x=x^3-4x$ を作ると、これは奇関数($g(-x)=-g(x)$)。つまり囲まれた2つの部分は、原点(=3次関数の変曲点)についてぴったり点対称だ。点対称な図形どうしの面積は等しい。積分を1本も計算せずに、結論が出てしまう。

① 交点を求める。 $x^3-3x=x⟺x^3-4x=0⟺x(x^2-4)=0$、$x=0,\pm 2$。$3$ 交点で囲む $2$ 部分は区間 $[-2,0]$ と $[0,2]$ に対応する。

② 差の対称性。 $g(x)=(x^3-3x)-x=x^3-4x$。$g(-x)=-x^3+4x=-g(x)$ だから $g$ は奇関数。$[-2,0]$ での面積 ${\int }_{-2}^0|g|dx$ と $[0,2]$ での面積 ${\int }_0^2|g|dx$ は、$x\mapsto -x$ の置換で一致する。

③ 結論。 よって $2$ つの部分の面積は等しい。(実際 $g=x^3-4x$ は $[-2,0]$ で $\ge 0$、$[0,2]$ で $\le 0$ で、どちらの面積も ${\int }_0^2(4x-x^3)dx=8-4=4$。)

まとめ:差 $g=x^3-4x$ が奇関数(原点=変曲点対称)であることに気づけば、$2$ 部分は点対称で面積が等しいと即座に言える。個別に積分しても各 $4$ で確認できる。$3$ 次関数の点対称性が決め手だ。

発展。 符号つき積分 ${\int }_{-2}^{2}gdx=0$(奇関数)だけでは、面積の相等は言えない。正負が相殺しただけかもしれないからだ。本問で結論できるのは、$g=x^3-4x$ が $[-2,0]$ で常に $\ge 0$、$[0,2]$ で常に $\le 0$ と各区間で符号一定だから。「積分が $0$」+「各部分で符号一定」の2点セットで初めて、面積の相等になる。論証の穴になりやすいところだ。

別解

一般の3次で同じことを示す(この問題は氷山の一角)。 実は直線 $y=x$ である必要はない。変曲点を通る直線なら何でも、3次曲線と囲む2部分の面積は等しい。

3次関数 $f(x)$ の変曲点の $x$ 座標を $x_0$ とし、平行移動 $X=x-x_0$ で変曲点を原点に移す。すると3次式は $X^3+pX+r$ の形になる(2次の項が消える)。変曲点 $(0,r)$ を通る直線は $y=qX+r$ と書けて、差は

$$(X^3+pX+r)-(qX+r)=X^3+(p-q)X$$

これは奇関数。よって2つの囲み部分は原点対称で、面積は等しい。

本問は $f=x^3-3x$(変曲点が原点)、直線 $y=x$(原点を通る)という特別な場合だった。逆に、変曲点を通らない直線では2部分の面積は一般に等しくならない。「なぜ $y=x$ でうまくいったのか」の答えは、「変曲点を通っていたから」だ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $(1-x{)}^5$ を展開すると6項の多項式になり、計算が重い。展開したくない。

区間 $[0,1]$ には、置換 $u=1-x$ と抜群に相性がよいという特徴がある。区間 $[0,1]$ がそのまま区間 $[0,1]$ に移り、$x$ と $1-x$ が役割を交換するだけだからだ。置換すると被積分関数は $(1-u)u^5=u^5-u^6$。6項が2項になり、暗算でも積分できる形に変わる。

① 置換する。 $u=1-x$ とおくと $x=1-u$、$dx=-du$。$x:0\to 1$ のとき $u:1\to 0$。

$${\int }_0^{1}x(1-x{)}^{5}dx={\int }_1^0(1-u)u^5(-du)={\int }_0^1(1-u)u^{5}du={\int }_0^1(u^5-u^6)du$$

② 積分する。

$${\int }_0^1(u^5-u^6)du=\frac{1}{6}-\frac{1}{7}=\frac{7-6}{42}=\frac{1}{42}$$

まとめ:置換 $u=1-x$ で $(1-x{)}^5$ を $u^5$ に変え、被積分関数を $u^5-u^6$ に簡単にするのが決め手だ(展開しなくて済む)。$[0,1]$ 上の $x\leftrightarrow 1-x$ の対称性の活用。

発展。 一般に ${\int }_0^{1}x(1-x{)}^{n}dx=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}=\frac{1}{(n+1)(n+2)}$($n=5$ で $\frac{1}{42}$)。さらに ${\int }_0^1{x}^m(1-x{)}^{n}dx=\frac{m!n!}{(m+n+1)!}$ という一般式が知られている($m=1,n=5$ で $\frac{120}{5040}=\frac{1}{42}$)。$x\leftrightarrow 1-x$ の対称性は、この式が $m$ と $n$ の交換で不変であることにも表れている。

別解

展開して積分する(そのまま計算しても正しく求まる)。 置換を思いつかなくても、二項定理で展開すれば必ず終わる。

$$x(1-x{)}^5=x\left(1-5x+10x^2-10x^3+5x^4-x^5\right)=x-5x^2+10x^3-10x^4+5x^5-x^6$$

項別に積分して

$$\frac{1}{2}-\frac{5}{3}+\frac{10}{4}-\frac{10}{5}+\frac{5}{6}-\frac{1}{7}$$

分母 $42$ に通分すると、分子は $21-70+105-84+35-6=1$。よって値は $\frac{1}{42}$。

置換(本解)の3行に対して、展開は6項の管理が要る。だが「答えが合っているかの独立の検算」としては最も確実で、置換の符号ミスをすぐに見抜ける。2つのルートで同じ $\frac{1}{42}$ に着いたら、答えはまず動かない。