三角関数 ★★ 標準の問題 全12問

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 変数が半径 $r$ と弧長 $\ell$ の2つに見えるが、周の条件 $2r+\ell =20$ を使えば1つを消せる。

$\ell =20-2r$ を面積 $S=\frac{1}{2}r\ell$ に入れると、$S$ は $r$ の2次関数だ。あとは平方完成して頂点で最大。定義域($r$ も $\ell$ も正、つまり $0<r<10$)に頂点が入っているかの確認も忘れずに。

半径 $r$、弧長 $\ell$ とおく。周が $20$ なので

$$2r+\ell =20\Rightarrow \ell =20-2r$$

面積は

$$S=\frac{1}{2}r\ell =\frac{1}{2}r(20-2r)=10r-r^2=-(r-5{)}^2+25$$

$r$ の2次関数として、$r=5$ のとき最大 $25$。(このとき $\ell =10$、中心角 $\theta =\frac{\ell }{r}=2$ ラジアンで、扇形として成り立つ。)最大の面積は $25$。

発展。 最大の扇形の中心角は $\frac{\ell }{r}=2$ ラジアン。半径や周の長さを変えても、この「2ラジアン」は変わらない普遍の答えだ。弧度法だからこそ、こんなに簡潔に言える。

「周一定の図形で面積最大」をどんな図形の中で考えても、答えは円になる(等周問題)。扇形や長方形での最大化は、その問いの小さな場合にあたる。

別解

「和が一定 → 積は半々で最大」の相加平均・相乗平均でも、展開なしで落ちる。面積は $S=\frac{1}{2}r\ell =\frac{1}{4}(2r)\ell$ と、和の部品 $2r$ と $\ell$ の積で書ける。$2r+\ell =20$(一定)だから、相加相乗より

$$(2r)\ell \le {\left(\frac{2r+\ell }{2}\right)}^2=100$$

よって $S\le 25$。等号は $2r=\ell =10$、つまり $r=5$ のときで、範囲 $0<r<10$ に確かに入っている。答えの配分「半径2本ぶん($2r=10$)と弧($\ell =10$)が周をちょうど半分ずつ使う」ことが、不等式の等号条件として分かる。花だんの面積の問題(2次関数)と同じ形だ。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $\tan \theta$ から他の2つへ渡る橋は、相互関係 $1+{\tan }^2\theta =\frac{1}{{\cos }^2\theta }$ だ。

これで ${\cos }^2\theta$ が出る。2乗から戻すときの符号は、式ではなく「第3象限」という情報が決める($\cos <0$)。$\sin \theta$ は $\tan \theta \times \cos \theta$ の掛け算で仕上げる。値の計算と符号の決定を、別々の仕事として処理するのが安全だ。

$\tan \theta =2$ を入れる。

$$1+2^2=\frac{1}{{\cos }^2\theta }\Rightarrow {\cos }^2\theta =\frac{1}{5}$$

第3象限なので $\cos \theta <0$。

$$\cos \theta =-\frac{1}{\sqrt{5}}=-\frac{\sqrt{5}}{5}$$

$\sin \theta =\tan \theta \cdot \cos \theta$ より

$$\sin \theta =2\times \left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)=-\frac{2}{\sqrt{5}}=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$$

第3象限で $\sin <0$ とも合う。

発展。 $\tan \theta$ が同じ値でも、角は第1象限と第3象限の2か所にある($\tan$ の周期は $\pi$ で、$\sin$・$\cos$ の半分)。「象限の指定がなければ答えは2組」という構造まで見えれば、この型は完成だ。

三角形で大きさ・絵で符号、という分業は数学I の鈍角の三角比から一貫している。単位円が座標平面の全象限に広がった今も、作法は変わらない。

別解

「絶対値は三角形、符号は絵」と分業する方法が、いちばんミスが少ない。$\tan \theta =2$ は「縦 $2$・横 $1$」の傾き。辺の比 $1:2:\sqrt{5}$ の直角三角形を描けば、大きさだけなら

$$|\sin \theta |=\frac{2}{\sqrt{5}},|\cos \theta |=\frac{1}{\sqrt{5}}$$

と読み取れる(斜辺 $\sqrt{5}$ 分の、縦と横)。次に符号。第3象限は単位円の左下だから、$x$ 座標($\cos$)も $y$ 座標($\sin$)も負。

$$\sin \theta =-\frac{2\sqrt{5}}{5},\cos \theta =-\frac{\sqrt{5}}{5}$$

公式ルートと同じ答えだ。$\tan$ が正なのに $\sin$、$\cos$ がともに負という一見意外な組み合わせも、「負÷負=正」と絵で腑に落ちる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 角のずらしの公式は2家族に分かれる。$\pi \pm \theta$、$-\theta$ の家族は関数名がそのまま。$\frac{\pi }{2}\pm \theta$ の家族は $\sin$ と $\cos$ が入れかわる。

「$\frac{\pi }{2}$ がらみは名前が変わる」とまず分類してから、符号を単位円で確かめる。3項をそれぞれ公式で書き直して足し合わせれば、打ち消しが起きて簡単な形に落ちる。

それぞれを直す。

$$\sin \left(\frac{\pi }{2}+\theta \right)=\cos \theta ,\cos (\pi -\theta )=-\cos \theta ,\sin (\pi +\theta )=-\sin \theta$$

足し合わせると、$\cos \theta$ と $-\cos \theta$ が消えて

$$\cos \theta +(-\cos \theta )+(-\sin \theta )=-\sin \theta$$

発展。 ずらしの公式は全部で十数個あるように見えるが、暗記は不要だ。単位円で「点がどこへ写るか」($\pi +\theta$ は原点対称、$-\theta$ は $x$ 軸対称、$\frac{\pi }{2}-\theta$ は直線 $y=x$ 対称)を描けば、その場で全部復元できる。

さらに上の統一原理が加法定理だ。$\sin \left(\frac{\pi }{2}+\theta \right)$ を加法定理で開けば $\cos \theta$ が機械的に出る。次の単元で学ぶ加法定理から、これらの公式はすべて導ける。

別解

公式変換の前に、具体角で「答えの値」を先に知っておく手がある。実験と証明の分業だ。$\theta =30^{\circ }$ を入れてみる。

$$\sin 120^{\circ }+\cos 150^{\circ }+\sin 210^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}$$

$-\frac{1}{2}=-\sin 30^{\circ }$。答えは $-\sin \theta$ になりそうだ、と予想が立つ。あとは公式で各項を書き直して($\cos \theta -\cos \theta -\sin \theta$)、予想どおり $-\sin \theta$ を確定させる。

具体角の実験は変換の途中で符号を1つ間違えると、すぐに「予想とずれた」と気づける。この型の問題では、実験1回を先にやる習慣が符号ミスを大きく減らす。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $y=a\sin (b\theta -c)$ の形から、3つの情報を順に読む。

振幅は $|a|=2$。周期は $\frac{2\pi }{|b|}=\pi$。平行移動だけは即読みできない。中身を $b$ でくくって $2\sin 2\left(\theta -\frac{\pi }{6}\right)$ と直すと、「$\theta$ 軸方向に $\frac{\pi }{6}$」が正しく現れる。$-\frac{\pi }{3}$ のままでは移動量を読み違える。

$a=2$、$b=2$、$c=\frac{\pi }{3}$。

振幅は $|a|=2$。周期は

$$\frac{2\pi }{|b|}=\frac{2\pi }{2}=\pi$$

平行移動は中身を $b$ でくくる。

$$2\theta -\frac{\pi }{3}=2\left(\theta -\frac{\pi }{6}\right)$$

よって $y=2\sin 2\theta$ を $\theta$ 軸方向に $+\frac{\pi }{6}$(右へ $\frac{\pi }{6}$)平行移動したもの。

発展。 「中身の係数でくくってから移動量を読む」のは、2次関数 $y=(2x-1{)}^2$ の軸が $x=\frac{1}{2}$ であるのと同じ文法だ。関数の種類によらない、置きかえの一般規則である。

$y=a\sin (b\theta -c)+d$ と定数 $d$ が付けば上下の移動も加わる。振幅・周期・位相・中心線の4つは、音や電気の波を記述するときにも、そのまま使われている。

別解

「波の出発点を追う」と、くくり忘れのミスが起きない。$\sin$ の波は、中身が $0$ になる所から上りで始まる。この「出発点」を探そう。$2\theta -\frac{\pi }{3}=0$ を解くと $\theta =\frac{\pi }{6}$。つまりこの波は $\theta =\frac{\pi }{6}$ からスタートする。

比較対象の $y=2\sin 2\theta$ の出発点は $\theta =0$。出発点が $0$ から $\frac{\pi }{6}$ へ移っているから、平行移動量は $\frac{\pi }{6}$。これが答えだ。

「係数をくくる」代数の操作と、「出発点のずれを測る」波の観察は同じことをしている。グラフを描く問題では、この出発点(と、そこから周期の $\frac{1}{4}$ ずつ刻んだ山・ゼロ・谷)を打つのが実践的な描画手順にもなる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 左は $2\theta$、右は $\theta$。角がそろっていない方程式は、まず角をそろえる。

$\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$ と2倍角で開けば、全体が $\theta$ だけの式になる。移項して $\cos \theta (2\sin \theta -1)=0$ とくくる。ここで $\cos \theta$ で「割る」と解が消える。「割らずにくくる」がこの型の合言葉だ。

① $\sin 2\theta$ を開いて、両辺を同じ形にそろえる。 左辺の $\sin 2\theta$ を2倍角で開くと、両辺とも $\cos \theta$ を含む形になる。

$$2\sin \theta \cos \theta =\cos \theta$$

② 移項して、共通の $\cos \theta$ でくくる。 ここで両辺を $\cos \theta$ で割ってはいけない。割ると $\cos \theta =0$ の解が消えてしまう。移項してくくるのが安全だ。

$$2\sin \theta \cos \theta -\cos \theta =0\Rightarrow \cos \theta (2\sin \theta -1)=0$$

③ 積が $0$ なので、各因数が $0$ の場合を解く。 $\cos \theta =0$ または $\sin \theta =\frac{1}{2}$。

• $\cos \theta =0$($x$ 座標が $0$、単位円の真上・真下)から $\theta =\frac{\pi }{2},\frac{3}{2}\pi$
• $\sin \theta =\frac{1}{2}$(高さが $\frac{1}{2}$)から $\theta =\frac{\pi }{6},\frac{5}{6}\pi$

4つを合わせて

$$\theta =\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{2},\frac{5}{6}\pi ,\frac{3}{2}\pi$$

まとめ:$\sin 2\theta$ が混じったら2倍角で開き、共通因数でくくって「積 $=0$」に持ち込む。両辺を割って解を落とさないことが最大の注意点。

発展。 「割らずにくくる」は文字の方程式 $x^2=ax$ で $x$ で割ってはいけないのと同じ原理だ。割る数が $0$ の可能性がある限り、割り算は解の削除になる。

別解の「$\sin =\sin$ の2系統」は方程式の解を全部の実数から拾う一般解の考え方で、数IIIでも周期現象の解析でも標準の道具になる。範囲を $0\le \theta <2\pi$ に絞るのは、その一般解から窓で切り出す作業である。

別解

右辺を $\sin$ で表して、「$\sin =\sin$ 型」で解く道もある。$\cos \theta =\sin \left(\frac{\pi }{2}-\theta \right)$ だから、方程式は

$$\sin 2\theta =\sin \left(\frac{\pi }{2}-\theta \right)$$

$\sin$ どうしが等しいのは、角が一致するか、$\pi$ から引いた補角になるかの2通り($+2k\pi$ の自由つき)。

• $2\theta =\frac{\pi }{2}-\theta +2k\pi$ から $\theta =\frac{\pi }{6}+\frac{2k\pi }{3}$。範囲内で $\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6},\frac{3\pi }{2}$。
• $2\theta =\pi -\left(\frac{\pi }{2}-\theta \right)+2k\pi$ から $\theta =\frac{\pi }{2}+2k\pi$。範囲内で $\frac{\pi }{2}$。

合わせて4解。因数分解ルートと一致する。「同じ $\sin$ の値になる角は2系統」という単位円の対称性を、一般解の形で使い切る解法である。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) まず $\sin \theta \ge \frac{1}{2}$ の形に変形し、三角関数だけを片側に残す。

単位円で $\sin \theta$ は点の高さ($y$ 座標)だ。「高さが $\frac{1}{2}$ 以上」の円弧を探せばよい。境界は $\sin \theta =\frac{1}{2}$ となる $\theta =\frac{\pi }{6}$ と $\frac{5\pi }{6}$。その間の上側の弧が答えの範囲になる。

$2\sin \theta -1\ge 0$ を直すと $\sin \theta \ge \frac{1}{2}$。単位円で $y$ 座標が $\frac{1}{2}$ 以上の点。境界 $\sin \theta =\frac{1}{2}$ は $\theta =\frac{\pi }{6}$ と $\frac{5}{6}\pi$。高さが $\frac{1}{2}$ 以上なのは、この2つの角の間(上側)。

$$\frac{\pi }{6}\le \theta \le \frac{5}{6}\pi$$

発展。 $\cos \theta \ge \frac{1}{2}$ なら「横位置」の読みになり、範囲が $0$ をまたいで2つの弧(つなげれば1つ)になる。関数によって範囲の「割れ方」が変わることを、単位円の縦読み・横読みで体感しておきたい。

角が $2\theta$ や $\theta +\frac{\pi }{3}$ になっている不等式は、まずその塊の範囲を解いてから $\theta$ に戻す2段構えになる。置きかえの型($t$ の範囲を解いて戻す)がここでも基本になる。

別解

波形グラフで読む方法も同じ答えを別の絵で見せてくれる。$y=\sin \theta$ の波($0\le \theta <2\pi$ の1周期)を描き、水平線 $y=\frac{1}{2}$ を引く。波が水平線の上に出ている区間が、答えの範囲だ。

波は $\theta =\frac{\pi }{6}$ で線を上に横切り、山($\theta =\frac{\pi }{2}$)を越えて、$\theta =\frac{5\pi }{6}$ で下に横切る。だから

$$\frac{\pi }{6}\le \theta \le \frac{5\pi }{6}$$

単位円は「角と値の対応」が正確に読め、波形は「範囲のつながり方」が一目で見える。不等号の向きが逆($\le \frac{1}{2}$)になったときに範囲が2つに割れる様子も、波形なら間違えようがない。両方の絵を持って、問題ごとに見やすい方を選ぼう。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 直線の傾きは、$x$ 軸となす角の $\tan$ だ。2直線のなす角は2つの傾き角の差である。

差の $\tan$ を計算する公式が $\tan (\alpha -\beta )$ の加法定理から出る。

$$\tan \theta =\left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1{m}_2}\right|$$

$m_1=2$、$m_2=-3$ を入れて値が $1$ になれば、$\theta =\frac{\pi }{4}$ と確定する。

① なぜこの式でなす角が出るのかを押さえる。 直線の傾き $m$ は「その直線が $x$ 軸となす角 $\alpha$ の $\tan$」に等しい($m=\tan \alpha$)。2直線がそれぞれ $x$ 軸と ${\alpha }_1$、${\alpha }_2$ の角をなすなら、2直線のなす角はその差 ${\alpha }_1-{\alpha }_2$。ここに $\tan$ の加法(減法)定理 $\tan ({\alpha }_1-{\alpha }_2)=\frac{\tan {\alpha }_1-\tan {\alpha }_2}{1+\tan {\alpha }_1\tan {\alpha }_2}$ を使い、$\tan \alpha =m$ を入れると、上の公式になる(角の向きで負にもなるので絶対値)。

② 傾きを入れる。 $m_1=2$、$m_2=-3$。

$$\tan \theta =\left|\frac{2-(-3)}{1+2\cdot (-3)}\right|=\left|\frac{5}{-5}\right|=1$$

$0<\theta \le \frac{\pi }{2}$ で $\tan \theta =1$ なので

$$\theta =\frac{\pi }{4}$$

まとめ:公式の中身は「傾き＝$x$ 軸となす角の $\tan$」＋「なす角は角の差」＋「$\tan$ の加法定理」。丸暗記でなく、この3つの組み合わせと分かれば式を忘れても作り直せる。

発展。 分母 $1+m_1{m}_2=0$、つまり $m_1{m}_2=-1$ のとき $\tan$ は定義できない。これは、なす角が $\frac{\pi }{2}$ のときだ。おなじみの垂直条件 $m_1{m}_2=-1$ は、この公式の「分母ゼロ」に当たっていたのである。

数学Cではベクトルの内積 $\cos \theta =\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}$ でも同じ角が測れるようになる。$\tan$ 経由と $\cos$ 経由、2つの測り方の使い分けはそこでの楽しみである。

別解

公式を忘れても、加法定理からその場で導けばよい。それがこの問題の本当の学びどころだ。2直線が $x$ 軸となす角を $\alpha$、$\beta$ とすると、$\tan \alpha =2$、$\tan \beta =-3$。なす角は差 $\alpha -\beta$(の絶対値)だ。

$\tan$ の加法定理(引き算版)に、そのまま流し込む。

$$\tan (\alpha -\beta )=\frac{\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }=\frac{2-(-3)}{1+2\times (-3)}=\frac{5}{-5}=-1$$

$\tan$ が $-1$ ということは、差の角は $\frac{3\pi }{4}$(鈍角側)。なす角は $0<\theta \le \frac{\pi }{2}$ で測る約束だから、補角をとって $\theta =\frac{\pi }{4}$。公式の絶対値はこの「鈍角が出たら鋭角側に読み替える」操作を表していた。由来ごと理解すれば、絶対値の付け忘れというミスそのものが起きなくなる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 材料は $\cos \theta =\frac{1}{3}$ の1つだけ。だから、$\cos \theta$ だけで書ける公式を選ぶのが方針になる。

$\cos 2\theta$ には3通りの形があるが、$2{\cos }^2\theta -1$ を選べば代入するだけで済む。${\sin }^2\frac{\theta }{2}$ は半角の公式 $\frac{1-\cos \theta }{2}$。これも $\cos \theta$ だけで書けている。「手持ちの材料で書ける公式を選ぶ」という道具選びの問題だ。

$\cos 2\theta$:$\cos \theta$ だけの2倍角を使う。

$$\cos 2\theta =2{\cos }^2\theta -1=2\times \frac{1}{9}-1=\frac{2}{9}-1=-\frac{7}{9}$$

${\sin }^2\frac{\theta }{2}$:半角の公式。

$${\sin }^2\frac{\theta }{2}=\frac{1-\cos \theta }{2}=\frac{1-\frac{1}{3}}{2}=\frac{2/3}{2}=\frac{1}{3}$$

発展。 ${\sin }^2=\frac{1-\cos 2x}{2}$ という「2乗を1次に下げる」変形は、次数下げと呼ばれ、数学IIIの積分($\int {\sin }^{2}xdx$)で必須の技になる。半角の公式はこの先の積分でも道具として使う。

加法定理を親とすれば、2倍角は子、半角と次数下げは孫。三角関数の公式群は1本の家系図に整理できる。系図の根元(加法定理)さえ確かなら、枝葉は全部その場で生やせる。

別解

半角の公式を「暗記」でなく、2倍角の逆再生としてその場で作る道を見ておこう。2倍角の公式 $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$ は、「角を半分にすると ${\sin }^2$ で書ける」と逆向きにも読める。移項すれば

$${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$$

ここで $x=\frac{\theta }{2}$ と置けば、$2x=\theta$ だから

$${\sin }^2\frac{\theta }{2}=\frac{1-\cos \theta }{2}=\frac{1-\frac{1}{3}}{2}=\frac{1}{3}$$

半角の公式は2倍角の公式を移項しただけのものだった。${\cos }^2\frac{\theta }{2}=\frac{1+\cos \theta }{2}$ も同様に $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$ から出る。覚える公式は2倍角だけでよく、半角はすぐに導ける。公式を「どれからどれが導けるか」で整理すると、覚える量が大きく減る。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $a\sin \theta +b\cos \theta$ の2項を、1つの $\sin$ にまとめるのが合成だ。

大きさは $r=\sqrt{a^2+b^2}$。今回は $\sqrt{1+3}=2$。角 $\alpha$ は、$\cos \alpha =\frac{a}{r}$、$\sin \alpha =\frac{b}{r}$ を同時に満たすもの。$\cos \alpha =\frac{1}{2}$、$\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$ から $\alpha =\frac{\pi }{3}$ と確定する。片方だけで決めないことが大事だ。

$a=1$、$b=\sqrt{3}$ なので

$$r=\sqrt{1^2+(\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{4}=2$$

$\alpha$ は $\cos \alpha =\frac{1}{2}$、$\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす角、すなわち $\alpha =\frac{\pi }{3}$。

$$\sin \theta +\sqrt{3}\cos \theta =2\sin \left(\theta +\frac{\pi }{3}\right)$$

発展。 合成は「2つの波を足すと、1つの波になる」という物理的にも重要な事実の数式版だ。同じ周期の波はいくつ重ねても振幅と位相の違う1つの波にまとまる。

係数の点 $(a,b)$ を距離と角で読む見方は、数学Cの複素数平面の極形式そのものである。合成の計算は複素数 $a+bi$ を $r(\cos \alpha +i\sin \alpha )$ に直す練習にもなっている。

別解

係数を「点」として図示すると、公式が絵に変わる。係数の組から点 $(a,b)=(1,\sqrt{3})$ を座標平面に打つ。

• 原点からの距離が $r$: $\sqrt{1+3}=2$
• $x$ 軸からの角が $\alpha$: 点 $(1,\sqrt{3})$ は $60^{\circ }$ 方向なので $\alpha =\frac{\pi }{3}$

$$\sin \theta +\sqrt{3}\cos \theta =2\sin \left(\theta +\frac{\pi }{3}\right)$$

このしくみは加法定理の逆再生だ。$r\sin (\theta +\alpha )=(r\cos \alpha )\sin \theta +(r\sin \alpha )\cos \theta$ を展開して係数を見比べると、$(a,b)=(r\cos \alpha ,r\sin \alpha )$ となり、極座標の関係になっている。「係数の点を打って、距離と角を読む」。この絵を1枚描く癖をつけると、$\alpha$ の象限を間違えるミス($a$ や $b$ が負の場合)が消える。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 2項のままでは、最大がどこで起きるか見えない。前問の合成で1つの $\sin$ にまとめる。

$$y=2\sin \left(\theta +\frac{\pi }{3}\right)$$

$\sin$ の値は $-1$ から $1$。$\theta$ が1周するとき、中身 $\theta +\frac{\pi }{3}$ も1周するから、$\pm 1$ の両方に必ず到達する。よって最大 $2$・最小 $-2$。「合成 → 振幅を読む」の2手で終わる。

① 合成して、1つの $\sin$ にまとめる。 $\sin \theta +\sqrt{3}\cos \theta$ の係数は $1$ と $\sqrt{3}$。$r=\sqrt{1^2+(\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{4}=2$ が前に出て、$\alpha$ は $\cos \alpha =\frac{1}{2}$・$\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$ から $\frac{\pi }{3}$。

$$y=2\sin \left(\theta +\frac{\pi }{3}\right)$$

② $\sin$ 部分の動く範囲を見る。 $\theta$ が $0$ から $2\pi$ まで一周するので、中身の角 $\theta +\frac{\pi }{3}$ も一周する。角が一周すれば、$\sin$ は $-1$ から $1$ までの値をすべてとる。

$$-1\le \sin \left(\theta +\frac{\pi }{3}\right)\le 1$$

③ 最後に $2$ 倍する。 $y$ はこの $\sin$ の $2$ 倍。$2>0$ なので不等号の向きは変わらない。各辺を $2$ 倍して

$$-2\le y\le 2$$

よって最大値 $2$、最小値 $-2$。

まとめ:$a\sin \theta +b\cos \theta$ の最大最小は、合成して $r\sin (\theta +\alpha )$ にするだけ。角が一周するなら答えは $\pm r$。範囲がついているときは中身の角の範囲を調べる。

発展。 範囲が $0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$ などに制限されると、中身 $\theta +\frac{\pi }{3}$ の動く区間が全周に届かず、最小が $-2$ より浅くなる。「合成 → 中身の範囲 → その区間での $\sin$ の値域」という3段が、制限つき問題の完全な型だ。

数学Cのベクトルでは、この最大値が内積 $(1,\sqrt{3})\cdot (\sin \theta ,\cos \theta )$ の最大として、「2つのベクトルが同じ向きのとき」と幾何の言葉で説明し直される。

別解

式と証明で学んだコーシー・シュワルツの不等式で挟む、代数の道もある。

$$(\sin \theta +\sqrt{3}\cos \theta {)}^2\le (1^2+(\sqrt{3}{)}^2)({\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta )=4\times 1=4$$

よって $-2\le y\le 2$。等号は $(\sin \theta ,\cos \theta )$ が $(1,\sqrt{3})$ と平行のとき。単位円上にそのような点は確かにあり($60^{\circ }$ 方向とその反対)、最大 $2$・最小 $-2$ はどちらも達成される。

合成を使えば「どの $\theta$ で最大か」まで分かる。不等式は「上限の値」をすぐに出す近道だ。範囲が全周でなく制限されている問題では合成が必須になるので、主従を意識して使い分けたい。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $\sin 2\theta$ と $\sin \theta +\cos \theta$ が同居している。この2つをつなぐ橋が置きかえ $t=\sin \theta +\cos \theta$ だ。

$t^2=1+2\sin \theta \cos \theta =1+\sin 2\theta$ だから、$\sin 2\theta =t^2-1$。$y=t^2+2t-1$ という $t$ の2次関数になる。あとは $t$ の動ける範囲を確定して、その区間での最大・最小を調べる。範囲を忘れた置きかえは間違いのもとである。

① 置きかえの準備をする。 $t=\sin \theta +\cos \theta$ とおく。両辺を2乗すると、まん中に $2\sin \theta \cos \theta =\sin 2\theta$ が出る。

$$t^2=(\sin \theta +\cos \theta {)}^2=1+2\sin \theta \cos \theta =1+\sin 2\theta$$

よって $\sin 2\theta =t^2-1$。これで $\sin 2\theta$ も $t$ で書けた。

② $t$ の動く範囲を出す。 $t=\sin \theta +\cos \theta$ を合成すると $t=\sqrt{2}\sin \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)$。$\sin$ 部分が $-1$〜$1$ なので

$$-\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2}$$

③ $y$ を $t$ だけの式にする。 与式に代入する。

$$y=\sin 2\theta +2(\sin \theta +\cos \theta )=(t^2-1)+2t=t^2+2t-1=(t+1{)}^2-2$$

④ $t$ の範囲で2次関数の最大・最小を調べる。 $y=(t+1{)}^2-2$ は下に凸、頂点 $t=-1$。頂点 $t=-1$ は範囲 $-\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2}$ の中にあるので、最小はここ。

$$\text{最小}=(t+1{)}^2-2{|}_{t=-1}=-2$$

最大は頂点から最も遠い端でとる。$t=-1$ から遠いのは $t=\sqrt{2}$ 側なので、そこで最大。

$$\text{最大}=(\sqrt{2}+1{)}^2-2=(2+2\sqrt{2}+1)-2=1+2\sqrt{2}$$

まとめ:$\sin \theta +\cos \theta$ と $\sin \theta \cos \theta$(や $\sin 2\theta$)が同居したら、$t=\sin \theta +\cos \theta$ で1文字にする。忘れがちなのは $t$ の範囲 $-\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2}$。範囲つきの2次関数は「頂点が範囲内か」「端はどちらが遠いか」で最大最小を決める。

発展。 $t=\sin \theta +\cos \theta$ の置きかえがうまくいくのは、$\sin \theta \cos \theta$(対称式)が $t$ で書けるからだ。数と式で学んだ「対称式は和と積で書ける」ことを、三角関数でも使っている。

$t=\sin \theta -\cos \theta$ なら $\sin 2\theta =1-t^2$ と符号が裏返る。和か差か、どちらの置きかえが合うかは、式に現れる項の符号を見れば分かる。

別解

$t$ の範囲 $-\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2}$ の出どころを、合成でなく「領域の目」で見ることもできる。$t=\sin \theta +\cos \theta$ は、単位円上の点 $(x,y)=(\cos \theta ,\sin \theta )$ に対する $x+y$ の値だ。「単位円上で $x+y$ はどこまで動けるか」という問いは、軌跡と領域で解いた「円と直線 $x+y=t$ が共有点を持つ $t$ の範囲」そのものである。

中心(原点)から直線 $x+y=t$ までの距離が半径 $1$ 以下、つまり

$$\frac{|t|}{\sqrt{2}}\le 1⟺-\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2}$$

合成 $t=\sqrt{2}\sin \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)$ が出す範囲と一致する。三角関数の置きかえの範囲問題が直線を滑らせる領域の問題と同じだった。単元をまたいで同じ図が現れる例である。どちらの言葉でも範囲を出せるようにしておくと、検算が常に2重になる。

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) $75^{\circ }$ も $15^{\circ }$ も単独では値の出しにくい角だが、和は $90^{\circ }$、差は $60^{\circ }$ ときれいだ。

積を和に直す公式 $\sin A\cos B=\frac{1}{2}\{\sin (A+B)+\sin (A-B)\}$ を使う。

$$\sin 75^{\circ }\cos 15^{\circ }=\frac{1}{2}(\sin 90^{\circ }+\sin 60^{\circ })=\frac{1}{2}\left(1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{2+\sqrt{3}}{4}$$

「角そのものは汚くても、和と差はきれい」という配置が、積和の公式のシグナルだ。

$A=75^{\circ }$、$B=15^{\circ }$ を入れる。$A+B=90^{\circ }$、$A-B=60^{\circ }$。

$$\sin 75^{\circ }\cos 15^{\circ }=\frac{1}{2}\{\sin 90^{\circ }+\sin 60^{\circ }\}=\frac{1}{2}\left\{1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right\}$$

計算して

$$=\frac{1}{2}\cdot \frac{2+\sqrt{3}}{2}=\frac{2+\sqrt{3}}{4}$$

発展。 積和の公式は加法定理の足し算・引き算から生まれる($\sin (A+B)$ と $\sin (A-B)$ を足すと交差項が消える)。逆向きの和積の公式(和を積に直す)とペアで、どちらも加法定理の子である。

積和は数学IIIの積分($\int \sin 3x\cos xdx$ のような積の積分)で、「積のままでは積分できない」ときに使う。いま身につけた変形がそのまま将来の道具だ。

別解

$75^{\circ }$ と $15^{\circ }$ の特別な関係に気づくと、公式1つ違いの近道が開く。$75^{\circ }+15^{\circ }=90^{\circ }$。余角の関係だから $\sin 75^{\circ }=\cos 15^{\circ }$。すると問題の積は同じものの積になり、2乗の形になる。

$$\sin 75^{\circ }\cos 15^{\circ }={\cos }^{2}15^{\circ }$$

${\cos }^2$ は半角(次数下げ)の公式で開ける。

$${\cos }^{2}15^{\circ }=\frac{1+\cos 30^{\circ }}{2}=\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{2+\sqrt{3}}{4}$$

積和ルートと同じ値だ。「まず角どうしの関係(和が $90^{\circ }$ か、差が特殊角か)を観察してから公式を選ぶ」。この観察の一呼吸が公式当てはめを1段賢くする。